BAN

Bird 数组表示法（Bird's Array Notation,BAN）是由 Chris Bird 发明的一种大数记号。它是 BEAF 的扩展，无论是在历史上还是在定义上都类似于 BEAF，但与 BEAF 略有不同，使其更加“简单”。

定义

“简单”数阵

线性和多维数阵

• 规则 1. 若有一或两个元素，则有 $\{a\}=a,\{a,b\}=a^b$
• 规则 2. 若最后一个元素为 1，则可将其去掉：$\{\mathrm{\#}1\}=\{\mathrm{\#}\}$
• 规则 3. 若第二个元素为 1，则该数阵的值即为第一个元素：$\{a,1\mathrm{\#}\}=a$
• 规则 4. 若第三个元素为 1：

$\{a,b,1,1,\cdots ,1,1,c\mathrm{\#}\}=\{a,a,a,a,\cdots ,a,\{a,b-1,1,1,\cdots ,1,1,c\mathrm{\#}\},c-1\mathrm{\#}\}$

• 规则 5. 其他情况：

$\{a,b,c\mathrm{\#}\}=\{a,\{a,b-1,c\mathrm{\#}\},c-1\mathrm{\#}\}$

对于多维数阵，Bird 使用 $a⟨c⟩b$，它与 BEAF 的 $b^c\mathrm{\&}a$ 等价。这些字符串写在引号内，且有其特定的规则：

• 规则 A1. 若 $c=0$，则有 $a⟨0⟩b=a$
• 规则 A2. 若 $b=1$，则有 $a⟨c⟩1=a$
• 规则 A3. 其他情况，$a⟨c⟩b=a⟨c-1⟩b[c]a⟨c⟩(b-1)$

主要规则如下：

• 规则 M1. 若只有两个元素，则 $\{a,b\}=a^b$
• 规则 M2. 若 $m<n$，则有 $\{\mathrm{\#}[m]1[n]\mathrm{\#}*\}=\{\mathrm{\#}[n]\mathrm{\#}*\}$（另外，$\{\mathrm{\#}[a]1\}=\{\mathrm{\#}\}$）
• 规则 M3. 若第二个元素为 1，则有 $\{a,1\mathrm{\#}\}=a$
• 规则 M4. 若 $m_1\ge 2$ 且 $m_1\ge \cdots \ge m_x$，则有

$\{a,b[m_1]1[m_2]\cdots 1[m_x]c\mathrm{\#}\}=\{a⟨m_1-1⟩b[m_1]a⟨m_2-1⟩b[m_2]\cdots a⟨m_x-1⟩b[m_x](c-1)\mathrm{\#}\}$

• 规则 M5. 若 $m_1\ge \cdots \ge m_x\ge 2$，则有

$\{a,b[m_1]1[m_2]\cdots 1[m_x]1,c\mathrm{\#}\}=\{a⟨m_1-1⟩b[m_1]a⟨m_2-1⟩b[m_2]\cdots a⟨m_x-1⟩b[m_x]\{a,b-1[m_1]1[m_2]\cdots 1[m_x]1,c\mathrm{\#}\},c-1\mathrm{\#}\}$

• 规则 M6. 若规则 M1-M5 均不适用，则 $\{a,b,c\mathrm{\#}\}=\{a,\{a,b-1,c\mathrm{\#}\},c-1\mathrm{\#}\}$

Bird 使用 $[m]$ 作为维度分隔符；在 BEAF 中，它相当于一个 $(m-1)$。

超维及嵌套数阵

接下来，括号分隔符变为数阵（如 $[1,1,2]$）。除将 $[m_n]$ 替换为 $[m_n\mathrm{\#}]$ 外，规则 M1 至 M6 保持不变。

尖括号规则需要一些修改。规则 A3 变为 A4，并新增规则 A3：

• 规则 A3. 若尖括号中的第一个元素为零，且其后存在非零元素：

$a⟨0,1,1,\cdots ,1,1,c\mathrm{\#}⟩b=a⟨b,b,b,\cdots ,b,b,c-1\mathrm{\#}⟩b$

此规则在视觉上与规则 M4 相似。

下一步是允许在数阵内出现字符串，从而定义嵌套数阵表示法。规则 A3 变为 A4，规则 A4 变为 A5。然后我们新增一条 A3 规则并对 A4 进行推广：

• 规则 A3. 若 $[A]<[B]$，则有 $a⟨\mathrm{\#}[A]1[B]{\mathrm{\#}}^{*}⟩b=a⟨\mathrm{\#}[B]{\mathrm{\#}}^{*}⟩b$
• 规则 A4. 若尖括号中的第一个元素为零，且其后存在非零元素：

$a⟨0[x_1{\mathrm{\#}}_1]1[x_2{\mathrm{\#}}_2]\cdots 1[x_n{\mathrm{\#}}_n]c\mathrm{\#}⟩b=a⟨b⟨x_1-1{\mathrm{\#}}_1⟩b[x_1{\mathrm{\#}}_1]b⟨x_2-1{\mathrm{\#}}_2⟩b[x_2{\mathrm{\#}}_2]\cdots b⟨x_n-1{\mathrm{\#}}_n⟩b[x_n{\mathrm{\#}}_n]c-1\mathrm{\#}⟩b$

A_n 和 B 为数阵，且除第一个元素减一外，A_i-1 与 A_i 完全相同。

两个分隔符的排序算法

对于规则 A3 和 M2，确定哪个分隔符的层级更高十分重要。首先，将相互嵌套的数阵数量定义为数阵的嵌套层级。我们可以用 Lev(A) 表示。例如，若 A = {3,3[1[1[2]2]2]2}，则 Lev(A) = 3，因为 [2] 嵌套在 [1[2]2] 中，而[1[2]2]又嵌套在 [1[1[2]2]2] 中，最后 [1[1[2]2]2] 嵌套在主数阵中。非正式地说，Lev(A) 是我们需要说“嵌套”的次数，才能从最内层数阵说到主数阵。另一个函数 Num(H,A) 定义为数阵 A 中分隔符 [H] 的数量，例如，若 A = {3,3[1[2]1[2]1[2]2]2}，则 Num(2,A) = 3。

假设我们想要确定哪个分隔符的层级更高，[A] 还是 [B]。正式描述如下：

1. 为进一步说明，设 [A₁]=[A]，[A₂]=[A₁]，[B₁]=[B]，[B₂]=[B₁]。
2. 若 Lev(A)>Lev(B)，则得出 [A]>[B]；若 Lev(A)<Lev(B)，则 [A]<[B]。若 Lev(A)=Lev(B)>0，则进入步骤 3，否则进入步骤 6。
3. 设 [A^*] 和 [B^*] 分别为数阵 A₂ 和 B₂ 中的最高层级分隔符。若 [A^*]>[B^*]，则 [A]>[B]；若 [A^*]<[B^*]，则 [A]<[B]；否则取 [H]=[A^*]=[B^*] 并进入步骤 4。
4. 若 Num(H,A₂)>Num(H,B₂)，则 [A]>[B]；若 Num(A)>Num(B)，若 Num(H,A₂)<Num(H,B₂)，则 [A]<[B]；否则进入步骤 5。
5. 在字符串 A₂ 和 B₂ 中，删除 [H] 分隔符并移除其之前的所有元素。
6. 根据上述所有规则，字符串 A₂ 和 B₂ 必须为 [a] 和 [b] 的形式，其中 a 和 b 为单个数字。因此，若 a<b，则 [A]<[B]；若 a>b，则 [A]>[B]；否则进入步骤 7。
7. 在字符串 A₁ 和 B₁ 中删除最后一个元素及其前的分隔符。若 A₁ 和 B₁ 为空，则得出 [A]=[B]；否则返回步骤 2。

超嵌套数阵：反斜杠数阵

为了突破嵌套数组表示法（Nested Array Notation）的局限，Bird 定义了一个特殊分隔符 [1\c]，具体定义如下：

• $\{a,b[1\mathrm{\setminus }c\mathrm{\#}]2\}=\{a⟨0\mathrm{\setminus }c\mathrm{\#}⟩b\}=\{a⟨b⟨b⟨b⟨\cdots b⟨b\mathrm{\setminus }c-1\mathrm{\#}⟩b\mathrm{\setminus }c-1\mathrm{\#}\cdots ⟩b\mathrm{\setminus }c-1\mathrm{\#}⟩b\mathrm{\setminus }c-1\mathrm{\#}⟩b\mathrm{\setminus }c-1\mathrm{\#}⟩b\}$（从中心向右有 b 个 b）
• $\{a,b[A\mathrm{\setminus }1]2\}=\{a,b[A]2\}$（若 A 为任意数阵）

这种表示法使我们能够构造出在反斜杠前带有数组的表达式，如 [1[2]2\2] 或 [1[1\2]2\2]。若将反斜杠置于基础层级（即不至少用一对方括号括起来），如{3,3\2}，则属于非法形式。

Bird 进一步扩展了该表示法，使其不仅能处理单一反斜杠的数组，还能处理包含多个反斜杠甚至反斜杠数组的情况。他用 [A]\ 来表示反斜杠周围的数阵 A。处理反斜杠数组时，有 3 条新规则：

• 规则 B1. 反斜杠维度层级为 0 或 1：
  • $a⟨0⟩\mathrm{\setminus }b=a$
  • $a⟨1⟩\mathrm{\setminus }b=a\mathrm{\setminus }a\mathrm{\setminus }\cdots \mathrm{\setminus }a\mathrm{\setminus }a$（b 个 a）
• 规则 B2. 反斜杠尖括号中的首项不为 0：

$a⟨c\mathrm{\#}⟩\mathrm{\setminus }b=a⟨c-1\mathrm{\#}⟩\mathrm{\setminus }b[c\mathrm{\#}]\mathrm{\setminus }a⟨c-1\mathrm{\#}⟩b\cdots [c\mathrm{\#}]\mathrm{\setminus }a⟨c-1\mathrm{\#}⟩b$（b 个 $a⟨c-1\mathrm{\#}⟩b$）

• 规则 B3. 首个非零项位于单个反斜杠之前：
  • $a⟨0[A_1]\mathrm{\setminus }1[A_2]\mathrm{\setminus }\cdots 1[A_n]\mathrm{\setminus }1\mathrm{\setminus }c\mathrm{\#}⟩b=a⟨b⟨{A_1}^{\prime }⟩\mathrm{\setminus }b[A_1]\mathrm{\setminus }b⟨{A_2}^{\prime }⟩\mathrm{\setminus }b[A_2]\mathrm{\setminus }\cdots b⟨{A_n}^{\prime }⟩\mathrm{\setminus }b[A_n]\mathrm{\setminus }{R}_b\mathrm{\setminus }c-1\mathrm{\#}⟩b$
  • $R_n=b⟨b⟨{A_1}^{\prime }⟩b[A_1]\mathrm{\setminus }b⟨{A_2}^{\prime }⟩b[A_2]\mathrm{\setminus }\cdots b⟨{A_n}^{\prime }⟩\mathrm{\setminus }b[A_n]\mathrm{\setminus }{R}_{n-1}\mathrm{\setminus }c-1\mathrm{\#}⟩b$
  • $R_1=0$
• 规则 B4. 其他情况：

$a⟨0[A_1]\mathrm{\setminus }1[A_2]\mathrm{\setminus }\cdots 1[A_m]\mathrm{\setminus }1[B_1]1[B_2]\cdots 1[B_n]c\mathrm{\#}⟩b=a⟨b⟨{A_1}^{\prime }⟩\mathrm{\setminus }b[A_1]\mathrm{\setminus }b⟨{A_2}^{\prime }⟩\mathrm{\setminus }[A_2]\mathrm{\setminus }\cdots b⟨{A_n}^{\prime }⟩\mathrm{\setminus }[A_n]\mathrm{\setminus }b⟨{B_1}^{\prime }⟩b[B_1]b⟨{B_2}^{\prime }⟩b[B_2]\cdots b⟨{B_n}^{\prime }⟩b[B_n]c-1\mathrm{\#}⟩b$

嵌套超嵌套数阵

2-超分离器

目前，我们需要一种分隔符，其能力要强于嵌套反斜杠数阵的任何嵌套层级。在 Bird 的文章 Beyond Bird's Nested Arrays I 的结尾部分，Bird 提议使用正斜杠作为分隔符，具体如下：

$\{a,b[1/2]2\}=\{a⟨0/2⟩b\}=\{a⟨b⟨b⟨b\cdots b⟨b⟩\mathrm{\setminus }b\cdots b⟩\mathrm{\setminus }b⟩\mathrm{\setminus }b⟩b\}$（从中心向右有 b 个 b，则会导致添加 b-2 个反斜杠）

接下来，Bird 指出，分隔符 [A]\（即反斜杠数阵 A）可以重写为 $[A\mathrm{\neg }2]$，这使我们能够将正斜杠重写为 $[1\mathrm{\neg }3]$。然而，为了进一步的目的，以下述方式定义 $[1\mathrm{\neg }3]$ 会更有用：

$\{a,b[1[1\mathrm{\neg }3]2]2\}=\{a⟨0[1\mathrm{\neg }3]2⟩b\}=\{a⟨b⟨b⟨b\cdots b⟨b⟩\mathrm{\setminus }b⟩\mathrm{\setminus }b\cdots b⟩\mathrm{\setminus }b⟩\mathrm{\setminus }b⟩b\}$（从中心向右有 b+1 个 b，则会导致添加 b-1 个反斜杠）

然后，我们可以像处理反斜杠和 $[1A\mathrm{\neg }3]$ 那样，以相同的方式围绕 $[1\mathrm{\neg }3]$ 构建数组 $[A\mathrm{\neg }3]$。注意，反斜杠是 $[1\mathrm{\neg }2]$ 分隔符。

因此，我们可以创建嵌套数组，在它后添加 $\mathrm{\neg }3$，而所有这些的极限将是 $[1\mathrm{\neg }4]$。要看出一般模式并定义 $[1\mathrm{\neg }n]$ 分隔符并不难：

$\{a,b[1[1\mathrm{\neg }n]2]2\}=\{a⟨0[1\mathrm{\neg }n]2⟩b\}=\{a⟨b⟨b⟨b\cdots b⟨b\mathrm{\neg }n-1⟩b\mathrm{\neg }n-1⟩b\cdots b\mathrm{\neg }n-1⟩b\mathrm{\neg }n-1⟩b⟩b\}$（从中心向右有 b+1 个 b，$\mathrm{\neg }n-1$ 出现 b-1 次）

一般来说，我们需要定义一套规则，以便能够处理 $[A\mathrm{\neg }n]$。我们无需重写主要规则（Main Rules），因为从嵌套数组表示法开始，这些规则将保持不变。只有尖括号规则（Angle Bracket Rules）会发生变化。

• 规则 A1. 尖括号内的数字为 0：$a⟨0⟩b=a$
• 规则 A2. b=1：$a⟨A⟩1=a$
• 规则 A3. [A]<[B]：$a⟨\mathrm{\#}[A]1[B]\mathrm{\#}⟩b=a⟨\mathrm{\#}[B]\mathrm{\#}⟩b$
• 规则 A4. 首项为 0，且在普通分隔符（非 $[1\mathrm{\neg }n]$ 形式，其中 n>1）后紧跟着 c：

$a⟨0[A_1]1[A_2]\cdots 1[A_m]c\mathrm{\#}⟩b=a⟨b⟨A_1-1⟩b[A_1]b⟨A_2-1⟩b[A_2]\cdots b⟨A_m-1⟩b[A_m]c-1\mathrm{\#}⟩b$

• 规则 A5. 首项为0，且在反斜杠后紧跟着 c：
  • $a⟨0[A_1]1[A_2]\cdots 1[A_m]1\mathrm{\setminus }c\mathrm{\#}⟩b=a⟨b⟨A_1-1⟩b[A_1]b⟨A_2-1⟩b[A_2]\cdots b⟨A_m-1⟩b[A_m]b⟨R_b⟩b\mathrm{\setminus }c-1\mathrm{\#}⟩b$
  • $R_n=b⟨A_1-1⟩b[A_1]b⟨A_2-1⟩b[A_2]\cdots b⟨A_m-1⟩b[A_m]b⟨R_{n-1}⟩b\mathrm{\setminus }c-1\mathrm{\#}⟩b$（n>1）
  • $R_1=0$
• 规则 A6. 首项为 0，且在 $[1\mathrm{\neg }n]$ 后紧跟着 c（n>2）：
  • $a⟨0[A_1]1[A_2]\cdots 1[A_m]1[1\mathrm{\neg }n]c\mathrm{\#}⟩b=a⟨b⟨A_1-1⟩b[A_1]b⟨A_2-1⟩b[A_2]\cdots b⟨A_m-1⟩b[A_m]b⟨R⟩b[1\mathrm{\neg }n]c-1\mathrm{\#}⟩b$
  • $R=b⟨A_1-1⟩b[A_1]b⟨A_2-1⟩b[A_2]\cdots b⟨A_m-1⟩b[A_m]R_b[1\mathrm{\neg }n]c-1\mathrm{\#}⟩b$
  • $R_n=b⟨A_1-1⟩b[A_1]b⟨A_2-1⟩b[A_2]\cdots b⟨A_m-1⟩b[A_m]b⟨R_{b-1}⟩b[1\mathrm{\neg }n]c-1\mathrm{\#}\mathrm{\neg }n-1⟩b$
  • $R_1=0$
• 规则 A7. 若规则 A1-A6 均不适用，则 $a⟨c\mathrm{\#}⟩b=a⟨c-1\mathrm{\#}⟩b[c\mathrm{\#}]a⟨c\mathrm{\#}⟩b-1$

2 超分隔符数组

我们定义 $a⟨0[1\mathrm{\neg }1,2]2⟩b=a⟨b[b\mathrm{\neg }b]b⟩b$。

• 规则 A1. 基础规则：
  • $a⟨0⟩b=a$
  • $a⟨0\mathrm{\neg }\mathrm{\#}⟩b=a$
• 规则 A2. b=1：$a⟨A⟩1=a$
• 规则 A3. 移除尾随的 1 和更低的分隔符：
  • $a⟨\mathrm{\#}1⟩b=a⟨\mathrm{\#}⟩b$
  • $a⟨\mathrm{\#}[A]1[B]{\mathrm{\#}}^{*}⟩b=a⟨\mathrm{\#}[B]{\mathrm{\#}}^{*}⟩b$（当 [A]<[B]）