不动点：修订间差异

2025年7月3日 (四) 21:22的版本

在数学中，函数的不动点（fixed point,fp），指的是在函数定义域内的某一个值，经过函数映射后的值还是其本身。

在googology中，我们一般只关心 $ℕ \to ℕ$ 的连续递增函数以及 $O r d \to O r d$ 的连续递增函数。由于前者一般无不动点(即使有也是平凡的，如 $f (x) = x$ )，因而只有后者的不动点是重要的。

如 $f (x) = 1 + x$

注意到当 $x = ω$ 时， $f (x) = 1 + ω = s u p {1 + 0, 1 + 1, 1 + 2, 1 + 3, \dots} = ω$ 。因此 $ω$ 是 $f (x) = 1 + x$ 的不动点。

又如 $f (x) = ω \times x$

当 $x = ω^{ω}$ 时， $f (ω^{ω}) = ω^{ω}$ ，因此 $ω^{ω}$ 是 $f (x) = ω \times x$ 的不动点。

$O r d \to O r d$ 的连续递增函数f(x) $f (x)$ 且满足f(x)≥x $f (x) \geq x$ ，存在这样一个定理：

如果X是其第m个不动点，则 $s u p {X + 1 . f (X + 1), f (f (X + 1)), f (f (f (X + 1))), \dots}$ 是其第m+1个不动点

注意到这实际上提供了一种基本列选取的方法。实际上，著名的序数表示法φ函数的强度就高度依赖于不动点.

@@ 第7行： / 第7行： @@
 注意到当<math>\rm{x=\omega}</math>时，<math>\rm{f(x)=1+\omega =sup\{ 1+0,1+1,1+2,1+3,\cdots \}=\omega} </math>。因此<math>\omega</math>是<math>\rm{f(x)=1+x}</math>的不动点。
-又如<math>\rm{f(x)=\omega \times x}</math>
+又如<math>f(x)=\omega \times x</math>
-当<math>\rm{x=\omega^{\omega}}</math>时，<math>\rm{f(\omega^{\omega})=\omega^{\omega}}</math>，因此<math>\omega^{\omega}</math>是<math>\rm{f(x)=\omega \times x}</math>的不动点。
+当<math>\rm{x=\omega^{\omega}}</math>时，<math>\rm{f(\omega^{\omega})=\omega^{\omega}}</math>，因此<math>\omega^{\omega}</math>是<math>f(x)=\omega \times x</math>的不动点。
 == 注意 ==
@@ 第15行： / 第15行： @@
 # 并非所有的Ord→Ord的连续递增函数都存在不动点。如f(x)=x+1,就不存在不动点。
 # 在googology中，我们一般把f(α)的不动点写作α→f(α)不动点。
-# 一个序数函数可以不只存在一个不动点。如<math>\omega^{\omega}\times m</math>是<math>\rm{f(x)=\omega \times x}</math>的第m个不动点。
+# 一个序数函数可以不只存在一个不动点。如<math>\omega^{\omega}\times m</math>是<math>f(x)=\omega \times x</math>的第m个不动点。
 == 不动点与基本列 ==