Levy 层次结构

我们将ZFC集合论所讨论的一阶公式进行以下的分层

Δ0/Π0/∑0公式：一个拥有的量词唯一且是有界的公式

∑n+1公式：可以写成∃xφ的形式，当φ为Πn公式（可以推广到任意有限多个∃x）

Πn+1公式：可以写成∀xφ的形式，当φ是∑n公式（可以推广到任意有限多个∀x）

我们说一个性质（类，关系）是Πn/∑n的，当且仅当它可以被表示成一个Πn/∑n公式

一个函数F是∑n/Πn的当且仅当关系y=F（x）是∑n/Πn的

一个公式是Δn的当且仅当它即是Πn又是∑n

引理：当n≥1

1.如果P，Q是∑n性质，则∃xP，P∧Q，P∨Q，（∃u∈x）P，（∀u∈x）P都是∑n的

2.如果P，Q是Πn性质，则∀xP，P∧Q，P∨Q，（∃u∈x）P，（∀u∈x）P都是Πn的

3.如果P是∑n的，那么P的反命题是Πn的，如果P是Πn的，P的反命题是∑n的

4.如果P是Πn且Q是∑n公式，则P→Q是∑n公式，P为∑n且Q为Πn的情况下，P→Q是Πn公式

5.如果PQ都是Δn的，那么P的反，P∧Q，P∨Q，P→Q，P⇔Q，（∀u∈x）P，（∃u∈x）P也都是Δn

6.如果F是一个∑n函数，则F的定义域是一个∑n类

7.如果F是一个∑n函数且F的定义域是Δn的，F也是Δn的

8.如果F，G都是∑n函数，它们的复合函数也是∑n函数

9.让F是∑n函数且P是∑n性质，则P（F（x））是∑n的

对于传递模型，Δ0和Δ1公式具有绝对性，这是再说，任一Δ0或Δ1公式在不同的传递模型之间的真值是等同的

我们接着定义∑n初等嵌入

我们说一个模型（M，∈）∑n初等嵌入于模型（N，∈），当且仅当，M⊂N且M和N满足同样的∑n公式