哈基米基数
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哈基米基数是虚妄之幻在2026年提出的一个大基数概念，并随后拥有了其与ZFC的相对一致性证明。
我们依照以下定义基数k上的k共尾完备滤子：一个基数k上的滤子是k-共尾完备的，当且仅当：k是可数共尾的且该滤子是一个σ-完备滤子，或者k是不可数共尾的且对于任意a＜cf(k)，集族{Xb:b∈a}如果是滤子F的子集，那么它的交集属于F
我们称一个基数k是哈基米基数，当且仅当，k上存在一个k共尾完备非主超滤且存在初等嵌入j：L_k→L_2^k
(ZFC+存在可测基数)引理：存在哈基米基数
证明如下：我们引用以下定理：如果存在ramsey基数，那么如果k和λ是不可数基数，则(Lk,∈)是(Lλ,∈)的初等子模型
由于如果存在可测基数，那么存在一个ramsey基数。然后平凡的，可测基数上存在一个k共尾完备非主超滤，因为可测基数k与2^k都是不可数基数，显然依照该引理，k是一个哈基米基数，得证。
目前猜测其一致性上界可以被削弱到ZFC+存在一个ramsey基数，但尚未给出完整证明...
更新：
定理：若ZFC+存在一个哈基米基数是一致的，那么ZFC+存在一个可测基数是一致的。
证明：首先如果第一个哈基米基数是正则的，则显然。如第一个哈基米基数k是奇异的，那么我们可以在k上构造一个cf(k)-可加的二值测度。由于最小的拥有测度的基数λ上的任何测度都是λ-可加的，因而我们可以在k下找到一个基数λ使得λ上有λ可加的测度，从而可以得到λ是一个实值可测基数。我们在这里借用一下jech的set theory中22章的一个定理(其证明由于过程太过冗长而在这里被略去了，需要可以自行查看)如果ZFC+存在一个实值可测基数是一致的，那么ZFC+存在一个可测基数也是一致的。而前者可以由哈基米基数的存在所保证，因此哈基米基数的一致性强度被确定。
定理：ZFC+存在一个哈基米基数是一致的 等价于 ZFC+存在一个可测基数是一致的
虽然在一致性上哈基米基数没有做出太大的突破，也事实上的说明了这类滤子a-完备性的略微改变不会影响其一致性的强度，但是奇异哈基米基数的其他性质似乎还有待研究的空间