BEAF

Bowers' Exploding Array Function(BEAF，鲍尔斯爆炸数阵函数)是由乔纳森·鲍尔斯(Jonathan Bowers)发明的一种表示大数的记号。

定义

BEAF的定义包含以下几部分：数阵记号(Array Notation)，扩展数阵记号(Extended Array Notation)，以及尚未严格良定义的超指数数阵记号(Tetrational Array Notation)及其之后的部分。

数阵记号

一个数阵为如下形式，由若干个项组成：

${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$

我们定义以下概念：

$a_{1}$ 为底数，记为 $b$ 。
$a_{2}$ 为指数，记为 $p$ 。
指数右侧第一个非1的数称为驾驶员，驾驶员左侧的第一个项为副驾驶，左侧的其余项为乘客。

对于数阵 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ ，其展开规则如下：

如果驾驶员不存在，数阵的值为 $b^{p}$ 。
如果指数为1，数阵的值为 $b$ 。
如果 $a_{n} = 1$ ， $n > 2$ ，数阵的值为 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}}$ 。
如果以上两条规则都不成立，按照下述规则展开：
1. 复制一个这个数阵的副本，并将副本中指数的值减1。
2. 将原本数阵的驾驶员减1，全体乘客替换为底数 $b$ 。
3. 将副驾驶换为之前得到的数阵副本。

例如， ${4, 8, 1, 3}$ 的驾驶员为3，副驾驶为1，于是首先得到副本 ${4, 7, 1, 3}$ ，然后原数阵驾驶员减1，替换乘客得到 ${4, 4, 1, 2}$ ，最后得到最终展开为 ${4, 4, {4, 7, 1, 3}, 2}$ 。

扩展数阵记号

一个扩展数阵为如下形式，由若干个项和若干个分隔符 $(x_{i})$ 组成：

${a_{01}, a_{02}, \dots, a_{0 m_{0}} (x_{1}) a_{11}, \dots, a_{1 m_{1}} (x_{2}) \dots (x_{3}) \dots (x_{n}) a_{n 1}, a_{n 2}, \dots, a_{n m_{n}}}$

我们定义以下概念：

$a_{01}$ 为底数，记为 $b$ 。
$a_{02}$ 为指数，记为 $p$ 。
指数右侧第一个非1的数称为驾驶员。
驾驶员左侧如果不是分隔符，称其左侧的第一个项为副驾驶。

定义 $&$ 符号如下，它生成扩展数阵中的项和分隔符：

$1 &^{n} a = a$ ，

$b & a = a, (b - 1) & a$ ，

$b &^{k + 1} a = b &^{k} a (k) (b - 1) &^{k + 1} a$ 。

注：在大部分版本中， $&$ 的指标写在左上侧。此处写在右上侧是为了避免与 $b^{k}$ 混淆。

注：有的地方认为形如 $b & a$ 的表达式直接表达了一个(扩展)数阵 ${a, a, \dots, a}$ ，实际上这是错误的。

对于扩展数阵 ${a_{01}, a_{02}, \dots, a_{0 m_{0}} (x_{1}) a_{11}, \dots, a_{1 m_{1}} (x_{2}) \dots (x_{3}) \dots (x_{n}) a_{n 1}, a_{n 2}, \dots, a_{n m_{n}}}$ ，其展开规则如下：

如果扩展数阵只有 $a_{01}, a_{02}$ 两项，扩展数阵的值为 $b^{p}$ 。
如果指数为1，扩展数阵的值为 $b$ 。
如果某个 $a_{k m_{k}} = 1$ ，扩展数阵的值相当于删掉 $a_{k m_{k}}$ 后得到的扩展数阵的值。
如果某个 $m_{k} = 0$ ，而且 $k = n$ 或 $x_{k} < x_{k + 1}$ ，那么扩展数阵的值相当于删掉 $(x_{k})$ 后得到的扩展数阵的值。
如果扩展数阵中没有分隔符，按数阵记号的规则展开。
如果以上规则均不适用：此时扩展数阵形如{a,b(x1)(x2)(x3)⋯(xn)b1,b2,⋯,bt#}，满足x1≥x2≥⋯≥xn，b1=b2=⋯=bt−1=1。
1. 如果 $t = 1$ ，其展开为 ${b &^{x_{1}} a (x_{1}) b &^{x_{2}} a (x_{2}) b &^{x_{3}} a (x_{3}) \dots b &^{x_{n}} a (x_{n}) b_{1} - 1 #}$ 。
2. 如果 $t > 1$ ，其展开为 ${b &^{x_{1}} a (x_{1}) b &^{x_{2}} a (x_{2}) b &^{x_{3}} a (x_{3}) \dots b &^{x_{n}} a (x_{n}) a, a, \dots, a, {a, b - 1 (x_{1}) (x_{2}) (x_{3}) \dots (x_{n}) b_{1}, b_{2}, \dots, b_{t} #}, b_{t} - 1 #}$ 。

类似于数阵记号，“乘客”的定义可以如下理解：

分隔符 $(k)$ 给出了一个尺寸为 $p^{k}$ 的“块”(类似于 $&$ 符号的结构)，“乘客”则是驾驶员左侧的所有这样的块(不完整的用1补齐)去掉副驾驶员。于是上述展开规则5.和6.可以写为：

复制一个这个扩展数阵的副本，并将副本中指数的值减1。
将原本扩展数阵的驾驶员减1，全体乘客替换为底数。
如果副驾驶存在，将副驾驶换为之前得到的扩展数阵副本。

据此，可以认为扩展数阵记号是数阵记号的扩展。

超指数数阵记号

在扩展数阵记号中，我们用分隔符 $(k)$ 表示了一个尺寸为 $p^{k}$ 的“块”，且其结构也类似于“长度”为 $p$ 的 $k$ 维区域。

于是，设想用 $(0, 1)$ 来表示尺寸为 $p^{p}$ 的块，使得 ${a, b (0, 1) 2} = {a, b (b) 2}$ 。

进一步地，可以设想用 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 来表示尺寸为 $p^{a_{1} + a_{2} p + \dots + a_{n} p^{n}}$ 的块，这一系列 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 又有类似于数阵的结构，于是引入 $((1) 1)$ 来表示尺寸为 $p^{p^{p}}$ 的块，以此类推，最终可以得到 $(\dots (0, 1) \dots)$ ，括号的层数与 $p$ 有关，来表示尺寸为 $p ↑ ↑ p$ 级别的块。

然而，目前尚未有严谨的，描述高阶括号展开规则的定义。不过我们已经知道，它的理想强度达到了FGH $ε_{0}$ 的级别。