PrSS VS 康托范式

本条目展示 PrSS 和康托范式的列表分析和互译方法。

枚举

$(0)=1$

$(0,0)=2$

$(0,0,0)=3$

$(0,1)=(0,0,\cdots ,0)=\omega$

$(0,1,0)=\omega +1$

$(0,1,0,0)=\omega +2$

$(0,1,0,1)=(0,1,0,0,\cdots ,0)=\omega \times 2$

$(0,1,0,1,0,1)=\omega \times 3$

$(0,1,1)=(0,1,0,1,\cdots ,0,1)={\omega }^2$

$(0,1,1,0)={\omega }^2+1$

$(0,1,1,0,1)={\omega }^2+\omega$

$(0,1,1,0,1,0)={\omega }^2+\omega +1$

$(0,1,1,0,1,0,1)={\omega }^2+\omega \times 2$

$(0,1,1,0,1,1)=(0,1,1,0,1,0,1,\cdots ,0,1)={\omega }^2\times 2$

$(0,1,1,0,1,1,0,1,1)={\omega }^2\times 3$

$(0,1,1,1)=(0,1,1,0,1,1,\cdots ,0,1,1)={\omega }^3$

$(0,1,1,1,1)={\omega }^4$

$(0,1,2)=(0,1,1,\cdots ,1)={\omega }^{\omega }$

$(0,1,2,0,1,2)={\omega }^{\omega }\times 2$

$(0,1,2,1)=(0,1,2,0,1,2,\cdots ,0,1,2)={\omega }^{\omega +1}$

$(0,1,2,1,0,1,2)={\omega }^{\omega +1}+{\omega }^{\omega }$

$(0,1,2,1,0,1,2,1)={\omega }^{\omega +1}\times 2$

$(0,1,2,1,1)=(0,1,2,1,0,1,2,1,\cdots ,0,1,2,1)={\omega }^{\omega +2}$

$(0,1,2,1,1,1)={\omega }^{\omega +3}$

$(0,1,2,1,2)=(0,1,2,1,1,\cdots ,1)={\omega }^{\omega \times 2}$

$(0,1,2,1,2,1)={\omega }^{\omega \times 2+1}$

$(0,1,2,1,2,1,2)={\omega }^{\omega \times 3}$

$(0,1,2,2)=(0,1,2,1,2,\cdots ,1,2)={\omega }^{{\omega }^2}$

$(0,1,2,2,1)={\omega }^{{\omega }^2+1}$

$(0,1,2,2,1,2)={\omega }^{{\omega }^2+\omega }$

$(0,1,2,2,1,2,1)={\omega }^{{\omega }^2+\omega +1}$

$(0,1,2,2,1,2,1,2)={\omega }^{{\omega }^2+\omega \times 2}$

$(0,1,2,2,1,2,2)=(0,1,2,2,1,2,1,2,\cdots ,1,2)={\omega }^{{\omega }^2*2}$

$(0,1,2,2,2)=(0,1,2,2,1,2,2,\cdots ,1,2,2)={\omega }^{{\omega }^3}$

$(0,1,2,3)=(0,1,2,2,\cdots ,2)={\omega }^{{\omega }^{\omega }}$

$(0,1,2,3,2)={\omega }^{{\omega }^{\omega +1}}$

$(0,1,2,3,2,3)={\omega }^{{\omega }^{\omega \times 2}}$

$(0,1,2,3,3)={\omega }^{{\omega }^{{\omega }^2}}$

$(0,1,2,3,4)=(0,1,2,3,3,\cdots ,3)={\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}$

$(0,1,2,3,4,5,...)=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}={\epsilon }_0$

最终得到，PrSS 的极限是 ${\epsilon }_0$.

互译方法

PrSS 和康托范式之间存在直接的转换关系．下面介绍 PrSS 到康托范式的转换：

对于待转换的 PrSS 表达式 $S$，首先找到 $S$ 中所有的项 $0$，以这些 $0$ 为起点把 $S$ 分为若干个以 $0$ 开头的子表达式，并在中间用加号连接．如果一个子表达式只有一项，即 $(0)$，则将其变为 $1$．否则，将 $(0,X)$ 变换为 ${\omega }^{X^{\prime }}$，其中 $X^{\prime }$ 是将 $X$ 中所有的项都减一后得到的表达式．

然后继续对 $X^{\prime }$ 递归地进行操作，直到无法操作为止，就得到了对应的康托范式．

例如 PrSS 表达式 $(0,1,2,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1,0,1,1,1)$，首先把它分为若干个 $0$ 开头的子表达式并用加号连接，得到 $(0,1,2,2)+(0,1,2,1,1)+(0,1,2,1,1)+(0,1,1,1)$，随后将每个子表达式按照 $(0,X)\mapsto {\omega }^{X^{\prime }}$ 的形式变换，得到 ${\omega }^{(0,1,1)}+{\omega }^{(0,1,0,0)}+{\omega }^{(0,1,0,0)}+{\omega }^{(0,0,0)}$．随后，把指数上的 PrSS 继续递归变换．$(0,1,1)$ 变换为 ${\omega }^{(0,0)}={\omega }^{1+1}={\omega }^2$．$(0,1,0,0)$ 变换为 ${\omega }^1+1+1=\omega +2$．而 $(0,0,0)$ 就是 $1+1+1=3$．因此我们便得到了 $(0,1,2,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1,0,1,1,1)$ 对应的康托范式 ${\omega }^{{\omega }^2}+{\omega }^{\omega +2}\times 2+{\omega }^3$．