Catching 函数
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定义
将 C(α) 用于表示这个函数，其定义如下：
- 当 α=0 时：C(0) 是第一个序数 β，使得 gβ(n) 与 fβ(n) 可比；
- 当 α 为后继序数时（即 α=γ+1）：C(α+1) 是 C(α) 之后下一个满足 gβ(n) 与 fβ(n) 可比的序数 β；
- 当 α 为极限序数时（即 α=L）：C(α)[n]=C(α[n])（其中 α[n] 表示 α 的基本序列第 n 项）。
此外，C(α) 是最小的序数 β，使得 gβ(n) 与 fβ(n) 可比，且对于所有 γ<α，β 都大于 C(γ)。
"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为：fβ(n) 与gβ(n) 可比当且仅当存在某个 k，使得对任意 n 都有 gβ(n+k)>fβ(n)。
现在，使用第一个不可数序数 Ω 作为 C() 中的对角化器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C() 结构，然后复制该 C() 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。
我们知道，一个 Catching 序数必定形如 ψ(α)。也就是说，它是满足 β→ωβ 的固定点。而一个基数 α 可以作为 ψα() 中的对角化参数。在常规记法中，ψΩ1+k() 对于正整数 k 也可写作 ψk()，而 ψΩ() 也可简写为 ψ()。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。
- Cπ(0)=ψπ(Ωω)
- 若 Cπ(α)=ψπ(β)，则Cπ(α+1)=ψπ(γ)，其中 ψ(γ) 是满足 gψ(γ)(n) 与 fψ(γ)(n) 可比较的最小序数，且 γ>β，同时 ψπ(β) 和 ψπ(γ) 均为完全简化的。
- 对于极限序数 α，Cπ(α)[n]=Cπ(α[n])
- π 是 Cπ() 函数的对角化参数
对于正整数 k，CΩ1+k() 也可写作 Ck()，而 CΩ() 可简写为 C()。
- 什么是完全简化的？
- 记法 ψ(β) 是完全简化的当且仅当 ψ(β+1)>ψ(β)。例如，ψ(Ω2) 是完全简化的，但ψ(ψ1(Ω2))则不是，因为 ψ(Ω2+1)>ψ(Ω2)=ψ(ψ1(Ω2)+1)=ψ(ψ1(Ω2))。有时 ψ 函数会增长，有时则保持不变，而完全简化记法处于增长部分或保持部分的末尾。