基本列

如果序数$\alpha$是一个极限序数，则它的基本列$⟨\alpha [n]⟩$是一个递增的序数列，并且满足其上确界为$\alpha$。即$\alpha =\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{\alpha [n]|n\in \mathbb{\mathbb{N}}\}=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{\alpha [0],\alpha [1],\alpha [2],...\}$。

定义

注意到一个极限序数具有多种基本列。因此为了方便运用和理解，我们需要一套标准基本列系统来给极限序数一个唯一的基本列。

很遗憾的是，不存在一个通用的基本列系统来为所有序数指定标准基本列。因此，我们只能借助序数记号来为它极限之下的极限序数指定标准基本列。

目前使用较广的一套基本列系统(φ函数)是这样定义的：

$\omega [n]=n$

${\omega }^{\alpha +1}[n]={\omega }^{\alpha }\times n$

${\omega }^{\alpha }[n]={\omega }^{\alpha [n]}$，如果$\alpha$是极限序数。

$({\omega }^{{\alpha }_1}+{\omega }^{{\alpha }_2}+...+{\omega }^{{\alpha }_k})[n]={\omega }^{{\alpha }_1}+{\omega }^{{\alpha }_2}+...+{\omega }^{{\alpha }_k}[n]$，如果${\alpha }_1\ge {\alpha }_2\ge ...\ge {\alpha }_k$。

${\epsilon }_0[0]=1,{\epsilon }_0[n+1]={\omega }^{{\epsilon }_0[n]}$

${\epsilon }_1[0]={\epsilon }_0+1,{\epsilon }_1[n+1]={\omega }^{{\epsilon }_1[n]}$

${\zeta }_0[0]=0,{\zeta }_0[n+1]={\epsilon }_{{\zeta }_0[n]}$

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