K3pd

K3pd（KPnd-3-version）记号作者为积分元素，灵感主要来源于KPnd序列。

K3pd序列形如 $(1, 3, a_{3}, a_{4}, a_{5}, . . . . . . a_{n})$ $(a_{3}, a_{4}, a_{5}, . . . . . . a_{n} \in {x | x ⩾ 3, x \in ℕ})$ 。

一个元素 $a_{i} (i ⩾ 3)$ 的父项为其左侧最靠近它的小于它的元素。3和1没有父项。

令末项 $a_{n} (a_{n} > 3)$ 的父项为 $a_{f}$ 。则坏部为从 $a_{f}$ 到 $a_{n - 1}$ 的所有项（包含这两项）。

令展开函数 $F (x) = g_{α} (x)$ ，使得 $a_{n} - 1 = g_{α} (a_{f})$ 且 $α$ 尽可能大。这里 $g_{α} (x)$ 是慢速增长层级（SGH）。

展开规则：

序列 $(1, 3, #, 3) = (1, 3, #) + 1$ ，其中#为自然数序列。

否则，序列 $(1, 3, a_{3}, a_{4}, a_{5}, . . . a_{f - 1}, a_{f}, . . . a_{n - 1}, a_{n})$ 的坏部为“ $a_{f}, . . . a_{n - 1}$ ”，好部为“ $1, 3, a_{3}, a_{4}, a_{5}, . . . a_{f - 1}$ ”。则该序列展开为： $(1, 3, a_{3}, a_{4}, a_{5}, . . . a_{f - 1}, a_{f}, . . . a_{n - 1}, F (a_{f}), . . . F (a_{n - 1}), F (F (a_{f})), . . . F (F (a_{n - 1})), F (F (F (a_{f}))), . . . F (F (F (a_{n - 1}))), . . . . . .)$

其极限表达式暂定为 $(1, 3, 28) = (1, 3, 27, 3^{3 \times 27}, 3^{3 \times 27 \times 3^{3 \times 27}}, . . . . . .)$ 。

现作者已发现无穷降链： $(1, 3, 7, 7) > (1, 3, 7, 6, 14) > (1, 3, 7, 6, 13, 13) > (1, 3, 7, 6, 13, 12, 26) > (1, 3, 7, 6, 13, 12, 25, 25) > (1, 3, 7, 6, 13, 12, 25, 24, 50) > . . . . . .$

K3pd ver0.2

以下是另一种尝试。

K3pd序列形如 $(1, 3, a_{3}, a_{4}, a_{5}, . . . . . . a_{n})$ $(a_{3}, a_{4}, a_{5}, . . . . . . a_{n} \in {x | x ⩾ 3, x \in ℕ})$ 。

一个元素 $a_{i} (i ⩾ 3)$ 的父项为其左侧最靠近它的小于它的元素。3和1没有父项。

令末项 $a_{n} (a_{n} > 3)$ 的父项为 $a_{f}$ 。则坏部为从 $a_{f}$ 到 $a_{n - 1}$ 的所有项（包含这两项）。

令展开函数 $F (x) = g_{α} (x)$ ，使得 $a_{n} - 1 = g_{α} (a_{f})$ 且 $α$ 尽可能大。这里 $g_{α} (x)$ 是慢速增长层级（SGH）。

展开规则：

序列 $(1, 3, #, 3) = (1, 3, #) + 1$ ，其中#为自然数序列。

否则，序列 $(1, 3, a_{3}, a_{4}, a_{5}, . . . a_{f - 1}, a_{f}, . . . a_{n - 1}, a_{n})$ 的坏部为“ $a_{f}, . . . a_{n - 1}$ ”，好部为“ $1, 3, a_{3}, a_{4}, a_{5}, . . . a_{f - 1}$ ”。

设坏部中 $a_{f + k} = g_{α_{k}} (a_{f})$ ，则该序列展开为： $(1, 3, a_{3}, a_{4}, a_{5}, . . . a_{f - 1}, a_{f}, . . . a_{n - 1}, F (a_{f}), . . . g_{α_{n - 1 - f}} (F (a_{f})), F (F (a_{f})), . . . g_{α_{n - 1 - f}} (F (F (a_{f}))), F (F (F (a_{f}))), . . . g_{α_{n - 1 - f}} (F (F (F (a_{f})))), . . . . . .)$

其极限表达式暂定为 $(1, 3, 28) = (1, 3, 27, 3^{3 \times 27}, 3^{3 \times 27 \times 3^{3 \times 27}}, . . . . . .)$ 。

展开案例

1.展开： $(1, 3, 9)$ 。

这里，末项9的父项为3， $9 - 1 = 8 = g_{ω \times 2 + 2} (3)$ ，于是展开为 $(1, 3, 8, 18, 38, 78, 158, . . . . . .)$ （从第二项以后，每一项都是上一项乘以2再加2）。

2.展开： $(1, 3, 4, 3)$ 。

这里，末项3没有父项，于是它等于 $(1, 3, 4) + 1$ 。千万不要条件反射，以为是 $1 - Y (1, 3, 4, 3)$ 提升！

3.展开： $(1, 3, 7, 7)$ 。

这里，末项7的父项为3， $7 - 1 = 6 = g_{ω \times 2} (3)$ ，于是展开为 $(1, 3, 7, 6, 13, 12, 25, 24, 49, . . . . . .)$ 。