序数

序数是自然数的推广。

定义

一个序数$\alpha$被定义为所有比它“更小”的序数的集合，即$\alpha =\{\beta |\beta <\alpha \}$。

$0=\varnothing =\{\}$

$1=\{0\}$

$2=\{0,1\}$

$3=\{0,1,2\}$

$1048576=\{0,1,2,3,...,1048575\}$

序数的后继

序数$\alpha$的后继被定义为$\alpha +1=\alpha \cup \{\alpha \}$。它也是所有序数运算的基础。

如$2+1=2\cup \{2\}=\{0,1\}\cup \{2\}=\{0,1,2\}=3$，$n+1=n\cup \{n\}=\{0,1,2,3,...,n\}$。

有限序数与超限序数

所有自然数都是有限序数。

大于有限序数的序数称作超限序数(或无限序数)

极限序数

不是 $0$且不是任何序数的后继的序数被称为极限序数。（$0$有时也被视为极限序数）

即序数$\lambda$是极限序数要满足“不存在某个序数$\alpha$使得$\lambda =\alpha +1$”。

如果$\lambda$是极限序数，那么$\lambda =\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{\{}\mathrm{\alpha }\mathrm{|}\mathrm{\alpha }<\mathrm{\lambda }\mathrm{\}}$。("$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}$"为"上确界"，一般可以省略不写)

序数的运算

1.序数加法

$\alpha +0=\alpha$

$\alpha +(\beta +1)=(\alpha +\beta )+1$

$\alpha +\beta =\bigcup _{\gamma <\beta }(\alpha +\gamma ),\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{\beta }\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}$

序数加法不具有交换律，但具有结合律。即

$\alpha +\beta \ne \beta +\alpha ,(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$

例：$1+\omega =\bigcup _{\gamma <\omega }(1+\gamma )=\{1+0,1+1,1+2,...\}=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{1,2,3,...\}=\omega \ne \omega +1$