增长层级

增长层级(Growing Hierarchy,GH)是一种函数族$f:\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{\to }\mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\to }\mathbb{\mathbb{N}}$，对于每个序数$\alpha$，$f_{\alpha }$是一个从自然数到自然数的函数。

不同增长率的函数能和它们建立起大致的对应关系。因此，增长层级常被用于分析函数的增长率。

常用的增长层级有4种，分别为FGH、MGH、HH和SGH。其中最常用的是FGH。

在大数数学中的应用

我们知道，大数数学的目的是造出越来越巨大的自然数。为了这个目标，我们需要构造出增长的越来越快的大数函数。实际上，我们有以下两种办法来做到这件事情，即迭代和对角化：

• 迭代，即对于已有函数$\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}$,我们构造出函数$\mathrm{g}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}$增长速度快于f(x).注意到迭代的方法显然不止一种。比方说，让$\mathrm{g}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{\cdots }\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{\cdots }\mathrm{)}\mathrm{)}\mathrm{)},\mathrm{x}$层。这是一种迭代方法。还可以让$\mathrm{g}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{)}$等等.
• 对角化，即对于已有的ω个增长速度递增的函数，我们按照增长速度由小到大排序为${\mathrm{f}}_{\mathrm{1}}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)},{\mathrm{f}}_{\mathrm{2}}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)},{\mathrm{f}}_{\mathrm{3}}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)},\mathrm{\cdots }$,我们构造出函数$\mathrm{g}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{=}{\mathrm{f}}_{\mathrm{x}}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}$.注意到g(x)的增长速度快于任意的${\mathrm{f}}_{\mathrm{n}}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}$.

因此，我们只需要从一个最初的函数出发，通过不断地迭代和对角化，就可以得到越来越快的函数.

现在让我们考察序数，会发现，序数存在以下两个性质：

• 对任意序数α，α的后继依然是一个序数且大于α.
• 对ω个递增序数构成的序列S来说，存在一个β是序数且满足β是S的上确界（上界要求大于等于内部所有元素，上确界是最小上界）。或者说，这里的S是β的一条基本列.

因此，我们可以从0出发，通过不断地取后继和取上确界，我们可以得到越来越大的序数.

我们会发现，构造大数函数的方法和序数的性质之间存在某种意义的对应。那么，我们可不可以直接根据序数，生成大数函数呢？答案是可以的。我们需要完成以下三件事：

• 对序数0，它要和一个最基础的函数对应。
• 对一个后继序数α'(α的后继)，我们需要找到α，然后把α对应的函数进行迭代，所得到的新函数就是α'对应的函数。
• 对一个极限序数β，我们需要找到β的基本列，然后把基本列所有元素对应的函数进行对角化，得到的新函数就是β对应的函数。

但注意到这里还有一个问题：一个极限序数的基本列不止一种，那么，我们如何确定应该选取哪一条基本列呢？这个时候就需要序数记号出马了。序数记号为其极限之下的每个序数指定了唯一的标准基本列。

有了序数记号之后，我们就可以放心的运用对应关系，直接把序数转换成大数函数了。把序数转换成大数函数的工具就是增长层级。根据迭代的方法不同，增长层级也有很多种，包含FGH,HH,MGH,SGH等等。

不同增长层级的对比

MGH相比FGH，下标+1的方式仅由“嵌套n(自变量)层”变为“嵌套2层”。因此，MGH的下标每加一次$\omega$,就能将函数嵌套$2^n$层，实现略大于FGH中下标+1的作用。

对于使得$m_{\alpha }(n)=f_{\beta }(n)$的$\alpha$和$\beta$，我们有

$m_{\alpha +n(n\in \omega )}(x)<f_{\beta +1}(x)<m_{\alpha +\omega }(x)<f_{\beta +1}(2^x)$

因而MGH与FGH在${\omega }^{\omega }$处Catching。

HH为“下标+1则自变量+1”，显然有$H_{\alpha }(H_{\beta }(n))=H_{\alpha +\beta }(n)$。

于是当$H_{\alpha }(n)=f_{\beta }(n)$时，

$H_{\alpha +1}(n)=f_{\beta }(n+1)$，$H_{\alpha +\alpha }(n)=f_{\beta }(f_{\beta }(n))$，$H_{\alpha \times \omega }(n)=f_{\beta +1}(n)$

而$H_1(n)=f_0(n)=n+1$。于是我们又有以下推论：

相同基本列下，对于$\beta \le \alpha <{\epsilon }_0$，有$H_{{\omega }^{\alpha }}(n)=f_{\alpha }(n)$，$H_{{\omega }^{\alpha }+{\omega }^{\beta }}(n)=f_{\alpha }(f_{\beta }(n))$

因而HH与FGH在${\epsilon }_0$处Catching。

我们最后再来看SGH，其下标+1仅仅是“函数值+1”，因而SGH的增长十分依赖于序数自身的结构及基本列的选取，所以其增长地较为缓慢，且在较小尺度上和FGH没有明显的对应关系。

SGH与FGH在$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega })$处Catching。在这之后，直接分析记号的序数结构与分析增长率变得几乎没有区别。

对照表

以下是较为具体的对照表，黑色代表严格相等，绿色代表略小，红色代表略大。

\( \begin{array} {  c | c | c  } \rm FGH & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & \rm EXP & -\\ \hline  &  & H_0 & g_\omega & x\\ f_0 & m_0 & H_1 & g_{\omega +1} & x+1\\ f_0(f_0) & m_1 & H_2 & g_{\omega +2} & x+2\\ f_0^4 & m_2 & H_4 & g_{\omega +4} & x+4\\ f_0^8 & m_3 & H_8 & g_{\omega +8} & x+8\\ f_1 & \matrix{\underset{x+2^x}{\color{red}{ m_\omega}}} & H_\omega & g_{\omega \times 2} & 2x \\ f_1(f_0) & {\color{red}{ m_\omega}} & H_{\omega +1} & g_{\omega \times 2 +2} & 2x +2\\ f_1(f_0(f_0)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega +2} & g_{\omega \times 2 +4} & 2x +4\\ f_1(f_1) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 2} & g_{\omega \times 4} & 4x\\ f_1(f_1(f_0)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 2 +1} & g_{\omega \times 4 +4} & 4x +4\\ f_1(f_1(f_1)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 3} & g_{\omega \times 8} & 8x\\ f_2 & {\color{green} {m_\omega}} & H_{\omega ^2} & {\color{green}{ g_{\omega^2}\sim g_{\omega^n}}} & x\cdot 2^x\\ f_2(f_1) & {\color{green}{ m_\omega}} & H_{\omega ^2 +\omega} & {\color{green} {g_{\omega^2}\sim g_{\omega^n}}} & x\cdot 2^{2x+1}\\ f_2(f_2) & {\color{green} {m_{\omega +1}}} & H_{\omega ^2 \times 2} & {\color{green} {g_{\omega^\omega}\sim g_{\omega^{\omega^n}}}} & x\cdot 2^{x\cdot (2^x+1)}\\ f_3 & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 2}}}} & H_{\omega ^3} & \matrix{\underset{x\uparrow\uparrow x}{\color{green} {g_{\varepsilon_0}}  }} & >x\uparrow\uparrow x \\ f_3(f_1) & {\color{red} {m_{\omega \times 2}}} & H_{\omega ^3 +\omega} & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow 2x-1}{\color{green}{ g_{\varepsilon_1} }}} & >x\uparrow\uparrow 2x \\ f_3(f_2) & {\color{green} {m_{\omega \times 2}}} & H_{\omega ^3 +\omega ^2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_\omega} \sim g_{\varepsilon_{\omega^n} }}} & >x\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_3(f_3) & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 2 +1}}}} & H_{\omega ^3 \times 2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\varepsilon_0}} }} & >x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow x &{\rm tritri}=3\uparrow\uparrow\uparrow3\\ f_3(f_3(f_2)) & {\color{green} {m_{\omega \times 2 +1}}} & H_{\omega ^3 \times 2 +\omega^2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega }}\sim g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\omega^n} }} }} & >x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_3(f_3(f_3)) & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow\uparrow 5}{\color{red} {m_{\omega \times 2 +2}}}} & H_{\omega ^3 \times 3} & {\color{green}{ g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow 4 \\ f_4 & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 3}}}} & H_{\omega ^4} & {\color{green} {g_{\zeta_0}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x+1)\\ f_4(f_0) & {\color{red} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+1} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\zeta_0+1}} }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x+2) \\ f_4(f_1) & {\color{red} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega } & {\color{green}{ g_{\zeta_1}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow 2x \\ f_4(f_2) & {\color{green} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega^2 } & {\color{green} {g_{\zeta_\omega }\sim g_{\zeta_{\omega^n} } }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_4(f_3) & {\color{green}{ m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega^3 } & {\color{green} {g_{\zeta_{\varepsilon _0}} } } & >x\uparrow\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow x \\ f_4(f_4) & {\color{red} {m_{\omega \times 3+1}}} & H_{\omega ^4\times 2 } & {\color{green}{ g_{\zeta_{\zeta _0} } }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow\uparrow x \\ f_5 & {\color{red} {m_{\omega \times 4}}} & H_{\omega ^5 } & {\color{green} {g_{\eta _0} } } & >x\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow x & G(1)=3\uparrow^4 3\\ f_5(f_4) & {\color{green} {m_{\omega \times 4}}} & H_{\omega ^5 } & {\color{green} {g_{\eta_{\zeta _0}} } } & >x\uparrow^4 x\uparrow^3 x\\ f_5(f_5) & {\color{red}{ m_{\omega \times 4+1}}} & H_{\omega ^5\times 2 } & {\color{green} {g_{\eta_{\eta _0}}}  } & >x\uparrow^4 x\uparrow^4 x\\ f_6 & {\color{red}{ m_{\omega \times 5}}} & H_{\omega ^6 } & {\color{green} {g_{\varphi(4,0) }}  } & >x\uparrow^5 x\\ f_7 & {\color{red} {m_{\omega \times 6}}} & H_{\omega ^7 } & {\color{green} {g_{\varphi(5,0) }}  } & >x\uparrow^6 x\\ \matrix{\underset{n>2,n\in \mathbb{N} }{f_n}}  & {\color{red} {m_{\omega \times (n-1)}}} & H_{\omega ^n } & {\color{green}{ g_{\varphi(n-2,0) }}  } & >x\uparrow^{n-1} x\\ f_\omega  & \matrix{\underset{>x\uparrow^x x}{\color{red}{ m_{\omega^2}}}} & H_{\omega ^\omega  } & \matrix{\underset{>x\uparrow^x x}{\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }}} } & >x\uparrow^{x-1} x\\  \end{array} \)

得益于基本列，SGH终于红了一次。但他的$\phi$要开始猛进了。

\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH1 &\rm FGH2 & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & \rm EXP & -\\ \hline f_x &f_\omega & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x-1} x\\ f_x(f_x)&f_x(f_\omega) & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x-1} x\uparrow^{x-1} x\\ f_{x+1}(x+1)&f_\omega(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +1 } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x} x\\ f_{x+2}(x+2)&f_\omega(f_0(f_0)) & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x+1} x\\ f_{x+2}(f_{x+2})& & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & {\color{green}{H_{\omega ^\omega +2 }}} & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,\varphi(\omega ,0)) }} } & >x\uparrow^{x+1} x\uparrow^{x+1} x\\ f_{x+3}(x+3)&f_\omega(f_0^3) & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +3 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega+1 ,0) }} } & >x\uparrow^{x+2} x\\ f_{2x}(2x) &f_\omega(f_1) & \matrix{\underset{>x\uparrow^{x\uparrow^{x} x} x}{\color{red}{ m_{\omega^2+1}}}} & H_{\omega ^\omega +\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega \times 2 ,0) }} } & >x\uparrow^{2x-1} x\\ f_{2x+2}(2x+2)&f_\omega(f_1(f_0)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega +1 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega \times 2 ,0) }} } & >x\uparrow^{2x +1} x\\ f_{2x+4}(2x+4)&f_\omega(f_1(f_0(f_0))) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega +2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega \times 2 +2,0) }} } & >x\uparrow^{2x +3} x\\ f_{4x}(4x)&f_\omega(f_1(f_1)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega\times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega \times 4 ,0) }} } & >x\uparrow^{4x -1} x\\ f_{f_2}(f_2)&f_\omega(f_2) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ^2 ,0) }\sim g_{\varphi(\omega ^n ,0) }} } & >x\uparrow^{2^x} x\\ f_{f_3}(f_3)&f_\omega(f_3) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^3 } & {\color{green} {g_{\varphi(\varepsilon _0 ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow\uparrow x} x\\ f_{f_4}(f_4)&f_\omega(f_4) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^4 } & {\color{green} {g_{\varphi(\zeta _0 ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow\uparrow\uparrow x} x\\ f_{f_x}(f_x)&f_\omega(f_\omega ) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega \times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\omega ,0) ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow^{x-1} x} x & G(2)\\ f_{{f_{f_x}(f_x)}}(f_{f_x}(f_x)) &f_\omega(f_\omega(f_\omega ) ) & {\color{green}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega \times 3 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\varphi(\omega ,0) ,0) ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow^{x\uparrow^{x-1} x} x} x& G(3)\\ &f_{\omega+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0) }} } & >x\to x\to x\to 2 & \color{red}{G(x)}\\ \end{array} \)

对于$f_{\omega +1}$后的增长率，建议直接使用FGH分析。

\( \begin{array}  {  c | c | c  }  \rm FGH1 &\rm FGH2 & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & -\\  \hline  &f_{\omega+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0) }=g_{\psi (\Omega ^\Omega ) }} }  & \color{red}{G(x)}\\  f_{x+2}(f_{\omega+1})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega+1}}} } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,\varphi(1,0,0)+1) }} }   & \color{red}{G(x)}\\ f_{f_{x+2}}(f_{\omega+1})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega+1}}} } & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(\omega ,0) ,\varphi(1,0,0)+1) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{\omega }(f_{\omega+1})=f_{\omega }^{x+1}(x+1)&f_{\omega+1}(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +1} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(1,0,0),1) }} }& \color{green}{G(x)}\\ f_{\omega }^{x+2}(x+2)&f_{\omega+1}(f_0(f_0)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +2} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),1) }} }& \color{green}{G(x+1)}\\ f_{\omega }^{2x}(2x)&f_{\omega+1}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,1) }=g_{\psi (\Omega ^\Omega \times 2) }} }& \color{green}{G(2x-1)}\\ f_{\omega }^{x\cdot 2^x}(x\cdot 2^x)&f_{\omega+1}(f_2) & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega^2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\omega^2 )\sim \varphi(1,0,\omega^n )}} }& \\ f_{\omega }^{f_{\omega }}(f_{\omega })&f_{\omega+1}(f_\omega ) & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega^\omega} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(\omega ,0)) }} }& \\ f_{\omega }^{f_{\omega+1 }}(f_{\omega +1})&f_{\omega+1}(f_{\omega +1}) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+1} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,0 ,0)) }} }& \color{green}{G(G(x-1))}\\ &f_{\omega+1}^3 & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+1} \times 3} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,0 ,\varphi(1,0 ,0))) }} }& \color{green}{G(G(G(x-1)))}\\ &f_{\omega+2} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega+2} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+1} ) }} }&\\ f_{\omega}(f_{\omega+2})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & {\color{green}{H_{\omega ^{\omega+2} }}} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(1,1,0),1) }}  }&\\ f_{\omega +1}(f_{\omega+2})=f_{\omega+1 }^{x+1}(x+1)&f_{\omega+2}(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & {H_{\omega ^{\omega+2}+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,1,0)+1) }}  }&\\ f_{\omega+1}^{2x}(2x)&f_{\omega+2}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega+2}+\omega  } & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,1) }}  }&\\ f_{\omega }^{f_{\omega+2 }}(f_{\omega +2})&f_{\omega+2}(f_{\omega +2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega\times 2 +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+2} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,\varphi(1,1 ,0)) }} }& \\ &f_{\omega+3} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega+3} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,2,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+2} ) } }}&\\ &f_{\omega+4} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 4 }}} & H_{\omega ^{\omega+4} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,3,0) }} }&\\ &f_{\omega\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} } & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+\omega })}  } }&\\ \end{array} \)

\( \begin{array}  {  c | c | c  }  \rm FGH  & \rm HH & \rm SGH \\   \hline    f_{\omega^\omega}  &  H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\    f_{\omega^\omega}(f_0)  &  H_{\omega ^{\omega^\omega }+1} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega+1))}}}\\  f_{\omega^\omega}(f_1)  &  H_{\omega ^{\omega^\omega }+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega\times 2))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_{\omega^\omega})  &  H_{\omega ^{\omega^\omega }\times 2 } & {\color{green} {g_{\varphi(1@\varphi(1@\omega))}}}\\  f_{\omega^\omega+1}  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(1,0))}= {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega})}}}}\\   f_{\omega^\omega+\omega }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\omega })}}}\\  f_{\omega^\omega+\omega +1 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega +1}} &  {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega })}}}\\  f_{\omega^\omega+\omega\times 2 +1 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times 2 })}}}\\  f_{\omega^\omega+\omega^2 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times \omega  })}}}\\  f_{\omega^\omega+\omega^2 +1 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^3 +1 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 3 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^3 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 +1}  &  H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 3 +1}  &  H_{\omega ^{\omega^\omega \times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 3})}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +1}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +1}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+\omega +1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +1}+\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}+\Omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}\times 2+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega +1} \times 2} } & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times 2 })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+2} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+3}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+3} })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  \times 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  \times 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 3}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  \times 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times \omega  } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^2  } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 3}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^3  } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\omega   } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\Omega   } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^{\omega^ \omega } }+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^{\omega^ \omega } }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^{\Omega^ \Omega }   } })}}}\\ f_{\psi (0)=\varepsilon_0}  &  {\color{green}{H_{\varepsilon _0}}}/H_{\varepsilon _0+1} & {\color{green} {g_{\psi (\psi_1(0))}}}\\ \end{array} \)

同样是由于基本列，MGH与FGH在${\omega }^{\omega }$处Catching但略小于FGH（注意Catching并不是相等），此后每遇到${\omega }^{\omega }$的倍数二者都会Catching一次。

\( \begin{array}  {  c | c | c  }  \rm FGH  & \rm HH & \rm SGH \\   \hline    f_{\omega^\omega}  &  H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\    f_{\omega^\omega}(f_0)  &  H_{\omega ^{\omega^\omega }+1} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega+1))}}}\\  f_{\omega^\omega}(f_1)  &  H_{\omega ^{\omega^\omega }+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega\times 2))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_{\omega^\omega})  &  H_{\omega ^{\omega^\omega }\times 2 } & {\color{green} {g_{\varphi(1@\varphi(1@\omega))}}}\\  f_{\omega^\omega+1}  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(1,0))}= {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega})}}}}\\   f_{\omega^\omega+\omega }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\omega })}}}\\  f_{\omega^\omega+\omega +1 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega +1}} &  {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega })}}}\\  f_{\omega^\omega+\omega\times 2 +1 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times 2 })}}}\\  f_{\omega^\omega+\omega^2 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times \omega  })}}}\\  f_{\omega^\omega+\omega^2 +1 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^3 +1 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 3 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^3 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 +1}  &  H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 3 +1}  &  H_{\omega ^{\omega^\omega \times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 3})}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +1}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +1}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+\omega +1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +1}+\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}+\Omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}\times 2+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega +1} \times 2} } & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times 2 })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+2} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+3}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+3} })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  \times 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  \times 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 3}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  \times 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times \omega  } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^2  } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 3}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^3  } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\omega   } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\Omega   } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^{\omega^ \omega } }+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^{\omega^ \omega } }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^{\Omega^ \Omega }   } })}}}\\ f_{\psi (0)=\varepsilon_0}  &  {\color{green}{H_{\varepsilon _0}}}/H_{\varepsilon _0+1} & {\color{green} {g_{\psi (\psi_1(0))}}}\\ \end{array} \)

HH与FGH最终在${\epsilon }_0$处Catching了。此后每遇到${\epsilon }_0$的倍数二者都会再次Catching。

关于这之后SGH与FGH的对照分析，请移步Catching函数。