Y序列

Y序列，一般指1-Y，一种Worm型序数记号。

定义

合法表达式

一个合法的 1-Y 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

$(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) (n, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in ℕ, a_{1} = 1)$

的序列。

例如： $(1, 4, 6, 4)$ 和 $(1, 1, 4, 5, 1, 4)$ 都是合法的 1-Y 表达式，而 $(1, 2, π)$ 不是。

结构

1-Y的合法表达式可分为零表达式、后继表达式和极限表达式。

零表达式指 $n = 0$ 的表达式，即空序列；
后继表达式指 $n > 0, a_{n} = 1$ 的表达式，即末项为1的非空序列；
极限表达式指 $n > 0, a_{n} > 1$ 的表达式，末项不为1的非空序列。

对于 1-Y 的一个极限表达式 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，定义以下术语：

行标与列标

设想我们在一个无限大的矩阵下工作，从左往右是第1,2,...列，从下往上是第0,1,...行。与0-Y不同的是：

行标现在可以是一个超限序数，例如第 $ω$ 行。
一些项现在可以不赋予任何数作为取值，这些项称为空项，记作 $\emptyset$ 。

第 $α$ 行第 $j$ 列的项记为 $x_{α, j}$ 。

初始时，我们有 $x_{0, j} = a_{j}$ ， $1 \leq j \leq n$ 。

后继序数行的父项 & 阶差项

对于后继序数 $α + 1$ 和非空项 $x_{α + 1, j}$ ，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧非空项 $x_{α + 1, k}$ ：

$k < j$ 且 $x_{α + 1, k} < x_{α + 1, j}$ 。
$x_{α, k}$ 是 $x_{α, j}$ 的祖先项。

这里“祖先项”的定义类似于BMS：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项......共同构成它的祖先项。

对于第0行的项 $x_{0, j}$ ，它的父项是与它位于同一行，且同时满足 $k < j$ 和 $x_{0, k} < x_{0, j}$ 的最右侧项 $x_{0, k}$ 。

如果满足上述条件的项不存在，那么 $x_{α + 1, j}$ (或者 $x_{0, j}$ )的父项不存在。特别地，等于1的项的父项不存在。

对于任何序数 $α$ ，项 $x_{α, j}$ ：

如果它有父项 $x_{α, k}$ ，则它的阶差项为 $x_{α + 1, j} = x_{α, j} - x_{α, k}$ 。
如果它没有父项，或者为空项，它的阶差项为 $x_{α, j} = \emptyset$ 。

由于第 $α$ 行的项的阶差项构成了第 $α + 1$ 行，称第 $α + 1$ 行的序列是第 $α$ 行的序列的阶差序列。

极限序数行的父项 & 提取

上述定义只给出了后继序数行的项的取值和父项关系。接下来给出极限序数的情形：

设极限序数 $α = β + ω < ω^{2}$ ， $β$ 为极限序数。则定义项 $x_{α, j}$ 如下：

取出最大的非负整数 $p$ 使得 $x_{β + p, j}$ 不为空项，则 $x_{α, j} = x_{β + p, j}$ 。这些项 $x_{β + p, j}$ 称为主项。

对大于1的项 $x_{α, j}$ 定义如下概念：

设 $x_{α, j} = x_{β + p, j}$ ，令 $a = j$ 。
设 $x_{β + p - 1, a}$ 的父项为 $x_{β + p - 1, k}$ 。如果 $x_{β + p - 1, k}$ 是主项，或者 $x_{β + p, k}$ 是主项，称 $x_{α, k}$ 是 $x_{α, j}$ 的拟父项。
否则令 $a = k$ 并回到第2步，直到找到某个主项，设其列标是 $l$ ，称 $x_{α, l}$ 是 $x_{α, j}$ 的拟父项。

对于极限序数 $α$ 和大于1的项 $x_{α, j}$ ，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧项 $x_{α, k}$ ：

$k < j$ 且 $x_{α, k} < x_{α, j}$ 。
$x_{α, k}$ 是 $x_{α, j}$ 的拟祖先项。

这里“拟祖先项”的定义是：一个元素自己，以及它的拟父项、拟父项的拟父项......共同构成它的拟祖先项。

如果满足上述条件的项不存在，那么 $x_{α, j}$ 的父项不存在。另外，等于1的项的父项不存在。

以上定义项 $x_{α, j}$ 时，将所有位于 $β$ 到 $β + ω$ 之间的行中每一列的最上方非空项取了出来，并“提”到了 $α = β + ω$ 行(还保留了其下的一些父项关系)，这就是提取(Extraction)的含义。

注：此处的“主项”，“拟父项/拟祖先项”是编者引入的等价的临时定义。在主流的定义与教程中，通常使用山脉图(见下文)定义此部分内容。

末列与坏根

第 $n$ 列称为末列。

对于末列的某一项 $x_{α, n}$ ，它的父项设为 $x_{α, r}$ 。如果在计算到某行(第 $γ$ 行)时有 $x_{γ, n} - x_{γ, r} = 1$ ，则称 $a_{r}$ 为坏根，称第 $r$ 列为根列。

以上给出了 1-Y 极限表达式 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 的完整寻找坏根流程。

山脉图

要描述1-Y的展开规则或者直观理解部分定义，需要用到山脉图的辅助。

1-Y的山脉图作图难度略高于0-Y。对于 1-Y 的一个极限表达式 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，它的山脉图的画法如下：

先按照寻找坏根的规则逐行向上求出各项，直到某次提取的所有主项全为1，不进行这次提取。

接下来，对于第后继序数 $α + 1$ 行，进行如下操作：

取出所有非空项 $x_{α + 1, j}$ 。对于每个 $x_{α, j}$ ，用竖直线段连接 $x_{α + 1, j}$ 的下端与 $x_{α, j}$ 的上端。这些竖直线段称为右腿， $x_{i, j}$ 称为它的端点。

设 $x_{α, j}$ 有父项 $x_{α, k}$ ，用斜线段连接 $x_{α + 1, j}$ 的下端与 $x_{α, k}$ 的上端。这些斜线段称为左腿， $x_{α, k}$ 称为它的端点。

接下来，对于第极限序数 $α = β + ω$ 行，进行如下操作：

用虚线分别连接所有项 $x_{α, j}$ 的下端，和它们对应的主项 $x_{β + p, j}$ 的上端。

对所有行各执行一次上述操作，就得到了 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 的山脉图。

注意：有些情况下，山脉图只包含一行，即第0行。

(待补充附有配图的1-Y山脉图绘制例子,以及绘制1-Y山脉图的网站(有吗),以及极限序数行父项关系的直观理解)

展开

1-Y的展开难度远高于0-Y。

(好吧我不会写了,等待更新)

枚举

(开摆!)

n-Y序列

通过某种方式，我们可以把1-Y前面的参数1扩展到任意大的自然数 $n$ 。详细信息请参考ω-Y页面。