反射序数

反射是一个非递归记号。它表示非递归序数，其特点是并不会表示其极限之下的所有序数。它具有深厚的集合论背景

数学定义

前排提醒：对数学定义不感冒或者看不懂的读者可以跳到后面

为了说明反射序数的性质，我们先要对一阶逻辑的结构进行更加细致的讨论。下面我们根据命题中无界量词的性质，给出公式的层次：

满足如下条件之一的集合论公式称为${\mathrm{\Delta }}_0$公式

1. 它不包含无界量词
2. 它形如$\phi \wedge \psi ,\phi \vee \psi ,\mathrm{\neg }\phi ,\phi \to \psi ,\phi \leftrightarrow \psi$,其中$\phi ,\psi$为${\mathrm{\Delta }}_0$公式
3. 它形如$(\mathrm{\exists }x\in y)\phi$或$(\mathrm{\forall }x\in y)\phi$,其中$\phi$为${\mathrm{\Delta }}_0$公式

${\mathrm{\Delta }}_0$公式中的所有量词都是有界的。对于那些包含无界量词的公式，我们给出如下的递归定义：

${\mathrm{\Sigma }}_n$公式及${\mathrm{\Pi }}_n$公式定义如下：

1. ${\mathrm{\Sigma }}_0$公式及${\mathrm{\Pi }}_0$公式为${\mathrm{\Delta }}_0$公式。
2. 如果$\phi$为${\mathrm{\Pi }}_n$公式，则$\mathrm{\exists }{x}_1\cdots \mathrm{\exists }{x}_m\phi$为${\mathrm{\Sigma }}_{n+1}$公式。
3. 如果$\phi$为${\mathrm{\Sigma }}_n$公式，则$\mathrm{\forall }{x}_1\cdots \mathrm{\forall }{x}_m\phi$为${\mathrm{\Pi }}_{n+1}$公式。

反射序数是具有某种特殊反射性质的序数。下面我们给出反射的定义：

L为可构造宇宙，$L_{\alpha }$在X上反射了公式$\phi$,是说$L_{\alpha }\models \phi \Rightarrow \mathrm{\exists }\beta \in (X\cap \alpha )L_{\beta }\models \phi$.

我们进一步给出如下定义：

若$L_{\alpha }$在X上反射了所有的${\mathrm{\Pi }}_n({\mathrm{\Sigma }}_n)$公式，则称α是X上的${\mathrm{\Pi }}_n({\mathrm{\Sigma }}_n)$序数。

特别的，若$L_{\alpha }$在所有序数上反射了所有的${\mathrm{\Pi }}_n({\mathrm{\Sigma }}_n)$公式，则称α是${\mathrm{\Pi }}_n({\mathrm{\Sigma }}_n)$序数。

关于反射序数有如下的重要结论：

α是X上的${\mathrm{\Pi }}_n$反射序数，等价于α是X上的${\mathrm{\Sigma }}_{n+1}$反射序数

也就是说，我们只需要研究集合上的${\mathrm{\Pi }}_n$反射序数即可。进一步的有

α是X上的${\mathrm{\Pi }}_0$反射序数，等价于α是X上的${\mathrm{\Pi }}_1$反射序数，等价于α是X上的极限点。

在一些资料中，会出现${\mathrm{\Pi }}_0$反射等价于全体序数的说法。这是错误的。事实上，如果我们想要写出全体序数，应该写出$Ord$。

我们还有结论：α是X上的${\mathrm{\Pi }}_2$反射序数，等价于α是X上的容许序数。

结构讲解

待续