Y序列

Y序列，又称1-Y，是一种Worm型序数记号。

定义

一个合法的 1-Y 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

$(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) (n, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in ℕ, a_{1} = 1)$

的序列。

例如： $(1, 4, 6, 4)$ 和 $(1, 1, 4, 5, 1, 4)$ 都是合法的 1-Y 表达式，而 $(1, 2, π)$ 不是。

1-Y的合法表达式可分为零表达式、后继表达式和极限表达式。

对于 1-Y 的一个极限表达式 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，定义以下术语：

设想我们在一个无限大的矩阵下工作，从左往右是第1,2,...列，从下往上是第0,1,...行。与0-Y不同的是，行标现在可以是一个超限序数，例如第 $ω$ 行。第 $α$ 行第 $j$ 列的项记为 $x_{α, j}$ 。

初始时，我们有 $x_{0, j} = a_{j}$ ， $1 \leq j \leq n$ 。

对于后继序数 $α + 1$ 和项 $x_{α + 1, j}$ ，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧项 $x_{α + 1, k}$ ：

这里“祖先项”的定义类似于BMS：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项......共同构成它的祖先项。

对于第0行的项 $x_{0, j}$ ，它的父项是与它位于同一行，且同时满足 $k < j$ 和 $x_{0, k} < x_{0, j}$ 的最右侧项 $x_{0, k}$ 。

如果满足上述条件的项不存在，那么 $x_{α + 1, j}$ (或者 $x_{0, j}$ )的父项不存在。特别地，等于1的项的父项不存在。

对于任何序数 $α$ ，项 $x_{α, j}$ ，如果它有父项 $x_{α, k}$ ，则它的阶差项为 $x_{α + 1, j} = x_{α, j} - x_{α, k}$ 。否则它的阶差项不存在。

由于第 $α$ 行的项的阶差项构成了第 $α + 1$ 行，称第 $α + 1$ 行的序列是第 $α$ 行的序列的阶差序列。

上述定义只给出了后继序数行的项的取值和父项关系。接下来给出极限序数的情形：

设极限序数 $α = β + ω$ ， $β$ 为极限序数。则定义项 $x_{α, j}$ 如下：

取出最大的非负整数p使得 $x_{β + p, j}$ 有定义，则 $x_{α, j} = x_{β + p, j}$ 。这些项 $x_{β + p, j}$ 称为大项。

对大于1的项 $x_{α, j}$ 定义如下概念：

设 $x_{α, j} = x_{β + p, j}$ ， $x_{β + p - 1, j}$ 的父项为 $x_{β + p - 1, k}$ 。
如果 $x_{β + p - 1, k}$ 是大项，或者 $x_{β + p, k}$ 是大项，称 $x_{α, k}$ 是 $x_{α, j}$ 的拟父项。
否则将 $x_{β + p - 1, k}$ 换为其父项并重复上一条规则，直到找到某个大项，设其列标是 $l$ ，称 $x_{α, l}$ 是 $x_{α, j}$ 的拟父项。

对于极限序数 $α$ 和大于1的项 $x_{α, j}$ ，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧项 $x_{α, k}$ ：

这里“拟祖先项”的定义是：一个元素自己，以及它的拟父项、拟父项的拟父项......共同构成它的拟祖先项。

如果满足上述条件的项不存在，那么 $x_{α, j}$ 的父项不存在。另外，等于1的项的父项不存在。

以上定义项 $x_{α, j}$ 时，将所有位于 $β$ 到 $β + ω$ 之间的行中每一列的最上方项取了出来，并“提”到了 $α = β + ω$ 行(还保留了其下的一些父项关系)，这就是提取(Extraction)的含义。

第 $n$ 列称为末列。

对于末列的某一项 $x_{α, n}$ ，它的父项设为 $x_{α, r}$ 。如果在计算到某行(第 $γ$ 行)时有 $x_{γ, n} - x_{γ, r} = 1$ ，则称 $a_{r}$ 为坏根，称第 $r$ 列为根列。

以上给出了 1-Y 极限表达式 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 的完整寻找坏根流程。