商集：修订间差异

2025年7月7日 (一) 22:38的最新版本

一个集合 $X$ 关于一个在其上的等价关系 $\sim$ 的商集定义如下：

首先，定义 $X$ 上关于一个元素 $x$ 和一个等价关系 $\sim$ 的等价类

$[x] = {y \in X ∣ y \sim x}$

那么 $X$ 关于 $\sim$ 的商集就是

$X / \sim = {[x] ∣ x \in X}$

也称这个集合是对 $X$ 的一种划分。

等价的，一种对 $X$ 的划分也定义了 $X$ 上的一个等价关系。

注意到， $X$ 的划分中作为元素的各个等价类是“无交的”，即对于任意 $x, y \in X / \sim$ 且 $x \neq y$ ，有 $x \cap y = \emptyset$ 。

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-一个集合X关于一个在其上的等价关系=的商集被以以下的形式定义
+一个集合 <math>X</math> 关于一个在其上的等价关系 <math>\sim</math> 的商集定义如下：
-首先，定义X上关于一个元素x和一个等价关系= 的等价类
+首先，定义 <math>X</math> 上关于一个元素 <math>x</math> 和一个等价关系 <math>\sim</math> 的等价类
-[x]={y∈X：y=x}
+<math>[x]=\{y\in X\mid y\sim x\}</math>
-那么X关于=的商集就是
+那么 <math>X</math> 关于 <math>\sim</math> 的商集就是
-X/= ={[x]：x∈X}
+<math>X/\sim=\{[x]\mid x\in X\}</math>
-也称这个集合是对X的一种划分
+也称这个集合是对 <math>X</math> 的一种划分。
-等价的，一种对X的划分也定义了X上的一个等价关系
+等价的，一种对 <math>X</math> 的划分也定义了 <math>X</math> 上的一个等价关系。
+注意到，<math>X</math> 的划分中作为元素的各个等价类是“无交的”，即对于任意 <math>x,y\in X/\sim</math> 且 <math>x\neq y</math>，有 <math>x\cap y=\varnothing</math>。
-注意到，X的划分中作为元素的各个等价类是“无交的”，即对于任意x，y∈X/=，x∩Y=空集
 [[分类:集合论相关]]