PSS的良序性

我们给出 P 進大好き bot 关于 PSS（即两行 BMS）良序性的证明。${\displaystyle }$

证明终止性的方法概要如下:

1. 引入标准形式（比通常意义上的标准形式更宽）的概念，并引入更广泛的约化概念。

2. 定义一个称为约化 Red 的运算，用于处理不一定可约的对序列。

3. 定义一个从非正规对序列到 Buchholz 符号系统的映射 Trans，并使用 Red 将该定义扩展至不一定可约的对序列。

4. 定义一个映射 Mark，用于计算 Trans 的子串。

5. 证明 Mark 可以用对序列子序列的 Trans 来计算。

5.1. 这使得可以使用原始对序列子序列的 Trans 来计算对序列的 Trans 的子串。 5.2. 由于非真对序列的子序列不一定可约，因此即使只对非真对序列感兴趣，也必须使用不可约的对序列。 5.3. 由于将不一定是标准形式的对序列替换为标准形式的操作未知，因此即使只对标准形式感兴趣，也必须使用非标准形式的对序列。

6. 比较对序列的展开规则和在 Trans 下像的基本列。

6.1. 这表明，在 Trans 下，标准形式对序列的像决定了 Buchholz 序数项。 6.2. 此外，由于 Buchholz 序数项相对于标准全序是良基的，并且基本列相对于该全序下降，因此标准形式对序列系统的终止性成立。

注意，当用命题 \(P(n), Q(n)\) （对于 \(n \in N\) ）来证明 “对于任意 \(n \in N, P(n) \rightarrow Q(n)\) ” 时，通过对 n 进行数学归纳法，如果 \(P(0)\) 不成立，则 \(P(0) \rightarrow Q(0)\) 成立，因此只需证明 “对于任意 \(n \in N\) ，若 \(P(n) \rightarrow Q(n)\) 成立，则 \(P(n+1) \rightarrow Q(n+1)\) 成立” 即可。不过，为了帮助读者理解，本文还会考察使 \(P(n_{0})\) 成立的最小 \(n_{0} \in N\) ，并证明 \(Q(n_{0})\) 。

下面给出证明的完整过程。

令 N 表示所有非负整数的集合， \(N_{+}\) 表示所有正整数的集合。

对于类 \(A\) ，如果存在 \(n \in \mathbb{N}\) 使得 \(a \in A^n\) ，则集合 \(a\) 为一个 \(A\) 值数组。由于这样的 \(n\) 对于 \(a\) 是唯一的，我们将其表示为 \(\operatorname{Lng}(a)\) 。当 \(\operatorname{Lng}(a) = 0\) 时，除非 \(A\) 中存在任何歧义，否则我们将 \(a\) 表示为 ( )。对于每个 \(i \in \mathbb{N}\) 使得 \(i < \operatorname{Lng}(a)\) ，我们将 \(a\) 的第 \(i\) 个分量表示为 \(a_i \in A\) 。

对于每个 \(i_0, i_1 \in \mathbb{N}\) 使得 \(i_0 \leq i_1\) ，并且对于每个 \(A\) 值函数 \(f\) ，其定义域包括 \(\{i \in \mathbb{N} \mid i_0 \leq i \leq i_1\}\) ，令 \((f(i))_{i-i_0}^{i_1}\) 为 \(A\) 值数组，其长度为 \(i_1-i_0+1\) ，如果对于任何 \(i \in \mathbb{N}\) ， \(i \leq i_1-i_0\) ，则第 i 个元素为 \(f(i_0+i)\) 。对于每个 \(i_0, i_1 \in \mathbb{N}\) 和每个 \(A\) 值函数 \(f\) ，使得 \(i_0 \leq i_1\) 不成立或 \(\{i \in \mathbb{N} \mid i_0 \leq i \leq i_1\}\) 不包含在 \(f\) 的定义域内，令 \((a_i)_{i-i_0}^{i_1} := ()\) 。

对于类 A，令 \(A^{<\omega}\) 为所有 A 值数组的类，令 \(A^{<\omega}\) 上的二元运算

\[ \oplus_{A}: (A^{< \omega})^{2} \rightarrow A^{< \omega}, \tag {21.67} \]

\[ (a, b) \mapsto a \oplus_{A} b. \tag {21.68} \]

定义如下:

1. \(j_{0} := \text{Lng}(a)-1\) 。 2. 令 \(j_{1} := j_{0}+\mathrm{Lng}(b)\) 。 3. 对于每个 \(j \in N\) ，且 \(j \leq j_{0}\) ，令 \(c_{j} := a_{j}\) 。 4. 对于每个 \(j \in \mathbb{N}\) , 且 \(j_0 < j \leq j_1\) , 令 \(c_j = b_{j-j_0-1}\) 。 5. \(a \oplus_{A} b := (c_{j})_{j=0}^{j_{1}}\)

映射

\[ \bigoplus_{A}: (A^{< \omega})^{< \omega} \to A^{< \omega} \tag {21.69} \]

\[ a \mapsto \bigoplus_{A} a \tag {21.70} \]

以如下方式递归定义:

1. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(a)-1\) 。 2. 如果 \(j_{1} = -1\) ，则 \(\bigoplus_{A} a := ()\) 。 3. 如果 \(j_{1}=0\) ，则 \(\bigoplus_{A}a:=a_{0}\) 。 4. 如果 \(j_{1} > 0\) ，则 \(\bigoplus_{A} a := \left( \bigoplus_{A} (a_{i})_{i=0}^{j_{1}-1} \right) \oplus_{A} a_{j_{1}}\) 。

当指示满足某些条件的序列的唯一存在时，如果唯一性紧接着从字符串的末尾或开头进行的比较，则可以省略唯一性的存在。

如果集合 M 是一个 \(N^{2}\) 值数组，且非 (), 则称集合 M 为对序列。设 \(\mathrm{Idx}(M)\) 为所有对 \((i,j)\) 的集合，其中 \(i \in \{0,1\}\) 且 \(j \in N\) 小于 \(\mathrm{Lng}(M)\) 。对于每个 \((i,j) \in \mathrm{Idx}(M)\) ，令 \((M_{j})_{i}\) 为 \(M_{i,j}\) 。

设 \(T_{PS}\) 为所有对序列的集合。

令 \(M \in T_{\mathrm{PS}}\) 。我们同时递归地定义 \(<_{M}^{\mathrm{Next}}\) 和 \(\leq M\) 在 \(\mathbb{Z}^2\) 上的二元关系，如下所示。

1. 对于 \((i_0, j_0), (i_1, j_1) \in \mathbb{Z}^2\) , \((i_0, j_0) < \frac{\text{Next}}{M} (i_1, j_1)\) 满足:

1.2. \(i_{0}=i_{1}\) 1.3. \(j_{0} < j_{1}\) 。 1.4. \(M_{i_0,j_0} < M_{i_1,j_1}\)

1.1. \((i_{0}, j_{0}), (i_{1}, j_{1}) \in \mathrm{Idx}(M)\) 。

1.5. 如果 \(i_0 = 0\) ，则对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，如果 \(j_0 < j < j_1\) ，则 \(M_{0,j} \geq M_{0,j_1}\) 。

1.6. 如果 \(i_0 = 1\) ，则 \((0, j_0) \leq_M (0, j_1)\) ；对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，如果 \(j_0 < j\) 且 \((0, j) \leq M(0, j_1)\) ，则 \(M_{1,j} \geq M_{1,j_1}\) 。

2. \((i_{0},j_{0})\leq_{M}(i_{1},j_{1})\) 表示:

2.1. \((i_{0}, j_{0}), (i_{1}, j_{1}) \in \mathrm{Idx}(M)\) 。 2.2. \(i_{0}=i_{1}\)

2.3. 存在某个 \(a \in N^{<\omega}\) 使得 \(J := \mathrm{Lng}(a)-1\) 满足:

2.1. \(a \neq ()\) 。 2.2. \(a_{0}=j_{0}\) 2.3. 对于任意 \(k \in \mathbb{N}\) ，若 \(k < J\) ，则 \((i_0, a_k) <_{M}^{\mathrm{Next}}(i_1, a_{k+1})\) 。 2.4. \(a_{J}=j_{1}\)

定理 1 父项存在判定条件:

对于任意 \(M \in T_{PS}\) 和 \(j_{0}, j_{1} \in N\) ，若 \(j_{0} < j_{1} < \mathrm{Lng}(M)\) ，则有：

(1) 若 \(M_{0,j_0} < M_{0,j_1}\) , 则存在某个 \(j \in \mathbb{N}\) 使得 \(j_0 \leq j < j_1\) 且 \((0,j) < \frac{\text{Next}}{M}(0,j_1)\) 。

(2) 若 \(M_{1,j_0} < M_{1,j_1}\) 且 \((0,j_0) \leq_M (0,j_1)\) ，则存在某个 \(j \in \mathbb{N}\) 使得 \(j_0 \leq j < j_1\) 且 \((1,j) < _M^{Next}(1,j_1)\) 。

(3) 若满足条件 “对于任意 \(j \in N\) ，若 \(j_{0} < j \leq j_{1}\) ，则 \(M_{0,j_{0}} < M_{0,j}\) ”，则 \((0,j_{0}) \leq M(0,j_{1})\) 。

(4) 若条件 “对于任意 \(j \in N\) ，若 \(j_{0} < j\) 且 \((0, j) \leq_{M} (0, j_{1})\) 则 \(M_{1,j_{0}}(0, j_{0}) \leq_{M} (0, j_{1})\) 。然后， \((1, j_{0}) \leq M(1, j_{1})\) 。

证明：

(1) 假设存在最大值 \(j \in \mathbb{N}\) 使得 \(j < j_1\) 且 \(M_{0,j} < M_{0,j_1}\) ，且极大值 \(j_0 \leq j < j_1\) 且 \((0,j) < _M^{\mathrm{Next}} (0,j_1)\) 。

(2) 假设存在最大值 \(j \in \mathbb{N}\) 使得 \(M_{1,j} < M_{1,j_1}\) 且 \((0,j) \leq M(0,j_1)\) ，且极大值 \(j_0 \leq j < j_1\) 或 \(\supset (1,j) < _M^{\text{Next}}(1,j_1)\) 。

(3) 根据假设和 (1)，存在 \(j \in \mathbb{N}\) 使得 \(j_0 \leq j < j_1\) 且 \((0, j) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_1)\) 。因此，通过对 \(j_1\) 的数学归纳法可知。

(4) 根据假设和 (2)，存在 \(j \in \mathbb{N}\) 使得 \(j_0 \leq j < j_1\) 且 \((1, j) < \frac{\text{Next}}{M}(1, j_1)\) 。因此，通过对 \(j_1\) 的数学归纳法可知。

证毕。

定理 2 父项的基本性质：

对于任意 \(M \in T_{\mathrm{PS}} j_0, j, j_1 \in \mathbb{N}\) ，如果 \(j_0 < j \leq j_1\) ，则以下成立：

(1) 如果 \((0,j_{0})<\frac{Next}{M}(0,j_{1})\) ，则 \(M_{0,j}\geq M_{0,j_{1}}\) 。

(2) 如果 \((1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 且 \((0,j)\leq M(0,j_{1})\) ，则 \(M_{1,j}\geq M_{1,j_{1}}\) 。

证明：

(1) 假设上述假设不成立，则推导出矛盾。根据假设，存在 \(j_0, j, j_1 \in \mathbb{N}\) 使得 \(j_0 < j \leq j_1\) 且 \((0, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0, j_1)\) 和 \(M_{0,j} < M_{0,j_1}\) 。由于在这样的 \((j_0, j, j_1)\) 组合中 \(j < \mathrm{Lng}(M)\) ，因此存在一个组合 \((j_0, j, j_1)\) 使得 \(j\) 最大，我们称该组合为 \((j_0', j', j_1')\) 。从 \(j'\) 的极大性出发，若对任意 \(j \in \mathbb{N}\) ， \(j'j \leq j_1'\) ，则 \(M_{0,j} \geq M_{0,j_1'}\) 。因此， \((0, j') <_{M}^{\mathrm{Next}} (0, j_1')\) ，这与 \(j_0'j'\) 矛盾。

(2) 假设这不成立，则得出矛盾。假设存在 \(j_0, j, j_1 \in \mathbb{N}\) 使得 \(j_0 < j \leq j_1\) 且 \((1, j_0) < _M^{\text{Next}}(1, j_1)\) 以及 \((0, j) \leq_M (0, j_1)\) 和 \(M_{1,j} < M_{1,j_1}\) 。由于在这样的 \((j_0, j, j_1)\) 组合中 \(j < \text{Lng}(M)\) ，因此存在一个组合 \((j_0, j, j_1)\) 使得 \(j\) 最大化，我们称这个组合为 \((j_0', j', j_1')\) 。根据 \(j'\) 的极大性，对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，若 \(j'j \leq j_1'\) 且 \((0, j) \leq M(0, j_1')\) ，则 \(M_{1,j} \geq M_{1,j_1'}\) 。因此， \((1, j') < _M^{\text{Next}}(1, j_1')\) ，这与 \(j_0'j'\) 矛盾。

证毕。

定理 3 直系祖先的基本性质：

对于任意 \(M \in T_{PS}\) 和 \(j_{0}, j, j_{1} \in N\) ，如果 \(j_{0} < j \leq j_{1}\) ，则以下成立：

(1) 如果 \((0,j_{0})\leq_{M}(0,j_{1})\) ，则 \(M_{0,j_{0}}<M_{0,j}\) 。

(2) 如果 \((1,j_{0})\leq_{M}(1,j_{1})\) 且 \((0,j)\leq_{M}(0,j_{1})\) ，则 \(M_{1,j_{0}}<M_{1,j}\) 。

证明：根据父元素的基本性质，通过对 \(\leq M\) 定义中的 J 进行数学归纳法，可直接得出。证毕。

定理 4 直系祖先树的构造:

对于任意 \(M \in T_{PS}\) 和 \(j_{0}^{\prime}, j, j_{1}^{\prime} \in N\) ，有：

(1) 若 \((0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1}^{\prime})\) 且 \(j_{0}^{\prime}\leq j\leq j_{1}^{\prime}\) ，则 \((0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j)\) 。

(2) 若 \((1, j_0') \leq_M (1, j_1')\) 且 \(j_0' \leq j\) 且 \((0, j) \leq M(0, j_1')\) , 则 \((1, j_0') \leq M(1, j)\) 。

证明：

（1）由判定父项存在的条件（3）和直系祖先的基本性质（1）直接推出。

(2) 由判定父项存在的条件 (4) 和直系祖先的基本性质 (2) 直接推出。

证毕。

映射

\[ \text {Pred:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \tag {21.71} \]

\[ M \mapsto \operatorname{Pred} (M) \tag {21.72} \]

按照如下方式定义:

1. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。 2. 如果 \(j_{1}=0\) ，则 \(\mathrm{Pred}(M):=M\) 。 3. 如果 \(j_{1} > 0\) ，则 \(\mathrm{Pred}(M) := (M_{j})_{j=0}^{j_{1}-1}\) 。

虽然我们还没有给出序数符号系统的结构，但是 Pred 对应于对 \(\emptyset\) 取 \(\emptyset\) 的运算和对一个后继序数取最大元素的运算。

映射

\[ \text {Derp:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \cup \left\{\left(\right)\right\} \tag {21.73} \]

\[ M \mapsto \operatorname{Derp} (M) \tag {21.74} \]

按照如下方式递归定义:

1. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。

2. 令 \(\mathrm{Derp}(M) := (M_j)_{j=1}^{j_1}\) 。

Derp 与序数运算无关，但为了方便起见，我们只会在定义一个名为 Red 的映射时使用一次，该映射稍后会介绍。

映射

\[ \text {operator}[]: T_{\mathrm{PS}} \times \mathbb {N}_{+} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \tag {21.75} \]

\[ (M, n) \mapsto M[n] \tag {21.76} \]

按照如下方式递归定义:

1. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。

2. 如果 \(j_{1}=0\) ，则 \(M[n]:=M\) 。

3. 令 \(j_{1} > 0\) 。

3.1. 如果 \(M_{j_{1}}=(0,0)\) ，则 \(M[n]:=\mathrm{Pred}(M)\) 。

3.2. 令 \(M_{j_{1}} \neq (0,0)\) 。

3.2.1. 令 \(i_1 := \max \{i \in \{0, 1\} \mid M_{i,j_1} > 0\}\) 。

3.2.2. 如果不存在唯一的 \(j_0 \in \mathbb{N}\) 使得 \((i_1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(i_1, j_1)\) ，则 \(M[n] := \mathrm{Pred}(M)\) 。

3.2.3. 假设存在唯一的 \(j_0 \in \mathbb{N}\) 使得 \((i_1, j_0) < \frac{\text{Next}}{M} (i_1, j_1)\) 。

3.2.3.1. 对于每个 \(i \in N\) 使得 \(i < i_{1}\) ，令 \(\delta_{i} := M_{i,j_{1}}-M_{i,j_{0}}\) 。

3.2.3.2. 对于每个满足 \(i \geq i_{1}\) 的 \(i \in N\) ，设 \(\delta_{i} := 0\) 。

3.2.3.3. 设 \(G := (M_{j})_{j=0}^{j_{0}-1} \in T_{\mathrm{PS}}\) 。

3.2.3.4. \(B := (((M_{0,j}+k\delta_0, M_{1,j}+k\delta_1))_{j=j_0}^{j_1-1})_{k-0}^{n-1} \in T_{\mathrm{PS}}^n\)

3.2.3.5. \(M[n] := (G \oplus \mathbb{N}^{2}(\bigoplus_{\mathbb{N}^{2}} B))\) 。

我们尚未给出序数符号系统的结构，但 operator[] 对应于给出[] 的 \(\emptyset\) 、给出后继序数的最大元素以及给出极限序数的基本列的运算。

定理 5 对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，若 \(\mathrm{Lng}(M) > 1\) ，则 \(\mathrm{Pred}(M) = M[1]\) 。

证明：由 operator[] 的定义可知。证毕。

映射 \(f:\mathbb{N}_{+}\to \mathbb{N}_{+}\) 是固定的。主要有 \(f(n) = n+1\) 或 \(f(n) = n^{2}\) 。

在 \(T_{PS} \times N_{+}\) 上递归定义部分映射

\[ F: (M, n) \mapsto F_{M} (n) \tag {21.77} \]

如下：

1. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。

2. 如果 \(j_{1}=0\) ，则 \(F_{M}(n):=f(n)\) 。

3. 令 \(j_{1} > 0\) 。

3.1. 如果 \(M_{j_1} = (0,0)\) ，则 \(F_M(n) := F_{\mathrm{Pred}(M)}(f(n))\) 。

3.2. 令 \(M_{j_{1}} \neq (0,0)\) 。

3.2.1. 令 \(i_1 := \max \{i \in \{0, 1\} \mid M_{i,j_1} > 0\}\) 。[4]。

3.2.2. 如果不存在唯一的 \(j_0 \in \mathbb{N}\) 使得 \((i_1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(i_1, j_1)\) ，则 \(F_M(n) := F_{\mathrm{Pred}(M)}(f(n))\) 。

3.2.3. 如果存在唯一的 \(j_{0} \in N\) 使得 \((i_{1}, j_{0}) < \underset{M}{\text{Next}}(i_{1}, j_{1})\) ，则 \(F_{M}(n) := F_{M[n]}(f(n))\) 。

由于对序列本身最初被定义为一个称为对序列数字的单个数字，因此即使 Bashicu 矩阵的版本固定，对序列系统的概念也会因人而异。以上只是一个例子，但本文所展示的内容基本上适用于任何对序列的解释，因此请注意，这个公式本身并没有什么深刻的含义。

设 F 的定义域为 \(\mathrm{Dom}(F) \subset T_{\mathrm{PS}} \times \mathbb{N}_{+}\) 。

定理 6 \(F_{M}\) 和基本列的关系。

对于任意 \((M,n)\in T_{\mathrm{PS}}\times\mathbb{N}_{+}\) ，以下等价：

(1) \((M, n) \in \mathrm{Dom}(F)\) 。

(2) \((M[n],n)\in\mathrm{Dom}(F)\) 。

(3) \((M,n)\in\mathrm{Dom}(F)\) 且 \((M[n],n)\in\mathrm{Dom}(F)\) 且 \(F_{M}(n)=F_{M[n]}(n)\) 。

证明：直接由 Pred 中 operator[] 的定义以及 F 的递归定义得出。证毕。

为了证明后面定义的对序列标准形式的终止性，我们研究了对序列的基本操作和性质，为定义从对序列到 Buchholz 符号系统的翻译映射 Trans 做准备。

映射

\[ \text {IncrFirst:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \tag {21.78} \]

\[ M \mapsto \operatorname{IncrFirst} (M) \tag {21.79} \]

定义如下

1. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。

2. 令 IncrFirst \((M):=((M_{0,j}+1,M_{1,j}))_{j=0}^{j_1}\) 。

定理 7 ≤ M IncrFirst 不变性。

对于任意 \((M,n)\in T_{\mathrm{PS}}\times\mathbb{N}_{+}\) ，以下等价：

对于任何 \(M \in T_{PS}, \leq M\) 和 \(\leq IncrFirst(M)\) 相等。

证明：由 \(\leq M\) 的定义即得。证毕。

令 \(M \in T_{PS}\) 。

1. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。

2. 如果满足以下条件，则 M 为必要项：

2.1. \(j_{1}=0\) 。

2.2. \(M_{1,0} = 0\) 。

3. 如果满足以下条件，则 \(M\) 为单项项：

3.1. M 为非必要项。

3.2. \((0,0) \leq_{M} (0,j_{1})\) 。

4. 如果满足以下条件，则 M 为复项：

4.1. M 为非必要项。

4.2. M 为非单项项。

5. 令 \(ZT_{\mathrm{PS}} \subset T_{\mathrm{PS}}\) 为所有单项对序列的子集。

6. 令 \(PT_{PS} \subset T_{PS}\) 为所有单项对序列的子集。

7. 令 \(MT_{PS} \subset T_{PS}\) 为所有复项对序列的子集。

定理 8 复项的判定条件。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，以下等价：

(1) M 不是复项。

(2) 对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) , 若 \(0 < j < \mathrm{Lng}(M)\) , 则 \(M_{0,0} < M_{0,j}\) 。

(3) \((0,0) \leq M(0,j_1)\) 。

证明：

(2) 和 (3) 的等价性由父项存在性准则 (3) 和直系祖先的基本性质 (1) 得出。

如果 (1) 成立，则 \(\mathrm{Lng}(M) = 1\) 或 \((0,0) \leq M(0,j_0)\) ，因此，由直系祖先的基本性质 (1) 可知 (2) 成立。

如果 (2) 成立，则若 \(\mathrm{Lng}(M)=1\) ，则 M 不是复合项；若 \(\mathrm{Lng}(M)>1\) ，则由父项存在性准则 (3) 可知 \((0,0)\leq_{M}(0,j_{1})\) ，因此 M 是单项项，因此 (1) 成立。

证毕。

定理 9 单项性前段的遗传性。

对于任何 \(M \in PT_{\mathrm{PS}}\) 和 \(j_0 \in \mathbb{N}\) ，如果 \(0 < j_0 < \mathrm{Lng}(M)\) 则 \((M_j)_{j=0}^{j_0}\) 是单项的。

证明：根据单项的定义，可以立即得出复项的条件。证毕。

定理 10 单项性直系祖先前段的遗传性。

对于任何 \(M \in T_{\mathrm{PS}}\) 和 \(j_0', j_1' \in \mathbb{N}\) ，如果 \(j_0' j_1'\) 且 \((0, j_0') \leq M(0, j_1')\) 则 \((M_j)_{j-j_0'}^{j_1'}\) 是单项的。

证明：设 \(M' := (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}\) 。若对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，满足 \(0 < j \leq j_1'-j_0'\) ，则根据直接祖先的基本性质 (1) 及 \((0, j_0') \leq M(0, j_1')\) ， \(M_{0,0}' = M_0, j_0'M_{0,j_0'+j} = M_{0,j}'\) 。因此，根据判断父项存在的条件 (3)， \((0, 0) \leq M'(0, j_1'-j_0')\) 。由于 \(\mathrm{Lng}(M') = j_1'-j_0' > 0\) ， \(M'\) 不是单项。由上可知， \(M'\) 是单项。

证毕。

映射

\[ P: T_{\mathrm{PS}} \to T_{\mathrm{PS}}^{< \omega} \tag {21.80} \]

\[ M \mapsto P (M) \tag {21.81} \]

递归定义如下:

1. 如果 M 是项或单项，则 \(P(M):=(M)\) 。

2. 令 M 为复合项。

1. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。

2. 令 \(j_0 := \min \{ j \in \mathbb{N} \mid 0 < j \leq j_1 \land (0, j) \leq_M (0, j_1)\}\) 。

3. 令 \(P(M) := P\left((M_j)_{j=0}^{j_0-1}\right) \oplus T_{\mathrm{PS}}(M_j)_{j=j_0}^{j_1}\) 。

根据 P 的递归定义， \(P(M) \neq ()\) 。

定理 11 P 的 IncrFirst 同变性。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1\) ，则 \(P(\mathrm{IncrFirst}(M)) = (\mathrm{IncrFirst}(P(M)_{J}))_{J=0}^{J_{1}}\) 。

证明：由 \(\leq M\) 的 IncrFirst 不变性立刻得到。证毕。

定理 12 P 各成分的非复项性。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，以下成立：

(1) \(P(M)\) 的每个分量要么是零项的，要么是单项的。

(2) M 为复项的当且仅当 \(\mathrm{Lng}(P(M)) > 1\) 。

证明：由 \(P\) 的递归定义可知，通过对 \(\mathrm{Lng}(M)\) 的数学归纳法可得。证毕。

定理 13 P 的加法性。

对于任意 \(M \in T_{\mathrm{PS}}\) 和 \(j_0 \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1\) , 令 \(0 < j_0 \leq j_1\) , 且对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) , 若 \(j < j_0\) , 则 \(M_{0,j} \geq M_{0,j_0}\) 。然后 \(P(M) = P((M_j)_{j=0}^{j_0-1}) \oplus T_{\mathrm{PS}}P((M_j)_{j=j_0}^{j_1})\) 。

证明：设 \(j_{0}^{\prime} := \min\left\{j \in \mathbb{N} \mid (0, j) \leq_{M} (0, j_{1})\right\}\) 。

对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，若 \(j < j_0\) ，则 \(M_{0,j} \geq M_{0,j_0}\) 。因此，根据直系祖先元素的基本性质 (1)， \(0 < j_0 \leq j_0'\) 。因此，根据 \(P\) 的定义， \(P(M) = P\left((M_j)_{j=0}^{j_0'-1}\right) \oplus \mathbb{N}^2\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right)\) 且 \(P\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right) = \left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right)\) ，所以 \(P(M) = P\left((M_j)_{j=0}^{j_0'-1}\right) \oplus \mathbb{N}^2P\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right)\) 。

根据 \(j_0'\) 的定义以及判断父节点存在的条件，对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，如果 \(j < j_0'\) ，则 \(M_{0,j} \geq M_{0,j_0'}\) 。

这可以通过对 \(j_{0}^{\prime}-j_{0}\) 和 \(j_{0}\) 的词汇顺序进行数学归纳法来证明。

设 \(j_{0}^{\prime}-j_{0}=0\) 。有

\[ P (M) = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}^{\prime}-1}\right) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} P \left((M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}}\right) = P \left((M_{j})_{j-0}^{j_{0}-1}\right) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}}\right). \tag {21.82} \]

令 \(j_{0}^{\prime}-j_{0}>0\) 。

由归纳法的假设

\[ P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}-1}\right) = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}-1}\right) \oplus T_{\mathrm{PS}} P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{0}^{\prime}-1}\right), \tag {21.83} \]

和

\[ P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}}\right) = P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{0}^{\prime}-1}\right) \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} P \left((M_{j})_{j-j_{0}^{\prime}}^{j_{1}}\right), \tag {21.84} \]

因此

\[ \begin{array}{l} P (M) = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}^{\prime}-1}\right) \oplus \mathbb {N}^{2} P \left((M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}}\right) \\ = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}-1}\right) \oplus T_{\mathrm{PS}} P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{0}-1}\right) \oplus \mathbb {N}^{2} P \left((M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}}\right) \tag {21.85} \\ = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}-1}\right) \oplus \mathbb {N}^{2} P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}}\right). \\ \end{array} \]

证毕。

定理 14 P 的基本列关系。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) 和 \(n \in N_{+}\) ，令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1\) ，且以下成立：

(1) 若 \(\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})=1\) ，则 \(M[n]=\mathrm{Pred}(M)\) ，且进一步，取决于 \(J_{1}=0\) 是否成立， \(P(M[n])(M[n])=(P(M[n])=(P(M)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1}\) 。

(2) 若 \(\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})>1\) 则 \(M[n]=\left(\bigoplus_{\mathbb{N}^{2}}(P(M)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1}\right)\oplus_{\mathbb{N}^{2}}P(M)_{J_{1}}[n]\) 且 \(P(M[n])=(P(M)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1}\oplus_{T_{\mathrm{PS}}}P(P(M)_{J_{1}}[n])\) 。

证明：

(1) 由算子 \(\square\) 的定义以及单项对初始段的遗传性可直接得出。

(2) 由 \(P\) 的递归定义可直接得出, 因为 \((P(M)_{J_1})_0 = P(M)_{J_1}[n]_0\) 。

定理 15 非复项性与基本列的关系。

对于任意 \(M \in T_{\mathrm{PS}}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) , 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。如果 \(M\) 不是复合项, 则以下成立:

(1) 如果 \((0,0)<_{M}^{Next}(0,j_{1})\) 且 \(M_{1,j_{1}}=0\) ，则 \(P(M[n])(\mathrm{Pred}(M))_{k=0}^{n-1}\) 。

(2) 如果 \((0,0) < \frac{Next}{M}(0,j_{1})\) 或 \(M_{1,j_{1}} > 0\) ，则 \(P(M[n]) = (M[n])\) 。

证明：

(1) \(M[n] = \bigoplus_{\mathbb{N}^2} (\operatorname{Pred}(M))_{k=0}^{n-1}\) , 且由于单项对初始段的遗传性, \(\operatorname{Pred}(M)\) 不是复合项。因此, 由 \(P\) 的可加性, 可由 \(n\) 的数学归纳法得出。

(2) \(M\) 不是复合项，因此根据复合性准则，若对任意 \(j \in \mathbb{N}\) ， \(0 < j \leq j_1\) ，则 \(M[n]_{0,0} = M_{0,0} < M_{0,j}\) 。

如果 \((0,0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)\) 不成立且 \(M_{1,j_1} = 0\) ，则若对于任意 \(j\in \mathbb{N}\) ， \(0 < j < \mathrm{Lng}(M[n])\) 则 \(M[n]_{0,j}\) 是 \((M_{0,j})_{j = 1}^{j_1}\) 的分量，因此 \(M[n]_{0,0}M[n]_{0,j}\) 。

如果 \(M_{1,j_1} > 0\) ，则对于任意 \(j\in \mathbb{N}\) ，若 \(0 < j < \mathrm{Lng}(M[n])\) ，则 \(M[n]_{0,j}\) 为 \((M_{0,j})_{j = 1}^{j_1}\) 的任意分量与一个小于 \(n\) 的自然数之和，即 \(M[n]_{0,0} < M[n]_{0,j}\) 。

因此，无论哪种情况，根据复合项， \(M[n]\) 都不是复合项；根据 P 各分量的非项性（2），有 \(P(M[n]) = (M[n])\) 。

证毕。

设 \(M \in T_{PS}\) 且 \(j \in N\) 。

1. 设 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)\) 。

2. 如果满足以下任一条件，则称 j 为 M-不容许的：

2.1. \(j > j_{1}\) 。

2.2. \((1,j-1) <_{M}^{\text{Next}} (1,j) <_{M}^{\text{Next}} (1,j+1)\) 。

3. 如果 j 不是 M-不容许的，则称 j 为 M-不容许的。

4. 设 \(\mathbb{N}_M \subset \mathbb{N}\) 为所有 \(M\) -不容许的自然数的子集。

定理 16 容许性切片的遗传性。

对于任意 \(M \in T_{\mathrm{PS}}\) 和 \(j_0', j_0, j_1' \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1\) , 令 \(j_0' \leq j_0 \leq j_1' \leq j_1\) , 且令 \(N := (M_j)_{j = j_0'}^{j_1'}\) , 则下列等价: (1) \(j_0\) 为 \(M\) -容许的或 \(j_0' = j_0\) 或 \(j_0 = j_1'\) 。(2) \(j_0-j_0'\) 为 \(N\) -容许的。

证明: 若 \(j_{0}^{\prime}=j_{0}^{\prime}\) 或 \(j_{0}=j_{1}^{\prime}\) 或 \(j_{1}^{\prime}=j_{1}\) ，则根据容许性定义成立。以下设 \(j_{0}^{\prime}<j_{0}<j_{1}^{\prime}<j_{1}\) 。 \(j_{0}^{\prime}(1,j_{0}-1)<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}+1)\) 不成立，且 \((1,j_{0}-j_{0}^{\prime}-1)<_{N}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}-j_{0}^{\prime})<_{N}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}-j_{0}^{\prime}+1)\) 不成立。因此， \(j_{0}\) 的 M-容许性与 \(j_{0}-j_{0}^{\prime}\) 的 N-容许性相同。

映射

\[ \mathrm{Adm}_{M}: T_{\mathrm{PS}} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}_{M} \tag {21.86} \]

\[ (M, j) \mapsto \mathrm{Adm}_{M} (j) \tag {21.87} \]

定义如下:

1. 如果 j 是 M-容许的，则 \(\mathrm{Adm}_{M}(j):=j\) 。 2. 如果 \(j\) 不是 \(M\) -容许的, 则令 \(\mathrm{Adm}_M(j) := \max \{j' \in \mathbb{N}_M \mid j'j\}\) 。

定理 17 容许化切片的遗传性。

对于任意 \(M \in T_{\mathrm{PS}}\) 和 \(j_0', j_1' \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1\) , 令 \(j_0' \leq \mathrm{Adm}_M(j_0)\) 且 \(j_0 < j_1' \leq j_1\) , 且令 \(N := (M_j)_{j = j_0}^{j_1'}\) , 则 \(\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0') = \mathrm{Adm}_M(j_0)-j_0'\) 。

证明： \(\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0') \leq j_0-j_0' < j_1-j_0'\) 和 \(j_0' \leq \mathrm{Adm}_M(j_0) \leq j_0 < j_1\) ，并且由于容许性切片的遗传性， \(\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')\) 和 \(\mathrm{Adm}_M(j_0)-j_0'\) 是 \(N\) 容许的，而 \(\mathrm{Adm}_M(j_0)\) 是 \(M\) 容许的。因此，由 \(\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')\) 的极大化可知， \(\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0') \geq \mathrm{Adm}_M(j_0)-j_0'\) 。假设 \(\mathrm{Adm}_M(j_0) < \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0'\) ，则矛盾。

根据 \(\mathrm{Adm}_{M}\left(j_{0}\right)<\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}\leq\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}=j_{0},\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}-1\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}\right)\) ，有 \(j_{0}^{\prime}\leq\mathrm{Adm}_{M}\left(j_{0}\right)<\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime},\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)-1\right)<_{N}^{\mathrm{Next}}\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)\right)\) 。

因此，从 \(\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')\) 的 \(N\) 容许性可以看出， \((1, \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')) < _N^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+1)\) 不成立，但 \((1, \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0'+1)\) 不成立。同样， \(\mathrm{Adm}_M(j_0) < \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0' \leq j_0\) ，因此 \(\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0' = j_0\) 。然后，因为切片的容许是可遗传的，且 \(j_0 < j_1\) ，所以 \(j_0\) 是 \(M\) 容许的， \(\mathrm{Adm}_M(j_0) = j_0\) ，这与 \(\mathrm{Adm}_M(j_0) < \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0' \leq j_0\) 相矛盾。

由上可知， \(\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})=\mathrm{Adm}_{N}(j_{0}-j_{0}^{\prime})+j_{0}^{\prime}\) 。

证毕。

令 \((M,m)\in T_{\mathrm{PS}}\times\mathbb{N}\) 。

1. 如果 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 时满足以下条件，则 \((M, m)\) 为具有基点的对序列：

1.1. m 是 M 容许的。

1.2. \((0,m)\leq_{M}(0,j_{1})\)

2. 令 \(T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}} \subset T_{\mathrm{PS}} \times \mathrm{N}\) 为所有具有基点的对序列的子集。

3. \(RT_{PS}^{Marked} := \left\{(M, m) \in T_{PS}^{Marked} \mid M \in RT_{PS}\right\}\) 。

定理 18 基点切片的遗传性。

对任意 \((M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 和 \(j_0', j_1' \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1\) , 则若 \(j_0' \leq m \leq j_1' \leq j_1\) , 则 \(\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}, m-j_0'\right) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 。

证明：此结论可直接由直系祖先树 (1) 和容许片段的遗传性推导出来。证毕。

映射

\[ \mathrm{IdxSum:} T_{\mathrm{PS}}^{< \omega} \rightarrow \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.88} \]

\[ Q \mapsto \mathrm{IdxSum} (Q) \tag {21.89} \]

定义如下：1. 令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(Q)-1\) 。

2. 对于每个 \(J \in \mathbb{N}\) , 且 \(J \leq J_1+1\) , 递归定义 \(j_J \in \mathbb{N}\) , 如下所示:

2.1. 如果 J = 0，则 \(j_{J} := 0\) 。

2.2. 如果 J > 0，则 \(j_{J} := j_{J-1}+\mathrm{Lng}(Q_{J-1})\) 。 3. \(\mathrm{IdxSum}(Q):=(j_{J})_{J=0}^{J_{1}+1}\) 。

定理 19 P 和 IdxSum 的关系。

对于任意 \(M \in T_{\mathrm{PS}}\) 和 \(J \in \mathbb{N}\) , 令 \(J_1 := \mathrm{Lng}(P(M))-1\) , 则令 \(j_0' := \mathrm{IdxSum}(P(M))_J\) , 其中 \(J \leq J_1\) , 且令 \(j_1' := \mathrm{IdxSum}(P(M))_{J+1}\) , 则 \(P(M)_J = (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'-1}\) 。

证明：这可直接由 IdxSum 的定义得出。证毕。

定理 20 P 和 IdxSum 的合成特征。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 且 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1\) ，且下列条件成立：

(1) 对于任意 \(J \in \mathbb{N}\) , 若 \(J \leq J_1\) , 则不存在唯一的 \(j_0 \in \mathbb{N}\) 使得 \((0, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0, \mathrm{IdxSum}(P(M))J)\) 。

(2) 对于任意的 \(j \in \mathbb{N}\) ，若不存在唯一的 \(j \in \mathbb{N}\) 使得 \(j \leq j_1\) 且 \((0, j_0) <_{M}^{Next}(0, j)\) ，则存在某个 \(J \in \mathbb{N}\) 使得 \(J \leq J_1\) 且 \(j = \mathrm{IdxSum}(P(M))J\) 。

证明：这直接源于 P 的递归定义以及 P 与 IdxSum 之间的关系。证毕。

定理 21 P 各成分左端的单调性。

对于任意 \(M \in T_{\mathrm{PS}}\) 和 \(J_0', J_1' \in \mathbb{N}\) , 令 \(J_1 := \mathrm{Lng}(P(M))-1\) , 则若 \(J_0' \leq J_1' \leq J_1\) , 则 \(\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}\) 。

证明：根据 P 各分量的非复项性质，以及 P 与 IdxSum 的关系，对于任意 \(j \in N\) ，如果 \(j < \mathrm{IdxSum}(P(M))_{J_{1}^{\prime}}\) ，则 \((0, j) \leq_{M} (0, j_{J_{1}^{\prime}})\) 不成立。

因此，根据父存在性准则(1)，对于任意 \(j\in \mathbb{N}\) ，如果 \(j < j_{J_1^{\prime}}\) ，则 \(M_{0,j}\geq M_{0,j_{J_1'}}\) 。因为 \(J_0^\prime \leq J_1^\prime \leq J_1\) ， \(\mathrm{IdxSum}(P(M))_{J_0'}\mathrm{IdxSum}(P(M))_{J_1'}\) ，则 \(\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = M_{0,j_{J_0'}}\geq M_{0,j_{J_1'}'} =\) \(\left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}\) 。证毕。

定理 22 切片单项成分与 \(<_{M}^{Next}\) 的关系。

对于任意 \(M \in PT_{\mathrm{PS}}\) 和 \(j_0, J \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1\) , 令 \(0 < j_0 \leq j_1\) , 令 \(M' := (M_j)_{j=j_0}^{j_1}\) , 且令 \(J_1 := \mathrm{Lng}(P(M'))-1\) 。然后, 若 \(J \leq J_1\) , 则存在唯一的 \(j \in \mathbb{N}\) 使得 \(j < j_0\) 且 \((0, j) < _M^{Next}\) \((0, j_0+\mathrm{IdxSum}(P(M'))_J)\) 。

令 \(j_{0}^{\prime} := j_{0}+\mathrm{IdxSum}(P(M^{\prime}))\) J，则有 \(j_{0}^{\prime} \leq j_{0}+(j_{1}-j_{0}) = j_{1}\) 。

M 满足单项复项 \((0,0) \leq M(0,j_{0}^{\prime})\) ，且 \(j_{0}^{\prime} \geq j_{0} > 0\) 满足 \(M_{0,0} < M_{0,j_{0}^{\prime}}\) 。因此，根据判断父节点存在的条件 (1)，存在唯一的 \(j \in N\) 使得 \((0,j) < \frac{\text{Next}}{M}(0,j_{0}^{\prime})\) 。

另一方面，根据 P 与 IdxSum 的关系以及 P 的定义，对于任意 \(j \in N\) ，如果 \(j_{0} \leq j \leq j_{0}^{\prime}\) ，则 \((0, j-j_{0}) \leq M^{\prime}(0, j_{0}^{\prime}-j_{0})\) 不成立，即 \((0, j) \leq_{M}(0, j_{0}^{\prime})\) 不成立。由上可知， \(j < j_{0}\) 。

映射

\[ \mathrm{TrMax}: P T_{\mathrm{PS}} \to \mathbb {N} \tag {21.90} \]

\[ M \mapsto \mathrm{Tr} \operatorname{Max} (M) \tag {21.91} \]

\[ \mathrm{Br}: P T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}}^{< \omega} \tag {21.92} \]

\[ M \mapsto \mathrm{Br} (M) \tag {21.93} \]

\[ \text {FirstNodes:} P T_{\mathrm{PS}} \to \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.94} \]

\[ M \mapsto \text {FirstNodes} (M) \tag {21.95} \]

\[ \text {Joints:} P T_{\mathrm{PS}} \rightarrow \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.96} \]

\[ M \mapsto \text {Joints} (M) \tag {21.97} \]

定义如下:

1. \(\operatorname{Tr}\operatorname{Max}(M):=\max\left\{j\in\mathbb{N}\mid\forall j^{\prime}\in\mathbb{N},(j^{\prime}j)\to\left((1,j^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j^{\prime}+1)\right)\right\}\) 。

2. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。

3. 令 \(j_{1}^{\prime} := \mathrm{Tr}\operatorname{Max}(M)\) 。

4. 若 \(j_{1}^{\prime}=j_{1}\) ，则 \(\mathrm{Br}(M):=()\) 。

5. 若 \(j_1' j_1\) ，则 \(\mathrm{Br}(M) := P\left((M_j)_{j = j_1'+1}^{j_1}\right)\) 。

6. 令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1\) 。

7. 第一个节点 \((M) := (\mathrm{TrMax}(M)+1+\mathrm{IdxSum}(\mathrm{Br}(M))_J)_{J=0}^{J_1+1}\) 。

8. 对于每个满足 \(J \leq J_{1}\) 的 \(J \in \mathbb{N}\) , 令 \(a_{J}\) 为唯一的 \(j \in \mathbb{N}\) , 且 \((0, j) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, \mathrm{FirstNodes}(M)_{J})\) 。

9. Joints(M) := (a\_J)\_{J=0}^{J\_1}。

根据 TrMax 的定义， \((1, \mathrm{TrMax}(M)) < \frac{\mathrm{Next}}{M}(1, \mathrm{TrMax}(M)+1)\) 并非如此，且 TrMax \((M) < \mathrm{Lng}(M)\) ，因此 TrMax \((M)\) 是 M 容许的。另外，根据 FirstNodes \((M)\) 的定义， \(\mathrm{Br}(M) = \left((M_j)_{j = \text{FirstNodes } J(M)_{J=0}}^{\text{FirstNodes } J(M)_{J=0}^{J-1}}\right)_{J=0}^{J_1}\) 。

定理 23 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系。

对于任意 \(M \in PT_{\mathrm{PS}}\) 和 \(J \in \mathbb{N}\) , 令 \(J_1 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1\) , 则若 \(J \leq J_1\) , 则 \(Joints(M)_J \leq \mathrm{TrMax}(M) < \mathrm{FirstNodes}(M)_J\) 。

证明：这直接源于 TrMax、Br、FirstNodes 和 Joints 的定义，以及切片的单项分量与 \(<_{M}^{Next}\) 之间的关系。

定理 24 FirstNodes 和 Joints 的单调性。

对于任意 \(M \in PT_{PS}\) 和 \(J_{0}^{\prime}, J_{1}^{\prime} \in N\) ，令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1\) ，则若 \(J_{0}^{\prime} < J_{1}^{\prime} \leq J_{1}\) ，则以下成立：

(1) 第一个节点 \((M)_{J_{0}^{\prime}} \leq \text{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}\) 。 (2) 关节 \((M)_{J_{0}^{\prime}} \geq \text{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}\) 。 (3) \(M_{0, \text{FirstNodes} (M)_{J_0'}} \geq M_{0, \text{FirstNodes} (M)_{J_1'}}\) 。 (4) 对于任何 \(i \in \{0,1\}\) , \(LM_{i,\text{Joints}(M)_{J_0'}} > M_{i,\text{Joints}(M)_{J_1'}}\) 。

证明：

(1) 和 (3) 可直接由 P 和 IdxSum 的定义得出。 (2) 和 (4) 可直接由 FirstNodes、TrMax 和 Joints 以及 (3) 之间的关系得出。 证毕。

定理 25 单项性切片的遗传性。

对于任意 \(M \in PT_{\mathrm{PS}}\) 和 \(j_0', j_1' \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1\) , 令 \(J_1 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1\) , 且令 \(j_0' < j_1' \leq j_1\) , 令 \(M' := (M_j)_{j = j_0'}^{j_1'}\) 。然后, 若 \(j_0' \leq \mathrm{Joints}(M)_{J_1}\) , 则 \(M'\) 为单项的。

令 \(j_{0} := \mathrm{TrMax}(M)\) 。

\(\mathrm{TrMax}\left(M^{\prime}\right)=j_{0}-j_{0}^{\prime}\quad\mathrm{Lng}\left(M^{\prime}\right)-1=j_{1}^{\prime}-j_{0}^{\prime}\)

由于 \(\mathrm{Lng}(M')-1 = j_1'-j_0' > 0\) ，我们可以证明，对于任意 \(j\in \mathbb{N}\) ，若 \(j\leq j_1'-j_0'\) ，则 \((0,0)\leq_{M'}(0,j)\) 。

如果 \(j \leq \mathrm{TrMax}(M')\) ，则 \((1,0) \leq M'(1,j)\) ，因此 \((0,0) \leq M'(0,j)\) 。

于是 \(j > \mathrm{TrMax}(M')\) 。

\(j+j_{0}^{\prime}> \mathrm{TrMax}(M^{\prime})+j_{0}^{\prime}=j_{0}\) ，因此由于 FirstNodes 和 Joints 的单调性，存在唯一的 \(J\in N\) 使得 \(J\leq J_{1}\) 且 FirstNodes \((M)_{J}\leq j+j_{0}^{\prime}\mathrm{FirstNodes}(M)_{J+1}\) 。由于 P 的每个分量都具有非多重性， \(\mathrm{Br}(M)_{J}\) 不是多重性，因此 \((0,0)\leq\mathrm{Br}(M)_{J}(0,j+j_{0}^{\prime}-\mathrm{FistNodes}(M)_{J})\) ，即 \((0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J})\leq M(0,j+j_{0}^{\prime})\) 。

由于 FirstNodes 和 Joints 的单调性，以及 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系， \(j_{0}^{\prime} \leq \text{Joints}(M)_{J_{1}} \leq \text{Joints}(M)_{J} \leq \text{TrMax}(M)\) ，因此 \((1, j_{0}^{\prime}) \leq M(1, \text{Joints}(M)_{J}) \circ (1, j_{0}^{\prime}) \leq_{M}(1, \text{Joints}(M)_{J})\) 和 \((0, \text{Joints}(M)_{J}) <_{M}^{\text{Next}}(0, \text{FirstNodes}(M)_{J})_{\text{and}}\) \((0, \text{FirstNodes}(M)_{J}) \leq M(0, j+j_{0}^{\prime})\) ，因此 \((0, j_{0}^{\prime}) \leq M(0, j+j_{0}^{\prime})\) ，即 \((0, 0) \leq M'(0, j)\) 。

于是我们得到了 \(M'\) 的单项性。

证毕。

映射

\[ \text {Red:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \tag {21.98} \]

\[ M \mapsto \operatorname{Red} (M) \tag {21.99} \]

递归定义如下:

1. 如果 M 是名义函数，则 \(\mathrm{Red}(M):=((0,0))\) 。

2. 令 \(M\) 为单项函数。

2.1. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。

2.2. 令 \(M_{0}=(0,0)\) 。

2.2.1. 令 \(j_1' := \mathrm{Tr} \operatorname{Max}(M)\) 。

2.2.2. 如果 \(j_{1}^{\prime}=j_{1}\) ，则 \(\mathrm{Red}(M):=(\left(j,j\right))_{j=M_{1,0}}^{M_{1,0}+j_{1}}\) 。

2.2.3. 令 \(j_{1}^{\prime}<j_{1}\) 。

2.2.4. 令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1\) 。

2.2.5. 对于每个 \(J \in \mathbb{N}\) , 且 \(J \leq J_1\) , 定义 \(n_J \in \mathbb{N} \cup \{-1\}\) 和 \(N_J \in PT_{\mathrm{PS}}\) 如下:

2.2.5.1. 若 \((\mathrm{Br}(M)_{J})_{1,0}=0\) ，则 \(n_{J}=-1\) 。

2.2.5.2. 若 \((\mathrm{Br}(M)_J)_{1,0} > 0\) ，则令 \(n_J\) 为唯一的 \(j \in \mathbb{N}\) ，满足 \((1,j) < \frac{\mathrm{Next}}{M} (1,\mathrm{FirstNodes}(M)_J)\) 。

2.2.5.3. \(N_{J} := ((M_{0,0}+\mathrm{Joints}(M)_{J}+1, M_{1,0}+n_{J}+1)) \oplus \mathbb{N}^{2} \operatorname{Derp}\left(\mathrm{Br}(M)_{J}\right)\) .

2.2.6. \(\operatorname{Red}(M):= ((j,j))_{j=0}^{j_1'}\oplus_{\mathrm{N}^2}\bigoplus_{\mathrm{N}^2}\left(\operatorname{IncrFirst}^{\operatorname{Joints}(M)_{J-n}n_J}(\operatorname{Red}(N_J))\right)_{J=0}^{J_1}\)

2.3. 令 \(M_{0} \neq (0,0)\) 。

2.3.1. 令 \(M_{1,0} = 0\) 在[15] 中。

2.3.1.1. 令 \(N := ((M_{0,j}-M_{0,0}, M_{1,j}))_{j=0}^{j_1}\) 。

2.3.1.2. 令 \(\operatorname{Red}(M) := \operatorname{Red}(N)\) 。

2.3.2. 令 \(M_{1,0} > 0\) 。

2.3.2.1. 令 \(N := \operatorname{Red}\left(((j, j))_{j=0}^{M_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1,0}}(M)\right)\) 。

2.3.2.2. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(N)-1\) 。

2.3.2.2.1. 若 \(M_{1,0} \leq j_1\) 且 \((N_j)_{j=M_{1,0}}^{j_1} \in PT_{\mathrm{PS}} \operatorname{Red}(M) := \left( \left( N_{0,j}-N_{0,M_{1,0}}+N_{1,M_{1,0}}, N_{1,j} \right) \right)_{j=M_{1,0}}^{j_1}\) 。

2.3.2.2.2. 若 \(M_{1,0} \leq j_{1}\) 且 \((N_{j})_{j=M_{1,0}}^{j_{1}} \in T_{\mathrm{PS}} \backslash PT_{\mathrm{PS}}\) ，则 \(\mathrm{Red}(M) := M\) 。

2.3.2.2.3. 如果 \(M_{1,0} > j_{1}\) ，则 \(\mathrm{Red}(M) := M\) 。

3. 令 M 为复合项。

3.1. 令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1\) 。

3.2. \(\operatorname{Red}(M) := \bigoplus_{\mathbb{N}^2} (\operatorname{Red}(P(M)_J))^{\mathcal{J}_1}_{J=0}\) 。

定理 26 Red 的良定义性。

存在一个唯一的映射 Red 满足上述所有条件。

证明：

通过对 \(\mathrm{Lng}(M)-\mathrm{TrMax}(M)\) 进行数学归纳，可知对 \(\{M\in PT_{\mathrm{PS}}\mid M_{0}=(0,0)\}\) 存在唯一限制。

通过 Red 对 \(T_{PS} \setminus \{M \in PT_{PS} \mid M_{0} = (0,0)\}\) 的定义，可知 \(T_{PS}\) 存在唯一扩张。

证毕。

定理 27 Red 的 IncrFirst 不变性。

对于任意的 \(M \in T_{PS}\) ， \(\mathrm{Red}(\mathrm{IncrFirst}(M)) = \mathrm{Red}(M)\) 。

证明：这直接由 Red 的递归定义得出。证毕。

定理 28 Lng 的 Red 不变性。

对于任意的 \(M \in T_{PS}\) ， \(\mathrm{Lng}(\mathrm{Red}(M)) = \mathrm{Lng}(M)\) 。

证明：根据 Red 的递归定义，可直接通过 \(\mathrm{Lng}(M)\) 的数学归纳法得到证明。证毕。

定理 29 Red 零项性的保持。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，以下等价：

(1) M 为零项。

(2) Red(M) 为零项。

证明：Lng 的 Red 不变性可简化为 \(\mathrm{Lng}(M)=1\) 的情况。如果 \(\mathrm{Lng}(M)=1\) ，则可直接得出 Red 的递归定义。证毕。

定理 30 P 和 Red 的同变性。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))\) ，则 \(P(\mathrm{Red}(M)) = (\mathrm{Red}(P(M)_{J}))_{J=0}^{J_{1}}\) 。

证明：根据 Red 的递归定义，可以立即得出其直接祖先 Red 的不变性。证毕。

定理 31 单项性和 Red 的关系。

对于任意 \(M \in PT_{\mathrm{PS}}\) ，令 \(N := \operatorname{Red}\left(((j, j))_{j=0}^{M_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1,0}}(M)\right)\) 且令 \(j_1 := \operatorname{Lng}(N)-1\) ，则 \((N_j)_{j=M_{1,0}}^{j_1} \in PT_{\mathrm{PS}}\) 。

证明：

根据 N 的定义， \(\mathrm{Lng}(M)=j_{1}-M_{1,0}+1\) ，且对于任意 \((i,j),(i',j')\in\mathbb{N}^{2}\) ，下列命题等价：

(1) \((i,j)\leq_{M}(i^{\prime},j^{\prime})\) 。

(2) \((i,j+M_{1,0})\leq N(i',j'+M_{1,0})\) 。

因此，它由直接祖先的 Red 不变量得出。

证毕。

定理 32 Red 的幂等性。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ， \(\mathrm{Red}^{2}(M) = \mathrm{Red}(M)\) 。

证明：根据 Red 的的递归定义，可直接通过 \(\mathrm{Lng}(M)\) 的数学归纳法得到证明。证毕。

定理 33 Red 和 Pred 的可换性。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ， \(\text{Red}(\text{Pred}(M)) = \text{Pred}(\text{Red}(M))\) 。

证明：由 Red 的递归定义，通过对 \(\mathrm{Lng}(M)\) 的数学归纳法可知。证毕。

定理 34 Red 和基本列的可换性。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) 和 \(n \in N_{+}\) ， \(\operatorname{Red}(M)[n] = \operatorname{Red}(M[n])\) 。

证明：

设 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M_{1})-1\) 。通过对 \(j_{1}\) 进行数学归纳法证明。

如果 \(j_{1}=0\) ，则根据 Red 和运算符[] 的定义可直接得出。

设 \(j_{1} > 0\) 。

如果 \((1,0) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_1)\) 不成立，则根据 Red 和运算符[] 的递归定义可得出。

如果 \((1,0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1,j_1)\) ，则根据 Red 和 Pred 的交换性以及运算符[] 定义中使用的 B 的定义，通过对 \(n\) 进行数学归纳法可得出。

证毕。

定理 35 Red 对容许性的保持。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ， \(N_{M} = N_{\mathrm{Red}(M)}\) 。

证明：它直接源于其直系祖先的 Red 不变性。证毕。

定理 36 容许化的 Red 不变性。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) 和 \(j \in N\) ， \(\mathrm{Adm}_{M}(j) = \mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(M)}(j)\) 。

证明：它直接源于直系祖先的 Red 不变性以及 Red 的容许性。证毕。

定理 37 Red 对基点的保持。

对于任意 \((M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}\) ， \((\mathrm{Red}(M),m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{Marked}\) 。

证明：它直接源于直系祖先的 Red 不变性以及 Red 的容许性。证毕。

设 \(M \in T_{PS}\) 。

1. 如果满足 \(\mathrm{Red}(M)=M\) ，则称 M 可约。

2. 设 \(RT_{PS} \subset T_{PS}\) 为所有约化对序列的子集。

即 \(RT_{\mathrm{PS}} = \mathrm{Im}(\mathrm{Red})\) 。根据可约性定义可知， \(RT_{\mathrm{PS}} \subset \mathrm{Im}(\mathrm{Red})\) ；根据 Red 的幂等性可知， \(\mathrm{Im}(\mathrm{Red}) \subset RT_{\mathrm{PS}}\) 。

定理 38 简约性切片的遗传性。

对于任意 \(M \in RT_{\mathrm{PS}}\) ，令 \(j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1\) ，则若对于任意 \(j_0', j_1' \in \mathbb{N}, j_0' \leq \mathrm{Tr} \, \mathrm{Max}(M) \leq j_1' \leq j_1\) ，则 \((M_j)_{j = j_0'}^{j_1'}\) 可约。

证明：这直接源于 Red 的递归定义以及 Red 与 Pred 的交换性。证毕。

定理 39 P 对可约性的保持。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，以下等价：

(1) M 是可约化的。 (2) \(P(M)\) 的每个分量都是可约化的。

证明：这直接由 P 的 Red 等变性得出。证毕。

定理 40 基本列的可约性的保留。

对于任意 \(M \in RT_{PS}\) 和 \(n \in N_{+}\) ， \(M[n] \in RT_{PS}\) 。

证明：这直接由 Red 的幂等性以及 Red 与基本列的交换性得出。证毕。

定理 41 可约性与系数的关系。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。则 M 约化当且仅当：

(A) 对于任意 \(i \in \{0,1\}\) 和 \(j_1' \in \mathbb{N}\) ，若存在唯一的 \(j_0' \in \mathbb{N}\) 使得 \((i,j_0') <_{M}^{Next} (i,j_1')\) ，则 \(M_{i,j_0'}+1 = M_{i,j_1'}\) 。

(B) 对任意 \(j_1' \in \mathbb{N}\) , 若不存在唯一的 \(j_0' \in \mathbb{N}\) 使得 \((0, j_0') <_{M}^{Next}\) \((0, j_1')\) 且 \(j_1' \leq j_1\) , 则 \(M_{0, j_1'} = M_{1, j_1'}\) 。

我们准备了一些引理，为可约性和系数关系的证明做准备。

定理 42 Red 与左端的关系。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，有以下成立：

(1) \(\operatorname{Red}(M)_{1,0} = M_{1,0}\) 。

(2) 对于任意 \(u, j_0 \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。若 \(M\) 为单项函数, 且 \(j_0 \leq j_1\) , 且 \((M_j)_{j=0}^{j_0} = ((j, j))_{j=u}^{j_0+u}\) , 则 \(\mathrm{Red}(M)_{j_0} = (j_0+u, j_0+u)\) 。

证明：这直接由 Red 的递归定义得出。证毕。

定理 43 可约性与系数的基本性质。

对于任何 \(M \in RT_{PS}\) 和 \(j \in N\) ，如果 \(j < \mathrm{Lng}(M)\) 则 \(M_{0,j} \geq M_{1,j}\) 。

证明：根据 Red 的递归定义，可由 \(\mathrm{Lng}(M)\) 的数学归纳法直接得出。证毕。

定理 44 可约性与左端的关系。

对于任何 \(M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}\) 和 \(u \in \mathbb{N}\) ，如果 \(u \leq M_{1,0}\) 则 \(N := ((j, j))_{j=u}^{M_{1,0}-1} \oplus \mathbb{N}^2 M\) 并且 \(N\) 是可约的并且是单项的。

证明：若 \(M_{1,0} = u\) ，则 \(N = M\) 。以下令 \(M_{1,0} > u\) 。从Red与左端(2)的关系，以及Red的定义和Red的幂等性可知， \(((j,j))_{j = 0}^{u-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}N = ((j,j))_{j = 0}^{M_{1,0}-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}M = ((j,j))_{j = 0}^{M_{1,0}-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}\) \(\operatorname {Red}(M) = \operatorname {Red}\left((j,j))_{j = 0}^{M_{1,0}-1}\right.\) ，以及 \((j,j))_{j = 0}^{u-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}N = \operatorname {Red}\left((j,j))_{j = 0}^{u-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}N\right) = ((j,j))_{j = 0}^{u-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}\) \(\operatorname {Red}(N)\) ，所以 \(N = \operatorname {Red}(N)\) 。因此， \(N\) 是可约的。

根据可约性和系数的基本性质， \(u < M_{1,0} \leq M_{0,0}\) ，所以 \((0,0) \leq_{N} (0, u+M_{1,0})\) ，并且根据 M 的单项性，N 是单项的。

证毕。

定理 45 条件 (A) 与 (B) 和系数的基本性质。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。如果 \(M_{0} = (0, 0)\) 且 M 满足条件 (A)，则下列成立：

(1) 对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) , 如果 \(j \leq j_1\) 则 \(M_{0,j} \leq j\) 。

(2) 如果 \(M\) 满足条件 \((B)\) ，则对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，如果 \(j \leq j_1\) 则 \(M_{0,j} \geq M_{1,j}\) 。

(3) 令 \(i \in \{0,1\}\) ，且 \(i = 0\) 或 \(i = 1\) ，且 \(M\) 满足条件 \((B)\) 。对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，若存在 \(j_0', j_1' \in \mathbb{N}\) 使得 \((i, j_0') \leq_M (i, j_1')\) 且 \(j_0' j_1' \leq j \leq j_1\) ，则 \(M_{i,j} < j\) 。

证明：

（1）假设这不成立，我们得出一个矛盾。根据假设，存在 \(j \in \mathbb{N}\) 使得 \(j \leq j_1\) 且 \(M_{0,j} > j\) 。如果我们将其最小值定义为 \(j_0\) ，那么，根据 \(M_{0,0} = 0 \leq j_0 < M_{0,j_0}\) 以及父代存在性准则(1)，存在唯一的 \(j_0' \in \mathbb{N}\) 使得 \(j_0 > 0\) 且 \((0,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0)\) 。另一方面，由于 \(j_0\) 的最小性，我们有 \(M_{0,j_0'} \leq j_0'\) ，又因为 \(M\) 满足条件(A)，我们有 \(M_{0,j_0} = M_{0,j_0'}+1 = j_0'+1 \leq j_0\) ，这是一个矛盾。

(2) 假设这不成立，我们得出一个矛盾。根据假设，存在 \(j \in \mathbb{N}\) 使得 \(j \leq j_1\) 且 \(M_{0,j} < M_{1,j}\) 。如果我们定义它的最小值为 \(j_0\) ，那么由于 \(M\) 满足条件 (B)，存在唯一的 \(j_0' \in \mathbb{N}\) 使得 \((0, j_0') < _M^{\text{Next}} (0, j_0)\) 。另一方面，由于 \(j_0\) 最小， \(M_{0,j_0'} \geq M_{1,j_0'}\) ，且 \(M\) 满足条件 (A)， \(M_{0,j_0} = M_{0,j_0'}+1 \geq M_{1,j_0'}+1\) 。

如果 \((1,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_0)\) ，则 \(M\) 满足条件 (A)，因此 \(M_{0,j_0} = M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_0}\) ，这与条件 (A) 矛盾。

如果 \((1,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}\) （ \(1,j_0\) ）不成立，则 \(M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0}\) 意味着 \(M_{0,j_0} = M_{1,j_0'}+1 > M_{1,j_0}\) ，这是一个矛盾。

(3) 由于 \(M_0 = (0,0)\) 且 \(j > 0\) ，因此存在唯一的 \(J_1 \in \mathbb{N} \in \mathbb{N}^{<\omega}\) 使得：

\[ \mathrm{Lng} (a) = J_{1}+1 \text {。} \]

不存在唯一的 \(j' \in N\) 使得 \((i, j'-1) <_{M}^{\text{Next}} (i, a_{0})\) 。

对于任何 \(J \in \mathbb{N}\) ，如果 \(J < J_1\) 则 \((i, a_J) <_{M}^{\text{Next}} (i, a_{J+1})\) 。 \(a_{J_1} = j\) 。根据 \(j\) 的条件，存在 \(j' \in \mathbb{N}\) 使得 \((1, j'-1) <_{M}^{\text{Next}} (1, j')\) 且 \(j_0' < j' \leq j_1'\) 。因此， \(a\) 是一个严格单调递增序列，且不包含 \(j'\) 作为分量，所以 \(J_1 < j\) 。由于 \(M_{0,0} = 0\) ， \(a_{0,0} = 0\) 。因此，如果 \(i = 0\) ，则 \(a_{i,0} = 0\) 。如果 \(i = 1\) 且 \(M\) 满足条件 (B)，则根据 (2)， \(a_{i,0} = 0\) 。因此，两种情况下 \(a_{i,0} = 0\) 。此外，由于 \(M\) 满足条件 (A)， \(M_{i,j} \leq a_{i,0}+J_1 < j\) 。

证毕。

现在回到主题，我们给出简约性与系数的关系的证明：

如果 \(j_{1}=0\) ，则条件 (A) 恒为真，条件 (B) 成立的充分必要条件是 \(M_{0,0}=M_{1,0}\) 。

因此，这由 Red 的定义得出。

设 M 为单项函数，且 \(M_{1,0}=0\) 。

在这些条件下，我们利用数学归纳法，先跳到 \(j_{1}\) ，证明 \(M\) 的可约性等价于 \(M\) 满足条件 (A) 和 (B)。

设 \(j_{1}=1\) 。

在这种情况下， \((0,0)<_{M}^{\text{Next}}(0,1)\) 。

如果 \((1,0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,1)\) ，则 \(M_{1,0} < M_{1,1}\) ，且条件(A)等价于 \(M_1 = (M_{0,0}+1, M_{1,0}+1)\) ，条件(B)等价于 \(M_{0,0} = M_{1,0}\) ，因此这符合Red的定义。

如果 \((1,0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1,1)\) 不成立，则 \(M_{1,0} \geq M_{1,1}\) 。条件(A)等价于 \(M_{0,1} = M_{0,0}+1\) 且条件(B)等价于 \(M_{0,0} = M_{1,0}\) ，因此这符合Red的定义。

令 \(j_{1} > 1\) 。

首先，令 M 为约化函数。

令 \(j_0 := \max \left\{ j \in \mathbb{N} \mid j \leq j_1 \land \forall j' \in \mathbb{N}, (j' < j) \to ((1, j') <_{M}^{\text{Next}} (1, j'+1)) \right\}\) 。

令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}\left(P\left((M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}\right)\right)-1\) 。

从 Red 的递归定义可知， \(\left((M_j)_{j=0}^{j_0}\right)_0 = M_0 = (0,0)\) ，且对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，若 \(j \leq j_0\) ，则 \((0,0) \leq_M (0,j)\) 蕴涵 \((0,0) \leq_{(M_j)_{j=0}^{j_0}} (0,j)\) ，因此 \((M_j)_{j=0}^{j_0}\) 是单项的。此外，由于切片可约性的遗传性， \((M_j)_{j=0}^{j_0}\) 是隐式可约的，并且根据 Red 的定义， \((M_j)_{j=0}^{j_0} = \text{Red} \left((M_j)_{j=0}^{j_0}\right) =\)

\(((j,j))_{j=0}^{j_0}\) 。令 \(i \in \{0,1\}\) 和 \(j_1' \in \mathbb{N}\) ，并假设存在唯一的 \(j_0' \in \mathbb{N}\) 使得 \((i,j_0') <_{M}^{\mathrm{Next}} (i,j_1')\) ，其中 \(j_1' > j_0' \geq 0\) 。

在这种情况下， \((M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}\) 为单项。

令 \(J_{0} := \mathrm{Lng}\left(P\left((M_{j})_{j=j_{0}+1}^{j_{1}}\right)\right)-1\) 。

令 \(m := j_1-\mathrm{Lng}\left(P\left((M_j)_{j=j_0+1}^{j_1}\right)_{J_0}\right)+1\) 。

令 \(N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,m}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \operatorname{Red}\left(P\left((M_j)_{j=j_0+1}^{j_1}\right) J_0\right)\) 。

由于可约性与最左极限的关系，N 可约。若 \(M_{1,m}=0\) ，则根据 Red 与左端的关系（2）以及 Red 的递归定义， \(N_{0}=\mathrm{Red}\left(P\left((M_{j})_{j=j_{0}+1}^{j_{1}}\right)_{J_{0}}\right)_{0}=(0,0)\) 。

如果 \(M_{1,m} \neq 0\) ，则根据 \(N\) 的定义， \(N_0 = (0,0)\) 。因此，无论哪种情况， \(N_0 = (0,0)\) 。

\(\operatorname{Lng}(N)-1 = j_1-m+M_{1,m} < j_1\) ，且 \((0, m) \leq_M (0, j_1)\) 蕴涵 \((0, 0) \leq P(M)_{J_1} (0, j_1-m)\) ， \((0, M_{1,0}) \leq_N (0, j_1-m+M_{1,m})\) 。

令 \(j_0' \leq j_0 = j_1-1\) 。

由于 \((M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}\) 是单项的，因此 \((0,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})\) 。

\(M = ((j,j))_{j=0}^{j_0} \oplus_{\mathbb{N}^2}(M_{j_1})\) ，且由于 \((1,j_0) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_1)\) 且 \((0,j_0) <_{M}^{\text{Next}}(0,j_1)\) ，因此 \(j_0 = M_{0,j_0}M_{0,j_1}\) 且 \(j_0 = M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}\) 。因此， \(j_0' = M_{i,j_1}-1\) ，所以 \(M_{i,j_0'}+1 = j_0'+1 = M_{i,j_1}\) 。

令 \(j_0' \leq j_0 < j_1-1\) 。

由于 \((M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}\) 为单项函数，因此 \((0,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{0}+1)\) 。

\((1,j_0) < _M^{\text{Next}} (1,j_0+1)\) 且 \((0,j_0) < _M^{\text{Next}} (0,j_0+1)\) ，因此 \(M_{1,j_0} \geq M_{1,j_0+1}\) ；且 \((i,j_0') < _M^{\text{Next}} (i,j_1)\) 且 \(j_0'j_0+1 < j_1\) ，因此 \((1,j_0+1) \leq_M (1,j_1)\) 。因此， \((0,j_0+1) \leq_M (0,j_1)\) 不成立，即 \(J_0 > 0\) 且 \(j_0+1 < m\) 。 \(j_0' < j_0+1 < m\) 且 \((0,m) \leq_M (0,j_1)\) 和 \((i,j_0') < _M^{\text{Next}} (i,j_1)\) ，因此 \(i = 1\) 且 \(j_0' = M_{1,j_0'} < M_{1,j_1} \leq M_{1,m}\) 。因此，从 \((1,j_0') < _N^{\text{Next}} (1,j_1-m+M_{1,m})\) ，根据归纳假设， \(M_{i,j_0'}+1 = N_{1,j_0'}+1 = N_{1,j_1-m+M_{1,m}} = M_{i,j_1'}\) 。

如果 \(j_0 < j_0'\) ，则 \((i, j_0') < _M^{\text{Next}} (i, j_1)\) ，因此根据 \(P\) 的定义， \(m \leq j_0'\) 。再次， \((i, j_0') < _M^{\text{Next}} (i, j_1)\) ，因此 \((i, j_0'-m+M_{1,m}) < _N^{\text{Next}} (i, j_1-m+M_{1,m})\) 。因此，根据归纳假设， \(M_{i,j_0'}+1 = N_{1,j_0'}+1 = N_{1,j_1-m+M_{1,m}} = M_{i,j_1'}\) 。

设 \(j_{1}^{\prime}=j_{1}\) 且 \(J_{1}>0\) 。

设 \(m := j_{1}-\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})+1\) 。

由于 \(J_{1} > 0\) ， \(j_0 < m\) ，且根据 \(P\) 的定义， \(M_{0,m} < j_0\) 。根据可约性和系数的基本性质， \(M_{0,m}-M_{1,m} \geq 0\) ，因此 \(M_{1,m} \leq M_{0,m} < j_0 < m\) 。

\(P(M)_{J_{1}} \in PT_{\mathrm{PS}}\) 得出 \(((j,j))_{j=0}^{M_{1,m}} \oplus_{\mathbb{N}^{2}} (M_{j})_{j-m+1}^{j_{1}} \in PT_{\mathrm{PS}}\) ，且由 M 的约化性和 Red 的定义可知，

\[ \begin{array}{l} P (M)_{J_{1}} = \operatorname{IncrFirst}^{M_{0, m}-M_{1, m}} \left(\operatorname{Red} \left((M_{0, m}, M_{1, m}) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(M_{j}\right)_{j = m+1}^{j_{1}}\right)\right) \tag {21.100} \\ = \operatorname{IncrFirst}^{M_{0, m}-M_{1, m}} \left(\operatorname{Red} \left(P (M)_{J_{1}}\right)\right). \\ \end{array} \]

令 \(N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,m}-1} \oplus \mathbb{N}^2 \operatorname{Red}(P(M)_{J_1})\) 。

由于可约性与左边界之间的关系，N 是可约的。如果 \(M_{1,m}=0\) ，则由于 Red 与左边界 (2) 之间的关系以及 Red 的递归定义， \(N_{0}=\mathrm{Red}(P(M)_{J_{1}})_{0}=(0,0)\) 。如果 \(M_{1,m}\neq0\) ，则由于 N 的定义， \(N_{0}=(0,0)\) 。因此，在两种情况下， \(N_{0}=(0,0)\) 。

\(\mathrm{Lng}(N)-1 = j_1-m+M_{1,m}\) ，且由于 \((0,m)\leq_M(0,j_1)\) 蕴涵 \((0,0)\leq_{P(M)_{J_1}}(0,j_1-m)\) ，因此 \((0,M_{1,0})\leq_N(0,j_1-m+M_{1,m})\) 。

若 \(m = j_{1}\) ，则 \(P(M)_{J_1} = (M_m)\) ，且根据 \(P\) 的定义， \(j_0' \leq j_0\) 。因此， \(M_{1,m} \leq M_{0,m} < j_0\) ，所以 \(j_0' = M_{i,m}-1\) 。因此， \(M_{i,j_0'}+1 = j_0'+1 = M_{i,m} = M_{i,j_1'}\) 。

如果 \(m < j_1\) 且 \(j_0' \leq j_0\) ，则 \(j_0'm\) 且 \((0, m) \leq_M (0, j_1)\) 和 \((i, j_0') < _M^{\mathrm{Next}} (i, j_1)\) 意味着 \(i = 1\) 且 \(j_0' = M_{1,j_0'} < M_{1,j_1} \leq M_{1,m}\) 。因此，从 \((1, j_0') < _N^{\mathrm{Next}} (1, j_1-m+M_{1,m})\) ，根据归纳假设， \(M_{i,j_0'}+1 = N_{1,j_0'}+1 = N_{1,j_1-m+M_{1,m}} = M_{i,j_1'}\) 。

若 \(m < j_1\) 且 \(j_0 < j_0'\) ，则根据 \(P\) 的定义， \(m \leq j_0'\) ，且 \((i, j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(i, j_1), (i, j_0'-m+M_{1,m}) < _N^{\mathrm{Next}}(i, j_1-m+M_{1,m})\) 。因此，根据归纳假设， \(M_{i,j_0'}+1 = N_{1,j_0'}+1 = N_{1,j_1-m+M_{1,m}} = M_{i,j_1'}\) 。

从上可知，两种情况下条件（A）和（B）均得到满足。

接下来，假设 M 满足条件 (A) 和 (B)。

由于 \(M_{1,0}=0\) 且 M 满足条件 (B)，因此 \(M_{0,0}=0\) 。

这里，(\*) 对任意的 \(j_0', j_1' \in \mathbb{N}\) ，若 \((1, j_0'-1) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1, j_0')\) 且 \(j_0' \leq j_1' \leq j_1\) 且 \((M_j)_{j = j_0'}^{j_1'} \in PT_{\mathrm{PS}}\) ，则 \(N' := \left( (M_{0,j}-M_{0,j_0'}+M_{1,j_0'}, M_{1,j}) \right)_{j = j_0'}^{j_1'}\) 表明 \(N'\) 是约化的。然而，由于条件 (A) 和 (B) 以及系数的基本性质 (2)， \(N'\) 的每个分量都属于 \(\mathbb{N}^2\) 。

令 \(N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,j'}}-1 \oplus_{\mathbb{N}^2} N'\) 。

\(\mathrm{Lng}(N)-1 = j_1'-j_0'+M_{1,j_0'}\) ，且根据条件(A)和(B)以及系数的基本性质(3)， \(M_{1,j_0'} < j_0'\) 因此 \(\mathrm{Lng}(N)-1 < j_1'\leq j_1\) 。

如果 \(M_{1,j_1'} = 0\) ，则 \(N_0 = N_0' = (0,0)\) ；如果 \(M_{1,j_1'} > 0\) ，则根据 \(N\) 的定义， \(N_0 = (0,0)\) 。

\(\operatorname{IncrFirst}^{M_{0,j_0'}-M_{1,j_0'}}(N') = (M_j)_{j = j_0'}^{j_1'} \in PT_{\mathrm{PS}}\) ，且由 \(P\) 的 \(\operatorname{IncrFirst}\) 同方差性， \(N' \in PT_{\mathrm{PS}}\) ，且由于 \((0,0) \leq_N (0,M_{1,0})\) ， \(N\) 为单项的。此外，由于 \(N_0 = (0,0)\) ， \(N\) 满足条件 (B)。

证明 N 满足条件 (A)。令 \(i \in \{0,1\}\) 和 \(k_{0}, k_{1} \in N^{2}\) ，且令 \((i, k_{0}) <_{N}^{\text{Next}} (i, k_{1})\) 。

如果 \(M_{1,j_0'} \leq k_0\) ，则 \((i, k_0-M_{1,j_0'}) < _M^{\mathrm{Next}}(i, k_1-M_{1,j_0'})\) 且 \(M\) 满足条件 (A)。因此，若 \(i = 0\) ，则 \(N_{i,k_0}+1 = M_{0,k_0-M_{1,n'}}-M_{0,j_0'}+M_{1,j_0'}+1 = M_{0,k_1-M_{i,j'}}-M_{0,j_0'}+M_{1,j_0'} = N_{i,k_1}\) ；若 \(i = 1\) ，则 \(N_{i,k_0}+1 = M_{1,k_0-M_{1,j_0'}}+1 = M_{1,k_1-M_{i,j_0'}} = N_{i,k_1}\) 。

若 \(k_{0} < M_{1,j_{0}^{\prime}} < k_{1}\) ，则 \((M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_1^{\prime}}\in PT_{\mathrm{PS}}\) ，故 \((0,j_0^{\prime})\leq_M(0,j_0^{\prime}+k_1-M_{1,j_0^{\prime}})\) ，故 \((0,M_{1,j_0^{\prime}})\leq_N(0,k_1)\) ，故 \((1,M_{1,j_0^{\prime}})\leq_N(1,k_1)\) ，且 \(i = 1\) ，条件满足。由(A)和(B)以及系数(2)和(3)的基本性质，可知 \(N_{1,k_1}\leq N_{0,k_1}\) 和 \(N_{1,k_1} < k_1\) 。因此， \(k_{0} = N_{1,k_{1}}-1\) ，且 \(N_{i,k_0}+1 = k_0+1 = N_{i,k_1}\) 。

若 \(k_{1} \leq M_{1,j_{0}^{\prime}}\) ，则 \(N_{k_1} = (k_1, k_1)\) ，从而 \(k_0 = k_1-1\) ，且 \(N_{i,k_0}+1 = k_0+1 = k_1 = N_{i,k_1}\) 。

因此，N 满足条件 (A)。由于 \(\mathrm{Lng}(N)-1<j_{1}\) 且 \(N_{0}=(0,0)\) ，且 N 满足条件 (A) 和 (B)，根据归纳假设，N 减小。 \((M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}\in PT_{\mathrm{PS}}\) 意味着对于任何 \(j\in N\) ，如果 \(j_{0}^{\prime}\leq j\leq j_{1}^{\prime}\) ，则 \(M_{0,j_{0}^{\prime}}\leq M_{0,j}\) ，即 \(M_{0,j}-M_{0,j_{0}^{\prime}}+M_{1,j_{0}^{\prime}}\leq M_{1,j_{0}^{\prime}}\) 。因此，存在唯一的 \(M^{\prime}\in PT_{N}\) 使得 \(N^{\prime}=\operatorname{IncrFirst}^{M_{1,j_{0}^{\prime}}}(M^{\prime})\) 。因此，由 Red 的 IncrFirst 不变性、Red 与左边的关系 (2) 以及 Red 的递归定义可知，

\[ \begin{array}{l} ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, j^{\prime}}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} N^{\prime} = N = \mathrm{Red} (N) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right)_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(M^{\prime}\right)\right) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right)_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1, 0}^{\prime}} \left(M^{\prime}\right)\right) \tag {21.101} \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(M^{\prime}\right) \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(\operatorname{IncrFirst}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} (M^{\prime})\right) \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(N^{\prime}\right) \\ \end{array} \]

因此， \(N' = \text{Red}(N')\) ，即 \(N'\) 是可约的。

利用 Red 递归定义中引入的符号，根据 P 的定义，所有在 Red (M) 计算中出现的 \(N_{J}\) 都满足 (\*) 假设，且 IncrFirst \(^{Joints}(M)_{J}-n_{J}(\text{Red}(N_{J})) = N_{J}\) 。因此，根据 Red 的定义， \(\text{Red}(M) = M\) ，即 M 是可约的。

设 M 为单项复项，且 \(M_{1,0} > 0\) 。

令 \(N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^{2}} M\) 。

由于 M 为单项且 \(M_{1,0} > 0\) ，M 不包含 \((0,0)\) 分量，因此 N 为单项。

首先，假设 M 可约化。

由于可约化性与左边界的关系，N 可约化。此外，由于 N 为单项且 \(N_{0} = (0, 0)\) ，N 满足条件 (A) 和 (B)。特别地，M 满足条件 (A)。由于可约性及系数的基本性质， \(M_{0,0} = N_{0,M_{1,0}} \geq N_{1,M_{1,0}} = M_{1,0}\) ，因此 \((0, M_{1,0}-1) <_{M}^{\text{Next}} (0, M_{1,0})\) 。由于 N 满足条件 (A)， \(M_{0,0} = M_{1,0}\) 。此外，由于 M 是单项，M 满足条件 (B)。

接下来，假设 M 满足条件 (A) 和 (B)。

由于 N 是单项的，且 \(N_{0} = (0, 0)\) ，且 M 满足条件 (B)，因此 N 满足条件 (B)。设 \(i \in \{0, 1\}\) ， \(j_{0}', j_{1}' \in N\) ，并设 \((i, j_{0}') <_{N}^{\text{Next}} (i, j_{1}')\) 。

若 \(M_{1,0} \leq j_0'\) ，则 \((i,j_0'-M_{1,0}) < _M^{\text{Next}}(i,j_1'-M_{1,0})\) ，且由于 \(M\) 满足条件 (A)， \(N_{i,j_0'}+1 = M_{i,j_0'-M_{1,0}}+1 = M_{i,j_1'-M_{1,0}} = N_{i,j_1'}\) 。如果 \(j_0'M_{1,0} < j_1'\) ，则 \((0,0) \leq_M (0,j_1'-M_{1,0})\) 且 \((0,m_{1,0}) \leq_N (0,j_1')\) ，因此 \((i,j_0') < _N^{\text{Next}}(i,j_1')\) ，因此 \((1,0) \leq_M (1,j_1'-M_{1,0})\) 且 \(i = 1\) 。由于 \(M\) 满足条件 (B)， \(M_{0,j_1'} > M_{0,0} = M_{1,0} \geq M_{1,j_1'}\) ，因此 \(j_0' = M_{1,j_1'-M_{1,0}}-1\) 且 \(N_{i,j_0'}+1 = j_0'+1 = M_{1,j_1'-M_{1,0}} = N_{i,j_1'}\) 。

如果 \(j_{1}^{\prime} \leq M_{1,0}\) ，则 \(j_{0}^{\prime}+1 = j_{1}^{\prime}\) ，且 \(N_{i,j_{0}^{\prime}}+1 = j_{0}^{\prime}+1 = j_{1}^{\prime} = N_{i,j_{1}^{\prime}}\) 。

由上可知，N 满足条件 (A)。因此，N 可约。另一方面，M 满足条件 (B)，因此 \(M_{0,0} = M_{1,0}\) ，且由于 M 是单项的，存在唯一的 \(M' \in PT_{PS}\) ，使得 \(\operatorname{IncrFirst}^{M_{1,0}}(M') = M\) 。从 Red 的 IncrFirst 不变性，Red 与左边缘的关系（2）以及 Red 的递归定义

\[ \begin{array}{l} ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathrm{N}^{2}} M = N = \operatorname{Red} (N) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right)_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1, 0}} \left(M^{\prime}\right)\right) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right)_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1, 0}^{\prime}} \left(M^{\prime}\right)\right) \tag {21.102} \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(M^{\prime}\right) \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(\operatorname{IncrFirst}^{M_{1, 0}} \left(M^{\prime}\right)\right) \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} (M), \\ \end{array} \]

因此， \(M = \text{Red}(M)\) ，即 M 是可约的。

设 M 为复项。

首先，如果 \(M\) 是可约的，那么由于 \(P\) 保持可约性， \(P(M)\) 的每个分量都是可约的且单项的，并且特别满足条件 (A) 和 (B)。由于 \(M = \bigoplus_{\mathbb{N}^2} P(M)\) ，因此 \(M\) 也满足条件 (A) 和 (B)。

接下来，如果 \(M\) 满足条件 (A) 和 (B)，则 \(M = \bigoplus_{\mathbb{N}^2} P(M)\) ，因此 \(P(M)\) 的每个分量都满足条件 (A) 和 (B)，并且是单项的，因此是特别可约的。由于 \(P\) 保持可约性，因此 \(M\) 也是可约的。

证毕。

定理 46 直系祖先的切片与 Red 与 IncrFirst 之间的关系。

对于任意 \(M \in RT_{\mathrm{PS}}\) 和 \(j_0', j_1' \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1\) , \(j_0' j_1' \leq j_1\) , 且令 \(N := \mathrm{Red}\left((M_j)_{j = j_0'}^{j_1')}\right)\) 。然后, 若 \((0, j_0') \leq_M (0, j_1')\) , 则 \(N\) 可约, 单项且[22], 其中 \((M_j)_{j = j_0'}^{j_1'} = \mathrm{IncrFirst}^{M_{0,m}-M_{1,m}}(N)\) 。

根据 Red 对 N 的定义，N 是可约的。

根据可约性和系数的基本性质， \(M_{0,j_{0}^{\prime}}-M_{1,j_{0}^{\prime}}\geq0\) 。

根据单项遗传性到直系祖先的切片， \((M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}\) 是单项的，因此对于任何 \(j\in N\) ，如果 \(j_{0}^{\prime}\leq j\leq j_{1}^{\prime}\) ，则 \((0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j)\) ，因此 \(M_{0,j}-M_{0,j_{0}}\geq0\) 。

令 \(M^{\prime}:= \left(\left(M_{0,j}-M_{0,j_0^{\prime}}+M_{1,j_0^{\prime}},M_{1,j}\right)\right)_{j = j_0^{\prime}}^{j_1^{\prime}}\) 。

由于 IncrFirst \(M_{0,j_{0}^{\prime}}-M_{1,j_{0}^{\prime}}(M^{\prime})=(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}\) ，因此由于 \(\leq_{M}\) 的 IncrFirst 不变性， \(M^{\prime}\) 为单项的。

由于可约性以及系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。特别地， \((M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}\) 满足条件 (A)，因此，由于 \(\leq M_{0}\) 的 IncrFirst 不变性， \(M^{\prime}\) 满足条件 (A)。此外， \(M^{\prime}\) 是单项的，且 \(M_{0,0}^{\prime}=M_{1,j_{0}^{\prime}}=M_{1,0}^{\prime}\) ，所以 \(M^{\prime}\) 满足条件 (B)。因此，由于可约性与系数之间的关系， \(M^{\prime}\) 是可约的。

根据 Red 的 IncrFirst 不变性, \(N = \text{Red}\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}\right) = \text{Red}\left(\text{IncrFirst}^{M_{0,j_0'}-M_{1,j_0'}}(M')\right) = \text{Red}(M') = M'\) 。因此， \(\text{IncrFirst}^{M_{0,j_0'}-M_{1,j_0'}}(N) = \text{IncrFirst}^{M_{0,j_0'}-M_{1,j_0'}}(M') = (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}\) 。

证毕。

定理 47 一列的对序列基本性质。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，以下等价：

(1) \(\mathrm{Lng}(M)=1\) 且 M 是可约的。

(2) 存在唯一的 \(v \in N\) 使得 \(M = ((v, v))\) 。

证明：

假设 \(\mathrm{Lng}(M)=1\) ，且 M 可约。

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。特别地，由于 M 满足条件 (B)，因此存在唯一的 \(v \in N\) 使得 \(M_{0} = (v, v)\) 。

由于 \(\mathrm{Lng}(M)=1\) ，因此 \(M=(M_{0})=((v,v))\) 。

证毕。

令 \(ST_{PS}\) 为满足下列条件的最小子集 \(S \subset T_{PS}\) :

1. 对于任意 \(u, v \in \mathbb{N}\) ，若 \(u \leq v\) 则 \(((j, j))_{j=u}^{v} \in S\) 。 2. 对于任意 \(M \in S\) 且 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，则 \(M[n] \in S\) 。

这里，我们称属于 \(ST_{PS}\) 的对序列为标准形式。通常，术语标准形式对序列指的是出现在 3 行 Bashicu 矩阵 \(((0,0,0)(1,1,1))\) 展开中的序列，但这对应于上述 u=0 的条件，因此在本讨论中，标准形式是一个指代范围比平常更广的主题的术语。

定理 48 标准形式的简约性。

我们有 \(ST_{PS} \subset RT_{PS}\) 。

证明：

对于任意 \(u, v \in \mathbb{N}\) ，若 \(u \leq v\) ，则 \(((j, j))_{j=u}^v\) 可约化。因此，可由约化性在基本列中保持不变，以及基于 \(ST_{\mathrm{PS}}\) 定义的最小性推导出来。

证毕。

对于每个 \(k \in N\) ，递归定义子集 \(S_{k}T_{PS} \subset ST_{PS}\) ，如下所示：

1. 若 \(k = 0\) ，则 \(S_{k}T_{\mathrm{PS}} := \left\{((j, j))_{j=u}^{v} \mid (u, v) \in \mathbb{N}^{2} \wedge u \leq v\right\}\) 。

2. 若 k > 0，则 \(S_{k}T_{PS} := \{M[n] \mid M \in S_{k-1}T_{PS} \land n \in N\}\) 。

根据 \(ST_{PS}\) 定义的极小性， \(ST_{PS} = \bigcup_{k \in N} S_k T_{PS}\) 。

定理 49 标准形式的单项分量是标准形式。

对于任意 \(k \in N M \in S_{k} T_{PS}\) ， \(P(M) \in S_{k} T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}\) 。

证明：

这可以通过对 k 进行数学归纳法证明。

如果 k=0，则根据 \(S_{k}T_{PS}\) 的定义，M 是单数或单项复项。

设 k > 0。

设 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1\) 。

根据 \(S_{k}T_{PS}\) 的定义，存在 \(M' \in S_{k-1}T_{PS}\) 和 \(n \in N_{+}\) ，使得 \(M = M'[n]\) 。根据归纳假设， \(P(M') \in S_{k-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}\) 。

令 \(J_{0} := \mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)\right)-1\) 。

令 \(\mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)_{J_{0}}\right)=1\) 。

若 \(J_0 = 0\) ，则 \(M = M'[n] = P(M')_{J_0}[n] = P(M')_{J_0} \in S_{k-1}T_{\mathrm{PS}}\) ，因此这可由归纳假设得出。

若 \(J_0 > 0\) ，则由 \(P\) 与基本列（1）的关系可知， \(P(M) = (P(M')_J)_{J=0}^{J_0-1} \in S_{k_0-1} T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}\) 。令 \(\mathrm{Lng}\left(P(M')_{J_0}\right) > 1\) 。

由 \(P\) 与基本列（2）的关系可知， \(P(M) = (P(M')_J)_{J=0}^{J_1} \oplus_{\mathbb{N}^2} P(P(M')_{J_0}[n])\) 。

\((P(M')_{J})_{J=0}^{J_{0}-1} \in S_{k_{0}-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}\) , 并由 \(P(M')_{J_0} \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}\) , 根据归纳假设 \(P(P(M')_{J_0}[n]) \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}\) , 因此 \(P(M) \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}\) 。

证毕。

定理 50 标准形式初始段的遗传性。

对于任意 \(M \in ST_{\mathrm{PS}}\) 和 \(j_1' \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1\) , 则若 \(j_1' \leq j_1\) , 则 \((M_j)_{j=0}^{j_1'}\) 为规范形式。

证明：由于 \(M[1] = \operatorname{Pred}(M)\) ，根据 \(j_{1}-m_{1}\) 的数学归纳法可知。证毕。

令 \(Q \in T_{PS}^{<\omega}\) 。

1. 令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(Q)-1\) 。

2. 如果对于任意 \(J_0', J_1' \in \mathbb{N}\) , 若 \(J_0' \leq J_1' \leq J_1\) , 则称 \(Q\) 为下降的: 1. \(\left(Q_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(Q_{J_1'}\right)_{0,0}\) 。 2. 若 \(\left(Q_{J_{0}^{\prime}}\right)_{0,0}=\left(Q_{J_{1}^{\prime}}\right)_{0,0}\) ，则 \(\left(Q_{J_{0}^{\prime}}\right)_{1,0}\geq\left(Q_{J_{1}^{\prime}}\right)_{1,0}\) 。

根据 P 最左分量的单调性，对于任何 \(M \in T_{PS}\) ，以下等价：

(1) \(P(M)\) 按降序排列。 (2) 对任意 \(J_0', J_1' \in \mathbb{N}\) , 若 \(J_0' \leq J_1' \leq J_1\) 且 \(\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}\) , 则 \(\left(P(M)_{J_0'}\right)_{1,0} \geq \left(P(M)_{J_1'}\right)_{1,0}\) 。

因此，具体而言，当 M 为单项时，令 \(j_{1}^{\prime} := \mathrm{TrMax}(M)\) ，令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) ，且如果 \(j_{1}^{\prime}j_{1}\) ，则为了确定 \(\mathrm{Br}(M)\) 是否为降序，我们只需检查 (2) 是否与 \((M_{j})_{j=j_{1}^{\prime}}^{j_{1}}\) 相对应。

定理 51 标准形式的单项成分按降序排列。

对于任意 \(M \in ST_{\mathrm{PS}}\) 和 \(J_0', J_1' \in \mathbb{N}\) , 令 \(J_1 := \mathrm{Lng}(P(M))-1\) 。然后, 若 \(J_0' \leq J_1' \leq J_1\) 且 \(\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}\) , 则 \(\left(P(M)_{J_0'}\right)_{1,0} \geq \left(P(M)_{J_1'}\right)_{1,0}\) 。

证明：

设 \(k_{0}:= \min \{k\in \mathbb{N}\mid M\in S_{k}T_{\mathrm{PS}}\}\) 。由于 \(J_{1}\geq J_{1}^{\prime} > J_{0}^{\prime}\geq 0\) ， \(M\) 为复合项，这是由于 \(P\) 各分量的非复合性质(2)，因此 \(k_{0} > 0\) 。因此，存在 \(M^{\prime}\in S_{k_{0}-1}T_{\mathrm{PS}}\) 和 \(n\in \mathbb{N}_{+}\) ，使得 \(M = M^{\prime}[n]\) 。

由于 M 是复项的，且非复项性与基本列 \(k_{0}-1>0\) 之间存在关系，即 \(k_{0}>1\) 且 n>1。

因此，存在 \(N \in S_{k_{0}-2}T_{PS}\) 和 \(n' \in N_{+}\) 使得 \(M' = N[n']\) 。

这可以通过关于 \(k_{0}\) 的数学归纳法得到证明。

设 \(k_{0}=2\) 。

由于 \(N \in S_{k_0-2}T_{\mathrm{PS}} = S_0T_{\mathrm{PS}}\) ，存在 \(u, v \in \mathbb{N}\) ，使得 \(u \leq v\) 且 \(N = ((j,j))_{j=u}^v\) 。

假设 \(u = v\) ，则 \(M' = N[n'] = ((u, u))[n'] = ((u, u))\) 且 \(M = M'[n] = ((u, u))[n] = ((u, u))\) ，这违反了 \(M\) 的复项性质。

假设 \(u+1 < v\) 。

\[ M^{\prime} = N \left[n^{\prime} \right] = ((j, j))_{j = u}^{v-2} \oplus_{\mathbb {N}} \left((v-1+k, v-1)\right)_{k = 0}^{n^{\prime}-1} 。 \]

如果 \(n' = 1\) ，则 \(M = M'[n] = \left(((j,j))_{j=u}^{v-2} \oplus_{\mathbb{N}} ((v-1, v-1))\right)[n] = ((j,j))_{j=u}^{v-3} \oplus_{\mathbb{N}} ((v-2+k, v-2))_{k=0}^{n-1}\) ，因此 \((M_{0,j})_{j=0}^{j_1} = (j)_{j=u}^{v+n-3}\) 。

如果 \(n' > 1\) ，则

\[ \begin{array}{l} M = M^{\prime}[n] \\ = \left(\left((j, j)\right)_{j = u}^{v-2} \oplus_{\mathbb {N}} \left((v-1+k, v-1)\right)_{k = 0}^{n^{\prime}-1}\right)[n] \\ = ((j, j))_{j = u}^{v-3} \oplus_{\mathbb {N}} \bigoplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((v-2+k^{\prime} n^{\prime}, v-2) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((v-1+k+k^{\prime} n^{\prime}, v-1)\right)_{k = 0}^{n^{\prime}-2}\right)_{k^{\prime} = 0}^{n-1}. \tag {21.103} \\ \end{array} \]

于是有 \((M_{0,j})_{j=0}^{j_{1}}=(j)_{j=u}^{v+nn'-3}\) 。

无论哪种情况，复项性条件都与 M 的复项性相矛盾。

由上可知， \(u+1 = v\) ，且 \(M^{\prime} = N[n^{\prime}] = ((u+k,u))_{k = 0}^{n^{\prime}-1}\) 。

若假设 \(n' = 1\) ，则 \(M = M'[n] = ((u, u))[n] = ((u, u))\) ，这与 \(M\) 的复项性质相矛盾。因此， \(n' > 1\) 。

若 \(u > 0\) ，则 \(M = M'[n] = ((u+k,u))_{k = 0}^{n'-1}[n] = ((u+k,u))_{k = 0}^{n'-2}\) ，根据复项性准则，这与 \(M\) 的复项性相矛盾。因此， \(u = 0\) ，且 \(M = M'[n] = ((k,0))_{k = 0}^{n'-1}[n] = ((k,0))_{k = 0}^{n'-2} \oplus_{\mathbb{N}^2}((n'-1,0))_{k' = 0}^{n-1}\) 。

设 \(n' > 2\) ， \((0,0) \leq_M (0,j_1)\) 与 \(M\) 的复合性质相矛盾。因此， \(n' = 2\) 且 \(M = ((n'-1,0))_{k'=0}^{n-1}\) 。由于 \(P(M) = (((n'-1,0)))_{k'=0}^{n-1}\) ，因此 \(\left(P(M)_{J_0'}\right)_{1,0} = 0 = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{1,0}\) 。

令 \(k_{0} > 3\) 。

令 \(J_{0} := \mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)\right)-1\) 。

若 \(\mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)_{J_{0}}\right)=1\) ，则根据 P 与基序列的关系以及 P 各分量的非复项性质 (2)， \(J_{0}>0\) 且 \(P(M)=(P\left(M'\right)_{J})_{J=0}^{J_{0}-1}\) ，由此推导出归纳假设。令 \(\mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)_{J_{0}}\right)>1\) 。

由于 P 与基本列的关系， \(P(M) = \left( P\left( M' \right)_J \right)^{J_0-1}_{J=0} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} P\left( P\left( M' \right)_{J_0}[n] \right)\) 。

令 \(J_{-1} := \mathrm{Lng}\left(P\left(P\left(M'\right)_{J_0}\right)\right)-1\) 。

由于 \(P(1)\) 各分量的非多重性，所以 \(P(M')_{J_0}\) 不是多重序列，且由于非多重性与基本列的关系， \(\left(\left(P(P(M')_{J_0}[n])_J\right)_{0,0}\right)_{J=0}^{J-1}\) 只有 \(\left(P(M')_{J_0}\right)_{0,0}\) 作为分量。若 \(J_1'J_0\) ，则根据归纳假设， \(\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(P(M')_{J_1'}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}\) 。

若 \(J_0' J_0 \leq J_1'\) ，则根据归纳假设， \(\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(P(M')_{J_0}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0}[n]\right)_{J_1'-J_0}\left.\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}\) 。

若 \(J_0 \leq J_0'\) ，则 \(\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}\) 。

证毕。

作为证明后面定义的标准形式对序列系统的终止性质的准备，我们定义了一个从对序列到 Buchholz 符号系统的翻译映射 Trans，并研究了它的性质。

接下来， \(T_{B}\) 表示 Buchholoz 符号 T 的子集，由所有不包含 \(D_{\omega}\) 的项组成。注意， \(T_{B}\) 并不局限于序数项。虽然最终会用到序数项，但如果我们从一开始就将论证限制在序数项上，则会非常冗长，因为我们需要检查论证过程中出现的每个项是否是序数项。因此，在证明标准形式对系统的终止性之前，我们不会将论证限制在序数项上。

\(T_{B}\) 元素之间的关系表示通常的强序关系， \(T_{B}\) 元素之间的关系表示 “< 或二” 的缩写， \(T_{B}\) 元素之间的运算+表示加法， \(T_{B}\) 元素的 \(n \in N\) 表示 n 次， \(T_{B}\) 元素的[] 运算符表示仅将[Buc1] 第 203–204 页[运算符] 递归定义中的 ([]).4) (ii) 改为[Buc2] 第 6 页定义中的规则 6 后得到的基本列，dom 表示每个项的[] 运算符的定义域。

在 Buchholz 符号中，既不是 0 也不是单项的项称为复合项。令 PTB ⊂ T \(_{B}\) 表示所有不包含 D \(_{\omega}\) 的简单项的子集，令 MT \(_{B}\) ⊂ T \(_{B}\) 表示所有不包含 D \(_{\omega}\) 的复杂项的子集。令 (表示 T \(_{B}\) 中的字母 (，令表示 T \(_{B}\) 中的字母，令) 表示 T \(_{B}\) 中的字母)。令 Σ 为 T \(_{B}\) 中所有 D \(_{u}\) 的集合，其中包含字母 (,)、0 以及每个 u ∈ ω+1。

令 \(t \in PT_{\mathrm{B}}^{<\omega}\) 。

1. 如果 \(t = ()\) ，则令 \(t' := 0 \in \Sigma\) 。

2. 令 \(t \neq ()\) 。

1. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(t)-1\) 。

2. 令 \(s_{0}:=(\circ)\)

3. 对于每个 \(j \in \mathbb{N}\) ，且 \(0 < j < j_1\) ，令 \(s_j := s_{j-1} t_{j-1}\) 。

4. 令 \(t' := s_{j_1-1} t_{j_1}\) \(\in \Sigma\) 。

如果 \(j_{1} = -1\) ，则 \(t' = 0 \in T_{\mathrm{B}}\) 。如果 \(j_{1} = 0\) ，则 \(t' = (\underline{t_0})\) ，因此，根据收缩规则 \(\{(p) = p \mid p \in PT_{\mathrm{B}}\}\) ， \(t'\) 与 \(t_0 \in PT_{\mathrm{B}}\) 等同。如果 \(j_{1} > 0\) ，则 \(t' \in T_{\mathrm{B}} \setminus (\{0\} \cup PT_{\mathrm{B}})\) 。因此，无论哪种情况，我们都定义一个项 \(T_{\mathrm{B}}\) ，将其表示为 \(\Sigma_{\mathrm{B}} t\) 。

映射

\[ P: T_{\mathrm{B}} \to P T_{\mathrm{B}}^{< \omega} \tag {21.104} \]

\[ t \mapsto P (t) \tag {21.105} \]

定义如下:

1. 如果 t = 0，则 \(P(t) := ()\) 。

2. 如果 \(t \in PT_{B}\) ，则 \(P(t) := (t)\) 。

3. 令 \(t \in MT_{\mathrm{B}}\) 。

1. 根据 Buchholz 符号系统的递归定义，存在唯一的 \(s \in \Sigma^{<\omega}\) 和 \(t' \in PT_{\mathrm{PS}}\) 使得：

1. \(t = (s, t')\) 。

2. \(s \in PT_{B}\) 或 \((s) \in MT_{B}\) 。

2. 若 \(s \in PT_{\mathrm{B}}\) ，则 \(P(t) := P(s) \oplus PT_{\mathrm{B}}(t')\) 。

3. 若 \((s) \in MT_{\mathrm{B}}\) ，则 \(P(t) := P((s)) \oplus PT_{\mathrm{B}}(t')\) 。

对于 \(t \in T_{B}\) ， \(P(t)\) 的每个分量称为 t 的单项式分量。

定理 52 标准形式的单项成分按降序排列。

对于任意 \(t \in T_{B}\) ，(在 t 中出现的的数量等于) 在 t 中出现的的数量。

证明：根据 Buchholz 符号的递归定义，通过对 \(\mathrm{Lng}(t)\) 进行数学归纳法可知。证毕。

定理 53 序数单项分量的基本性质。

对于任意 \(t \in T_{B}\) ，令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(t))-1\) ，且下列条件成立：

(1) \(J_{1} = -1\) 当且仅当 \(t = 0\) 。 (2) \(t = \Sigma_{\mathrm{B}}(P(t)_J)_{J = 0}^{J_1}\circ\)

证明：由 P 的递归定义可知，通过对 \(\mathrm{Lng}(t)\) 的数学归纳法可以得到。证毕。

定理 54 部分表现不等式的延长性。

对于任意 \(s, b \in \Sigma^{<\omega}\) 且 \(t_{0}, t_{1} \in T_{B}\) ，若 \(st_{0}b \in T_{B}\) 且 \(st_{1}b \in T_{B}\) ，则下列等价：

(1) \(t_{0}<t_{1}\) 。 (2) \(st_0b < st_1b\) 。

证明：由 < 的递归定义，通过对 \(\mathrm{Lng}(s)\) 的数学归纳法可知。证毕。

映射

\[ \text {RightNodes:} T_{\mathrm{B}} \rightarrow \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.106} \]

\[ t \mapsto \text {RightNodes} (t) \tag {21.107} \]

递归定义如下:

1. 如果 t = 0，则 RightNodes(t) := ()。

2. 令 \(t \in PT_{\mathrm{B}}\) 。

1. 令 \(t = D_u t'\) ，其中 \(u \in \mathbb{N}\) 和 \(t' \in T_{\mathrm{B}}\) 。

2. RightNodes(t) := (u) ⊕ NRightNodes(t')。

3. 令 \(t \in T_{\mathrm{B}} \setminus (\{0\} \cup PT_{\mathrm{B}})\) 。

1. 令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(t))-1\) 。

2. 右节点 \((t) := \text{RightNodes}(P(t)_{J_{1}})\) 。

为了辅助计算序数项、不等式、加法和基本列，我们引入了 scb 分解的概念，它提供了字符串的句法信息。

设 \(t \in T_{B}\) 且 \((s, c, b) \in (\Sigma^{<\omega})^{3}\) 。

1. 如果满足以下条件，则 \((s, c, b)\) 是 \(t\) 的 scb 分解：

1.1. \(t = scb\) 。

1.2. 如果 \(t \neq 0\) ，则 \(c \in PT_{\mathrm{B}}\) 。

1.3. b 是仅由）组成的字符串。

2. 如果满足以下条件，则 \((s, c, b)\) 是 \(t\) 的亏格为 0 的 scb 分解：

2.1. \((s, c, b)\) 是 \(t\) 的 scb 分解。

2.2. \(\text{Lng(RightNodes}(c)) = 2\) 。

2.3. RightNodes \((c)_{1} = 0\) 。

3. 如果满足以下条件，则称 \((s, c, b)\) 是 t 的第一类 scb 分解：

3.1. \((s, c, b)\) 是 \(t\) 的 scb 分解。

3.2. 如果 \(j_{1} := \text{Lng}(RightNodes(c))-1\) ，则 \(j_{1} \geq 1\) 。

3.3. RightNodes \((c)_{0} < \text{RightNodes}(c)_{j_{1}}\) 。

3.4. 对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，如果 \(0 < j < j_1\) ，则 \(\operatorname{RightNodes}(c)_j \geq \operatorname{RightNodes}(c)_{j_1}\) 。

定理 55 scb 分解的置换可能性。

对于任意 \(s, b \in \Sigma^{<\omega}\) 和 \(c_0, c_1 \in T_{\mathrm{B}}\) ，如果 \(c_0\) 非单项或 \(c_1\) 为单项且 \(sc_0b \in T_{\mathrm{B}}\) 且 \((s, c_0, b)\) 是 \(sc_0b\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解，则 \(sc_1b \in T_{\mathrm{B}}\) 且 \((s, c_1, b)\) 是 \(sc_1b\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解。

证明： \(sc_{1}b \in T_{B}\) 可由 Buchholz 符号系统的递归定义通过数学归纳法得出。 \((s, c_{1}, b)\) 是 \(sc_{1}b\) 的 scb 分解，可由 scb 分解的定义得出。证毕。

定理 56 scb 分解的合成规则。

对于任意 \(t \in T_{B}\) ，有以下成立：

(1) 对于任意 \(c_{0} \in PT_{\mathrm{B}}\) 且 \(s_{0}, s_{1}, c_{1}, b_{1}, b_{0} \in \Sigma^{<\omega}\) , 若 \((s_{0}, c_{0}, b_{0})\) 是 \(t\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解, 且 \((s_{1}, c_{1}, b_{1})\) 是 \(c_{0}\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解, 则 \((s_{0}s_{1}, c_{1}, b_{1}b_{0})\) 是 \(t\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解。

(2) 对任意 \(v \in \mathbb{N}\) 及 \(s, c, b \in \Sigma^{<\omega}\) , 若 \((s, c, b)\) 是 \(t\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解, 则 \((D_v s, c, b)\) 是 \(D_v t\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解。

证明：这可直接由 scb 分解的定义得出。证毕。

存在 \((s, b) \in (\Sigma^{<\omega})\) ，使得 \((s, c, b)\) 是 \(t\) 的 scb 分解。设 \(T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}} \subset T_{\mathrm{B}}^{2}\) 是所有 \((t, c) \in T_{\mathrm{B}}^{2}\) 的子集。

定理 57 scb 分解自明性的判定条件。

对于任意 \((t,c)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) ，下列等价：

(1) \(t = c\) 。

(2) 对于任意 \((s,b)\in(\Sigma^{<\omega})^{2}\) ，若 \((s,c,b)\) 是 t 的 scb 分解，则 \(s=()\) 且 \(b=()\) 。

(3) 存在某个 \(b \in \Sigma^{<\omega}\) 使得 \(((), c, b)\) 是 \(t\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解。

证明：

如果 (1) 为真，则 \(\mathrm{Lng}(s)+\mathrm{Lng}(b) = (\mathrm{Lng}(s)+\mathrm{Lng}(c)+\mathrm{Lng}(b))-\mathrm{Lng}(b) = \mathrm{Lng}(t)-\mathrm{Lng}(c) = 0\) ，因此 \(s = ()\) 且 \(b = ()\) ，且 (2) 为真。

如果 (2) 成立，则 \((t, c) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) ，因此存在 \((s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) ，使得 \((s, c, b)\) 是 \(t\) 的 scb 分解，且由 (2) \(s = ()\) 且 \(b = ()\) ，因此 \(t = scb = c\) ，且 (1) 和 (3) 成立。

如果 (3) 成立，则序数项左右括号个数相等，且 \(t = cb\) 蕴涵 \(b = ()\) ，因此 \(t = c\) ，且 (1) 成立。

证毕。

令 \(t \in T_{B}\) 。

1. 若存在 \(t\) 的第 0 类 scb 分解, 则称 \(t\) 为第 0 类 scb 可分解。

2. 若存在 \(t\) 的第 1 类 SCB 分解, 则称 \(t\) 为第 1 类 SCB 可分解。

定理 58 scb 分解的唯一性。

对于任意 \(t \in T_{\mathrm{B}}\) ，有以下成立：

(1) 对于任意 \((s_0, s_1, c, b_0, b_1) \in (\Sigma^{<\omega})^5\) ，若 \((s_0, c, b_0)\) 和 \((s_1, c, b_1)\) 均为 \(t\) 的 \(scb\) 分解，则 \(s_0 = s_1\) 且 \(b_0 = b_1\) 。

(2) \(\mathrm{dom}(t) = \mathbb{N}\) 当且仅当 \(t\) 为第0类scb可分解或第1类scb可分解。

(3) t 不是第 0 类的 scb 可分解，或 t 不是第 1 类的 scb 可分解。

(4) t 的第 0 类的 scb 分解是唯一的。

(5) t 的第 1 类的 scb 分解是唯一的。

证明：

(1) 可立即成立，因为 c 是单项运算符，且单项运算符包含除) 之外的字符。 (2) 可立即成立，因为 \(t\) 不包含 \(D_{\omega}\) ，所以 \(\mathrm{dom}\) 的递归定义成立。

接下来我们证明 (4)。

假设 \((s_{0},c_{0},b_{0})\) 和 \((s_{1},c_{1},b_{1})\) 是t的第0类scb分解。

令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Rightnodes}(t))-1\) 。根据假设，t 是 scb 可分解的，因此 \(t \neq 0, j_{1} \geq 0\) 。

令 \(u := \text{RightNodes}(t)_{j_1}\) 。根据 RightNodes 的递归定义，从 t 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 \(D_u0\) 。

令 \(i \in \{0,1\}\) 。令 \(j_{1,i} := \text{Lng}(\text{RightNodes}(c_i))-1\) 。根据 scb 分解的定义， \(j_{1,i} \geq 1\) 。令 \(u_i := \text{RightNodes}(c_i)_{j_{1,i}}\) 。根据 RightNodes 的递归定义，从 \(c_i\) 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 \(D_{u_i}0\) 。

由于 \(b_{i}\) 是一个仅由) 组成的字符串，因此从 t 中移除）后得到的字符串的最后两个字符等于从 \(c_{i}\) 中移除) 后得到的字符串的最后两个字符，因此 \(u = u_{i}\) 。因此， \(u_{0} = u_{1}\) 。

令 \(v_{i} := \mathrm{RightNodes}(c_{i})_{0}\) 。由于 \(b_{i}\) 是一个仅由组成的字符串， \(t\) 的后两个字符减）等于 \(c_{i}\) 的后两个字符减），故 \(u = u_{i}\) 。因此， \(u_{0} = u_{1}\) 。因此，若 \(v_{i} = \mathrm{RightNodes}(t)_{j_{1}-j_{1,i}} < u\) 且对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ， \(j_{1}-j_{1,i}j < j_{1}\) ，则 \(\mathrm{RightNodes}(t)_{j} \geq u\) 。由上可知， \(j_{1}-j_{1,0} = j_{1}-j_{1,1}\) ，且 \(v_{0} = v_{1}\) 。

令 \(j_{0} := j_{1}-j_{1,0}\) 。由于 RightNodes \((t)_{j_{0}} = v_{0}\) ，t 包含 \(D_{v_{0}}\) 。令 s 为 t 中最后一次出现 \(D_{v_{0}}\) 左侧的字符串。由于 \(c_{i}\) 的开头是 \(D_{v_{0}}\) ，且 RightNodes \((c_{i}) = (\text{RightNodes}(t)_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}\) ， \(s = s_{i}\) 。因此， \(s_{0} = s_{1}\) 。

由于 \(c_{i}\) 是一个词项，因此在 \(c_{i}\) 末尾附加一个或多个）的字符串不是词项。此外，由于 \(b_{i}\) 仅由）组成， \(c_{i}\) 是从 t 开头排除 s 的字符串中最大的子串，且该子串为一个项。因此， \(c_{0}=c_{1}\) 且 \(b_{0}=b_{1}\) 。

由上式可知， \((s_{0},c_{0},b_{0})=(s_{1},c_{1},b_{1})\) 。

接下来我们证明 (5)。

假设 \((s_{0},c_{0},b_{0})\) 和 \((s_{1},c_{1},b_{1})\) 是 t 的第一类 scb 分解。

令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Rightnodes}(t))-1\) 。根据假设，t 是 scb 可分解的，因此 \(t \neq 0, j_{1} \geq 0\) 。

令 \(u := \text{RightNodes}(t)_{j_1}\) 。根据 RightNodes 的递归定义，从 t 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 \(D_u0\) 。

令 \(i \in \{0,1\}\) 。令 \(j_{1,i} := \text{Lng}(\text{RightNodes}(c_i))-1\) 。根据 scb 分解的定义， \(j_{1,i} \geq 1\) 。令 \(u_i := \text{RightNodes}(c_i)_{j_{1,i}}\) 。根据 RightNodes 的递归定义，从 \(c_i\) 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 \(D_{u_i}0\) 。

由于 \(b_{i}\) 是一个仅由) 组成的字符串，因此从 t 中移除) 后得到的字符串的最后两个字符等于从 \(c_{i}\) 中移除) 后得到的字符串的最后两个字符，因此 \(u = u_{i}\) 。因此， \(u_{0} = u_{1}\) 。

令 \(v_{i} := \mathrm{RightNodes}(c_{i})_{0}\) 。由于 \(b_{i}\) 是仅由）组成的字符串，且 \(c_{i}\) 是 \(t\) 中的一个项，因此 \(j_{1,i} \leq j_{1}\) 且 \(\mathrm{RightNodes}(c_{i}) = (\mathrm{RightNodes}(t)_{j})_{j = j_{1}-j_{1,i}}^{j_{1}}\) 。因此，若 \(v_{i} = \mathrm{RightNodes}(t)_{j_{1}-j_{1,i}} < u\) ，且对于任意 \(j \in \mathbb{N}, j_{1}-j_{1,i}j < j_{1}\) ，则 \(\mathrm{RightNodes}(t)_{j} \geq u\) 。由上可知， \(j_{1}-j_{1,0} = j_{1}-j_{1,1}\) ，且 \(v_{0} = v_{1}\) 。

令 \(j_0 := j_1-j_{1,0}\) 。由于 \(\operatorname{RightNodes}(t)_{j_0} = v_0\) ， \(t\) 包含 \(D_{v_0}\) 。令 \(s\) 为 \(t\) 中最后一次出现 \(D_{v_0}\) 左侧的字符串。由于 \(c_i\) 的开头为 \(D_{v_0}\) ，且 \(\supset \operatorname{RightNodes}(c_i) = (\operatorname{RightNodes}(t)_j)^{j_1}_{j=j_0}\) ， \(s = s_i\) 。因此， \(s_0 = s_1\) 。

由于 \(c_{i}\) 是一个项，因此在 \(c_{i}\) 末尾附加一个或多个) 的字符串不是项。此外，由于 \(b_{i}\) 仅

由) 组成，因此 \(c_{i}\) 是从 t 开头排除 s 后得到的字符串中最大的子串，且该子串是项。因此， \(c_{0}=c_{1}\) 且 \(b_{0}=b_{1}\) 。

由上可知， \((s_{0},c_{0},b_{0})=(s_{1},c_{1},b_{1})\) 。

接下来我们证明 (3)。

根据 (4) 的证明，如果 t 的 \(\mathrm{scb}(s_{0}, c_{0}, b_{0})\) 存在，则移除 t 后得到的 t 的后两个字符与移除 \(c_{0}\) 后得到的 \(c_{0}\) 的后两个字符匹配，即 \(D_{0}0\) 。

根据 (5) 的证明，如果 t 的 \(\mathrm{scb}(s_{1}, c_{1}, b_{1})\) 存在，则移除 t 后得到的 t 的后两个字符与移除 \(c_{1}\) 后得到的 \(c_{1}\) 的后两个字符匹配，即 \(D_{u}0\) ，其中 \(u \in N\) 。另一方面， \(c_{1}\) 的开头可以表示为 \(D_{v}\) ，其中 \(v \in N\) ，且 v < u，因此 u > 0。

从上面可知，如果 t 是第 0 类 scb 可分解的，那么 t 就不是第 1 类 scb 可分解的。

证毕。

定理 59 加法与 scb 分解的关系。

对于任意 \(t \in T_{B}\) 和 \(c \in PT_{B}\) ，有以下成立：

(1) \((t+c, c) \in T_{\mathrm{B}}^{Marked}\) 。

(2) 对于任意 \((s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 和 \(c' \in PT_{\mathrm{B}}\) , 若 \((s, c, b)\) 是 \(t+c\) 的 scb 分解, 则 \((s, c', b)\) 是 \(t+c'\) 的 scb 分解。

(3) 对任意 \(v \in \mathbb{N}\) 、 \(s_0, s_1, b_0, b_1 \in \Sigma^{<\omega}\) 和 \(c' \in PT_{\mathrm{B}}\) ，若 \(s_1D_v(t+c)b_1 \in T_{\mathrm{B}}\) 且 \((s_0, c, b_0)\) 是 \(s_1D_v(t+c)b_1\) 的 scb 分解，则 \(s_1D_v(t+c')b_1 \in T_{\mathrm{B}}\) 且 \((s_0, c', b_0)\) 即为 \(s_1D_v(t+c')b_1\) 的 scb 分解。

证明：

证明 (1), (2)。

令 t = 0。

由于 \(t+c = c\) ， \(((), c, ())\) 是 \(t+c\) 的 scb 分解，因此 \((t+c, c) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) 。根据 scb 分解的唯一性， \(s = ()\) 且 b = (), 因此 \((s, c', b) = ((), c', ())\) 是 \(t+c' = c'\) 的 scb 分解。令 \(t \in PT_{B}\) 。

\(t+c=(t,c)\) ，所以 \(((t,,c,))\) 是 \(t+c\) 的 scb 分解，因此 \((t+c,c)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) 。根据 scb 分解的唯一性， \(s=(t,\text{且}b=)\) ，所以 \((s,c',b)=(t,,c',))\) 是 \(t+c'=(t,c')\) 的 scb 分解。

令 \(t \in MT_{B}\) 。

使用 \(s' \in \Sigma^{<\omega}\) 并设置 \(t = (s)\) ，我们得到 \(t+c = (s', c)\) ，因此 \(((s', c,))\) 是 \(t+c\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解，因此 \((t+c, c) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) 。根据 \(\operatorname{scb}\) 分解的唯一性， \(s = (s', \text{且 } b =)\) ，且 \((s, c', b) = (s', c', ))\) 是 \(t+c' = (s', c')\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解。

接下来我们证明 (3)。

令 t = 0。

由于 \(s_1D_vcb_1 = s_1D_v(t+c)b_1\in T_\mathrm{B}\) ，由scb分解的可替代性可知， \(s_1D_v(t+c')b_1 =\) \(s_1D_vc'b_1\in T_\mathrm{B}\) 。

由于 \(s_0cb_0 = s_1D_v(t+c)b_1 = s_1D_vcb_1\) ，由scb分解的唯一性(1)可知， \(s_0 = s_1D_v\) 且 \(b_{0} = b_{1}\) 。因此， \(s_0c'b_0 = s_1D_vc'b_1 = s_1D_v(t+c')b_1\) ，所以 \((s_0,c',b_0)\) 是 \(s_1D_v(t+c')b_1\) 的scb分解。

令 \(t \in PT_{B}\) 。

\(s_{1}D_{v}(t,c)b_{1}=s_{1}D_{v}(t+c)b_{1}\in T_{B}\) ，又由scb分解的可替代性可知， \(s_{1}D_{v}(t+c')b_{1}=s_{1}D_{v}(t,c')b_{1}\in T_{B}\) 。

\(s_{0}cb_{0}=s_{1}D_{v}(t+c)b_{1}=s_{1}D_{v}(t,c)b_{1}\) ，且根据 scb 分解的唯一性 (1)， \(s_{0}=s_{1}D_{v}(t,\) 且 \(b_{0}=)b_{1}\) 。因此， \(s_{0}c^{\prime}b_{0}=s_{1}D_{v}(t,c^{\prime})b_{1}=s_{1}D_{v}(t+c^{\prime})b_{1}\) ，因而 \((s_{0},c^{\prime},b_{0})\) 是 \(s_{1}D_{v}(t+c^{\prime})b_{1}\) 的 scb 分解。

令 \(t \in MT_{B}\) 。

利用 \(s' \in \Sigma^{<\omega}\) 并设定 \(t = (s')\) ，我们得到 \(s_1D_v(s',c)b_1 = s_1D_v(t+c)b_1 \in T_{\mathrm{B}}\) ，因此，由scb分解的可替代性，我们得到 \(s_1D_v(t+c')b_1 = s_1D_v(s',c')b_1 \in T_{\mathrm{B}}\) 。 \(s_0cb_0 = s_1D_v(t+c)b_1 = s_1D_v(s'c)b_1\) ，因此，根据scb分解(1)的唯一性， \(s_0 = s_1D_v(s'\) ，且 \(b_0 = b_1\) 。因此， \(s_0c'b_0 = s_1D_v(s',c')b_1 = s_1D_v(t+c')b_1\) ，所以 \((s_0,c',b_0)\) 是 \(s_1D_v(t+c')b_1\) 的scb分解。

证毕。

定理 60 scb 分解与基本列的关系。

对于任意 \(v, n \in N\) ，以下成立：

(1) 对于任意 \(t_0', t_1' \in T_{\mathrm{B}}\) ，以下成立：

\[ (1-1) t_{0}^{\prime}+D_{v} \left(t_{1}^{\prime}+D_{0} 0\right)[n] = t_{0}^{\prime}+(D_{v} t_{1}^{\prime}) \times (n+1) 。 \]

(1-2) 对任意 \(t \in T_{\mathrm{B}}\) 、 \(u \in \mathbb{N}\) 和 \((s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) ，若 \((s, D_u(t_0'+D_v(t_1'+D_0 0)), b)\) 是 \(t\) 的 scb 分解，则 \((s, D_u(t_0'+(D_v t_1') \times (n+1)), b)\) 是 \(t[n]\) 的 scb 分解。 (2) 对任意 \(t \in T_{\mathrm{B}}\) 、 \(u \in \mathbb{N}\) 及 \((s_0, s_1, c_2, b_0, b_1) \in (\Sigma^{<\omega})^5\) ，若 \((s_1, c_2, b_1)\) 为 \(t\) 的一类 1 阶 \(\operatorname{scb}\) 分解，且 \((D_u s_0, D_v 0, b_0)\) 为 \(c_2\) 的一类 \(\operatorname{scb}\) 分解，则 \(v > u\) 且 \(t[n] = s_1 D_u (s_0 D_{v-1})^{n+1} 0 b_0^{n+1} b_1\) 。

证明：根据 Buchholz 符号中基本列和共尾数的递归定义，通过数学归纳法，可直接得出取 \([n]\) 项长度的定理。证毕。

定理 61 RightNodes 与部分表现的关系。

对于任意 \(v, n \in N\) ，以下成立：

对于任意 \(s, b \in \Sigma^{<\omega}\) 和 \(v \in \mathbb{N}t \in PT_{\mathrm{B}}\) ，若 \(b\) 仅由）和 \(sD_v0b \in T_{\mathrm{B}}\) 组成，则 \(sD_vtb \in T_{\mathrm{B}}\) 且 \(\operatorname{Lng}(P(sD_vtb)) = \operatorname{Lng}(P(sD_v0b))\) ，存在唯一的 \(a_0, a_1 \in \mathbb{N}\omega\) 使得：

(1) RightNodes \((sD_{v}tb)=a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\oplus_{\mathbb{N}}a_{1}\) 。

(2) RightNodes \((sD_{v}0b)=a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\) 。

(3) RightNodes \((D_v t) = (v) \oplus_{\mathbb{N}} a_1\) 。

证明：

由 scb 分解的可替代性可知， \(sD_{v}tb \in T_{B}\) ，并且通过数学归纳法，由 P 的递归定义可知， \(\mathrm{Lng}(P(sD_{v}tb)) = \mathrm{Lng}(P(sD_{v}0b))\) 。

设 \(a_{1} := \text{RightNodes}(t)\) 。根据 RightNodes 的定义，RightNodes \((D_{v}t) = (v) \oplus_{\mathbb{N}} a_{1}\) 。

利用数学归纳法证明 \(\operatorname{Lng}(s)\) 存在 \(a_0 \in \mathbb{N}^{<\omega}\) , 使得 RightNodes \((sD_vtb) = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}}a_1\) 且 RightNodes \((sD_v0b) = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v)\) 。

若 \(\mathrm{Lng}(s)=0\) ，则 b=0，因此可设 \(a_{0}=()\) 。

令 \(\mathrm{Lng}(s) > 0\) 。

令 \(sD_{v}0b \in PT_{B}\) 。

令 \(s = D_{u}s'\) ，其中 \(u \in N\) 和 \(s' \in \Sigma^{<\omega}\) 。

根据 \(T_{B}\) 的递归定义，我们有 \(s'D_{v}0b \in T_{B}\) 。因此， \(s'D_{v}tb \in T_{B}\) 。

因为 \(\mathrm{Lng}(s')=\mathrm{Lng}(s)-1<\mathrm{Lng}(s)\) ，根据归纳假设，存在 \(a_{0}^{\prime}\in N^{<\omega}\) 使得 RightNodes \((s'D_{v}tb)=a_{0}^{\prime}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\oplus_{\mathbb{N}}a_{1}\) 且 RightNodes \((s'D_{v}0b)=a_{0}^{\prime}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\) 。

\(a_0 := (u) \oplus_{\mathbb{N}} a_0'\) , 则由 \(T_{\mathrm{B}}\) 的递归定义可知, RightNodes \((sD_vtb) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} \text{RightNodes } (s'D_vtb) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} a_0' \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}} a_1 = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}} a_1\) 及 RightNodes \((sD_v0b) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} \text{RightNodes } (s'D_v0b) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} a_0' \oplus_{\mathbb{N}}(v) = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v)\) 。

令 \(sD_{v}0b \in MT_{B}\) 。令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}\left(P\left(sD_{v}0b\right)\right)\) 。

根据 \(\Sigma_{\mathrm{B}}\) 的定义，存在 \(\mathrm{a}b_1' \in \Sigma^{<\omega}\) ，其仅由 \(P(sD_v0b)_{J_1}b_1'\) 组成，该 \(P(sD_v0b)_{J_1}b_1'\) 出现在 \(sD_v0b\) 的末尾。令 \(b = b_0'b_1'\) ，其中 \(b_0' \in \Sigma^{<\omega}\) 仅由）组成。

\(D_{v}0b = D_{v}0b_{0}^{\prime}b_{1}^{\prime}\) 出现在 \(sD_{v}0b\) 的末尾， \(b_{0}^{\prime}\) 出现在 \(P(sD_{v}0b)_{J_{1}}\) 的末尾，且因为 \(P(sD_{v}0b)_{J_{1}}\) 为单项且包含一个既不是 0 也不是）的字符，所以 \(D_{v}0b_{0}^{\prime}\) 出现在 \(P(sD_{v}0b)_{J_{1}}\) 的末尾。使用 \(s_{0}^{\prime} \in \Sigma^{<\omega}\) ，令 \(P(sD_{v}0b)_{J_{1}} = s_{0}^{\prime}D_{v}0b_{0}^{\prime}\) 。

由于 \(P(sD_v0b)_{J_1}b_1' = ,s_0'D_v0b_0'b_1' = ,s_0'D_v0b\) 出现在 \(s\) 的末尾，因此 \(s_0'\) 出现在 \(s\) 的末尾。令 \(s = s_1', s_0'\) ，其中 \(s_1' \in \Sigma^{<\omega}\) 。

因为 \(s_0^{\prime}D_v0b_0^{\prime} = P(sD_vb)_{J_1}\in T_\mathrm{B},s_0^{\prime}D_vtb_0^{\prime}\in T_\mathrm{B}\) 且 \(sD_v0b = s_1^{\prime}s_0^{\prime}D_v0b_0^{\prime}b_1^{\prime} = s_1^{\prime}P(sD_vb)_{J_1}b_1^{\prime}\) 。 \(sD_vtb\) 是将 \(sD_v0b\) 的尾部 \(P(sD_v0b)_{J_1}b_1^{\prime}\) 替换为 \(P(sD_vtb)_{J_1}b_1^{\prime}\) 得到的，而 \(sD_vtb\) 也是将 \(sD_vtb_1^\prime\) 的尾部 \(P(sD_v0b)_{J_1}b_1^{\prime} = s_0^{\prime}D_v0b_0^{\prime}b_1^{\prime}\) 替换得到的。因此， \(P(sD_vtb)_{J_1} = s_0^{\prime}D_vtb_0^{\prime}\) 。

因为 \(\mathrm{Lng}(s') = \mathrm{s}-\mathrm{Lng}(s_{1}')+1 < \mathrm{Lng}(s)\) ，根据归纳假设，存在 \(a_{0} \in N^{<\omega}\) 使得 RightNodes \((s_{0}'D_{v}tb_{0}') = a_{0} \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}}a_{1}\) 且 RightNodes \((s_{0}'D_{v}0b_{0}') = a_{0} \oplus_{\mathbb{N}}(v)\) 。

根据 RightNodes 的递归定义，RightNodes \((sD_{v}tb) = \text{RightNodes}\left(P(sD_{v}tb)_{J_{1}}\right) = \text{RightNodes}\left(s_{0}^{\prime}D_{v}tb_{0}^{\prime}\right) = a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\oplus_{\mathbb{N}}a_{1}, \text{RightNodes}(sD_{v}0b) = \text{RightNodes}\left(P(sD_{v}0b)_{J_{1}}\right) = \text{RightNodes}\left(s_{0}^{\prime}D_{v}0b_{0}^{\prime}\right) = a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\) 。

证毕。

映射 (Trans(M), Mark(M, m)) \(\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\)

\[ \text {Trans:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{B}} \tag {21.108} \]

\[ M \mapsto \operatorname{Trans} (M) \tag {21.109} \]

\[ \text {Mark:} T_{\mathrm{PS}}^{\text {Marked}} \rightarrow T_{\mathrm{B}} \tag {21.110} \]

\[ (M, m) \mapsto \operatorname{Mark} (M, m) \tag {21.111} \]

递归定义如下:

1. 令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。

2. 令 \(M \in RT_{\mathrm{PS}}\) ，且 \(j_1 = 0\) 。

2.1. 令 \(M_{0}=(0,0)\) 。

2.1.1. Trans(M) := 0。

2.1.2. Mark(M, m) := 0。

2.2. 令 \(M_0 \neq (0,0)\) 。

2.2.1. Trans(M) := \(D_{M_{1,0}0}0\) 。

2.2.2. Mark(M, m) := \(D_{M_{1,0}}\) 0。

3. 令 M 为约化、单项且 \(j_{1} > 0\) 。

3.1. 令 \(t_1 := \text{Trans}(\text{Pred}(M))\) 。

3.2. 令 \(t_1 = 0\) ，在[34]中。

3.2.1. \(\operatorname{Trans}(M) := D_0 D_{M_{1,j_1}} 0\) 。

3.2.2. 如果 m = 0，则标记 \((M, m) := D_{0} D_{M_{1,j_{1}}} 0\) 。

3.2.3. 如果 m > 0，则标记 \((M, m) := D_{M_{1j_1}} 0\) 。

3.3. 令 \(t_1 \neq 0\) 。

3.3.1. 令 \(i_1 := \max \{i \in \{0, 1\} \mid M_{i,j_1} > 0\}\) 且[35]。

3.3.2. 令 \(j_0 := \max \{j \in \mathbb{N} \mid j < j_1 \land (0, j) \leq_M (0, j_1)\}\) 且[36]。

3.3.3. 令 \(j_{-1} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{0})\) 。

3.3.4. 定义相互矛盾的条件 (I) 至 (VI) 如下:

3.3.4.1. 条件 (I) 为 “ \(M_{1,j_{1}}=0\) 且 \(j_{0}\) 是 M 容许的”。

3.3.4.2. 条件 (II) 为 “ \(M_{1,j_{1}}=0\) 且 \(j_{0}\) 不是 M 容许的”。

3.3.4.3. 条件 (III) 为 “ \(M_{1,j_1} > 0\) 且 \(M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}\) 且 \(j_0\) 是 M 容许的”。

3.3.4.4. 条件 (IV) 为 “ \(M_{1,j_{1}}>0\) 且 \(M_{1,j_{0}}\geq M_{1,j_{1}}\) 且 \(j_{0}\) 不是 M 容许的”。

3.3.4.5. 条件 (V) 为 “ \(M_{1,j_{1}}>0\) 且 \(M_{1,j_{0}}+1=M_{1,j_{1}}\) 且 \(j_{0}+1<j_{1}\) ”。

3.3.4.6. 条件 (VI) 为 “ \(M_{1,j_{1}}>0\) 且 \(M_{1,j_{0}}+1=M_{1,j_{1}}\) 且 \(j_{0}+1=j_{1}\) ”。

3.3.5. 设 \(c_{1} := \text{Mark}(\text{Pred}(M), j_{-1})\) 。

3.3.6. 由于 \((t_1, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) 且 \(t_1 \neq 0\) ，因此 \(c_1 \in PT_{\mathrm{B}}\) 且 \(\operatorname{scb}\) 分解的唯一性 (1) 根据 (1)，存在唯一的 \((s_1, b_1) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得 \((s_1, c_1, b_1)\) 是 \(t_1\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解。

3.3.7. 令 \(c_{1} = D_{v}t_{2}\) , 其中 \(v \in \mathbb{N}\) 和 \(t_{2} \in T_{\mathrm{B}}\) 。

3.3.8. 令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(t_{2}))-1\) 。

3.3.9. 如果满足条件 (I)、(III) 或 (V)，则 \(c_{2} := D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)\) 集合。

3.3.10. 假设满足条件 (II) 或 (IV)。

3.3.10.1. 如果 \(t_{2}=0\) ，则令 \(c_{2}:=D_{v}D_{M_{1,j_{0}}}D_{M_{1,j_{1}}}0\) 。

3.3.10.2. 令 \(t_{2} \neq 0\) 。

3.3.10.2.1. 令 \(P(t_2)_{J_1}\) 的左端为 \(D_{M_{1,j_0}}\) 。

3.3.10.2.1.1. 令 \(t_3 := \Sigma_{\mathrm{B}}(P(t_2)_J)_{J=0}^{J_1-1}\) 。

3.3.10.2.1.2. 使用 \(t_{4} \in T_{PS}\) ，令 \(P(t_{2})_{J_{1}} = D_{M_{1,j_{0}}} t_{4}\) 。

3.3.10.2.2. 假设 \(P(t_{2})_{J_{1}}\) 的左端不是 \(D_{M_{1,j_{0}}}\) 。

3.3.10.2.2.1. 令 \(t_3 := t_2\) 。

3.3.10.2.2.2. 令 \(t_{4} := t_{2}\) 。

3.3.10.2.3. 令 \(c_{2} := D_{v}\left(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)\right)\) 。

3.3.11. 如果条件 (VI) 满足，则令 \(c_{2} := D_{v} D_{M_{1,j_{1}}} 0\) 。

3.3.12. Trans(M) := \(s_{1}c_{2}b_{1}\) 。

3.3.13. 令 \(m < j_{1}\) 。

3.3.13.1. 令 \(c_{0} := \text{Mark}(\text{Pred}(M), m)\) 。

3.3.13.2. 令 \((c_0, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) 。

3.3.13.2.1. 由于 \((t_1, c_0) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) ，scb 分解的唯一性（1）意味着存在唯一的 \((s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得 \((s_0, c_0, b_0)\) 是 \(t_1\) 的 scb 分解。

3.3.13.2.2. 由于 \((c_0, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) ，由 scb 分解的唯一性（1），存在唯一的 \((s_{-1}, b_{-1}) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得 \((s_{-1}, c_1, b_{-1})\) 是 \(c_0\) 的 scb 分解。

3.3.13.2.3. Mark(M, m) := \(s_{-1}c_{2}b_{-1}\) 。

3.3.13.3. 如果 \((c_{0}, c_{1}) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) 不成立，则 \(\mathrm{Mark}(M, m) := D_{M_{1,j_{1}}}\) 。

3.3.14. 如果 \(m = j_{1}\) ，则 Mark \((M, m) := D_{M_{1,j_{1}}} 0\) 。

4. 令 M 为约化复项。

4.1. 令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1\) 。

4.2. 令 \(j_{0} := j_{1}-\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})+1\) 。

4.3. 令 \(P(M)_{J_1} = ((0,0))\) 。

4.3.1. \(\operatorname{Trans}(M) := \operatorname{Trans}\left((M_j)_{j=0}^{j_0-1}\right)+D_00\) 。

4.3.2. Mark(M, m) := \(D_{0}0\) 。

4.4. 令 \(P(M)_{J_1} \neq ((0,0))\) 。

4.4.1. \(\operatorname{Trans}(M) := \operatorname{Trans}\left((M_j)_{j=0}^{j_0-1}\right)+\operatorname{Trans}\left(P(M)_{J_1}\right)\) 。

4.4.2. Mark(M, m) := Mark(P(M)\_{J\_1}, m-j\_0).

5. 假设 M 不可约。

5.1. Trans(M) := Trans(Red(M))。 5.2. Mark(M, m) := Mark(Red(M), m)。

定理 62 Trans 的良定义性。

存在唯一的映射 Trans 和 Mark 满足上述所有条件。

证明：根据 \(\mathrm{Lng}(M)\) 的数学归纳法，可直接得出上述证明。证毕。

定理 63 2 列对序列的基本性质。

对于任意 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) ，若 \(\mathrm{Lng}(M) = 2\) ，则有：

(1) \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}0}0\) 。

(2) \((M,0),(M,1)\in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}\) 。

(3) Mark(M,0)=D\_{M\_{1,0}}D\_{M\_{1,10}}0 且 Mark(M,1)=D\_{M\_{1,10}}。

证明：

令 \(m \in \{0,1\}\) ，并使用 Trans 和 Mark 的递归定义中引入的符号。

由于 M 的可约性，以及可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。

\(j_{1}=1\) ，且由于 M 是单项的， \((0,0)<_{M}^{\text{Next}}(0,1)=(0,j_{1})\) ， \(j_{0}=0\) 。特别地， \(j_{0}\) 是 M 容许的，且 \(j_{-1}=j_{0}=0\) 。

如果 \(m = 0\) ，则 \(M\) 是单项的，因此 \((0,m) = (0,0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,1) = (0,j_1)\) ，且 \(m = 0\) 是 \(M\) 容许的，因此 \((M,m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 。

如果 \(m = 1\) ，则 \((0,m) = (0,1)\leq_{M}^{\mathrm{Next}}(0,1) = (0,j_1)\) ，且 \(m = 1 = j_{1}\) 是 \(M\) 容许的，因此 \((M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 。

\(D_{v}t_{2} = c_{1} = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}\right) = \mathrm{Mark}\left(\left(\left(M_{1,0},M_{1,0}\right)\right),0\right) = D_{M_{1,0}}0\) ，因此 \(v = M_{1,0}\) 且 \(t_2 = 0\) 。

\(j_{0}\) 对于 M 是容许的，且 \(j_{0}+1 = 1 = j_{1}\) ，因此 M 满足条件 (I)、(III) 或 (VI)。

如果满足条件 (I) 或 (III)，则 \(c_{2}=D_{v}\left(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)=D_{M_{1,0}}\left(0+D_{M_{1,j_{1}}}\right)0=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0\) 。

如果满足条件 (VI)，则 \(c_{2}=D_{v}D_{M_{1,j_{1}}}0=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,j_{1}}}0\) 。

因此，无论哪种情况， \(c_{2}=D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0\) 。

如果 \(m = 0\) ，则 \(s_{-1}c_1b_{-1} = c_0 = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}) = c_1\) ，因此 \(s_{-1} = ()\) 且 \(b_{-1} = ()\) ，且 \(\mathrm{Mark}(M,m) = s_{-1}c_2b_{-1} = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0\) 。

如果 m=1，则 \(m=j_{1}\) ，因此 \(\mathrm{Mark}(M,m)=D_{M_{1,j_{1}}}0\) 。

如果 \(M_{1,0} = 0\) ，则 \(t_1 = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = \mathrm{Trans}\left((M_{1,0},M_{1,0})\right) = 0\) ，因此 \(\mathrm{Trans}(M) = D_0D_{M_{1,10}} = D_{M_{1,0}}D_{M_{1,10}}0\) 。

如果 \(M_{1,0} > 0\) ，则 \(t_1 = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Trans}((M_{1,0}, M_{1,0})) = D_{M_{1,0}} 0 \neq 0\) ，且 \(s_1 D_{M_{1,0}} 0 b_1 = s_1 c_1 b_1 = t_1 = D_{M_{1,m0}}\) 因此 \(s_1 = ()\) 且 \(b_1 = ()\) ，所以 \(\mathrm{Trans}(M) = s_1 c_2 b_1 = D_{M_{1,0}} D_{M_{1,j_1}} 0\) 。

证毕。

定理 64 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变的 P 同变性。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，以下成立：

(1) \(\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(M)) = \mathrm{Trans}(\mathrm{IncrFirst}(M))\) 。

(2) 设 \(M\) 为复项。令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))\) 。对于每个 \(J \in \mathbb{N}\) ，且 \(J \leq J_{1}\) ，如果 \(P(M)_{J}\) 为零项，则令 \(t_{J} := D_{0}0\) ；如果 \(P(M)_{J}\) 不是零项，则令 \(t_{J} := \mathrm{Trans}(P(M)_{J})\) 。在这种情况下， \(\mathrm{Trans}(M) = \Sigma_{\mathrm{B}}(t_{J})_{J=0}^{J_{1}}\) 。

证明：这直接源于 Red 的幂等性以及 Trans 和 Red 的递归定义。证毕。

定理 65 Mark 的 (IncrFirst, Red, P) 的不变性。

对于任意的 \((M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) ，有：

(1) \(\operatorname{Mark}(M, m) = \operatorname{Mark}(\operatorname{Red}(M), m) = \operatorname{Mark}(\operatorname{IncrFirst}(M), m)\) 。 (2) 令 \(M\) 为复合词。令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))\) 且 \(j_{0} := \mathrm{Lng}(M)-\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})-1\) 。如果 \(P(M)_{J_{1}}\) 是项，则 \(\text{Mark}(M, m) = D_{0}0\) ；如果 \(P(M)_{J_{1}}\) 不是项，则 \(\text{Mark}(M, m) = \text{Mark}(P(M)_{J_{1}}, m-j_{0})\) 。

证明：这直接源于 Red 的幂等性以及 Mark 和 Red 的递归定义。证毕。

定理 66 Trans 零项性的保持性。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，以下等价：

(1) M 为零项。

(2) \(\operatorname{Trans}(M) = 0\) 。

证明：

Red 保持不等式，且 Trans 满足 (IncrFirst, Red) 不变性，因此 M 可约化。

如果 M 可约化，则通过对 \(\mathrm{Lng(M)}\) 进行数学归纳，可直接得出 Trans 的递归定义。

证毕。

定理 67 \(c_{1}\) 和 \(c_{2}\) 的大小关系。

对于任意 \(M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}\) ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 \(j_1 > 0\) 且 \(t_1 \neq 0\) ，则 \(c_1\) 和 \(c_2\) 是单项的，且 \(c_1 < c_2\) 。

证明：这直接由 \(c_{1}\) 和 \(c_{2}\) 的定义得出。证毕。

定理 68 Pred 关于 Trans 的下降性。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，如果 \(\mathrm{Lng}(M) > 1\) ，则 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) < \mathrm{Trans}(M)\) 。

从 Trans 的 (IncrFirst, Red) P 不变性以及 Red 与 Pred 的交换性，我们简化为 \(M \in RT_{PS} \setminus ZT_{PS}\) 的情况。令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(J_{1})\) 。如果 \(\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}}) = 1\) ，则根据 Trans 的递归定义，由子表示不等式的可扩展性可知 \(0 < D_{0}0\) 。

令 \(\mathrm{Lng}\left(P(M)_{J_{1}}\right)>1\) 。P 保持可约性，故 \(P(M)_{J_{1}}\in RT_{\mathrm{PS}}\cap PT_{\mathrm{PS}}\) 。由 Trans 的定义、 \(c_{1}\) 与 \(c_{2}\) 的量级关系，以及子表示不等式的可扩展性，Trans (Pred \((P(M)_{J_{1}}))<\mathrm{Trans}(P(M)_{J_{1}})\) 。

\(\mathrm{Lng}(P(M)_{J_1}) > 1\) ，故 \(P(\mathrm{Pred}(M)) = (P(M)_J)_{J = 0}^{J_1-1}\oplus_{T_{\mathrm{PS}}}\mathrm{Pred}(P(M)_{J_1})\) 。因此，根据Trans的定义，以及子表达式不等式的可扩展性， \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) < \mathrm{Trans}(M)\) 。

证毕。

定理 69 右端第一基点的 Mark 基本性质。

对于任意的 \((M,m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) ，若设 \(j_{1}:=\mathrm{Lng}(M)-1\) ，则下列等价：

(1) \(m = j_{1}\circ\) (2) \(\operatorname{Mark}(M, m) = D_{M_{1,m}0}0\) 。

证明：

我们使用 Trans 递归定义中引入的符号。

根据 Mark 的递归定义，我们将其简化为 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) 的情况。

如果 \(M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}\) ，则根据Mark的定义，由于 \(\operatorname{Lng}(c_2) > 2\) ，因此可立即得到结果。

证毕。

定理 70 Mark 左端的基本性质。

对于任意 \((M,m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) ， \(\mathrm{Mark}(M,m)\) 的左端为 \(D_{M_{1,m}}\) 。

证明：

Mark 的递归定义可简化为 \(m = \mathrm{Lng}(M)-1\) 的情况。

如果 \(m = \mathrm{Lng}(M)-1\) ，则根据 Mark 的基本性质，可立即得出最右边的第一个基点。证毕。

定理 71 在条件 (II) 或 (IV) 下， \(t_{2}\) 不为 0。

对于任意 \(M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}\) ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 \(t_1 \neq 0\) 且 \(M\) 满足条件 (II) 或 (IV)，则 \(t_2 \neq 0\) 。

证明：

如果 M 满足条件 (II)，则 \((1,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}+1)\) 意味着 \(M_{1,j_{0}+1}>0\) ，因此 \(i_{1}=0\) 意味着 \(j_{0}+1<j_{1}\) 。

如果 \(M\) 满足条件 (IV), 则 \((1, j_0) \leq_M (1, j_1)\) 不成立, 因此 \(j_0+1 < j_1\) 意味着 \(j_0+1 < j_1\) , 因为 \(j_0\) 是非容许的。

因此，在两种情况下， \(j_{-1} \leq j_0 < j_1-1\) ，且根据右端第一个基点 Mark 的基本性质， \(D_v t_2 = c_1 \neq D_{M_{1,j-1}} 0\) 。又，根据左端 Mark 的基本性质， \(v = M_{1,j-1}\) ，所以 \(t_2 \neq 0\) 。

证毕。

定理 72 右端第二基点的 Mark 基本性质。

令 \(M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}\) ，并使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 \(j_1 > 0\) 且 \(t_1 \neq 0\) 则 \(\operatorname{Mark}(M, j_{-1}) = c_2\) 。

证明：

设 \(m := j_{-1}\) ，并使用 Mark 递归定义中引入的符号。

由于 \(s_{-1}c_0b_{-1} = c_1 = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m) = c_0\) ， \(s_{-1} = ()\) \(b_{-1} = ()\) 。因此， \(\mathrm{Mark}(M,j_{-1}) = \mathrm{Mark}(M,m) = s_{-1}c_2b_{-1} = c_2\) 。

证毕。

定理 73 Trans 最左单项成分左端的基本性质。

对于任意 \(M \in RT_{PS}\) ，以下成立：

(1) 若 \(P(M)_0 = ((0,0))\) 且 \(\operatorname{Lng}(P(M)) > 1\) ，则 \(\operatorname{Trans}(M)\) 的最左边分量有一个最左边分量为 \(D_{M_{1,1}}\) 。 (2) 若 \(P(M)_0 \neq ((0,0))\) ，则 \(\operatorname{Trans}(M)\) 的最左边分量为 \(\operatorname{Trans}(P(M)_0)\) ，其最左边分量为 \(D_{M_{1,0}}\) 。 (3) 若 \((1,0) <_{M}^{Next}\) (1,1)，则 \(Trans(M)\) 最左边分量的两个最左边字符可以表示为 \(D_{M_{1,0}}D_u\) ，其中 \(u \in \mathbb{N}\) 。

证明：

由 Trans 的递归定义，我们简化为 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) 的情况。

如果 \(M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}\) ，那么由 Trans 的递归定义，通过对 \(j_1\) 的数学归纳法可知。

证毕。

定理 74 Trans 单项性的保持。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，以下等价：

(1) M 是单项的。 (2) \(\operatorname{Trans}(M)\) 是单项的，或者 \(P(M)_0\) 是零项且 \(\mathrm{Lng}(P(M)) = 2\) 。

证明：

Red 保持单项性，且 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性简化为 M 可约的情况，这归因于 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性以及 Trans 最左元素的基本性质。

如果 M 可约，则由 Trans 的递归定义和 \(\mathrm{Lng}(M)\) 上的数学归纳法可直接得出。

证毕。

定理 75 Trans 与不可数基数的关系。

对于任意 \(M \in RT_{PS}\) 和 \(v \in N\) ，下列等价：

(1) \(\operatorname{Trans}(M) = D_v0\) 。 (2) v = 0 且 \(M = ((0,0), (0,0))\) ，或 v > 0 且 \(M = ((v,v))\) 。

证明：

如果 (2)，则根据 Trans 的定义可知 (1)。

设 (1) 成立。

由于 M 的可约性、不可约性和系数关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。特别地，由于 M 满足条件 (B)， \(M_{0,0} = M_{1,0}\) 。设 v = 0。

如果假设 \(M_{1,0} > 0\) ，那么根据Trans最左单项式分量左端的基本性质(2)，Trans(M)最左单项式分量左端为 \(D_{M_{1,0}} \neq D_0 = D_v\) ，这与上下文矛盾。因此， \(M_{1,0} = 0\) 。如果 \(\mathrm{Lng}(M) = 1\) 则 \(M = ((0,0))\) ，即 \(\mathrm{Trans}(M) = 0 \neq D_v0\) ，这自相矛盾。因此， \(\mathrm{Lng}(M) > 1\) 。

令 \(M' := (M_{j})_{j=0}^{1}\) 。

由于 \(\mathrm{Lng}(M') = 2\) ，因此 \(M'\) 不是零项。如果 \(M'\) 是单项的，则根据两列对序列的基本性质以及 Pred 相对于 Trans 的下降性质，

\(D_00 = D_v0 = \mathrm{Trans}(M) \geq \mathrm{Trans}(M') = D_0D_{M_{1,1}}0 > D_00\) ，这与上下文矛盾。因此， \(M'\) 是复项，且 \(M_{0,1} \leq M_{0,0} = 0\) ，即 \(M_{0,1} = 0\) 。

由于可约性可遗传到切片， \(M'\) 是可约的；并且由于可约性与系数之间的关系， \(M'\) 满足条件 (A) 和 (B)。特别地，由于 \(M'\) 是复项且满足条件 (B)，

\[ M_{1, 1} = M_{0, 1} = 0 。 \]

Trans \((M') = \text{Trans}(M') = ((0,0),(0,0)) = D_{0}0 = \text{Trans}(M)\) ，因此，根据 Pred 关于 Trans 的下降性质， \(M = M' = ((0,0),(0,0))\) 。

假设 v > 0。

设 \(P(M)_0\) 为零项， \(M_0 = (0,0)\) ，根据 \(P\) 的定义， \(M_{0,1} = 0\) 。由于 \(M\) 满足条件 (B)， \(M_{1,1} = M_{0,1} = 0\) 。然而，由于 Trans 最左单项式分量左端的基本性质， \(D_v0 = \mathrm{Trans}(M)\) 的唯一单项式分量 \(D_v0\) 的左端为 \(D_{M_{1,1}} = D_0 \neq D_v\) ，这与 \(P(M)_0\) 矛盾。因此， \(P(M)_0\) 不是零项。

\(P(M)_{0}\) 不是零项，且 Trans 是单项式，所以 M 是单项式。由 Trans 最左单项式分量左端的基本性质可知，Trans (M) 的左端为 \(D_{M_{1,0}}\) ，故 \(M_{1,0} = v > 0\) 。

Trans \(((M_{0})) = D_{M_{1,0}0} = D_{v}0 = \text{Trans}(M)\) ，由 Pred 相对于 Trans 的下降性质可知， \(M = (M_{0}) = ((M_{1,0}, M_{1,0})) = ((v, v))\) 。

证毕。

定理 76 左端第一基点的 Mark 基本性质。

对于任意 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) ，有以下成立：

(1) \((M,0)\in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}\) 。

(2) 对于任意 \(m \in \mathbb{N}\) , 若 \((M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) , 则 \(\operatorname{Mark}(M, m) = \operatorname{Trans}(M)\) 当且仅当 \(m = 0\) 。

证明：

Mark 递归定义中引入的符号是针对 \((M, m)\) 定义的。

这可以通过关于 \(j_{1}\) 的数学归纳法来证明。

设 \(j_{1}=1\) 。

根据二序列对序列的基本性质， \((M,0)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 且 \(\mathrm{Mark}(M,0)=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0=\mathrm{Trans}(M)\) 。

若 \(m \neq 0\) ，则 \(m = 1\) ，根据两列对序列的基本性质， \(\operatorname{Mark}(M, m) = D_{M_{1,m}} 0 = D_{M_{1,1}} 0 \neq D_{M_{1,0}} D_{M_{1,1}} 0 = \operatorname{Trans}(M)\) 。

令 \(j_{1} > 1\) 。

由于 M 是单项式， \(M \neq ((0,0),(0,0))\) 。

若 \(m = j_{1}\) ，则 \(m \neq 0\) 。根据右边第一个基点处Mark的基本性质， \(\operatorname{Mark}(M, m) = D_{M_{1,j_1}} 0\) 。由于 \(j_{1} > 1\) ，且Trans与不可数基数具有关系，故 \(\operatorname{Trans}(M) \neq D_{M_{1,j_1}} 0\) 。

设 \(m < j_{1}\) 。

由于 \(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M)) = j_{1} > 1\) ，故 \(\mathrm{Pred}(M)\) 不是零项，且 Trans 保持零项性质，故 \(t_{1} \neq 0\) 。

由于不可收缩性对切片的遗传性和单项性对初始切片的遗传性， \(\operatorname{Pred}(M)\) 是可约化的和单项式的，并且根据归纳假设， \((\operatorname{Pred}(M), 0) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 且 \(c_0 = \operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), m)\) 与 \(t_1 = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M))\) 一致当且仅当 \(m = 0\) 。

如果 \(m = 0\) ，则 \(s_0c_0b_0 = t_1 = c_0\) ，因此 \(s_0 = ()\) 且 \(b_{0} = ()\) ，且 \(s_1 = s_0s_{-1} = s_{-1}\) 且 \(b_{1} = b_{-1}b_{0} = b_{-1}\) ，因此 \(\operatorname {Mark}(M,0) = \operatorname {Mark}(M,m) = s_{-1}c_2b_{-1} = s_1c_2b_1 = \operatorname {Trans}(M)\) 。

如果 \(m \neq 0\) ，则 \(s_0c_0b_0 = t_1 \neq c_0\) ，所以 \(s_0 \neq ()\) 或 \(b_0 \neq ()\) ，且 \(\operatorname{Mark}(M, m) = s_{-1}c_2b_{-1} \neq s_0s_{-1}c_2b_{-1}b_0 = s_1c_2b_1 = \operatorname{Trans}(M)\) 。

证毕。

定理 77 \(s_{1}\) 和 \(b_{1}\) 的空性与基点的关系。

对于任意 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，下列等价：

(1) \(j_{-1}=0\) 。 (2) \(s_1 = ()\) 且 \(c_{1} = t_{1}\) 且 \(b_{1} = ()\) 。 (3) \(s_{1} = ()\) 。

证明：

若 (1) 成立, 则根据 Mark 在左侧第一个基点的基本性质 (2), \(c_{1} = \text{Mark}(\text{Pred}(M), j_{-1}) = \text{Trans}(\text{Pred}(M)) = t_{1}\) , 且根据 scb 分解的平凡性准则, \(s_{1} = ()\) 且 \(b_{1} = ()\) , 故 \(c_{1} = s_{1}c_{1}b_{1} = t_{1}\) 。

若 (2) 成立，则根据假设， \(s_{1}=()\) 。

若 (3) 成立，则根据 scb 分解的平凡性准则， \(c_{1}=t_{1}\) ，且根据 Mark 在左侧第一个基点的基本性质 (2)， \(j_{-1}=0\) 。

证毕。

定理 78 Mark 对顺序关系的保持。

对任意 \(M \in T_{\mathrm{PS}}\) 和 \(m_0, m_1 \in \mathbb{N}\) , 若 \((M, m_0), (M, m_1) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}\) , 则下列等价:

(1) \(m_{0}<m_{1}\) 。 (2) Mark \((M, m_{1}) \neq \text{Mark}(M, m_{0})\) 且 \((\text{Mark}(M, m_{1}), \text{Mark}(M, m_{0})) \in T_{\text{B}}^{\text{Marked}}\) 。

证明：由 Mark 的递归定义可知，通过数学归纳法，可直接得出 \(\mathrm{Lng}(M)\) 的证明。证毕。

定理 79 \(s_{-1}\) 和 \(b_{-1}\) 的空性与基点的关系。

对于任意 \((M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}\) ，若 \(M\) 是可约化的且单项的，那么，利用 Trans 和 Mark 的递归定义中引入的符号，下列表达式等价：

(1) \(m = j_{-1}\) 。 (2) \(s_{-1} = ()\) 且 \(b_{-1} = ()\) 。

证明：这直接源于 scb 分解的平凡性准则以及 Mark 保持有序的事实。证毕。

定理 80 Trans 和 Mark 的表示。

对于任意的 \((M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) ，令 \(j_{1}:=\mathrm{Lng}(M)-1\) ，则若 \(j_{1}-m>0\) ，则 Mark \((M,m)=\mathrm{Trans}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)\) 。

证明：

由于 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性为 P 等变性，Mark 的 (IncrFirst, Red, P) 不变性，以及 Red 的容许性，我们将其简化为 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) 的情况。接下来，我们定义 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) ，并定义 Trans 递归定义中引入的符号，用于 M。为了明确这是对 M 的应用，我们将 M 写在右肩上。

\(m < j_{1}\) 且 \((0, m) \leq_{M} (0, j_{1})\) 且 \(\left(0, j_{0}^{M}\right) <_{M}^{\text{Next}} \left(0, j_{1}^{M}\right) = (0, j_{1})\) ，因此 \(m \leq j_{0}^{M}\) 。

如果 \(m = 0\) ，则根据Mark在最左边第一个基点的基本性质可知。下文中，我们假设 \(m > 0\) 。在这种情况下， \(j_{1}^{M} = j_{1} > m > 0\) ，因此 \(j_{1}^{M} > 1\) ，进而 \(t_1^M\neq 0\) 。

令 \(N := \text{Red}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)\) 。

根据Lng的Red不变性, \(j_{1}^{N}=\mathrm{Lng}(N)-1=\mathrm{Lng}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)-1=j_{1}-m\circ(0,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}\) \((0,j_{1})\) 且 \((0,m)\leq M(0,j_{1})\) ，所以 \(m\leq j_{0}^{M}\) 且 \((0,j_{0}^{M}-m)<_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{M}-m)=(0,j_{1}-m)=(0,j_{1}^{N})\) ，所以 \(j_{0}^{N}=j_{0}^{M}-m\) 。N是可约的，因此由于可约性和系数之间的关系，M和N

满足条件 (A) 和 (B)。由于直接祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系，N 是单项的，且 IncrFirst \(M_{0,m}-M_{1,m}(N)=(M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\) ，即 \(N=((M_{0,j}-M_{0,0}+M_{1,0},M_{1,j}))_{j=m}^{j_{1}}\) 。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 N 定义的，为了清楚地表明它们应用于 N，它们都以 N 为右肩书写。

令 \(j_{1}-m=1\) 。

\(N = ((M_{1,m}, M_{1,m}), (M_{1,j_1}-M_{0,m}+M_{1,m}, M_{1,j_1})) \circ j_1^N = j_1-m = 1\) ，且由于 \(N\) 为单项矩阵， \((0,0) <_{N}^{\text{Next}} (0,1) = (0, j_1^N)\) ， \(j_0^N = 0\) 。特别地， \(j_0^N\) 是 \(N\) 容许的，且 \(j_{-1}^N = j_0^N = 0\) 。

\(D_{v^{N}}t_{2}^{N} = c_{1}^{N} = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(N),j_{-1}^{N}\right) = \operatorname{Mark}\left(\left(\left(M_{1,m},M_{1,m}\right)\right),0\right) = D_{M_{1,m}}0\) ，因此 \(v^{N} = M_{1,m}\) 且 \(t_2^N = 0\) 。

\((0, m) \leq_{M} (0, j_1)\) 且 \(m+1 = j_1\) ，因此 \((0, m) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_1)\) ，即 \(j_0^M = m\) ，且由于 \(m\) 是 \(M\) 容许的，因此 \(m = j_{-1}\) 。因此，由于 \(s_{-1}\) 和 \(b_{-1}\) 为空，且基点之间存在对应关系， \(s_{-1}^M = ()\) ， \(b_{-1}^M = ()\) 。

由于 m 具有 M 容许，且满足右端第一个基点 Mark 的基本性质， \(D_{v^{M}}t_{2}^{M}=c_{1}^{M}=\) Mark \(\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right)=\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m)=D_{M_{1,m}}0\) 。因此， \(v^{M}=M_{1,m}, t_{2}^{M}=0\) 。

由于 \(m\) 是 \(M\) 容许的，且 \(j_0^M+1 = m+1 = j_1 = j_1^M\) ，因此 \(M\) 满足条件 (I)、(III) 或 (VI)。如果满足条件 (I) 或 (III)，则 \(c_2^M = D_{v^M}(t_2^M+D_{M_{1,j_1}}0) = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0\) 。如果满足条件 (VI)，则 \(c_2^M = D_{v^M}D_{M_{1,j_1}}0 = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0\) 。因此，无论哪种情况， \(c_2^M = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0\) 。因此， \(\mathrm{Mark}(M, m) = s_{-1}^M c_2^M b_{-1}^M = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0\) 。

令 \(M_{1,m}=0\) 。

\[ t_{1}^{N} = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (N)) = \mathrm{Trans} \left((M_{1, m}, M_{1, m})\right) = 0. \]

因此，根据 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性 P 和 Trans 的定义，Trans \(\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)=\mathrm{Trans}(N)=D_{0}D_{N_{1,1}}0=D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0\) 。

令 \(M_{1,m} > 0\) 。

由于 \(t_1^N = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Trans}\left((M_{1,m},M_{1,m})\right) = D_{M_{1,m}}0\neq 0\) ，条件(I)至(VI)对 \(N\) 有意义。

\(j_{-1}^{N}=0\) ，且 \(s_{1}\) 和 \(b_{1}\) 的空性和基点关系意味着 \(s_{1}^{N}=()\) 和 \(b_{1}^{N}=()\) 。

令 \(M_{1,m} < M_{1,j_{1}}\) 。

\(N_{1,j_{1}^{N}} = N_{1,1} = M_{1,j_{1}} > M_{1,m} > 0\) 。 \((0,0) <_{N}^{\text{Next}} (0,1)\) 且 \(N_{1,0} = M_{1,m} < M_{1,j_{1}} = N_{1,1}\) ，所以 \((1,0) <_{N}^{\text{Next}} (1,1)\) 。又由于 \(j_{0}^{N}+1 = 1 = j_{1}^{N}\) 且 N 满足条件 (B)，所以 \(N_{1,j_{0}^{N}}+1 = N_{1,j_{1}^{N}}\) 。因此，N 满足条件 (VI)。

\(c_{2}^{N} = D_{v^{N}}D_{N_{1,j_{1}^{N}}}0 = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0\) ，因此 \(\operatorname{Trans}(N) = s_1^N c_2^N b_1^N = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0\) 。

令 \(M_{1,m} \geq M_{1,j_{1}}\) 。

由于 \(j_0^N\) 是 \(^N N\) 可接受的，且 \(N_{1,j_0^N} = M_{1,m}\geq M_{1,j_1} = N_{1,j_1^N}\) ，因此 \(N\) 满足条件(I)或(III)。

\(c_{2}^{N} = D_{v^{N}}\left(t_{2}^{N}+D_{N_{1,j_{1}^{N}}}0\right) = D_{M_{1,m}}\left(0+D_{M_{1,j_{1}}}0\right) = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0,\) 因此 \(\operatorname{Trans}(N) =\) \(s_1^N c_2^N b_1^N = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0\) 。

因此，在这两种情况下，Trans \((N) = s_{1}^{N}c_{2}^{N}b_{1}^{N} = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0\) ，并且从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性 P-不变性来看，Trans \(\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right) = \text{Trans}(N) = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0 = \text{Mark}(M,m)\) 。

我们将利用数学归纳法证明,在条件 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) 下, \(\mathrm{Mark}(M, m) = \mathrm{Trans}\left((M_j)_{j=m}^{j_1}\right)\) 。

如果 \(j_{1} = 2\) ，则 \(j_{1} > m > 0\) ，因此 \(m = 1\) 且 \(j_{1}-m = 1\) ，这在前面已经得到证明。

令 \(j_{1} > 2\) 。我们已经证明，如果 \(j_{1}-m = 1\) ，则成立，因此，从现在开始，令 \(j_{1}-m > 1\) 。

由于 \(\operatorname{Red}(R)\) 是可还原的和单项的，并且 \(\operatorname{Lng}(N)-1 = j_1-m > 1\) 且 Trans 是零终结的， \(t_1^N \neq 0\) ，因此条件 (I) 至 (VI) 对 \(\operatorname{Red}(N)\) 有意义。

根据基点切片的遗传性， \((\mathrm{Pred}(M), m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 和 \(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1 = j_1-1 < j_1\) ，因此根据 Red 和 Pred 的交换性和归纳假设，

\[ \begin{array}{l} c_{0}^{M} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), m) \\ = \operatorname{Trans} \left((\operatorname{Pred} (M)_{j})_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{j}\right)_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.112} \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, m}+M_{1, m}, M_{1, j}\right)_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) \\ = t_{1}^{N}, \\ \end{array} \]

\[ c_{1}^{M} = \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{M}\right) = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{j}\right)_{j = j_{- 1}}^{j_{1}-1}\right). \tag {21.113} \]

此外，根据单项的原因，N 为 \((N,0)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) ，且根据基切片的遗传性， \((\mathrm{Pred}(N),0)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 。由于 \(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(N))-1=j_{1}^{N}-1=j_{1}-m-1<j_{1}\) ，根据 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变的 P 同变性和归纳假设，

\[ \begin{array}{l} c_{0}^{N} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (N), 0) \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, m}+M_{1, m}, M_{1, j}\right)_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.114} \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \\ = c_{0}^{M}. \\ \end{array} \]

\[ \begin{array}{l} c_{1}^{N} = \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (N), j_{- 1}^{N}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(\operatorname{Pred} (N)_{j}\right)_{j = j_{- 1}^{N}}^{j_{1}^{N}-1}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, m}+M_{1, m}, M_{1, j}\right)_{j = j_{- 1}^{M}}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.115} \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{M}}^{j_{1}-1}\right) \\ = c_{1}^{M}. \\ \end{array} \]

\(D_{v^M}t_2^M = c_1^M = c_1^N = D_{v^N}t_2^N\) ，因此 \(v^{M} = v^{N}\) 且 \(t_2^M = t_2^N\) ，且 \(s_{-1}^{M}c_{1}^{M}b_{-1}^{M} = c_{0}^{M} = t_{1}^{N} = s_{1}^{N}c_{1}^{N}b1^{N} = s_{1}^{N}c_{1}^{M}b_{1}^{N}\) ，因此 \(s_{-1}^{M} = s_{1}^{N}\) 且 \(b_{-1}^{M} = b_{1}^{N}\) 。由以上可知，

\[ \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = m}^{j_{1}}\right) = \operatorname{Trans} (N) = s_{1}^{N} c_{2}^{N} b_{1}^{N} = s_{- 1}^{M} c_{2}^{M} b_{- 1}^{M} = \operatorname{Mark} (M, m). \tag {21.116} \]

证毕。

令 \(M \in T_{\mathrm{PS}}\) 。定义 \(\mathbb{Z}^2\) 上的二元关系 \(<_{M}^{\mathrm{NextAdm}}\) 如下：

1. 对于 \((i_0, j_0), (i_1, j_1) \in \mathbb{Z}^2\) , \((i_0, j_0) <_{M}^{\text{NextAdm}} (i_1, j_1)\) 满足以下条件:

1.1. \((i_0,j_0)\leq_M(i_1,j_1)\)

1.2. \(j_{0} < j_{1}\) 。

1.3. \(j_{0}\) 是 M 容许的。

1.4. 对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) , 如果 \(j_0 < j < j_1\) , 则:

1.4.1. \((i_{0},j)\leq_{M}(i_{1},j_{1})\) 不成立。

1.4.2. j 不满足 M 容许性。

定理 81 Adm \(_{M}\) 与 \(<_{M}^{NextAdm}\) 之间的关系。

对于任意的 \((M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) ，令 \(j_{1}:=\mathrm{Lng}(M)-1\) ，则若 \(j_{1}-m>0\) ，则 Mark \((M,m)=\mathrm{Trans}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)\) 。

证明：

\((1,j_{-1})\leq_{M}(1,j_{0})\) 且 \((i,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(i,j_{1})\) 蕴涵 \((i,j_{-1})\leq_{M}(i,j_{1})\) 。此外， \(j_{-1}\) 是 M 容许的。

设 \(j \in \mathbb{N}\) 且 \(j_{-1} < j < j_1\) 。如果 \((i,j) \leq_M (i,j_1)\) ，则 \(j \leq j_0\) ，因为 \((i,j_0) < _M^{\text{Next}} (i,j_1)\) ，因此 \(\operatorname{Adm}_M(j) \leq j_{-1} < j\) ，所以 \(j\) 不符合 \(M\) 条件。由上可知， \((i,j_{-1}) < _M^{\text{NextAdm}} (i,j_1)\) 。

证毕。

定理 82 Trans 与 \(<_{M}^{NextAdm}\) 之间的关系。

令 \(M \in T_{\mathrm{PS}}\) ，且令 \(j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。若存在唯一的 \(j_0 \in \mathbb{N}\) 使得 \((0, j_0) <_{M}^{\mathrm{NextAdm}}(0, j_1)\) ，则存在唯一的 \((s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得：

(1) \((s_{0},\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{0}\right),b_{0})\) 是 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))\) 的scb分解。 (2) \((s_{0},\mathrm{Mark}(M,j_{0}),b_{0})\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)\) 的scb分解。

证明：

Trans 的递归定义和直接祖先的 Red 不变性可简化为 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) 的情况。

如果 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) ，则它可直接由 Trans 的定义和直接祖先的 Red 不变性得出。

证毕。

定理 83 Mark 与 \(<_{M}^{NextAdm}\) 之间的关系。

令 \(M \in T_{\mathrm{PS}}\) 且 \(j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。假设存在唯一的 \(j_0 \in \mathbb{N}\) 使得 \((0, j_0) <_{M}^{\mathrm{NextAdm}} (0, j_1)\) 。对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，若 \((0, j) \leq_{M} (0, j_0)\) ，则存在唯一的 \((s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得：

(1) \((s_0, \operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), j_0), b_0)\) 是 \(\operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), j)\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解。 (2) \((s_{0},\mathrm{Mark}(M,j_{0}),b_{0})\) 是 \(\mathrm{Mark}(M,j)\) 的scb分解。

证明：这直接源于 Trans 与 \(<_{M}^{\text{NextAdm}}\) 之间的关系，以及 Mark 保留了排序关系的事实。证毕。

定理 84 Trans 的 Mark 和 Pred 表示。

对任意 \((M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) ，若 \(m < \mathrm{Lng}(M)-1\) ，则存在任意 \((s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得：

(1) \((s_{0},\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m),b_{0})\) 是 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))\) 的scb分解。 (2) \((s_{0},\mathrm{Mark}(M,m),b_{0})\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)\) 的scb分解。

证明：这直接源于 Trans 与 \(<_{M}^{\text{NextAdm}}\) 的关系，以及 Mark 与 \(<_{M}^{\text{NextAdm}}\) 的关系。证毕。

定理 85 Trans 的 Mark 和切片表示。

对于任意 \((M, m) \in RT_{\mathrm{PS}}^{Marked}\) ，若 \(0 < m < \mathrm{Lng}(M)-1\) ，则存在任意 \((s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得：

(1) \(\left(s_0, D_{M_{1,m}} 0, b_0\right)\) 是 \(\operatorname{Trans}\left((M_j)_{j=0}^m\right)\) 的 \(\mathrm{scb}\) 分解。 (2) \((s_{0},\mathrm{Mark}(M,m),b_{0})\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)\) 的scb分解。

证明：

令 \(j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1\) 。

由 Trans 的递归定义和直接祖先的 Red 不变性，我们简化为 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) 的情况。接下来，我们定义 Trans 递归定义中引入的符号，并将 M 写在右肩上，以明确它应用于 M。

这可以通过对 \(j_{1}-m\) 进行数学归纳法来证明。

如果 \(j_{1}-m=0\) ，则由 Mark 的基本性质得出，即右端的第一个基点。

令 \(j_{1}-m=1\) 。

令 \(s_{0} := s_{1}^{M}\) 。

令 \(b_{0} := b_{1}^{M}\) 。

由于 \((0, m) \leq_{M} (0, j_1) = (0, j_1^M)\) 且 \(m+1 = j_1 = j_1^M\) ，因此 \(j_0^M = m\) 。由于 \(m\) 满足 \(M\) 容许条件，因此 \(j_{-1}^M = j_0^M = m\) 。因此，由于 \(s_{-1}\) 和 \(b_{-1}\) 之间为空且为基点关系，因此 \(s_{-1}^M = ()\) 且 \(b_{-1}^M = ()\) 。

由右端第一个基点 Mark 的基本性质可知, \(c_{1}^{M}=\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right)=\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{1}-1\right)=D_{M_{1,m}}0\) ，因此 \(\mathrm{Trans}\left((M_{j})_{j=0}^{m}\right)=\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=t_{1}^{M}=s_{1}^{M}c_{1}^{M}b_{1}^{M}=s_{0}D_{M_{1,m}}b_{0}\) 。

\[ \mathrm{Trans} (M) = s_{1}^{M} c_{2}^{M} b_{1}^{M} = s_{1}^{M} s_{- 1}^{M} c_{2}^{M} b_{- 1}^{M} b_{1}^{M} = s_{0} \mathrm{Mark} (M, m) b_{0}. \]

根据可归约到段的遗传性， \(\operatorname{Pred}(M)\) 可归约；根据可归约到初始段的单项式遗传性， \(0 < j_1-m-1 \leq j_1-1 < j_1\) ， \(\operatorname{Pred}(M)\) 为单项；根据可归约到基点的段的遗传性， \((\operatorname{Pred}(M), m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Mark}}\) 。因此，根据归纳假设，存在唯一的 \((s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得：

(1) \(b_{0}\) 仅由组成。 (2) Trans \(\left((\mathrm{Pred}(M)_j)_{j=0}^m\right) = s_0 D_{\mathrm{Pred}(M)_{1,m}} 0b_0 = s_0 D_{M_{1,m}} 0b_0\) 。 (3) Trans(Pred(M)) = \(s_{0}\) Mark(Pred(M), m) \(b_{0} = s_{0}c_{0}^{M}b_{0}\) 。从 Trans'sMark 和 Pred 的表示可知，Trans (M) = \(s_{0}\) Mark(M, m) \(b_{0}\) 。此外，由于 \(m \leq j_{1}-1\) , \((M_{j})_{j=0}^{m} = (\text{Pred}(M)_{j})_{j=0}^{m}\) , Trans \(\left((M_{j})_{j=0}^{m}\right) = \text{Trans}\left((\text{Pred}(M)_{j})_{j=0}^{m}\right) = s_{0}D_{M_{1,m}}0b_{0}\) 。

证毕。

定理 86 RightNodes 和 Mark 的关系。

对于任意的 \((M,m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) ，若 \(0<m<Lng(M)-1\)，则存在 \(a_{0},a_{1}\in N^{<}\omega\) 使得：

(1) RightNode(Trans(M)) = \(a_0 \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,m}) \oplus_{\mathbb{N}} a_1\) 。 (2) RightNode \(\left(\mathrm{Trans}\left((M_j)_{j=0}^m\right)\right)=a_0\oplus_{\mathbb{N}}(M_{1,m})\) 。 (3) RightNode(Mark(M,m)) = (M\_{1,m}) ⊕ Na\_{1}。

证明:这直接遵循单项式的遗传性、直系祖先的切片、Mark 左端的基本属性以及 RightN-odes 与子表达式之间的关系。证毕。

映射

\[ \text {RightAnces:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.117} \]

\[ M \mapsto \text {RightAnces} (M) \tag {21.118} \]

定义如下:

1. 使用 Trans 递归定义中引入的符号。 2. 令 M 为约化元素，且 \(j_{1}=0\) 。 2.1. 如果 \(M_{0}=(0,0)\) ，则 RightAnces \((M):=()\) 。 2.2. 如果 \(M_{0} \neq (0,0)\) ，则 RightAnces \((M) := (M_{1,0})\) 。 3. 令 M 为约化元素，且 \(j_{1} > 0\) 为单项元素。 3.1. 如果 Pred(M) 为云项，则 RightAnces \((M):=(0,M_{1,j_{1}})\) 。 3.2. 令 Pred(M) 为非零项[49]。

3.2.1. 如果 \((M_{j})_{j=0}^{j-1}\) 为零项，则令 \(a := (0)\) 。 3.2.2. 如果 \((M_j)_{j=0}^{j-1}\) 不是零项，则令 \(a := \text{RightAnces}\left((M_j)_{j=0}^{j-1}\right)\) 。 3.2.3. 如果 \(M\) 满足条件 (I)、(III)、(V) 或 (VI)，则 RightAnces \((M) := a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_1})\) 。 3.2.4. 如果 \(M\) 满足条件 (II) 或 (IV)，则 RightAnces \((M) := a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_0}, M_{1,j_1})\) 。

4. 令 M 为约化且为复项。

4.1. 令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1\) 。 4.2. 如果 \(P(M)_{J_{1}} = ((0,0))\) ，则 RightAnces \((M) := (0)\) 。 4.3. 如果 \(P(M)_{J_{1}} \neq ((0,0))\) ，则 RightAnces \((M) := \text{RightAnces } (P(M)_{J_{1}})\) 。 5. 如果 M 不可约，则 RightAnces \((M) := \text{RightAnces}(\text{Red}(M))\) 。

定理 87 RightNodes 和 RightAnces 的关系。

对于任意 \(M \in T_{PS}\) ，RightAnces(M) = RightNodes(Trans(M))。

证明：

从 RightNodes、Trans 和 RightAnces 的递归定义，我们简化为 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) 的情况。下文中，我们使用 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) ，并使用 RightNodes 的递归定义中引入的符号和 Trans 的递归定义中引入的符号。

由于 \(M\) 是单项的，因此 \(j_{1} > 0\) 。此外，由于 \(M\) 是可约的，根据可约性与系数之间的关系， \(M\) 满足条件(A)和(B)。

我们利用数学归纳法证明 \(j_{1}\) 上的 RightAnces(M) = RightNodes(Trans(M))。

令 \(j_{1}=1\) 。

由两列对序列(1)的基本性质可知, \(\mathrm{Trans}(M)=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0\) 且 \(\mathrm{RightNodes}(\mathrm{Trans}(M))=\mathrm{RightNodes}\left(D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0\right)=(M_{1,0},M_{1,1})\) 。由于M是单项式的， \((0,0)<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,1)=(0,j_{1})\) ， \(j_{0}=0\) 。因此， \(j_{0}\) 是M可接受的，且 \(j_{-1}=j_{0}=0\) 。

如果 \(M_{1,0} = 0\) ，则 \(\operatorname{Pred}(M) = ((M_{0,0}, 0))\) ，因此 \(\operatorname{Pred}(M)\) 为零项，且 \(\operatorname{RightAnces}(M) = (0, M_{1,j_1}) = (M_{1,0}, M_{1,1})\) 。令 \(M_{1,0} > 0\) 。

\(\operatorname{Pred}(M) = ((M_{0,0}, M_{1,0}))\) ，因此 \(\operatorname{Pred}(M)\) 不是零项，且 \(a = \operatorname{RightAnces}\left((M_j)_{j=0}^{j-1}\right) = \operatorname{RightAnces}\left((M_{0,0}, M_{1,0})\right) = (M_{1,0})\) 。

由于 \(j_0\) 是 \(M\) 可接受的，且 \(j_0+1 = 1 = j_1\) ，因此 \(M\) 满足条件(I)、(III)或(VI)。因此，RightAnces \((M) = a\oplus \mathrm{N}(M_{1,j_1}) = (M_{0,1},M_{1,1})\) 。

由上可知，在所有情况下，RightAnces(M) = RightNodes(Trans(M))。

令 \(j_{1} > 1\) 。

根据 Mark 左端的基本性质， \(v = M_{1,0}\) 。令 \((M_{j})_{j=0}^{j_{j}-1}\) 为零项。则 \(a = (0)\) ， \(j_{-1} = 0\) ， \(v = M_{1,0} = 0\) 。由于 \(s_{1}\) 和 \(b_{1}\) 为空且为基点关系， \(s_{1} = ()\) ， \(b_{1} = ()\) 。因此， \(\mathrm{Trans}(M) = s_{1}c_{2}b_{1} = c_{2}\) 。假设 M 满足条件 (I 或 (III) 或 (V) 或 (VI)。

RightAnces(M) = a ⊕\_{N} (M\_{1,j\_1}) = (0, M\_{1,j\_1})。

根据 \(M\) 是否满足条件 (VI), \(c_{2} = D_{v}D_{M_{1,j_{1}}}0 = D_{0}D_{M_{1,j_{1}}}0\) 或 \(c_{2} = D_{v}\left(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right) = D_{0}\left(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)\) 。因此，无论哪种情况，RightNodes(Trans(M)) = \((0, M_{1,j_1}) = \text{RightAnces}(M)\) 。

如果 \(M\) 满足条件 (II) 或 (IV), 则 \(\mathrm{RightAnces}(M) = a \oplus_{\mathbb{N}}(M_{1,j_0}, M_{1,j_1}) = (0, M_{1,j_0}, M_{1,j_1})\) 且 \(c_2 = D_v(t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_1}}0)) = D_0(t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_1}}0))\) , 因此 \(\mathrm{RightNodes}(M) = (0, M_{1,j_0}, M_{1,j_1}) = \mathrm{RightAnces}(M)\) 。

令 \((M_{j})_{j=0}^{j-1}\) 为零项。

令 \(N := (M_{j})_{j=0}^{j-1}\) 。

由于 \(\mathrm{Lng}(N)-1=j_{-1}\leq j_{0}<j_{1}\) ，根据归纳假设，RightAnces \((N)=\mathrm{RightNodes}(N)\) 。

根据右端第二个基点 Mark 的基本性质, Mark \((M, j_{-1}) = c_{2}\) , 故 Trans \((M) = s_{1}c_{2}b_{1} = s_{1}\text{Mark } (M, j_{-1})b_{1}\) , 又根据 Trans 利用 Mark 和切片的表达式, Trans \((N) = s_{1}D_{M_{1,j-1}}b_{1}\) 。

假设 \(M\) 满足条件 (I)、(III)、(V) 或 (VI)。RightAnces \((M) = a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_1}) = \text{RightAnces}(N) \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_1})\) 。取决于 \(M\) 是否满足条件 (VI)， \(c_2 = D_v D_{M_{1,j_1}} 0\) 或 \(c_2 = D_v (t_2+D_{M_{1,j_1}} 0)\) ，因此无论哪种情况，RightNodes (Mark \((M, j_1)) = \text{RightNodes}(c_2) = (v, M_{1,j_1})\) 。

因此，由 RightNodes 和 Mark 的关系可知，RightNodes(Trans(M)) = RightNodes(Trans(N)) ⊕ N (M\_{1,j\_1}) = RightAnsces(N) ⊕ N (M\_{1,j\_1})。

设 \(M\) 满足条件 (II) 或 (IV)。RightAnces \((M) = a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_0}, M_{1,j_1}) = \text{RightAnces}(N) \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_0}, M_{1,j_1})\) 。

因为 \(c_{2}=D_{v}\left(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)\right)\) ，所以 RightNodes(Mark \((M,j_{1})\) )=RightNodes \((c_{2})=(v,M_{1,j_{0}},M_{1,j_{1}})\) 。

因此，从 RightNodes 与 Mark 的关系可知，RightNodes(Trans(M)=RightNodes(Trans(N)) \(\oplus_{N}\) \((M_{1,j_{0}}M_{1,j_{1}})=\text{RightAnsces}(N)\oplus_{N}(M_{1,j_{0}},M_{1,j_{1}})\) 。

由上可知，在两种情况下，RightAnces \((M)=\text{RightNodes}(\text{Trans}(M))\) 。

证毕。

定理 88 非零项的 RightAnces 非空。

对于任意的 \(M \in T_{PS}\) ，以下等价：

(1) M 为零项。 (2) RightAnces(M) = ()。

证明：这直接源于 Trans 保持零项性以及 RightNodes 和 RightAnces 之间的关系。证毕。

下面给出停机性的证明。

首先，我们研究在条件（I）至（VI）下单项式范式对序列的展开规则，并将它们与Buchholz符号系统中的展开规则进行比较，以证明与范式对序列相关的可计算函数的全集（即可计算规则的终止性）。

定理 89 条件 (1) 下 Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 \(M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 \(j_{1} > 1\) 且 \(M\) 满足条件 (1)，则如下命题成立：

(1) \(\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(M)[n-1]\) 。 (2) \(\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)\) 。

作为证明条件 (I) 下 Trans 和基本列之间的交换关系的初步步骤，我们提出一些引理。

定理 90 公差为 \((1,1)\) 的对序列 Trans 的基本性质。

对于任意 \(u, v \in \mathbb{N}\) ，如果 \(u < v\) ，则令 \(M = ((j, j))_{j=u}^v\) ，且 \(\operatorname{Trans}(M) = D_u D_v 0\) 。

证明：

M 是单项的，并且满足条件 (A) 和 (B)，因此由于约化性与系数之间的关系，M 是约化的。Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 定义的，为了清楚地表明这是对 M 的应用，我们将 \([52]\) 写成 M 的右肩。

\(j_{1}^{M}=v-u\) 且 \(j_{0}^{M}=j_{1}^{M}-1=v-u-1\) 且 \(j_{-1}^{M}=0\) 。由于 \(M_{v-u-1}=(v-1,v-1)\) 且 \(M_{v-u}=(v,v),\left(1,j_{0}^{M}\right)=(1,v-u-1)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(1,v-u\right)=\left(1,j_{1}^{M}\right)\) 。

这可以通过对 v-u 进行数学归纳法来证明。

设 v-u = 1。

\(j_{1}^{M} = v-u = 1\) 且 \(j_0^M = v-u-1 = 0\) ，因此 \(j_{-1}^{M} = 0 = j_{0}\) ，从而 \(j_0^M\) 是 \(M\) 容许的。

如果 \(u = 0\) ，则 \(t_1^M = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = \mathrm{Trans}((0,0)) = 0\) ，因此 \(\mathrm{Trans}(M) = D_0D_v0 = D_uD_v0\) 。

设 u > 0。

\(t_{1}^{M} = \text{Trans}(\text{Pred}(M)) = \text{Trans}((u, u)) = D_{u}0 \neq 0\) ，因此条件 (I) 至 (VI) 对 M 有意义。

由于 \(j_{-1}^{M} = 0\) ，且 \(s_1\) 和 \(b_{1}\) 为空，且基点关系为 \(s_1^M = ()\) ， \(b_1^M = ()\) ，因此 \(D_{v^M}t_2^M = c_1^M = s_1^M c_1^M b_1^M = t_1^M = D_u0\) ，所以 \(v^{M} = u\) ， \(t_2^M = 0\) 。由于 \(M_{1,j_1} = v = u+1 = M_{1,j_0}+1 > 0\) 且 \(j_0+1 = 1 = j_1\) ，因此 \(M\) 满足条件（VI）。因此， \(c_2^M = D_{v^M}D_{M_{1,j_1^M}}0 = D_uD_v0\) 且 \(\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_uD_v0\) 。

设 v-u > 1。

\(\operatorname{Pred}(M) = ((j,j))_{j=u}^{v-1}\) ，故根据归纳假设， \(t_1^M = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = D_u D_{v-1} 0 \neq 0\) ，因此条件 (I) \(\sim\) (VI) 对 \(M\) 有意义。

由 \(j_{-1}^{M} = 0\) 、 \(s_1\) 与 \(b_{1}\) 为空以及基点的关系可知， \(s_1^M = ()\) 且 \(b_{1}^{M} = ()\) ，又由 \(D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{u}D_{v-1}0\) 、 \(v^{M} = u\) 及 \(t_2^M = D_{v-1}0\) 可知。

M 满足条件（VI），因为 \(M_{1,j_{1}} = v = u+1 = M_{1,j_{0}}+1 > 0\) 且 \(j_{0}+1 = 1 = j_{1}\) 。因此， \(c_{2}^{M} = D_{v^{M}} D_{M_{1,j_{1}^{M}}} 0 = D_{u} D_{v} 0\) ，且 \(\mathrm{Trans}(M) = s_{1}^{M} c_{2}^{M} b_{1}^{M} = D_{u} D_{v} 0\) 。

证毕。

定理 91 Pred 具有公差 \((1,1)\) 的对序列的 Trans 的基本性质。

对于任意 \(u, v, w, w' \in \mathbb{N}\) , 令 \(u < v^{then} M := ((j, j))_{j=u}^v \oplus_{\mathbb{N}^2} (w', w)\) , 且如下成立:

(1) 若 \(w' = v+1\) 且 \(u < w \leq v\) ，则 \(Trans(M) = D_{u}D_{v}D_{w}0\) 。 (2) 若 \(u < w' \leq v\) 且 \(w = w'\) ，则 Trans \((M) = D_u(D_v0, D_w0)\) 。 (3) 若 \(u+1 < w' \leq v\) 且 \(w < w'\) ，则 Trans \((M) = D_u(D_v0, D_{w'-1}(D_v0, D_w0))\) 。 (4) 若 \(u+1 = w'\) 且 \(w < w'\) ，则 Trans \((M) = D_u(D_v0, D_w0)\) 。

证明：

无论哪种情况，M 都是单项的，并且满足条件 (A) 和 (B)，因此由于可约性与系数之间的关系，M 是可约的。Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 定义的，并且 M 的写法是将 M 写在右边，以明确表示它应用于 M。

\(\operatorname{Pred}(M) = ((j,j))_{j=u}^{v}\) ，并且根据 Trans 的基本性质，对于具有公差 (1,1) 的对序列， \(t_1^M = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = D_u D_v 0 \neq 0\) ，因此条件 (I) 至 (VI) 对 \(M\) 有意义。 \(j_1^M = v-u+1\) 。由 Mark 在左边第一个基点的基本性质可知， \(\operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), 0) = t_1^M = D_u D_v 0\) ；又由 Mark 在右边第一个基点的基本性质可知， \(\operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), j_1^M-1) = D_{\operatorname{Pred}(M)_{1,j_1 M_1}} 0 = D_v 0\) 。

设 \(w' = v+1\) ，且 \(u < w \leq v\) 。

\(j_{0}^{M}=j_{1}^{M}-1=v-u\) ，且 \(M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,v-u}=v\) ，且 \(M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w\leq v=M_{1,j_{0}^{M}}\) ，因此 \((1,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}^{M})\) 不成立，且 \(j_{0}^{M}\) 为 M 可接受的，因此 \(j_{-1}^{M}=j_{0}^{M}=j_{1}^{M}-1\) 。因此，M 满足条件 (I) 或 (III)。

\(c_{1}^{M} = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{M}\right) = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{1}^{M}-1\right) = D_{v}0\) ，且由于 \(s_{1}^{M}D_{v}0b_{1}^{M} = s_{1}^{M}c_{1}^{M}b_{1}^{M} = t_{1}^{M} = D_{u}D_{v}0\) ， \(s_{1}^{M} = D_{u}\) 且 \(b_{1}^{M} = ()\) 。另外，由于 \(D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{v}0\) ， \(v^{M} = v\) 且 \(t_{2}^{M} = 0\) ，因此 \(c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{2}^{M}+D_{M_{1,j_{1}^{M}}}0\right) = D_{v}(0+D_{w}0) = D_{v}D_{w}0\) 。

由上可知， \(\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_u D_v D_w 0\) 。

令 \(u < w' \leq v\) 且 \(w = w'\) 。

\(j_{0}^{M}=w^{\prime}-u-1, M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,w^{\prime}-u-1}=w^{\prime}-1\) ，且 \(M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w=M_{1,j_{0}^{M}}+1\) ，因此 \((1,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}^{M})\) ，且 \(j_{0}^{M}\) 不为 M 可接受的，因此 \(j_{-1}^{M}=0\) 。因此，M 满足条件 (V)。

\(c_{1}^{M} = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),0) = D_{u}D_{v}0\) ，又因为 \(j_{-1}^{M} = 0\) 且 \(s_1\) 与 \(b_{1}\) 为空且满足基点关系，所以 \(s_1^M = ()\) 且 \(b_{1}^{M} = ()\) 。又，由于 \(D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{u}D_{v}0\) ， \(v^{M} = u\) 且 \(t_2^M = D_v0\) ，因此 \(c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{2}^{M}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0+D_{w}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)\) 。

由上可知， \(\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)\) 。

设 \(u+1 < w' \leq v\) 且 \(w < w'\) 。

\(j_{0}^{M}=w'-u-1>0\) ，且 \(M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,w'-u-1}=w'-1\) 且 \(M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w\leq w'-1=M_{1,j_{0}^{M}}\) ，因此 \((1,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}^{M})\) ，且 \(j_{0}^{M}\) 不满足 M 可接受性，因此 \(j_{-1}^{M}=0\) 。因此，M 满足条件 (IV)。

\(c_{1}^{M}=\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right)=\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),0)=D_{u}D_{v}0\) ，且 \(j_{-1}^{M}=0\) ，且 \(s_{1}\) 与 \(b_{1}\) 之间存在空性和基点关系，因此 \(s_{1}^{M}=()\) ， \(b_{1}^{M}=()\) 。

又，由于 \(D_{v^M}t_2^M = c_1^M = D_uD_v0,v^M = u\) ，且 \(t_2^M = D_v0\) 。因为 \(v\geq w' > w'-1,t_2^M\) 的唯一单项分量 \(D_{v}0\) 的最左边分量为 \(D_{v}\neq D_{w^{\prime}-1} = D_{M_{1,j_0^M}}\) ，所以 \(t_3^M = t_2^M = D_v0\) 且 \(t_4^M = t_2^M =\) \(D_{v}0\) 。因此 \(c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{3}^{M}+D_{M_{1,j_0^M}}\left(t_{4}^{M}+D_{M_{1,j_1^M}}0\right)\right) = D_u(D_v0+D_{w^{\prime}-1}(D_v0+D_w0)) =\) \(D_{u}(D_{v}0,D_{w^{\prime}-1}(D_{v}0,D_{w}0))\) 。

由上可知， \(\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=D_{u}\left(D_{v}0,D_{w^{\prime}-1}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)\right)\) 。

设 \(u+1 = w'\) 且 \(w < w'\) 。

\(j_{0}^{M}=0,\ M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,0}=u\) ，且 \(M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w\leq w'-1=u=M_{1,j_{0}^{M}}\) ，因此 \(\left(1,j_{0}^{M}\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(1,j_{1}^{M}\right)\) 不成立，且 \(j_{0}^{M}\) 为 M 可接受的，因此 \(j_{-1}^{M}=j_{0}^{M}=0\) 。因此，M 满足条件 (I) 或 (III)。

\(c_{1}^{M} = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),0) = D_{u}D_{v}0\) ，又因为 \(j_{-1}^{M} = 0\) 且 \(s_1\) 与 \(b_{1}\) 为空且满足基点关系，所以 \(s_1^M = ()\) 且 \(b_{1}^{M} = ()\) 。又，由于 \(D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{u}D_{v}0\) ， \(v^{M} = u\) 且 \(t_2^M = D_v0\) ，因此 \(c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{2}^{M}+D_{M_{1,j}}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0+D_{w}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)\) 。

由上可知， \(\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)\) 。

定理 92 在条件 (I) 或 (III) 下围绕 \(c_{1}\) 的具体表达式。

对于任意 \(M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}\) ，使用 Trans 递归定义中引入的符号，如果 \(j_0\) 满足 \(M\) 条件，且 \(j_1 > 1\) 且 \(M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}\) ，则以下成立：

(1) \(t_1 \neq 0\) 且 \(M\) 满足条件 (1) 或 (111)，且 \(\operatorname{Trans}\left((M_j)^{j_1-1}_{j = j_0}\right) = c_1 \in PT_{\mathrm{B}}\) 。 此外，假设存在唯一的 \(j_{0}^{\prime} \in N\) 使得 \((0, j_{0}^{\prime}) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_{0})\) ，且令 \(j_{-1}^{\prime} := \operatorname{Adm}_{M}(j_{0}^{\prime})\) 。 (2) \(j_0' \leq j_1-2\) 且 \(\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}\) 且 \(\left((M_j)_{j=j_{-1}'}^{j_1-1}, j_0-j_{-1}'\right) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}\) 。

(3) 若 \(j_{0}^{\prime}+1 = j_{0}\) ，则下列命题成立：

(3-1) 若 \(j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}\) 或 \(M_{1,j_0^{\prime}}+1 = M_{1,j_0}\) ，则 \(\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}c_1\) 。

(3-2) 若 \(j_{-1}^{\prime}j_{0}^{\prime}\) 且 \(M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0}\) ，则 \(\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}D_{M_{1,j_0'}}c_1\) 。

(4) 若 \(j_0'+1 < j_0\) ，则下列命题成立：

(4-1) 若 \(j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}\) 或 \(M_{1,j_0^{\prime}}+1 = M_{1,j_0}\) , 则存在唯一的 \(t_2^{\prime} \in T_{\mathrm{B}}^{2}\) , 使得 \(\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'}}\left(t_2^{\prime}+c_1\right)\) 。 (4-2) 若 \(j_{-1}^{\prime} j_{0}^{\prime}\) 且 \(M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0}\) , 则存在唯一的 \((t_3', t_4') \in T_{\mathrm{B}}^2\) 使得 \(\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right) = D_{M_{1,j'-1}^{\prime}}\left(t_3'+D_{M_{1,j_0'}}\left(t_4'+c_1\right)\right)\) 。

此外，对于任意 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，令 \(n > 1\) ，且令 \(N := (M[n]_j)_{j=0}^{j_0+(n-1)(j_1-j_0)}\) 。Trans 递归定义中引入的符号是针对 \(N\) 定义的，并且 \(N\) 写在右肩上，以明确这是对 \(N\) 的一个应用。

证明：

证明 (1) 成立。

由于 \(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1 = j_1 > 1\) ， \(\mathrm{Pred}(M)\) 不是零项，因此，由于Trans保留零项性质， \(t_1 \neq 0\) 。 \(M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}\) 且 \(j_0\) 可被 \(M\) 接受，因此 \(j_0 = j_{-1}\) 且 \(M\) 满足条件(I)或(III)。

由于 \(j_0\) 可被 \(M\) 接受，因此 \(j_{-1} = j_0\) 。因此， \(c_1 = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}) = \mathrm{Trans}\left((\mathrm{Pred}(M)_j)_{j=j_{-1}}^{j_1-1}\right) = \mathrm{Trans}\left((M_j)_{j=j_0}^{j_1-1}\right)\) 。又， \(t_1 \neq 0\) 且 \((t_1, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) ，因此 \(c_1 \in PT_{\mathrm{B}}\) 。

证明（2）成立。

因为 \(j_{-1}^{\prime}\leq j_{0}^{\prime}j_{0}< j_{1},\; j_{-1}^{\prime}\leq j_{1}-2\) 。 \(\left(0,j_{-1}^{\prime}\right)\leq_{M}\left(0,j_{0}^{\prime}\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(0,j_{0}\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(0,j_{1}\right)\) 来自 \(\left(M,j_{-1}^{\prime}\right)\in T_{\mathrm{PS}}\) 已标记。因此，由于基切片的遗传性， \(\left(\operatorname{Pred}(M),j_{-1}^{\prime}\right)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 。 \((M,j_{0})\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 并且由于基切片的遗传性， \(\left((M_{j})_{j=j_{-1}^{\prime}}^{j_{1}-1},j_{0}-j_{-1}^{\prime}\right)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 。

证明 (3) 和 (4) 成立。

设 \(N := (M_{j})_{j=j_{-1}^{\prime}}^{j_{0}}\) 。Red(N) 为约化函数，因此从约化率与系数的关系可知，M 和 Red(N) 满足条件 (A) 和 (B)。由于 Red(N) 满足条件 (A) 和 (B)，并且从直接祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 的关系可知，

\[ N = \mathrm{IncrFirst}^{M_{0, j_{- 1}^{\prime}}-M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} (\mathrm{Red} (N)), \tag {21.119} \]

\[ \operatorname{Red} (N) = ((j, j))_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{0, j}-M_{0, j_{- 1}^{\prime}}+M_{1, j_{- 1}^{\prime}}, M_{1, j})\right)_{j = j_{0}^{\prime}+1}^{j_{0}-1} \tag {21.120} \]

\[ \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}})\right). \]

因此，由 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变式 P 同变性可知，

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left((j, j)\right)_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, j_{- 1}^{\prime}}+M_{1, j_{- 1}^{\prime}}, M_{1, j}\right)\right)_{j = j_{0}^{\prime}+1}^{j_{0}-1} \right. \tag {21.121} \\ \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}})\right)). \\ \end{array} \]

设 \(j_{0}^{\prime}+1 = j_{0}\) 。

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left((j, j)\right)_{j = M_{1, j^{\prime}-1}}^{M_{1, j^{\prime}}}\right) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, j^{\prime}-1}+M_{1, j^{\prime}-1}, M_{1, j}\right)\right)_{j = j_{0}^{\prime}+1}^{j_{0}-1} \tag {21.122} \\ \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}})\right)) \\ = \mathrm{Trans} (((j, j))_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} (M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}})). \\ \end{array} \]

设 \(M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_0}\) ，则根据公差为 \((1,1)\) 的序列Trans的基本性质，

\[ \operatorname{Trans} (N) = \operatorname{Trans} \left(\left((j, j)\right)_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}}\right)\right) = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} D_{M_{1, j_{0}}} 0. \tag {21.123} \]

设 \(j_{-1}^{\prime} = j_0^{\prime}\) 且 \(M_{1,j_0^{\prime}}\geq M_{1,j_0}\) ，则由2列对序列的基本性质，

\[ \operatorname{Trans} (N) = \operatorname{Trans} ((\left(j, j\right))_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}}\right)) = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} D_{M_{1, j_{0}}} 0. \tag {21.124} \]

如果 \(j_{-1}^{\prime}<j_{0}^{\prime}\) 且 \(M_{1,j_{0}^{\prime}}\geq M_{1,j_{0}}\) ，则根据具有公差 (1,1) 的序列对的 Trans 的基本性质 (1)，

\[ \begin{array}{l} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{\prime}}^{j_{1}-1}\right) \\ = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.125} \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}\right) \\ = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} c_{1}. \\ \end{array} \]

如果 \(j_{-1}^{\prime} < j_0^{\prime}\) 且 \(M_{1,j_0^{\prime}}+1 = M_{1,j_0}\) ，那么

\[ \begin{array}{l} \text {Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{\prime}}^{j_{1}-1}\right) \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.126} \\ = D_{M_{1, j_{- 1}}} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}\right) \\ = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} c_{1}. \\ \end{array} \]

设 \(j_{0}^{\prime}+1 < j_{0}\) 。

Trans 递归定义中引入的符号是针对 N 定义的，N 的右肩部分写为 N，以明确表示它是对 N 的应用。 \(j_{1}^{N}=j_{0}-j_{-1}^{\prime}\) 且 \(j_{0}^{N}=j_{0}^{\prime}-j_{-1}^{\prime}\) ，并且由于切片的遗传性， \(j_{-1}^{N}=\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}^{N}\right)=\mathrm{Adm}_{M}\left(j_{0}^{\prime}\right)-j_{-1}^{\prime}=0\) 。因此，由于 \(s_{1}\) 和 \(b_{1}\) 为空，以及基点之间的关系， \(s_{1}^{N}=()\) 且 \(b_{1}^{N}=()\) 。

由于 \(j_{-1}^{\prime}\leq j_{0}^{\prime}j_{0}^{\prime}+1 < j_{0},\quad j_{1}^{N} = j_{0}-j_{-1}^{\prime} > 2\) ，所以Pred \((N)\) 不是零项，且Trans满足去项性质， \(t_1^N\neq 0\) 。因此，条件(I)至(VI)对 \(N\) 有意义。

N 不满足条件 (VI)，因为 \(j_{0}^{N}+1 = j_{0}^{\prime}+1-j_{-1}^{\prime} j_{0}-j_{-1}^{\prime} = j_{1}^{N}\) 。根据 Trans 最左元素的基本性质， \(v^{N} = N_{1,0} = M_{1,j_{-1}^{\prime}}\) 。令 \(j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}\) 或 \(M_{1,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{1,j_{0}}\) 。

令 \(t_{2}^{\prime} := t_{2}^{N}\) 。

如果 \(j_{-1}^{\prime} = j_0^{\prime}\) ，则 \(j_{-1}^{N} = 0 = j_{0}^{\prime}-j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{N}\) ，因此 \(j_0^N\) 是 \(N\) 可接受的，且满足条件 (I) 或 (III)。

如果 \(M_{1,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{1,j_{0}}\) ，则 N 不满足条件 (VI)，因此 N 满足条件 (V)。

无论哪种情况，都有

\[ c_{2}^{N} = D_{v^{N}} \left(t_{2}^{N}+D_{N_{1, j_{1}^{N}}} 0\right) = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right), \tag {21.127} \]

\[ \mathrm{Trans} (N) = s_{1}^{N} c_{2}^{N} b_{1}^{N} = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right). \tag {21.128} \]

因此，从加法和 scb 分解的关系、Mark 乘以 Trans 的表达式、以及 Trans 乘以 Mark 和切片的表达式来看，我们有

\[ \begin{array}{l} \text {Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{\prime}}^{j_{1}-1}\right) \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+\operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}\right)\right) \tag {21.129} \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+\mathrm{Mark} \left(\mathrm{Pred} (M), j_{- 1}\right)\right) \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\right). \\ \end{array} \]

令 \(j_{-1}^{\prime}j_{0}^{\prime}\) 且 \(M_{1,j_{0}^{\prime}} \geq M_{1,j_{0}}\) 。

由于 \(j_{-1}^{N} = 0 < j_{0}^{\prime}-j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{N}\) ，因此 \(j_0^N\) 不为 \(N\) 容许的；又由于 \(N_{1,j_0^N} = M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0} = N_{1,j_1^N}\) ，因此 \(N\) 满足条件 (II) 或 (IV)。

令 \(t_{3}^{\prime} := t_{3}^{N}\) 。

令 \(t_{4}^{\prime} := t_{4}^{N}\) 。

\[ \begin{array}{l} c_{2}^{N} = D_{v^{N}} \left(t_{3}^{N}+D_{N_{1, j_{0}^{N}}} \left(t_{4}^{N}+D_{N_{1, j_{1}^{N}}} 0\right)\right) \tag {21.130} \\ = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right)\right), \\ \end{array} \]

\[ \operatorname{Trans} (N) = s_{1}^{N} c_{2}^{N} b_{1}^{N} = D_{M_{1, j^{\prime}-1}^{\prime}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right)\right). \tag {21.131} \]

因此，从加法和 scb 分解的关系、Mark 乘以 Trans 的表达式、以及 Trans 乘以 Mark 和切片的表达式来看，

\[ \begin{array}{l} \text {Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{\prime}}^{j_{1}-1}\right) \\ = D_{M_{1, j_{-}^{\prime}}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+\operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}\right)\right)\right) \tag {21.132} \\ = D_{M_{1, j_{-}^{\prime}}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+\operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}))\right)\right) \\ = D_{M_{1, j_{-}^{\prime}}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right). \\ \end{array} \]

我们证明 (5) 成立。

根据 \((0,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)\) 和父母基本性质(1)，对于任意 \(j\in \mathbb{N}\) ，若 \(j_0 < j\leq j_1\) ，则 \(M_{0,j}\geq M_{0,j_1} > M_{0,j_0}\) 。因此，根据父母存在性的判定条件(3)，我们有 \((0,j_0)\leq M(0,j_1-1)\) 。此外，由于 \((M_j)_{j = j_0}^{j_1-1} = (M[n]_j)_{j = j_0+(n-1)(j_1-j_0)}^{j_0+n(j_1-j_0)-1}\) ，因此 \((0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))\leq_{M[n]}(0,j_0+n(j_1-j_0)-1)\) 。

\(n > 1, M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)-1} = M_{0,j_1-1} > M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}\) ，所以 \((0, j_0+(n-1)(j_1-j_0)-1)(0, j_0+(n-1)(j_1-j_0))\) 不成立。因此， \(j_0+(n-1)(j_1-j_0)\) 是 \(M[n]\) 可接受的。由上可知， \((M[n], j_0+(n-1)(j_1-j_0)) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked.}}\) 。

对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，若 \(j_0 \leq j < j_0+(n-1)(j_1-j_0)\) ，则 \(r \in \mathbb{N}\) 为 \(j-j_0\) 除以 \(j_1-j_0 > 0\) 的余数，且 \(r < j_1-j_0\) 。如果 \(r = 0\) ，则 \(M[n]_{0,j} = M_{0,j_0+r} = M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}\) ，如果 \(r > 0\) ，则 \(M[n]_{0,j} = M_{0,j_0+r} \geq M_{0,j_1} > M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}\) ，因此在任何一种情况下， \((0,j) \leq_{M[n]} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))\) 都不成立。另外，对于任何 \(j \in \mathbb{N}\) ，如果 \(j_0' j < j_0\) ，则 \((0,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0)\) ，且根据父元素的基本性质 (1)， \(M[n]_{0,j} = M_{0,j} \geq M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}\) ，因此 \((0,j) \leq_{M[n]} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))\) 并非如此。

进一步，由于 \((0,j_0') <_{M}^{\mathrm{Next}} (0,j_0)\) ， \(M[n]_{0,j_0'} = M_{0,j_0'} < M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}\) ，因此由上可知， \((0,j_0') <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))\) 。

\(\mathrm{Lng}(N) = j_0+(n-1)(j_1-j_0)+1\) ，故 \(j_{1}^{N} = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})\geq j_{0}+(j_{1}-j_{0})\geq\) \(j_0+1 > 1\) ，从而Pred \((N)\) 不为零项，且由于Trans满足去项性质， \(t_1^N\neq 0\) 。因此，条件(I)至(VI)对 \(N\) 有意义。

\((0,j_0') <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))\) 来自 \((0,j_0') <_{N}^{\mathrm{Next}} (0, j_0+(n-1)(j_1-j_0)) = (0,j_1^N), j_0^N = j_0', \mathrm{Pred}(N) = (M[n]_j)_{j=0}^{j_0+(n-1)(j_1-j_0)-1} = M[n-1]\) 。因此， \(t_1^N = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Trans}(M[n-1]) = \mathrm{Trans}(M)[n-2]\) 。

由于 \(j_0' < j_0 \leq j_1-1\) ，以及容许化切片的遗传性，因此 \(\mathrm{Adm}_N(j_0') = \mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(M)}(j_0') = j_{-1}'\) 。因此， \(j_{-1}^N = \mathrm{Adm}_N(j_0^N) = \mathrm{Adm}_N(j_0') = j_{-1}'\) 。由于 \(j_0^N+1 = j_0'+1 \leq j_0 < j_1 \leq j_0+(n-1)(j_1-j_0) = j_1^N\) ， \(N\) 不满足条件（VI）。

证毕。

下面回到正题。

在条件 (I) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

由于 M 是单项的，Trans 保持零终止性，因此 Trans \((M) \neq 0\) 。

(2) 直接由 (1)、Trans(M) ≠ 0 和[Buc1] 引理 3.2 (a) 得出。下面我们给出 (1)。

由于 \(j_{1}>0\) ， \(\mathrm{Pred}(M)\) 不是零终止性的，因此 Trans 保持零终止性，因此 \(t_{1}\neq0\) 。同样，由于 \((t_{1},c_{1})\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) ，因此 \(c_{1}\in PT_{B}\) 。

由于 M 可约，且由于可约性和系数之间的关系，条件 (A) 和 (B) 得到满足。由于 M 的单项式性和条件 (B)， \(M_{0,0} = M_{1,0}\) 。由于可约性在基本列中得到保留，因此 \(M[n]\) 也是可约的。

由于 \(j_{0}\) 具有 M 容错性，因此 \(j_{-1}=j_{0}\) 。由于 Mark 左端的基本性质， \(v=M_{1,j_{-1}}=M_{1,j_{0}}\) 。根据 Trans 的定义， \((s_{1},c_{2},b_{1})=(s_{1},D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{0}0),b_{1})\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)\) 的第 0 类 scb 分解。

若 n=1，则 \(M[n]=\mathrm{Pred}(M)\) ，因此 \(\mathrm{Trans}(M[n])=t_{1}=s_{1}c_{1}b_{1}\) 。

令 \(j_{0}=0\) 。

由于非复项性与基本列 (1) 的关系， \(P(M[n]) = (\text{Pred}(M))_{k=0}^{n-1}\) 。

由于 \(j_0\) 满足 \(M\) 容许条件， \(j_{-1} = j_0 = 0\) 。因此，由于 \(s_1\) 和 \(b_1\) 为空，以及基点之间的关系， \(s_1 = ()\) ， \(b_1 = ()\) 。由于 \(\operatorname{scb}\) 分解与基本列 \((1-1)\) 的关系， \(\operatorname{Trans}(M)[n-1] = D_{M_{1,i_0}}(t_2+D_00)[n-1] = (D_{M_{1,i_0}}t_2)\times n = c_1\times n\) 。

我们利用关于 n 的数学归纳法证明， \(\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(M)[n-1]\) 。

如果 n=1，则 \(\mathrm{Trans}(M[n])=s_{1}c_{1}b_{1}=c_{1}=\mathrm{Trans}(M)[n-1]\) 。

如果 \(n > 1\) ，则根据归纳假设， \(\mathrm{Trans}(M[n-1]) = \mathrm{Trans}(M)[n-2]\) 。由于 \(\operatorname{Lng}(\operatorname{Pred}(M)) = j_1 > 1\) ， \(\operatorname{Pred}(M) \neq (0,0)\) ，因此根据 Trans 的递归定义

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) \\ = \operatorname{Trans} \left(\bigoplus_{\mathbb {N}^{2}} (\operatorname{Pred} (M))_{k = 0}^{n-2}\right)+\operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (M)) \\ \begin{array}{l} = \operatorname{Trans} (M[n-1])+t_{1} \\ = \operatorname{Trans} (M)[n-2] = t_{1} \end{array} \tag {21.133} \\ = \mathrm{Trans} (M)[n-2]+s_{1} c_{1} b_{1} \\ = c_{1} \times (n-1)+c_{1} \\ = c_{1} \times n \\ = \operatorname{Trans} (M)[n-1]. \\ \end{array} \]

设 \(j_{0} > 0\) 。

由于 \(M\) 满足条件 (I)， \(j_0\) 是 \(M\) 可接受的，且 \(M_{1,j_0} \geq 0 = M_{1,j_1}\) 。因此，在条件 (I) 或 (III) 下， \(M\) 满足围绕 \(c_1\) 的具体表达式假设。

由于 M 是单项的， \((0,0) \leq_{M} (0,j_{1})\) ，因此 \(M_{0,0} < M_{0,j_{1}}\) 。由于 \(0 < j_{0}\) ，根据父存在性判断条件 (1)，存在唯一的 \(j_{0}^{\prime} \in N\) 满足 \((0,j_{0}^{\prime}) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0,j_{0})\) 。我们使用在条件 (I) 或 (III) 下围绕 \(c_{1}\) 的具体表达式中引入的符号。

由于 \(\left(t_1, \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right)\right) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) ，因此存在唯一的 \(\left(s_{-1}^{\prime}, b_{-1}^{\prime}\right) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) ，使得 \(\left(s_{-1}^{\prime}, \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right), b_{-1}^{\prime}\right)\) 构成 \(t_1\) 的 scb 分解。具体而言， \(\operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = t_1 = s_{-1}^{\prime} \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) b_{-1}^{\prime}\) 。

根据 \(j_{-1}=j_{0}>0\) 、 \(s_{1}\) 和 \(b_{1}\) 为空、基点关系以及 scb 分解的自明性判定条件，有 \(s_{1}\neq()\) 。

令 \(j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}\) 或 \(M_{1,j_0^{\prime}}+1 = M_{1,j_0}\) 。

令 \(j_{0}^{\prime}+1 = j_{0}\) 。

令 \(t_{2}^{\prime} := 0\) 。

根据条件 (I) 或 (III) 下 \(c_{1}\) 前后的具体表达式 (3-1)，可知 \(s_{1}c_{1}b_{1} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = s_{-1}'\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}'\right)b_{-1}' = s_{-1}'D_{M_{1,j'}', c_1}b_{-1}'\) 。因此，根据 scb 分解的唯一性 (1)， \(s_{1} = s_{-1}'D_{M_{11'-1}', 且 b_1 = b_{-1}'}\) 。

由 scb 分解与基本列的关系(1-2)可知, \(\mathrm{Trans}(M)[n-1]=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(\left(D_{M_{1,j_{0}}}t_{2}\right)\times n\right)b_{1}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(c_{1}\times n\right)b_{-1}^{\prime}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times n\right)b_{-1}^{\prime}\) 。

令 \(j_{0}^{\prime}+1<j_{0}\) 。

在条件 (I) 或 (III) 下，存在唯一的 \(t_{2}^{\prime} \in T_{B}\) 使得对于围绕 \(c_{1}\) 的具体表示 (4-1)，存在唯一的 Mark \(\left(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}(t_{2}^{\prime}+c_{1})\) 。

\[ \begin{array}{l} s_{1} c_{1} b_{1} = t_{1} = \text { Trans } (\text { Pred } (M)) \\ = s_{- 1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.134} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\right) b_{- 1}^{\prime}. \\ \end{array} \]

因此，通过反复应用加法与 SCB 分解的关系以及 SCB 分解的合成规则（2），

\[ \operatorname{Trans} (M) = s_{1} c_{2} b_{1} = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{2}\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.135} \]

\[ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} \left(t_{2}+D_{0} 0\right)\right) b_{- 1}^{\prime}. \]

因此，由scb分解与基本列(1-2)的关系可知， \(\mathrm{Trans}(M)[n-1] = s_{-1}'D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2'+\left(D_{M_{1,j_0}}t_2\right)\times n\right)b_1' = s_{-1}'D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2'+c_1\times n\right)b_{-1}'\) 。

从上可知，在两种情况下，Trans \((M)[n-1]=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times n)b_{-1}^{\prime}\) 。

利用数学归纳法证明 \(n\) 中的 \(\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'}}\left(t_2'+c_1 \times n\right)\) 且 \(\operatorname{Trans}(M[n]) = s_{-1}'\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}'\right)b_{-1}'\) 。如果 \(n = 1\) 则 \(\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}'\right) = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2'+c_1\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2'+c_1 \times n\right)\) 且 \(\operatorname{Trans}(M[n]) = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = s_{-1}'\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right)b_{-1}' = s_{-1}'\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}'\right)b_{-1}'\) 。

令 n > 1。

由条件（I）或（III）下围绕 \(c_{1}\) 的具体表达式（5）可知， \(j_{1}^{N} = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})\) 且 \(j_0^N = j_0'\) 且 \(j_{-1}^{N} = j_{-1}'\) ，且 \(t_1^N \neq 0\) ，因此 \(N\) 不满足条件（VI）。根据归纳假设， \(c_{1}^{N} = \mathrm{Mark}\left(M[n-1], j_{-1}'\right) = D_{M_{1,j_{-1}'}}\left(t_2'+c_1 \times (n-1)\right)\) 且 \(s_1^N c_1^N b_1^N = t_1^N = \mathrm{Trans}(M[n-1]) = s_{-1}'\mathrm{Mark}\left(M[n-1], j_{-1}'\right)b_{-1}' = s_{-1}'c_1^N b_{-1}'\) 。因此，由scb分解(1)的唯一性可知， \(s_1^N = s_{-1}'\) 且 \(b_1^N = b_{-1}'\) 。又，由 \(D_{v^N}t_2^N = c_1^N = D_{M_{1,j_{-1}'}}\left(t_2'+c_1 \times (n-1)\right)\) ， \(v^N = M_{1,j_{-1}'}\) 且 \(t_2^N = t_2'+c_1 \times (n-1)\) 。

如果 \(j_{-1}^{\prime} = j_0^{\prime}\) ，则 \(j_{-1}^{N} = j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime} = j_{0}^{N}\) ，因此 \(N\) 满足条件(I)或(III)。

如果 \(M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_0}\) ，则 \(N\) 不满足条件 (VI)；且由于 \(N_{1,j_0^N}+1 = M_{1,j_0} = N_{1,j_1^N}\) ，因此 \(N\) 满足条件 (V)。

因此，无论哪种情况，N 都满足条件 (I)、(III) 或 (V)，且 \(c_{2}^{N}=D_{v^{N}}\left(t_{2}^{N}+D_{N_{1,j_{1}^{N}}}0\right)=D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left((t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1))+D_{M_{1,j_{0}}}0\right)\) ，因此 \(\mathrm{Trans}(N)=s_{1}^{N}c_{2}^{N}b_{1}^{N}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}^{\prime}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1)+D_{M_{1,j_{0}}}0\right)\)

根据加法与scb分解的关系,以及scb分解的复合规则(2),我们有 \(\left(D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1)+D_{M_{1,j_{0}}}0\right),T_{B}^{\mathrm{Marked}}\right)\) 。另外,根据Mark的定义, \(\left(\mathrm{Trans}(N),D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1)+D_{M_{1,j_{0}}}0\right)\right)\in T_{B}^{\mathrm{Marked}}\) 。

此外, 通过反复应用 scb 分解的复合规则 (1) 和 scb 分解的可替代性, 从 Trans 的 Mark 和切片表示,

\[ \begin{array}{l} \text {Trans} (M[n]) \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(\left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)\right)+\operatorname{Mark} \left(M[n], j_{0}+(n-1) \left(j_{1}-j_{0}\right)\right)\right) b_{- 1}^{\prime} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(\left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)\right)+\operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{- 1})\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.136} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(\left(c_{1} \times (n-1)\right)+c_{1}\right) b_{- 1}^{\prime} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{-}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times n\right) b_{- 1}^{\prime}. \\ \end{array} \]

并且，从 Trans \((N)=s_{-1}^{\prime}\) Mark \((N,j_{-1}^{\prime})b_{-1}^{\prime}\) ,

\[ s_{- 1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(M[n], j_{- 1}^{\prime}\right) b_{- 1}^{\prime} = \operatorname{Trans} (M[n]) = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times n\right) b_{- 1}^{\prime}, \tag {21.137} \]

因此， \(\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times n\right)\) 且 \(\operatorname{Trans}(M[n]) = s_{-1}^{\prime} \operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}^{\prime}\right) b_{-1}^{\prime}\) 。

由上可知

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) \\ = s_{- 1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(M[n], j_{- 1}^{\prime}\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.138} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times n\right) b_{- 1}^{\prime} \\ = \operatorname{Trans} (M)[n-1]. \\ \end{array} \]

令 \(j_{-1}^{\prime}>j_{0}^{\prime}\) 且 \(M_{1,j_{0}^{\prime}}\geq M_{1,j_{0}}\) 。

令 \(j_{0}^{\prime}+1 = j_{0}\) 。

令 \(t_{3}^{\prime} := 0\) 。

令 \(t_{4}^{\prime} := 0\) 。

从条件 (I) 或 (III) 下围绕 \(c_{1}\) 的具体表达式 (3-2),

\[ \begin{array}{l} s_{1} c_{1} b_{1} \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (M)) \\ = s_{- 1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.139} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}^{\prime}} D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} c_{1} b_{- 1}^{\prime} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}^{\prime}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1})\right) b_{- 1}^{\prime}. \\ \end{array} \]

根据 scb 分解的唯一性 (1)， \(s_{1}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}D_{M_{1,j_{0}}}\) 且 \(b_{1}=b_{-1}^{\prime}\) 。

根据 scb 分解与基本列的关系（1-2），

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M)[n-1] \\ \begin{array}{l} = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}^{\prime}} D_{M_{1, j^{\prime}}^{\prime}} \left(\left(D_{M_{1, j_{0}}} t_{2}\right) \times n\right) b_{1} \\ \quad^ {\prime} D_{M_{1, j^{\prime}}} D_{M_{1, j^{\prime}}} (t_{2}) h^{\prime} \end{array} \tag {21.140} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(c_{1} \times n\right) b_{- 1}^{\prime} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}^{\prime}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times n\right)\right) b_{- 1}^{\prime}. \\ \end{array} \]

令 \(j_{0}^{\prime}+1 < j_{0}\) 。

在条件 (I) 或 (III) 下, 存在唯一的 \((t_{3}^{\prime}, t_{4}^{\prime}) \in T_{\mathrm{B}}^{2}\) 使得 Mark \((\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}) = D_{M_{1,j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1})\right)\) 且 \(s_{1}c_{1}b_{1} = t_{1} = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = s_{-1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) b_{-1}^{\prime} = s_{-1}^{\prime} D_{M_{1,j^{\prime}_1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1})\right) b_{-1}^{\prime}\) 。

因此，通过迭代应用加法和 scb 分解之间的关系以及 scb 分解的组合规则 (2)，我们得到 \(\left(D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right),c_{1}\right)\) ， \(\left(D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right),D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) 。另外，根据 Mark 的定义， \(\left(s_{1}c_{1}b_{1},D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right)\right),\left(s_{1}c_{1}b_{1},c_{1}\right)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) 。

进一步，通过反复应用 scb 分解的复合规则 (1) 以及 scb 分解的可替换性，我们得到 \(\mathrm{Trans}(M)=s_{1}c_{2}b_{1}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{2}+D_{0}0\right)\right)\right)b_{-1}^{\prime}\) 。

由 scb 分解与基本列(1-2)的关系可知, \(\mathrm{Trans}(M)[n-1]=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+\left(D_{M_{1,j_{0}}}t_{2}\right)\times n\right)\right)b_{-1}^{\prime}\) \(s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\times n\right)\right)b_{-1}^{\prime}\) 。

因此，在这两种情况下， \(\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}}(t_{4}^{\prime}+c_{1})\right)\) 且 \(\mathrm{Trans}(M)[n-1] = s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}}(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times n)\right)b_{-1}^{\prime}\) 。

利用 n 中的数学归纳法,我们证明 \(\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right)=D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\times n\right)\right)\) 且 \(\mathrm{Trans}\left(M[n]\right)=s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right)b_{-1}^{\prime}\) 。

\(n = 1\) 则 \(\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right) = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_{4}^{\prime}+c_{1})\right) =\) \(D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_3^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_4^{\prime}+c_1\times n)\right)\) 并且 \(\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{\prime}\right)c_1b_{-1}^{\prime} =\) \(s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right)b_{-1}^{\prime}\circ\)

令 n > 1。

由条件（I）或（III）下围绕 \(c_{1}\) 的具体表达式（5）可知， \(j_{1}^{N} = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})\) 且 \(j_0^N = j_0'\) 且 \(j_{-1}^N = j_{-1}'\) ，且 \(t_1^N \neq 0\) ，因此 \(N\) 不满足条件（VI）。根据归纳假设， \(c_{1}^{N} = \mathrm{Mark}\left(M[n-1],j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}^{\prime}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}^{\prime}}(t_4^{\prime}+c_1\times (n-1))\right)\) 且 \(s_1^N c_1^N b_1^N = t_1^N =\) Trans \((M[n-1]) = s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(M[n-1],j_{-1}^{\prime}\right)b_{-1}^{\prime} = s_{-1}^{\prime}c_{1}^{N}b_{-1}^{\prime}\) 。因此，根据scb分解(1)的唯一性， \(s_1^N = s_{-1}'\) 且 \(b_{1}^{N} = b_{-1}'\) 。另外， \(D_{v^{N}}t_{2}^{N} = c_{1}^{N} = D_{M_{1,j'-1}^{\prime}}\left(t_3^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}}(t_4^{\prime}+c_1\times (n-1))\right)\) ，因此 \(v^{N} = M_{1,j_{--}^{-1}}\) 且 \(t_2^N = t_3^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}}(t_4^{\prime}+c_1\times (n-1))\) 。

由于 \(j_{-1}^{N} = j_{-1}^{\prime} < j_{0}^{\prime} = j_{0}^{N}\) ， \(j_{0}^{N}\) 不是 \(N\) 容许的，因此 \(N\) 不满足条件 (I) 或 (III)；但是，由于 \(N_{1,j_0^N}+1 = M_{1,j_0^{\prime}}+1 \geq M_{1,j_0} = N_{1,j_1^N}\) ，因此 \(N\) 满足条件 (II) 或 (IV)。 \(t_2^N\) 的最右边单项式分量 \(D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_4^{\prime}+c_1 \times (n-1))\) 的左端为 \(D_{M_{1,j_0^{\prime}}} = D_{N_{1,j_0^N}}\) ，因此 \(t_3^N = t_3^{\prime}\) 且 \(D_{N_{1,1,j_0^N}}t_4^N = t_2^N = D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_4^{\prime}+c_1 \times (n-1))\) ，即 \(t_4^N = t_4^{\prime}+c_1 \times (n-1)\) 。因此

\[ c_{2}^{N} = D_{v^{N}} \left(t_{3}^{N}+D_{N_{1, j_{0}^{N}}} \left(t_{4}^{N}+D_{N_{1, j_{1}^{N}}} 0\right)\right) = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right)\right) = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)+D_{M_{1, j^{\prime}-1}} 0\right)\right) \]

因此，Trans \((N) = s_{1}^{N}c_{2}^{N}b_{1}^{N} = s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\times (n-1)+D_{M_{1,j_0}}0\right)\right)b_{-1}^{\prime}\) 。

此外，通过反复应用 scb 分解的复合规则 (1) 和 scb 分解的可替代性，[57]Trans 表示为 Mark，并切片

\[ \begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M[n]) = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)+\operatorname{Mark} (M[n], j_{0}+(n-1) \left(j_{1}-j_{0}\right))\right)\right) b_{- 1}^{\prime} = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \\ { = } s_{-1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-1 }^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ \prime }+D_{ M_{ 1 , j_{ 0 }^{ \prime } } } ( t_{ 4 }^{ \prime }+c_{ 1 } \times n ) ) b_{-1 }^{ \prime } \\ \end{array} \]

进一步， \(\mathrm{Trans}(N)=s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}(N,j_{-1}^{\prime})b_{-1}^{\prime}\)

\[ s_{- 1}^{\prime} \mathrm{Mark} (M[n], j_{- 1}^{\prime}) b_{- 1}^{\prime} = \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} (t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1} \times n)) b_{- 1}^{\prime} \]

因此 \(\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}') = D_{M_{1,j'_{-1}}}(t_3'+D_{M_{1,j'_0}}(t'_4+c_1 \times n))\) 且 \(\operatorname{Trans}(M[n]) = s_{-1}'\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}')b_{-1}'\) 。

由上式可知，

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{- 1}^{\prime} \mathrm{Mark} (M[n], j_{- 1}^{\prime}) b_{- 1}^{\prime} = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} (t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1} \times n)) b_{- 1}^{\prime} = \mathrm{Trans} (M)[n-1] \]

证毕。

令 \(M \in T_{PS}\) 。

如果 M 可约、单项式，且 \(\mathrm{Br}(M)\) 为降序列，则 M 为强单项式。

令 \(DT_{PS} \subset T_{PS}\) 为所有强单项式对序列的子集。

定理 93 标准形式的直系祖先切片约化的强单项性。

对于任意 \(M \in ST_{PS}\) 和 \(j_0', j_1' \in \mathbb{N}\) ，设 \(j_1 := Lng(M)-1\) ，令 \(j_0' < j_1' \leq j_1\) 且令 \(M' := (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}\) ，则若 \((0, j_0') \leq_M (0, j_1')\) ，则 \(Red(M')\) 为强单项的。

证明：

由于标准形式的切片与 Br 的降序性质之间的关系, \(M'\) 为单项函数,而 \(\mathrm{Br}(M')\) 为降序函数。因此,由于 Red 保持单项性质,因此 \(\mathrm{Red}(M')\) 为单项函数。令 \(J_{1}:=\mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(M'))-1\) 。

根据基于直接祖先的切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系, \(M' = \text{IncrFirst}^{M_{0,j_0}'-M_{1,j_0'}}(\text{Red}(M'))\) , 因此, 由于 \(\leq_M\) 的 IncrFirst 不变性, \(\text{Br}(M') = (\text{IncrFirst}^{M_{0,j_0}'-M_{1,j_0'}}(\text{Br}(\text{Red}(M'))_J))_{J=0}^{J_1}\) 。

因此，由于 \(\mathrm{Br}(M')\) 的降序排列， \(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(M'))\) 也是降序排列。从上可知， \(\mathrm{Red}(M')\) 是一个强单项式。

证毕。

定义映射

\[ \begin{array}{l} \text {LastStep:} D T_{\mathrm{PS}} \rightarrow \mathbb {N} \\ M \mapsto \operatorname{LastStep} (M) \\ \end{array} \]

如下：

1. 设 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))\) 。 2. 如果 \(J_{1}=0\) ，则 LastStep(M)=0。 3. 设 \(J_{1} > 0\) 。

3.1. 如果 \((\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{0,0} = (\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{1,0}\) ，则 LastStep(M) = J\_{1}。

3.2. 如果 \((\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{0,0} > (\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{1,0}\) ，则 LastStep(M) := \(\min\{J \in \mathbb{N} \mid (\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{0,0} = (\mathrm{Br}(M)_{J})_{0,0} > (\mathrm{Br}(M)_{J})_{1,0}\}\) 。

定理 94 在条件 (II) 或 (IV) 下，终止切片与 Trans 的关系。

对于任何 \(M \in DT_{PS}\) , 令 \(j_1 := Lng(M)-1\) , 令 \(J_1 := Lng(Br(M))-1\) , 令 \(J_1 \geq 0\) , 令 \(j_0' := Joints(M)_{J_1}\) , 令 \(j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}\) , 令 \(J_0 := LastStep(M)\) , 令 \(m_1 := FirstNodes(M)_{J_0}-1\) , 令 \(N := (M_j)_{j=0}^{m_1}\) , 且令 \(N' := Let(M_j)_{j=j_0'}^{m_1}[62]\) 设 \(M' := (M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\) , 则若 \(0 < j_0' < TrMax(M)\) 且 \(M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}\) , 则存在唯一的 \(t_1, t_2 \in T_B\) 使得:

(1) \(\text{Trans}(N) = D_{M_{1,0}} t_{1}\) 。 (2) \(Trans(N') = D_{M_{1,j_0'}}t_1\) 。 (3) \(Trans(M') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2)\) 且 \(t_2 \neq 0\) 。 (4) \(Trans(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))\) 。

我们提出一些引理作为初步步骤，以证明在条件 (II) 或 (IV) 下端段和 Trans 之间的关系。

定理 95 强单项性对切片的遗传性。

对于任何 \(M \in DT_{PS}\) 和 \(j_{0}^{\prime}, j_{1}^{\prime} \in N\) ，设 \(j_{1} := Lng(M)-1\) ，设 \(J_{1} := Lng(Br(M))-1\) ，设 \(j_{0}^{\prime} < j_{1}^{\prime} \leq j_{1}\) ，且设 \(M^{\prime} := (M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}\) ，则若 \(j_{0}^{\prime} \leq Joints(M)_{J_{1}}\) ，则 \(M^{\prime}\) 为强单项性。

证明：

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。因此，对于任意 \(j \in N\) ，若 \(j \leq \operatorname{TrMax}(M)\) ，则 \(M_{j} = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)\) 。

由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系， \(j_{0}^{\prime} \leq \text{Joints}(M)_{J_{1}} \leq \text{TrMax}(M)\) 。因此，由于可约性对切片的遗传性， \(M^{\prime}\) 是可约的。

令 \(j_{0} := \mathrm{TrMax}(M)\) 。

\(\mathrm{TrMax}(M') = j_0-j_0'\) 且 \(\mathrm{Lng}(M')-1 = j_1'-j_0'\) 。

对于任意 \(j \in N\) ，如果 \(j \leq j_{1}^{\prime}-j_{0}^{\prime}\) ，则 \((0,0) \leq_{M}(0,j)\) 。

如果 \(j \leq \mathrm{TrMax}(M')\) ，则 \((1,0) \leq_{M'} (1,j)\) ，因此 \((0,0) \leq_{M'} (0,j)\) 。

令 \(j > \mathrm{TrMax}(M')\) 。

由于 \(j+j_0' > \mathrm{TrMax}(M')+j_0' = j_0\) ，因此存在唯一的 \(J \in \mathbb{N}\) 使得 \(J \leq J_1\) 且 \(\mathrm{FirstNodes}(M)_J \leq j+j_0' < \mathrm{FirstNodes}(M)_{J+1}\) 。由于 \(P\) 的每个组成部分都是非复合项，因此 \(\mathrm{Br}(M)_J\) 不是复合项，因此 \((0,0) \leq_{\mathrm{Br}(M)_J} (0,j+j_0'-\mathrm{FistNodes}(M)_J)\) ，即 \((0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J) \leq_M (0,j+j_0')\) 。

由于 \(\mathrm{Br}(M)\) 按降序排列， \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1}}\) ，且 \(M\) 满足条件 (A)，因此 \(M_{0,\mathrm{Joints}(M)_J}+1 = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J}\) 且 \(M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1}}+1 = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1}}\) 。因此， \(j_0' \leq \mathrm{Joints}(M)_{J_1} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1}}-M_{1,0} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1}}-1-M_{1,0} \leq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J}-1-M_{1,0} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_J}-M_{1,0} = \mathrm{Joints}(M)_J\) 。

由于 FirstNodes、TrMax、Joints 的关系， \(j_{0}^{\prime} \leq \text{Joint}(M)_{J} \leq \text{TrMax}(M)\) ，所以 \((1, j_{0}^{\prime}) \leq_{M} (1, \text{Joints}(M)_{J})\) 。此外，因为 \((0, \text{Joints}(M)_{J}) <_{M}^{\text{Next}} (0, \text{FirstNodes}(M))\) 且 \((0, \text{FirstNodes}(M)_{J}) \leq_{M} (0, j+j_{0}^{\prime})\) 、 \((0, j_{0}^{\prime}) \leq_{M} (0, j+j_{0}^{\prime})\) ，或 \((0, 0) \leq_{M'} (0, j)\) 。

由上可知， \(M'\) 为单项矩阵。

令 \(J_{0} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M'))-1\) 。

由 \(P\) 与 \(\mathrm{IdxSum}\) 复合函数的刻画， \(J_0 \leq J_1\) 且 \(\mathrm{FirstNodes}(M') = (\mathrm{FirstNodes}(M)_J-j_0')_{J=0}^{J_0}\) 。因此， \(\mathrm{Br}(M')\) 为降序。

证毕。

定理 96 子表达式的单项分量与 Pred 的关系。

对于任意 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) , 令 \(j_1 := Lng(M)-1\) , 令 \(J_1 := Lng(Br(M))-1\) , 令 \(J_1 \geq 0\) , 令 \(j_0' := Joints(M)_{J_1}\) , 令 \(j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}\) 。如果 \(j_1 > 1\) , 则以下任一情况成立:

(1) \(j_1' = j_1\) ，且 \(TrMax(M) = 0\) 或 \(j_0' < TrMax(M)\) ，则 \(M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}\) 或 \(j_0'\) 满足 \(M\) 容许条件，且存在唯一的 \(t_1 \in T_B\) 使得 \(Trans(Pred(M)) = D_{M_{1,0}}t_1\) 且 \(Trans(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1'}}0)\) 。 (2) \(j_{1}^{\prime}=j_{1}\) , \(M_{0,j_{1}^{\prime}}>M_{1,j_{1}^{\prime}}\) 且 \(j_{0}^{\prime}\) 为非 \(M\) 可接受的, 且存在唯一的 \((t_{1},t_{2})\in T_{B}^{2}\) 使得 \(Trans(Pred(M))=D_{M_{1,0}}t_{1}\) 且 \(Trans(M)=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{2})\) 。 (3) 存在唯一的 \((t_{1}, t_{2}, t_{3}) \in T_{B}^{2}\) 使得 \(\text{Trans}(\text{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}t_{2})\) 和 \(\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}t_{3})\) 。 (4) 存在唯一的 \((t_{1}, t_{2}, t_{3}) \in T_{B}^{2}\) 使得 \(\text{Trans}(\text{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{2})\) 和 \(\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{3})\) 。

证明：

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A) 和 (B)，若对于任意 \(j \in N\) ， \(j \leq \operatorname{TrMax}(M)\) ，则 \(M_{j} = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)\) 。又由于 M 满足条件 (A)， \(M_{0,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{0,j_{1}^{\prime}}\) 。

由于 \(j_{1} > 1\) ， \(\operatorname{Pred}(M)\) 不是零项，且Trans保持零项性质， \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))\neq 0\) 。因此，条件(I)至(VI)对 \(M\) 有意义。

由于 \(J_{1} \geq 0\) , \(\mathrm{TrMax}(M) < j_{1}\) 。又由于 \(M\) 是单项式, \((0,0) \leq_{M} (0,j_{1})\) 。由于 \(j_{1} > 1 > 0\) , 存在唯一的 \(j_{0} \in \mathbb{N}\) 使得 \((0,j_{0}) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0,j_{1})\) 。

首先，证明如果 \(j_{1}-j_{1}^{\prime}=0\) ，则 M 不满足条件 (VI)。由于 \((0,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{\prime})=(0,j_{1})\) ，则 \(j_{0}=j_{0}^{\prime}\) 。此外，由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系， \(j_{0}^{\prime}\leq\mathrm{TrMax}(M)\) 。

假设 \(j_0+1 = j_1\) 且 \((1,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)\) ，则 \(\mathrm{TrMax}(M) = j_1\) ，这与 \(\mathrm{TrMax}(M) < j_1\) 矛盾。因此，如果 \(j_0+1 = j_1\) ，则 \((1,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)\) 并非成立。具体而言， \(M\) 不满足条件 (VI)。

令 \(j_{-1} := \mathrm{Adm}_M(j_0)\) 。我们利用数学归纳法证明，关于 \(j_1-\mathrm{TrMax}(M)\) ，(1) 至 (4) 式中任意一个成立。令 \(j_1-\mathrm{TrMax}(M) = 1\) 。由于 \(\mathrm{Lng}((M_j)_{j=\mathrm{TrMax}(M)+1}^{j_1}) = 1\) ，因此有 \(J_1 = 0\) 、 \(j_1' = j_1\) 、 \(\mathrm{TrMax}(M) = j_1'-1\) 且 \(j_0' = M_{0,j_0'}-M_{1,0} = M_{0,j_1'}-1-M_{1,0}\) 。特别地，由于 \(j_1-j_1' = 0\) ， \(j_0 = j_0'\) ，且 \(M\) 不满足条件 (VI)。

\(\operatorname{Pred}(M) = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)_{j=0}^{j_1'-1}\) ，且 \(j_1'-1 = j_1-1 > 0\) ，根据公差 \((1,1)\) 的对序列 Trans 的基本性质， \(\operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}} D_{M_{1,j_1'-1}} 0\) 。

由于 \(M\) 不满足条件 (VI)，因此 \(M\) 满足具有 Pred 且公差为 (1,1) 的对数序列 Trans 的基本性质 (1) 至 (4) 中的任意一项。

若 \(M\) 满足具有 Pred 且公差为 (1,1) 的对数序列 Trans 的基本性质 (1) 的条件，则 \(j_0+1 = j_1\) ，因此 \(j_0' = j_0 = j_1-1 = j_1'-1\) 。因此，如果我们设置 \((t_1, t_2, t_3) := (0, 0, D_{M_{1,j_1'}} 0)\) ，则 \(\text{Trans}(\text{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1'-1}} t_2) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}} t_2)\) 且 \(\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1'-1}} t_3) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}} t_3)\) ，因此 (4) 成立。

如果 \(M\) 满足 Pred 公差为 (1,1) 的偶数序列 Trans 基本性质的条件 (2)，则 \(M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}\) ，且设 \((t_1,t_2) := (D_{M_{1,j_1'-1}}0,0)\) ，则 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_1\) 且 \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1'}}t_2)\) ，因此 (1) 成立。设 \(M\) 满足 Pred 公差 (1,1) 的偶数序列 Trans 基本性质的条件 (3)，则 \(M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}\) ，且 \(j_0' = M_{0,j_1'}-1-M_{1,0}\) ，且 \(M_{1,0}+1 < M_{0,j_1'} \leq M_{0,j_1'-1}\) ，因此 \(0 < j_0' \leq \mathrm{TrMax}(M)-1\) 。因此， \(j_0'\) 不是 \(M\) 容许的，且 \((t_1,t_2) := (D_{M_{1,j_1'-1}}0,(\underline{D}_{M_{1,j_1'-1}}0,\quad D_{M_{1,j_0'}}0))\) ，则 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_1\) 且 \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}t_2)\) ，因此（2）成立。

如果 \(M\) 满足Pred公差为(1,1)的偶数序列Trans基本性质的条件(4)，则 \(j_0^{\prime} = M_{0,j_1^{\prime}}-1-M_{1,0} = 0\) ，因此 \(j_0^{\prime} = 0\) ，且 \(j_0^{\prime}\) 是 \(M\) 容错的。设 \((t_1,t_2):= (D_{M_{1,j_1^{\prime}-1}}0,0)\) ，则 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_1\) ，且 \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1^{\prime}}}t_2)\) ，因此(1)成立。

令 \(j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1\) 。

令 \(\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})>0\) 。

由于 \(j_0 = j_0' \leq \mathrm{TrMax}(M)\) ，根据 \(\mathrm{TrMax}\) 的定义，我们有 \(\mathrm{Adm}_M(j_0) = \mathrm{TrMax}(M)\) ；同样，由于 \(\mathrm{Adm}_M(j_0) \leq j_0 \leq \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Adm}_M(j_0)\) ，我们有 \(j_0 = \mathrm{Adm}_M(j_0) = \mathrm{TrMax}(M)\) 。

由于可约化为切片的遗传性和单项函数可约化为初始切片的遗传性， \(\operatorname{Pred}(M)\) 既是可约化的又是单项的。 \(j_1 \geq j_1-\operatorname{TrMax}(M) > 1\) ，因此 \(\operatorname{Lng}(\operatorname{Pred}(M))-1 = j_1 > 1\) 。

设 \(J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))-1\) 。

若 \(j_{1}^{\prime}=j_{1}\) ，则 \(j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1\) ，因此 \(J_{1}>0\) ，并且根据 P 与 IdxSum 的组合特

征， \(J_{1}^{\prime}=J_{1}-1\geq0\) 。

如果 \(j_{1}^{\prime}<j_{1}\) ，则根据 P 与 IdxSum 的组合特征， \(J_{1}^{\prime}=J_{1}\geq0\) 。

由上可知，两种情况下 \(J_{1}^{\prime} \geq 0\) 均成立。

因为 \(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1=j_{1}-1\) 且 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=\mathrm{TrMax}(M)\) ， \((\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1)-\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=j_{1}-1-\mathrm{TrMax}(M)<j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)\) ，根据归纳假设，存在唯一的 \(i\in\{0,1\}\) 和 \((t_{1},t_{2})\in T_{\mathrm{B}}^{2}\) 使得 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{2})\) 。从 \(\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})>0\) 及 \(s_{1}\) 与 \(b_{1}\) 的空性和基点关系可知， \(\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),\mathrm{Adm}_{M}(j_{0}))\neq\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{2})\) ，因此，从 \((\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)),\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})))\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) ， \((D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{2},\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})))\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) 。

因此，根据加法与 scb 分解的关系以及 Trans 的定义，存在唯一的 \(t_{3} \in T_{B}\) 使得 \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{3})\) ，且 (3) 或 (4) 成立。

令 \(\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})=0\) 。

根据 TrMax 的定义， \(\mathrm{TrMax}(M)\) 是 M 可接受的。 \(\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})=0\leq\mathrm{TrMax}(M)\) ，因此 \(j_{0}\leq\mathrm{TrMax}(M)\) 。

假设 \(j_1' < j_1\) ，那么由于 \(P\) 各分量的非复合性质， \((0,0) \leq_{\mathrm{Br}_{J_1}} (0,j_1-j_1')\) ，即 \((0,j_1') \leq_M (0,j_1)\) 。根据 \(j_1' < j_1\) 以及判断父节点存在的条件 (1)， \(\mathrm{TrMax}(M) < j_1' \leq j_0\) ，这与 \(j_0 \leq \mathrm{TrMax}(M)\) 矛盾。因此， \(j_1' = j_1\) ， \(j_0 = j_0'\) ，且 \(M\) 不满足条件 (VI)。

如果 \(\mathrm{TrMax}(M) > 0\) ，则 \(\mathrm{Adm}_M(j_0') = \mathrm{Adm}_M(j_0) = 0 < \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Adm}_M(\mathrm{TrMax}(M))\) 因此 \(j_0' < \mathrm{TrMax}(M)\) 。

因此， \(\mathrm{TrMax}(M)=0\) 或 \(j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)\) 。

令 M 满足条件 (I)、(III) 或 (V)。

如果 \(M\) 满足条件 (I) 或 (III)，则 \(j_0' = j_0\) 是 \(M\) 容许的。如果 \(M\) 满足条件 (V)，则 \(M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_0}+1 = M_{1,j_1} = M_{1,j_1'}\) 。

由 Mark 左端的基本性质、 \(s_{1}\) 与 \(b_{1}\) 的空性和基点关系，以及 Trans 的定义，存在唯一的 \(t_{1} \in T_{B}\) 使得 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_{1}\) 且 \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0)\) ，且 (1) 成立。

假设 M 满足条件 (II) 或 (IV)。

\(M_{0,j_1'} \geq M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'} = M_{1,j_0} = M_{1,j_1}-1 = M_{1,j_1'}-1\) ，即 \(M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}\) 。另外， \(j_0' = j_0\) 不满足 \(M\) 容许条件。由 Mark 左端的基本性质、 \(s_1\) 和 \(b_1\) 的空性、基点之间的关系以及 Trans 的定义可知，存在唯一的 \((t_1, t_2) \in T_B^2\) 使得 Trans(Pred(M)) = \(D_{M_{1,0}} t_1\) 且 Trans(M) = \(D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}} t_2)\) 。

由上可知（2）成立。

证毕。

定理 97 强单项性下子表示的单项分量的基本性质。

对于任意 \(M \in DT_{PS}\) , 令 \(j_1 := Lng(M)-1\) , 令 \(J_1 := Lng(Br(M))-1\) , 令 \(J_1 \geq 0\) , 令 \(j_0' := Joints(M)_{J_1}\) , 且令 \(j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}\) 。则存在唯一的 \(t' \in T_B\) 使得:

(1) \(\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t'\) 。 (2) 如果 \(j_0' = 0\) 或 \(M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}\) , 则 \(t'\) 的每个分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_1'}} 0\) 。 (3) 如果 \(0 < j_0' < TrMax(M)\) 且 \(M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}\) , 则 \(t'\) 的每个分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_0'}}\) 0。 (4) 如果 \(0 < j_0' = TrMax(M)\) ，则 \(t'\) 的每个分量都大于或等于 \(D_{M_{1,TrMax(M)}}\) 。

证明：

接下来，我们将立即用到 FirstNodes 和 Joints 的单调性。

由于 Trans 保持单项性，因此 \(\mathrm{Trans}(M)\) 也是单项的，并且由于 P 每个分量的非复项性以及 Trans 最左边单项分量的基本性质，存在唯一的 \(t' \in T_{B}\) 使得 \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t'\) 。

从 FirstNodes、TrMax 和 Joints 的关系可知，对于任意 \(J \in \mathbb{N}\) ，若 \(J \leq J_1\) ，则 \(\mathrm{Joints}(M)_J \leq \mathrm{TrMax}(M) < \mathrm{FirstNodes}(M)_J\) 。特别地， \(j_0' \leq \mathrm{TrMax}(M) < j_1'\) 。又，由于 \(j_1 \geq j_1' > j_0' \geq 0\) ，因此 \(j_1 > 0\) 。

根据 TrMax 的定义, \(\mathrm{TrMax}(M)\) 是 \(M\) 可接受的。因此, \((1, \mathrm{TrMax}(M)) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1, \mathrm{TrMax}(M)+1) = (1, \mathrm{FirstNodes}(M)_0)\) 并非如此, 即 \(M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}\) 。

根据可约性和系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A) 和 (B)，如果对于任何 \(j \in N\) ， \(j \leq \operatorname{TrMax}(M)\) ，则 \(M_j = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)\) 。具体而言， \(M_{1,\operatorname{TrMax}(M)} = M_{1,0}+\operatorname{TrMax}(M) \geq M_{1,0}+j'_0 = M_{1,j'_0}\) 。另外，由于 M 满足条件 (A)， \(M_{1,j'_0} = M_{0,j'_0} = M_{0,j'_1}-1\) 。

我们可以通过数学归纳法证明 \(j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)\) 满足 (2)、(3) 和 (4)。

令 \(j_{1}-\mathrm{TrMax}(M) = 1\) 。由于 \(\mathrm{TrMax}(M) < j_1' \leq j_1, j_1' = j_1\) 。因为 \((1, j_0') = (1, \mathrm{TrMax}(M)) < _M^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{TrMax}(M)+1) = (1, j_1), M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_1'}\) 。因此， \(M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{1,j_0'}+1 \geq M_{1,j_1'}+1 > M_{1,j_1'}\) 。

令 \(j_{1}=1\) 。

\(\mathrm{TrMax}(M) = j_{1}-1 = 0\) 。由于 \(j_0^{\prime}\leq \mathrm{TrMax}(M) = 0\) ， \(j_0^{\prime} = 0 = \mathrm{TrMax}(M)\) 。

根据 2 个 2 个序列对的基本性质， \(t' = D_{M_{1,j_{1}}}0\) ，其唯一单项分量为 \(D_{M_{1,j_{1}}}0 = D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0\) 。

令 \(j_{1} > 1\) 。

若 \(j_0' = 0\) ，则根据公差为(1,1)的序列Trans的Pred的基本性质(4)， \(t' = \underline{(D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0, D_{M_{1,j_1}}0)}\) ， \(D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0 \geq D_{M_{1,j_0'}}0 \geq D_{M_{1,j_1'}}0\) 且 \(D_{M_{1,j_1}}0 = D_{M_{1,j_1'}}0\) 。

如果 \(0 < j_0' < \mathrm{TrMax}(M)\) ，那么根据 \(\mathrm{TrMax}\) 的定义， \(j_0'\) 不是 \(M\) 容错的，并且根据对序列的 Trans 的基本性质 (3)，其中 Pred 具有公差 \((1,1), t' = (\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{0,j_1'}-1}(\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{1,j_1}} 0))\) ，并且 \(D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0 \geq D_{M_{1,j_0'}} 0\) 且 \(D_{M_{0,j_1'}-1}(\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{1,j_1}} 0) = D_{M_{1,j_0'}} (\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{1,j_1}} 0) \geq D_{M_{1,j_0'}} 0\) 。若 \(0 < j_0' = \mathrm{TrMax}(M)\) ，则根据 Pred 具有公差 (1,1) 的对序列的 Trans 的基本性质 (1)， \(t' = D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} D_{M_{1,j_1}} 0\) 。

令 \(j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1\) 。

由于可约化为切片的遗传性和单性性可约化为初始切片的遗传性， \(\mathrm{Pred}(M)\) 可约化且单性。由于 \(j_{1} \geq j_{1}-\mathrm{TrMax}(M) > 1\) ，因此 \(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1 = j_{1} > 1\) 。

令 \(J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))-1\) 。

如果 \(j_1' = j_1\) ，则 \(j_1-\mathrm{TrMax}(M) > 1\) ，因此 \(J_1 > 0\) ，且由 \(P\) 与 \(\mathrm{IdxSum}\) 的复合表征可知， \(J_1' = J_1-1 \geq 0\) 。

如果 \(j_{1}^{\prime}<j_{1}\) ，则由 P 与 IdxSum 的复合表征可知， \(J_{1}^{\prime}=J_{1}\geq0\) 。

由上可知，在两种情况下， \(\mathrm{Lng}(J_{1}^{\prime})\geq0\) 。

因为 \(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1=j_{1}-1\) 且 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=\mathrm{TrMax}(M)\) ， \((\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1)-\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=j_{1}-1-\mathrm{TrMax}(M)<j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)\) ，根据归纳假设[64]，存在唯一的 \(t\in T_{B}\) 使得[65]：(1) \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=D_{M_{1,0}}t\) 。

（2）若 \(\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}=0\) 或 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}\) ，则 t 的每个单项分量都大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}}0\) 。 （3）如果 \(0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} < \mathrm{TrMax}(M)\) 且 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}\) ，则 \(t\) 的每个分量都大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}}0\) 。

(4) 如果 \(0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M)\) ，则 \(t\) 的每个分量都大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}_{J_1'}} 0\) 。

\(\mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}-M_{1,0} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}-1-M_{1,0} \geq M_{0,j_1'}-1-M_{1,0} = M_{0,j_0'}-M_{1,0} = j_0'\) 。另外，根据可约性和系数的基本性质， \(M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}\) 。

令 \(j_{0}^{\prime}=0\) 或 \(M_{0,j_{1}^{\prime}}=M_{1,j_{1}^{\prime}}\) 。

(2) 令 \(\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}=0\) 或 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}\) 。

t 的每个单项式分量均大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)}_{J_{1}^{\prime}}0}\) 。

令 \(\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}=0\) 。

由于 \(j_{1}^{\prime} \leq \text{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}} = 0\) ，因此 \(j_{0}^{\prime} = 0 = \text{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}\) 。

因为 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}+1 = M_{0,j_0'}+1 = M_{0,j_1'}\) ，根据 \(M\) 的强可接受性， \(M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{1,j_1'}\) 。

如果 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}\) ，则 \(M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}\) 。

从上式可知，在两种情况下， \(M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}\geq M_{1,j_{1}^{\prime}}\) 。

如果 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}\) ，则根据 \(P\) 的定义， \(M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,j_1'} \geq M_{1,J_1'}\) 。

从上式可知，在两种情况下，t 的每个单项式分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0\) 。

（3）若 \(0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} < \mathrm{TrMax}(M)\) 且 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}\) ，则 \(t\) 的每个单项分量均大于或等于 \(D_{M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}}0\) ，且由于 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}\) ，因此 \(t\) 的每个单项分量均大于或等于 \(D_{M_{1,j_1'}}0\) 。

(4) 令 \(0 < \text{Joints}(M)_{J_1'} = \text{TrMax}(M)\) 。

t 的每个单项分量都大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0\) 。

假设 \(j_{0}^{\prime}=\mathrm{TrMax}(M)\) 会导致矛盾。

由于 \(j_0' \neq 0\) ，因此有 \(M_{1,j_1'} = M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}+1 = M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}+1\) 。

\(M_{0,j_1'} \leq M_{0,\text{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\text{Joints}(M)_0}+1 \leq M_{0,\text{TrMax}(M)}+1 = M_{0,j_1'},\) 因此 \(M_{0,\text{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\text{TrMax}(M)}+1 = M_{0,j_1'}\) , 又由于 \(M\) 的强可接受性, \(M_{1,\text{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'} = M_{1,\text{TrMax}(M)}+1\) 。此外, 由于 \(\text{FirstNodes}(M)_0 = \text{TrMax}(M)+1\) , 我们有 \((0, \text{TrMax}(M)) < _M^{\text{Next}} (0, \text{TrMax}(M)+1)\) , 这与 \(\text{TrMax}\) 的定义相矛盾。

由上可知， \(j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)\) 。

由于 \(M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,j_0'}+1 = M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}\) ，因此 \(t\) 的每个单项分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_1'}} 0\) 。

由上可知，在所有情况下，t 的每个单项分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0\) 。因此，根据子表示的单项分量与 Pred 的关系（1）、（3）和（4），存在唯一的 \(t^{\prime} \in T_{B}\) 满足：

(1) \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}t'\) 。 (2) \(t'\) 的每个单项分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_1'}}0\) 。

设 \(0 < j_{0}^{\prime} < \mathrm{TrMax}(M)\) 且 \(M_{0,j_{1}^{\prime}} > M_{1,j_{1}^{\prime}}\) 。

\(\mathrm{Joints}(M)_{J_1'} \geq j_0' > 0\) 。

（2）若 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}\) ，则 \(t\) 的每个单项分量都大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}}0\) 。根据 \(P\) 的定义， \(M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}\geq M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'}\) 因此 \(t\) 的每个单项分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_0'}}0\) 。

(3) 令 \(0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} < \mathrm{TrMax}(M)\) 且 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}\) 。

t 的每个单项式分量都大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}}}0\) 。

如果 \(j_0' = \mathrm{Joints}(M)_{J_1'}\) ，则由于 \(M\) 的强可接受性， \(M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} \geq M_{1,j_0'}\) 。

如果 \(j_0' < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'}\) ，则由于可约性和系数的基本性质， \(M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} > M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'}\) 。

由上可知，无论哪种情况，t 的每个单项式分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\) 0。

(4) 若 \(0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M)\) ，则 \(t\) 的每个单项式分量均大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0\) ，且由于 \(M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} > M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'}\) ，故 \(t\) 的每个单项式分量均大于或等于 \(D_{M_{1,j_0'}} 0\) 。

由上可知，无论哪种情况，t 的每个单项式分量均大于或等于 \(D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}0\) 。因此，由子表达式的单项分量与 Pred 的关系（2）、（3）和（4），存在唯一的 \(t^{\prime} \in T_{B}\) 使得：

(1) Trans(M) = \(D_{M_{1,0}}t'\) 。

（3）若 \(0 < j_0' < \mathrm{TrMax}(M)\) 且 \(M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}\) ，则 \(t'\) 的每个单项分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_0'}} 0\) 。

令 \(0 < j_{0}^{\prime} = \mathrm{TrMax}(M)\) 。

由于 \(\mathrm{TrMax}(M) \geq \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} \geq j_0' = \mathrm{TrMax}(M)\) ， \(\mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M)\) 。

(4) 由于 \(0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M), t\) 的每个单项式分量都大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0\) ，且 \(M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{1,j_0'}\) 。

由上可知，t 的每个单项式分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}0\) 。因此，由子表示的单项分量与 Pred 的关系（3）和（4），存在唯一的 \(t^{\prime} \in T_{B}\) 使得：

(1) Trans(M) = \(D_{M_{1,0}}t'\) 。

（4）若 \(0 < j_0' = \mathrm{TrMax}(M)\) ，则 \(t'\) 的每个单项分量都大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0\) 。

证毕。

定理 98 条件 (V) 下最右父节点的基本性质。

对于任意 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(m \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := Lng(M)-1\) , 令 \(J_1 := Lng(Br(M))-1\) , 令 \(J_1 \geq 0\) , 令 \(j_0' := Joints(M)_{J_1}\) , 令 \(j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}\) , 且令 \(M' := (M_j)_{j=m}^{j_1}\) 。然后, " \(m < j_0'\) " 或 " \(m = j_0'\) 且 \(M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}\) 和 \(Br(M)\) 是降序的, 则存在唯一的 \(j_0 \in \mathbb{N}\) 使得:

(1) \((0,j_0) <_{M}^{Next}(0,j_1)\) 。 (2) \(j_{0}^{\prime}\leq j_{0}\) 。 (3) \(m < j_0\) 或 \(M_{0,j_1} = M_{1,j_1}\) 。 (4) 如果 \(m = j_{0}\) ，则 \(j_{0} < TrMax(M)\) 。

证明：

设 \(j_{1}^{\prime}=j_{1}\) 。

设 \(j_{0} := j_{0}^{\prime}\) 。

如果 \(m < j_{0}^{\prime}\) ，则 \(m < j_{0}^{\prime} = j_{0}\) 。

如果 \(m = j_0'\) ，则根据假设 \(M_{0,j_1} = M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_1'} = M_{1,j_1}\) 。

由上可知，在两种情况下， \(m < j_{0}\) 或 \(M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}\) 成立。

设 \(j_{1}^{\prime}<j_{1}\) 。

由于 P 的每个分量都是非复合项，因此 \(\mathrm{Br}(M)_{J_{1}}\) 不是复合项，所以 \((0,0)\leq_{\mathrm{Br}(M)_{J_{1}}}\) \((0,j_{1}-j_{1}^{\prime})\) ，即 \((0,j_{1}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1})\) 。

由于 \(m \leq j_{0}^{\prime} < j_{1}^{\prime} \leq j_{0}\) ，因此 \(j_{0}^{\prime} < j_{0}\) 且 \(m < j_{0}\) 。

由于 \(m \leq j_0\) 且 \((0, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, j_1)\) ，因此 \((0, j_0-m) <_{M'}^{\mathrm{Next}}(0, j_1-m)\) 。

\(\mathrm{TrMax}(M)+1 = \mathrm{FirstNodes}(M)_0\) ，根据 \(\mathrm{TrMax}\) 的定义， \((1,\mathrm{TrMax}(M)) < _M^{\mathrm{Next}}(1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0)\) 不成立。

如果 \(m = j_{0}\) ，则表明 \(j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)\) 。由于 \(m < j_{0}\) 或 \(M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}\) ， \(m = j_{0}\) ，因此 \(M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}\) 。

根据可约性和系数的基本性质， \(M_{1,j_{0}} \leq M_{0,j_{0}} = M_{0,j_{1}}-1 = M_{1,j_{1}}-1 < M_{1,j_{1}}\) 。

由于 \((0,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})\) 且 \(M_{1,j_{0}}<M_{1,j_{1}}\) ， \((1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 。

由于 \(m \leq j_0' \leq j_0, m = j_0'\) 。因此， \(M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}\) 且 \(\mathrm{Br}(M)\) 为降序。由于 \((1, \mathrm{TrMax}(M)) < _M^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{FirstNodes}(M)_0)\) 不成立，因此 \(M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}\) 或 \(M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}\) 。

令 \(M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}\geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}\)

由于 P 各分量左端的单调性, \(M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}} \geq M_{0,j_{1}^{\prime}}\) , 因此 \((0,\mathrm{TrMax}(M)) \leq_{M}(0,j_{1}^{\prime})\) 并非如此，因此 \(j_{0}^{\prime} < \mathrm{TrMax}(M)\) 。

令 \(M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}}\) 且 \(M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}}\) 。

由于 \(\mathrm{Br}(M)\) 降序排列， \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} > M_{0,j_1'}\) 或 \(M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'}\) 。

如果 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}} > M_{0,j_{1}^{\prime}}\) ，则 \(M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}} > M_{0,j_{1}^{\prime}}\) ，因此 \((0,\mathrm{TrMax}(M)) \leq_{M}(0,j_{1}^{\prime})\) ，进而 \(j_{0}^{\prime} < \mathrm{TrMax}(M)\) 。

如果 \(M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'}\) ，则 \(M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'}\) ，因此 \((1, \mathrm{TrMax}(M)) \leq_M (1,j_1')\) ，进而 \(j_0' < \mathrm{TrMax}(M)\) 。

由上可知，在两种情况下， \(j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)\) 。

由上可知，在两种情况下， \(j_{0}=j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)\) 。

证毕。

定理 99 条件 (V) 下末端切片与 Trans 的关系。

对于任意 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(m \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := Lng(M)-1\) , 令 \(J_1 := Lng(Br(M))-1\) , 令 \(J_1 \geq 0\) , 令 \(j_0' := Joints(M)_{J_1}\) , 令 \(j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}\) , 令 \(M' := (M_j)_{j=m}^{j_1}\) 。那么, " \(m < j_0'\) " 或 " \(m = j_0'\) 且 \(M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}\) 且 \(Br(M)\) 是降序的, 则存在唯一的 \(t_1 \in T_B\) 使得:

(1) \(Trans(M)=D_{M_{1,0}}t_{1}\) 。 (2) \(Trans(M') = D_{M_{1,m}}t_1\) 。

证明：

下文中，FirstNodes 和 Joints 的单调性将不作任何说明。

由于可约化为切片的遗传性和单项性， \(M'\) 是可约化为单项的；由于 Trans 保持单项性，因此 \(\mathrm{Trans}(M)\) 和 \(\mathrm{Trans}(M')\) 也是单项的。

由于 Trans 最左分量的基本性质，存在唯一的 \(t_{1} \in T_{PS}\) 使得 \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t_{1}\) 。

由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系，对于任意 \(J \in \mathbb{N}\) ，如果 \(J \leq J_1\) ，则 \(\mathrm{Joints}(M)_J \leq \mathrm{TrMax}(M) < \mathrm{FirstNodes}(M)_J\) 。由于 “ \(m < j_0'\) ” 或 “ \(m = j_0'\) 且 \(M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}\) 且 \(\mathrm{Br}(M)\) 按降序排列”，两种情况下 \(m \leq j_0'\) 。

由于可约性与系数之间的关系，M 和 \(M'\) 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A) 和 (B)，若对于任意 \(j \in N\) ， \(j \leq \operatorname{TrMax}(M)\) ，则 \(M_j = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)\) 。由于 M 满足条件 (A)，则 \(M_{0,j_0}+1 = M_{0,j_1}\) ，且对于任意 \(J \in N\) ，若 \(J \leq J_1\) ，则 \(M_{0,\text{FirstNodes}(M)_J} = M_{0,\text{Joints}(M)_J}+1 = M_{1,0}+\text{Joints}(M)_J+1\) 。具体来说， \(M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{1,0}+j_0'+1\) 。根据条件 (V) 下最右父节点的基本性质，存在唯一的 \(j_0 \in N\) 使得：

(1) \((0,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)\) 。 (2) \(j_{0}^{\prime}\leq j_{0}\) 。 (3) \(m < j_{0}\) 或 \(M_{0,j_1} = M_{1,j_1}\) 。 (4) 如果 \(m = j_{0}\) ，则 \(j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)\) 。

我们利用数学归纳法证明， \(j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)\) 上的 \(\mathrm{Trans}(M')=D_{M_{1,m}}t_{1}\) 。设 \(j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)=1\) 。

\[ M = \big ((j, j) \big)_{j = M_{1, 0}}^{M_{1, 0}+\mathrm{TrMax} (M)} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} M_{m_{1}} \circ \]

\(J_{1} = 0\) 且 \(j_1' = j_1\) 和 \(j_0' = j_0\) 。因此， \(M_{0,j_1} = M_{0,j_1'} = M_{1,0}+j_0'+1 \leq M_{1,0}+\mathrm{TrMax}(M)+1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}+1\) 。

若 \(m < j_0\) ，则 \(M_{0,j_1} = M_{1,0}+j_0'+1 = M_{1,0}+j_0+1 > M_{1,0}+m+1 = M_{0,m}+1\) ，因此Pred是具有公差(1,1)的对序列Trans的基本性质。由(1)、(2)和(3)可知， \(\mathrm{Trans}(M')\) 是将 \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}t_1\) 的左端替换为 \(D_{M_{1,m}}\) 。

设 \(m = j_{0}\) ， \(M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}\) 。

由于可约性和系数的基本性质， \(M_{1,j_{0}} \leq M_{0,j_{0}} = M_{0,j_{1}}-1 = M_{1,j_{1}}-1 < M_{1,j_{1}}\) ，因此 \((1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) ，又由于 \((1,\mathrm{TrMax}(M)) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 并非如此， \(j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)\) 。

根据对数序列 Trans 的基本性质 (2)，其中 \(m = j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)\) 且 Pred 具有共同差 (1,1)， \(\mathrm{Trans}(M')\) 可以通过将 \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t_{1}\) 的左端替换为 \(D_{M_{1,m}}\) 得到。

由上可知，在两种情况下， \(\mathrm{Trans}(M')=D_{M_{1,m}}t_{1}\) 。

令 \(j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1\) 。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 和 \(M'\) 定义的，并且 M 和 \(M'\) 写在右边，以清楚地表明这是对 M 和 \(M'\) 的应用。

\(j_{1}^{M}=j_{1}\) 且 \(j_{1}^{M'}=j_{1}-m\) ，且由于 \((0,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})=(0,j_{1}^{M})\) 且 \((0,j_{0}-m)<_{M'}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-m)=(0,j_{1}^{M'})\) ，因此 \(j_{0}^{M}=j_{0}\) 且 \(j_{0}^{M'}=j_{0}-m\) 。具体而言， \(j_{1}^{M}-j_{0}^{M}=j_{1}-j_{0}=j_{1}^{M'}-j_{0}^{M'}\) 。此外， \(M_{j_{0}^{M}}=M_{j_{0}}=M_{j_{0}^{M'}}'\) ，且 \(M_{j_{1}^{M}}=M_{j_{1}}=M_{j_{1}^{M'}}'\) 。由于 M 满足条件 (A)，因此 \(M_{j_{0}^{M'}}'+1=M_{0,j_{0}^{M}}+1=M_{0,j_{1}^{M}}=M_{0,j_{1}^{M'}}'\) 。

\(j_{1}^{M} \geq j_{1}^{M'} = j_{1}-m > \mathrm{TrMax}(M)+1-m \geq 1\) ，因此 \(\mathrm{Pred}(M)\) 和 \(\mathrm{Pred}(M')\) 都不是零项，且 Trans 保持零项性质， \(t_{1}^{M} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) \neq 0\) 且 \(t_{1}^{M'} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M')) \neq 0\) 。因此，条件 (I) 至 (VI) 对 M 和 \(M'\) 均有意义。

如果 \(m = j_0\) 且 \(M_{0,j_1} = M_{1,j_1}\) ，那么如前所示， \(j_0 < \mathrm{TrMax}(M)\) ，因此 \(M_{1,j_0^M}+1 = M_{1,j_0}+1 = M_{0,j_0}+1 = M_{0,j_1} = M_{1,j_1} = M_{1,j_1^M}\) 且 \(M_{1,j_0^M'}'+1 = M_{1,j_0^M}+1 = M_{1,j_1^M} = M_{1,j_1^M'}'\) 。此外， \(j_1^M-j_0^M = j_1^{M'}-j_0^{M'}\) 且 \(j_1-j_0 > (\mathrm{TrMax}(M)+1) -\) 由于 \(j_0 > 1\) ， \(M\) 和 \(M'\) 满足条件 (V)。

如果 \(m < j_0\) ，则 \(j_0^M = j_0 > m \geq 0\) 且 \(j_0^{M'} = j_0-m > 0\) ，因此由于可接受性对切片的遗传性， \(j_0^M\) 的 \(M\) 可接受性等价于 \(j_0^{M'}\) 的 \(M'\) 可接受性。此外，由于 \(M_{j_0^M} = M'_{j_0^{M'}}\) 且 \(M_{j_1^M} = M'_{j_{1}^{M'}}\) ，因此 \(M\) 和 \(M'\) 满足相同的条件 (I) 至 (VI)。

综上所述，无论哪种情况，M 和 \(M'\) 都满足相同的条件 (I) 至 (VI)。

令 \(J_0 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))\) 。由于切片的约化性遗传性和初始切片的单项遗传性， \(\mathrm{Pred}(M)\) 是约化的且是单项的。由于 \(\mathrm{TrMax}(M) < j_1-1 = j_1'-1\) ， \(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1 = j_1-1 > \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M))\) ， \(J_0 \geq 0\) 。若 \(j_1' = j_1\) ，则 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1}\) ，且尤其 \(J_0 = J_1-1\) 。若 \(j_1' < j_1\) ，则 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} ((M_j)_{j=j_1'}^{j_1-1})\) ，且尤其 \(J_0 = J_1\) 。

因此，在两种情况下 \(J_{0} \leq J_{1}\) , FirstNodes(Pred(M)) = (FirstNodes(M) \(_{J}\) ) \(_{J=0}^{J_{0}}\) 和 Joints(Pred(M)) = (Joints(M) \(_{J}\) ) \(_{J=0}^{J_{0}}\) 。

这表示“ \(m < \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}\) ”或“ \(m = \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}\) 且 \(M_{0,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}} = M_{1,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}}\) 且 \(\text{Br}(\text{Pred}(M))\) 按降序排列。”如果 \(m < j_0'\) ，则 \(m < j_0' = \text{Joints}(M)_{J_1} \leq \text{Joints}(M)_{J_0} = \text{Joints}(\text{Pred}(M))_{J_0}\) 。

令 \(m = j_{0}^{\prime}\) 。

假设 \(M_{0,j_{1}^{\prime}} = M_{1,j_{1}^{\prime}}\) 且 \(\mathrm{Br}(M)\) 按降序排列。

如果 \(j_{0}^{\prime}<\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}\) ，则 \(m=j_{0}^{\prime}<\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}=\mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(M))_{J_{0}}\) 。

令 \(j_{0}^{\prime}=\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}\) 。

由于 M 满足条件 (A)， \(M_{0,\mathrm{FristNodes}(M)_{J_{0}}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}}+1 = M_{0,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{0,j_{1}^{\prime}}\) 。因此，根据 \(\mathrm{Br}(M)\) 的降序排列， \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}} \leq M_{0,j_{1}^{\prime}} = M_{1,j_{1}^{\prime}} \leq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}}\) 。另一方面，由于可约性和系数的基本性质， \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}}\) 。

由上可知， \(\mathrm{Pred}(M)_{0,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_0}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0}} = \mathrm{Pred}(M)_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_0}}\) 。

如果 \(j_1' = j_1\) ，则 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1}\) ，因此 \(((\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))_J)_0)_{J=0}^{J_0} = ((\mathrm{Br}(M)_J)_0)_{J=0}^{J_1-1}\) ，因此由于 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))\) 具有下降性质，因此 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))\) 也是下降的。

如果 \(j_1' < j_1\) ，则 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} ((M_j)_{j=j_1'}^{j_1-1})\) 来自 \(((\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))_J)_0)_{J=0}^{J_0} = ((\mathrm{Br}(M)_J)_0)_{J=0}^{J_1-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} ((M_{j_1'}) ) = ((\mathrm{Br}(M)_J)_0)_{J=0}^{J_1}\) ，由于 \(\mathrm{Br}(M)\) 本身具有下降性质，因此 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))\) 也是下降的。

因此，在这两种情况下， \(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))\) 都是下降的。

从上式可知，在两种情况下，“ \(m < \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}\) ”或“ \(m = \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}\) 且 \(M_{0,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}} = M_{1,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}}\) 且 \(\text{Br}(\text{Pred}(M))\) 均按降序排列。”

根据归纳假设， \(t_{1}^{M} = \text{Trans}(\text{Pred}(M))\) 是单项的，通过将其左端替换为 \(D_{M_{1,m}}\) ，我们得到 \(t_{1}^{M'} = \text{Trans}(\text{Pred}(M'))\) 。

由于 \(s_{1}^{M}D_{v^{M}}t_{2}^{M}b_{1}^{M}=s_{1}^{M}c_{1}^{M}b_{1}^{M}=t_{1}^{M}\) 且 \(s_{1}^{M^{\prime}}D_{v^{M^{\prime}}}t_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{M^{\prime}}=s_{1}^{M^{\prime}}c_{1}^{M^{\prime}}b_{1}^{M^{\prime}}=t_{1}^{M^{\prime}}\) ，因此 \(s_{1}^{M}D_{v^{M}}\) 和 \(s_{1}^{M^{\prime}}D_{v^{M^{\prime}}}\) 除左端外完全相同，且 \(t_{2}^{M}b_{1}^{M}=t_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{M^{\prime}}\) 。由于序数项左右括号个数相等， \(b_{1}^{M}=b_{1}^{M^{\prime}}\) ，因此 \(t_{2}^{M}=t_{2}^{M^{\prime}}\) 。

由于 M 和 \(M'\) 满足相同的条件 (I) 至 (VI)，且 \(M_{j_{0}^{M}} = M'_{j_{0}^{M'}}\) 、 \(M_{j_{1}^{M}} = M'_{j_{1}^{M'}}\) 和 \(t_{2}^{M} = t_{2}^{M'}\) ，根据 \(c_{2}^{M}\) 和 \(c_{2}^{M'}\) 的定义，存在唯一的 \(t' \in T_{B}\) 使得 \(c_{2}^{M} = D_{v^{M}}t'\) 和 \(c_{2}^{M'} = D_{v^{M'}}t'\) 。

\(D_{M_{1,0}}t_{1}=\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=s_{1}^{M}D_{v^{M}}t^{\prime}b_{1}^{M}\) 且 \(\mathrm{Trans}(M^{\prime})=s_{1}^{M^{\prime}}D_{v^{M^{\prime}}}t^{\prime}b_{1}^{M^{\prime}}\) ，因此 \(D_{M_{1,0}}t_{1}\) 与 \(\mathrm{Trans}(M^{\prime})\) 除左端外完全相同。因此，根据 Trans 最左单项式分量左端的基本性质， \(\mathrm{Trans}(M^{\prime})=D_{M_{1,m}}t_{1}\) 。

证毕。

现在，回到正题。

在条件 (II) 或 (IV) 下，末端段与 Trans 关系的证明：

下文中，我们利用 FirstNodes 和 Joints 的单调性，无需任何预知。

设 \(j_{1}^{\prime} := \text{FirstNodes}(M)_{J_{1}}\) 。由 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系可知，对于任意 \(J \in N\) ，若 \(J \leq J_{1}\) ，则 \(\text{Joints}(M)_{J} \leq \text{TrMax}(M) < \text{FirstNodes}(M)_{J}\) 。

由可约性与系数的关系可知，M 满足条件 (A) 和 (B)。因为 M 满足条件 (A) 和 (B)，如果对于任意 \(j \in N, j \leq \mathrm{TrMax}(M)\) ，则 \(M_j = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)\) 。另外，因为 M 满足条件 (A)，对于任意 \(J \in N\) ，如果 \(J \leq J_1\) ，则 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_J}+1 = M_{1,0}+\mathrm{Joints}(M)_J+1\) 。特别地， \(N_{0,0}' = M_{0,j_0'} = M_{1,0}+j_0' = M_{0,j_1'}-1\) 。

根据条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系，存在唯一的 \(t_{1} \in T_{PS}\) 使得：

(1) \(\operatorname{Trans}(N) = D_{M_{1,0}}t_1\) 。 (2) \(\mathrm{Trans}(N') = D_{M_{1,j_0'}}t_1\) 。

证明 \(t_{1}\) 的每个单项式分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}+1}0\) 。

令 \(\mathrm{TrMax}(M)=m_{1}\) 。

如前所述， \(t_{1}=D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0\) 。由于 \(\mathrm{TrMax}(M)>j_{0}^{\prime},\quad M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}>M_{1,j_{0}^{\prime}}\) ，因此 \(t_{1}=D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0\) 的唯一单项分量 \(D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0\) 大于或等于 \(D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}+1}0\) 。

令 \(\mathrm{TrMax}(M) < m_{1}\) 。

由于 \(J_{0}>0\) 、 \(\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}\geq j_{0}^{\prime}>0\) ，且 N 强可接受，根据强单项式性下子表示的单项分量的基本性质，有如下成立：

(2) 若 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}\) ，则 \(t_1\) 的每个单项分量都大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}}0\) 。 (3) 如果 \(0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} < \mathrm{TrMax}(M)\) 且 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}\) 则 \(t_1\) 的每个单项分量均大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}}}0\) 。 （4）如果 \(0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} = \mathrm{TrMax}(M)\) ，则 \(t_1\) 的每个单项分量均大于或等于 \(D_{M_1,\mathrm{TrMax}(M)}0\) 。 (2) 令 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}\) 。

\(t_{1}\) 的每个单项分量均大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}}}0\) 。

由于可约性和系数的基本性质， \(M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} \geq M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1\) ，因此 \(t_1\) 的每个单项式分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_0'}+1}0\) 。

(3) 假设 \(0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} < \mathrm{TrMax}(M)\) 且 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}\) 。

\(t_{1}\) 的每个单项式分量都大于或等于 \(D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}}}0\) 。

根据 LastStep 的定义, \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}\) , 因此 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{0,j_1'}\) 。因此, \(M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}-1 \geq M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1\) , 所以 \(t_1\) 的每个单例分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_0'}+1}0\) 。

(4) 令 \(0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} = \mathrm{TrMax}(M)\) 。

\(t_{1}\) 的每个单例分量都大于或等于 \(D_{M_{1},\mathrm{TrMax}(M)}0\) 。

假设 \(j_{0}^{\prime}=\mathrm{TrMax}(M)\) 会导致矛盾。

由于 \(\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1} = \mathrm{TrMax}(M) = j_{0}^{\prime} \leq \mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}\) ，因此 \(\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1} = \mathrm{TrMax}(M) = j_{0}^{\prime}\) 。因此， \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}}+1 = M_{0,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{0,j_{1}^{\prime}}\) ，所以根据 LastStep 的定义， \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}}\) 。

\(\mathrm{Joints}(M)_0 = \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} \leq \mathrm{Joints}(M)_0\) ，所以 \(\mathrm{Joints}(M)_0 = \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}\) 。因此， \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_0}+1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}+1\) 。

另外， \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_0}+1 = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}}+1 = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}\) ，因此从 \(M\) 的降序排列， \(M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_0}+1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}+1 = M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}+1\) 。

\(\operatorname{FirstNodes}(M)_0 = \operatorname{TrMax}(M)+1\) ，且由于 \(M_{0,\operatorname{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\operatorname{TrMax}(M)}+1\) 且 \(M_{1,\operatorname{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,\operatorname{TrMax}(M)}+1\) ，因此有 \((0, \operatorname{TrMax}(M)) <_{M}^{\operatorname{Next}}(0, \operatorname{TrMax}(M)+1)\) ，这与 \(\operatorname{TrMax}\) 的定义相矛盾。

由上可知， \(j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)\) 。

因此， \(M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,j_0'}+1\) ，因此 \(t_1\) 的每个单项分量都大于或等于 \(D_{M_{0,j_0'}+1}0\) 。

由上可知，无论哪种情况， \(t_{1}\) 的每个单项分量都大于或等于 \(D_{M_{0,j_{0}^{\prime}}+1}0\) 。

根据条件 (V) 下最右父元素的基本性质，存在唯一的 \(m_{0} \in N\) 满足：

(1) \((0,m_{0})<_{N}^{\text{Next}}(0,m_{1})\) 。 (2) \(j_{0}^{\prime}\leq m_{0}\) 。 (3) \(j_{0}^{\prime}<m_{0}\) 或 \(N_{0,m_{1}}=N_{1,m_{1}}\) 。

(4) 若 \(j_{0}^{\prime}=m_{0}\) ，则 \(m_{0}<\mathrm{TrMax}(N)\) 。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 和 \(M'\) 定义的，为了明确这是对 M 和 \(M'\) 的应用，我们将 M 和 \(M'\) 分别写在它们的右肩上。

由于 \(j_{1}^{M} = j_{1} > m_{1} > m_{0}\geq j_{0}^{\prime} > 0\) ， \(j_{1}^{M} > 2\) ，因此 \(\operatorname {Pred}(M)\) 不是零项。由于Trans为零项， \(t_1^M = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))\neq 0\) ，因此条件(I)至(VI)对 \(M\) 有意义。

由于 \(j_{1}^{M^{\prime}} = j_{1}-j_{0}^{\prime} > m_{1}-j_{0}^{\prime} > m_{0}-j_{0}^{\prime}\geq 0\) ， \(j_{1}^{M^{\prime}} > 1\) ，因此 \(\mathrm{Pred}(M^{\prime})\) 不是零项。由于Trans为零项， \(t_1^{M'} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M'))\neq 0\) ，因此条件(I)至(VI)对 \(M^{\prime}\) 有意义。

\(j_{1}^{\prime}\leq j_{1}\) 且 P 每个分量的非复项性质意味着 \((0,j_{1}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1})\) ，且由于 \((0,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{\prime}),\quad j_{0}^{\prime}\leq j_{0}^{M}\circ(0,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{M})=(0,j_{1})\) ，即 \((0,j_{0}^{M}-j_{0}^{\prime})<_{M^{\prime}}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-j_{0}^{\prime})=(0,j_{1}^{M^{\prime}})\) ，因此 \(j_{0}^{M^{\prime}}=j_{0}^{M}-j_{0}^{\prime}\) 。

这里，暂设 \(j_{1}^{\prime}=j_{1}\) 。

\(j_{1}^{M}=j_{1}=j_{1}^{\prime}\) 。由于 \((0,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{\prime})=(0,j_{1}^{M})\) ， \(j_{0}^{M}=j_{0}^{\prime}\) 。此外，由于 \(0<j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)\) ，根据TrMax的定义， \(j_{0}^{M}\) 不满足M条件，且 \(j_{-1}^{M}=0\) 。另外，由于 \(M_{0,j_{1}^{\prime}}>M_{1,j_{1}^{\prime}}\) ， \(M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,j_{0}^{\prime}}=M_{0,j_{0}^{\prime}}=M_{0,j_{1}^{\prime}}-1\geq M_{1,j_{1}^{\prime}}=M_{1,j_{1}^{M}}\) 。

由于 \(j_{0}^{M}\) 不满足 M 条件，且 \(M_{1,j_{0}^{M}} \geq M_{1,j_{1}^{M}}\) ，因此 M 满足条件 (IV)。此外，由于 \(s_{1}\) 和 \(b_{1}\) 之间存在空性和基点关系， \(s_{1}^{M} = ()\) ， \(D_{v^{M}} t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = t_{1}^{M}\) ，且 \(b_{1}^{M} = ()\) 。

\(j_{1}^{M'} = j_{1}-j_{0}' = j_{1}'-j_{0}'\) 且 \(j_{0}^{M'} = j_{0}^{M'}-j_{0}' = 0\) 。因此， \(j_{0}^{M'}\) 是 \(M'\) 可接受的，且 \(j_{-1}^{M'} = j_{0}^{M'} = 0\) 。又，由于 \(M_{0,j_{1}'} > M_{1,j_{1}'}\) ， \(M_{1,j_{0}^{M'}}' = M_{1,0}' = M_{1,j_{0}'} = M_{0,j_{0}'} = M_{0,j_{1}'}-1 \geq M_{1,j_{1}'} = M_{1,j_{1}} = M_{1,j_{1}'-j_{0}'}' = M_{1,j_{1}^{M'}}'\) 。由于 \(j_{0}^{M'}\) 是 \(M'\) 容许的，且 \(M_{1,j_{0}^{M'}}' \geq M_{1,j_{1}^{M'}}'\) ，因此 M 满足条件 (III)。另外，由于 \(s_{1}\) 和 \(b_{1}\) 为空且为基点关系， \(s_{1}^{M'} = ()\) ， \(D_{v^{M'}} t_{2}^{M'} = c_{1}^{M'} = t_{1}^{M'}\) ，且 \(b_{1}^{M'} = ()\) 。

下面，我们回到不施加 \(j_{1}^{\prime}=j_{1}\) 的一般情况。

由于 \(j_{1} \geq \text{FirstNodes}(M)_{J_{0}} > m_{1}\) ，因此 \(j_{1}-m_{1} > 0\) 。

我们利用数学归纳法证明，在 \(j_{1}-m_{1}\) 上存在唯一的 \(t_{2}\in T_{B}\) 使得：

(3) \(\mathrm{Trans}(M') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2)\) 且 \(t_2 \neq 0\) 。 (4) \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))\) 。

令 \(j_{1}-m_{1}=1\) 。

令 \(t_{2} := D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0\) 。

\[ t_{2} \neq 0. \]

\(J_{1}=J_{0},\quad j_{1}^{\prime}=j_{1},\quad\mathrm{Pred}(M^{\prime})=N^{\prime},\quad 且 \mathrm{Pred}(M)=N。\)

由于切片的强单项式性具有遗传性， \(M'\) 是强可接受的，且由于 \(\mathrm{Lng}(M')-1 = m_1 \geq \mathrm{TrMax}(M) > j_0' > 0\) ， \(\mathrm{Lng}(M')-1 > 1\) ，因此，对于 \(M'\) ，子表示的单项式分量与 Pred 之间的任何关系 (1) 至 (4) 均成立。

由于 \(\mathrm{Joints}(M')_{J_{1}}=\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}}-j_{0}^{\prime}=0,\mathrm{Joints}(M')_{J_{1}}\) 是 \(M'\) 可接受的，因此子表示的单项分量与 Pred 之间的关系 (2) 对 \(M'\) 不成立。由于 \(M_{0,j_{0}^{\prime}}+1>M_{0,j_{0}^{\prime}}\geq M_{1,j_{0}^{\prime}}\) 且 \(M_{0,j_{0}^{\prime}}+1=M_{0,j_{1}^{\prime}}>M_{1,j_{1}^{\prime}}\) ， \(t_{1}\) 的每个单项分量均大于或等于 \(D_{M_{0,j_{0}^{\prime}}+1}0\) 且 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M'))=D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{1}\) ，因此对于 \(M'\) ，子表达式的单项分量与 Pred 之间的关系 (3) 和 (4) 均不成立。

由上可知, 对于 \(M'\) , 子表达式的单项分量与 Pred 之间的关系 (1) 成立。即 \(\mathrm{Trans}(M') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2)\) 。

如前所述， \(j_{1}^{M}=j_{1}^{\prime}\) 且 \(j_{0}^{M}=j_{0}^{\prime}\) ， \(j_{0}^{M}\) 不是 M 可接受的， \(j_{-1}^{M}=0\) ，M 满足条件 (IV)， \(s_{1}^{M}=()\) 且 \(D_{v^{M}}t_{2}^{M}=t_{1}^{M}\) 且 \(b_{1}^{M}=()\) 。

\(D_{v^{M}}t_{2}^{M}=t_{1}^{M}=\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=\mathrm{Trans}(N)=D_{M_{1,0}}t_{1}\) ，因此 \(v^{M}=M_{1,0}\) 且 \(t_{2}^{M}=t_{1}\) 。

由于 \(M_{1,j_0^M} = M_{1,j_0'} = M_{0,j_0'}\) 且 \(t_2^M = t_1\) 的每个单例元素都大于或等于 \(D_{M_{0,j_0'}+1}\) ，因此 \(t_2^M\) 最左边的单例元素不是 \(D_{M_{1,j_0^M}}\) 。因此， \(t_3^M = t_2^M = t_1\) 且 \(t_4^M = t_2^M = t_1\) 。

由上可知， \(\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = c_2^M = D_{v^M}(t_3^M+D_{M_{1,j_0^M}}(t_4^M+D_{M_{1,j_1^M}}0)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))\) 。

令 \(j_{1}-m_{1}>1\) 。

由于切片的强单项式遗传性， \(\mathrm{Pred}(M)\) 为强单项式。

令 \(J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))-1\) 。

令 \(j_{1}^{\prime}=j_{1}\) 。

由 P 与 IdxSum 的组合特征可知， \(J_{1}^{\prime} \geq J_{1}-1\) ，且由于 FirstNodes(M) \(_{J_{0}} = m_{1}+1 < j_{1} = j_{1}^{\prime}\) ， \(J_{0} < J_{1}\) ，因此 \(J_{1}^{\prime} \geq J_{1}-1 \geq J_{0} \geq 0\) 且 LastStep(Pred(M)) = \(J_{0}\) 。

从 \(J_{1}^{\prime} \geq J_{0}\) 可知，根据 LastStep 的定义， \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}\) 。

令 \(j_{1}^{\prime}<j_{1}\) 。

由 P 与 IdxSum 的组合特征可知, \(J_{1}^{\prime}=J_{1}\geq0\) 且 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}\) 。

由于 \((\mathrm{Pred}(M)_j)_{j = 0}^{\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = (M_j)_{j = 0}^{\mathrm{FirstNodes}(M)J_1}\) , LastStep \((\mathrm{Pred}(M)) = J_0\) 。

从上可知，在两种情况下， \(J_{1}^{\prime}\geq J_{0}\geq0\) , LastStep(Pred(M)) = \(J_{0}\) ，且 \(M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}\) 。

因此, \(\mathrm{Pred}(M)_{0,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = \mathrm{Pred}(M)_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}}\) 且由于 \(J_0 \leq J_1', M_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = M_{1,j_1'}\) , 因此, \(\mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'} = M_{1,\mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}}-M_{1,0} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}}-1-M_{1,0} = M_{1,j_1'}-1-M_{1,0} = M_{1,j_0'}-M_{1,0} = j_0' > 0\) 。

根据归纳假设，存在唯一的 \(t_{2}^{\prime} \in T_{B}^{2}\) 使得：

(3) Trans(Pred( \(M'\) )) = \(D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')\) 且 \(t_2' \neq 0\) 。 (4) \(t_1^M = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'))\) 。

由于子表示的单项分量 \(t_{2}^{\prime} \neq 0\) 与 Pred 之间的关系，存在唯一的 \(t_{2} \in T_{PS}\) 使得 \(\mathrm{Trans}(M^{\prime}) = D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}(t_{1}+t_{2})\) 。根据 \(\mathrm{TrMax}(M)+1 \leq m_{1} < j_{1}\) 和 P 的定义， \((0, j_{1}^{\prime}-1) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, j_{1}^{\prime})\) 不成立，因此 \(j_{1}^{\prime}\) 是 M 容许的。

设 \(j_{1}^{\prime}=j_{1}\) 。

如前所述， \(j_{1}^{M}=j_{1}^{\prime}\) 且 \(j_{0}^{M}=j_{0}^{\prime}\) ， \(j_{0}^{M}\) 是非 M 容许的， \(j_{-1}^{M}=0\) ，M 满足条件 (IV)， \(s_{1}^{M}=()\) ， \(D_{v^{M}}t_{2}^{M}=t_{1}^{M}\) 且 \(b_{1}^{M}=()\) 。

因为 \(D_{v^M}t_2^M = t_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'))\) , \(v^M = M_{1,0}\) 且 \(t_2^M = t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')\) ，且 \(t_2^M\) 的最右边单项式分量 \(D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')\) 的左端为 \(D_{M_{1,j_0'}} = D_{M_{1,j_0^M}}\) 。因此， \(t_3^M = t_1\) 且 \(t_4^M = t_1+t_2'\) 且 \(c_2^M = D_{v^M}(t_3^M+D_{M_{1,j_0^M}}(t_4^M+D_{M_{1,j_0^M}}0)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'+D_{M_{1,j_1}}0))\) 。

如前所述， \(j_{1}^{M'} = j_{1}-j_{0}' = j_{1}'-j_{0}'\) 且 \(j_{0}^{M'} = 0\) ， \(j_{0}^{M'}\) 是 \(M'\) 可接受的， \(j_{-1}^{M'} = 0\) ，M 满足条件 (III)， \(s_{1}^{M'} = ()\) ， \(D_{v^{M'}} t_{2}^{M'} = t_{1}^{M'}\) 且 \(b_{1}^{M'} = ()\) 。

因为 \(D_{v^{M'}}t_2^{M'} = t_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')\) ， \(v^{M'} = M_{1,j_0'}\) 且 \(t_2^{M'} = t_1+t_2'\) ，且 \(t_2^{M'}\) 的最右边单项式分量 \(D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')\) 的左端为 \(D_{M_{1,j_0'}} = D_{M_{1,j_0^M}}\) 。因此， \(c_2^{M'} = D_{v^{M'}}(t_2^{M'}+D_{M_{1,j_1^M'}}0) = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'+D_{M_{1,j_1}}0)\) 。

\(D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2) = \mathrm{Trans}(M') = s_1^{M'}c_2^{M'}b_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'+D_{M_{1,j_1}}0)\) ，因此 \(t_2 = t_2'+D_{M_{1,j_1}}0\) 。因此， \(\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'+D_{M_{1,j_1}}0)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))\) 。

设 \(j_{1}^{\prime}<j_{1}\) 。

由于 P 各分量均非复项性质， \((0,j_{1}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1})\) ，因此 \(j_{1}^{\prime}\leq j_{0}^{M}\) ，且 \(j_{1}^{\prime}\) 满足 M 条件，

因此 \(j_1' \leq j_{-1}^M\) 。由于 \(j_0^{M'} = j_0^M-j_0'\) 且 \(j_{-1}^M-j_0' \geq j_1'-j_0' > 0\) ，由于容许切片的遗传性， \(j_{-1}^{M'} = j_{-1}^M-j_0' > 0\) 。

由于 \(s_1\) 和 \(b_1\) 的空性与基点的关系， \(s_1^{M'} \neq ()\) 。 \((D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'), c_1^{M'}) = (t_1^{M'}, c_1^{M'}) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) 且 \(s_1^{M'} \neq ()\) 蕴涵 \((t_2', c_1^{M'}) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}\) 。因此存在 \((s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得 \((s_1', c_1^{M'}, b_1')\) 是 \(t_2'\) 的 scb 分解。

\(s_1^{M'}c_1^{M'}b_1^{M'} = t_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+s_1'c_1^{M'}b_1')\) 和 \(s_1^M c_1^M b_1^M = t_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+s_1'c_1^{M'}b_1'))\) ，从scb分解的可替代性、scb分解的复合规则以及加法和scb分解， \(D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2) = \mathrm{Trans}(M') = s_1^{M'}c_2^{M'}b_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+s_1'c_2^{M'}b_1')\) 和 \(\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+s_1'c_2^{M'}b_1'))\) 。

因此， \(t_{2}=s_{1}^{\prime}c_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{\prime}\) 且 \(\mathrm{Trans}(M)=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} (t_{1}+s_{1}^{\prime}c_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{\prime}))=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} (t_{1}+t_{2}))\) 。

由上可知，在这两种情况下， \(\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))\) 。

证毕。

定理 100 条件 (II) 下 Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，利用 Trans 的递归定义中引入的符号，令 \(L := Red((M_j)_{j=j-1}^{j_1})\) 。如果 \(j_1 > 1\) 且 \(M\) 满足条件 (II)[71]，则令 \(m_n := n-1\) 或 \(m_n := n-2\) ，具体取决于 \(P(t_2)_{J_1}\) 的左端是否为 \(D_{M_{1,j_0}}\) ，且以下成立：

(1) \(m_{n} = -1\) ，则 \(Trans(M[n]) = s_1D_{M_{1,j-1}}t_2b_1\) 。 (2) 如果 \(m_{n} \geq 0\) ，则 \(Trans(M[n]) = Trans(M)[m_{n}]\) 。 (3) \(Mark(M[n], j_{-1}) = D_{M_{1,j_{-1}}}(t_3+(D_{M_{1,j_0}} t_4) \times (m_n+1))\) . (4) \(Trans(M[n]) < Trans(M)\) 。

我们提出一些引理，作为在条件 (II) 下证明 Trans 与基本列之间交换关系的初步尝试。

定理 101 0 型基本列的基本不等式。

对任意 \(T_{PS}\) 中的 \(M, n, r' \in \mathbb{N}_+\) 和 \(q, q' \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := Lng(M)-1\) 。若存在唯一的 \(j_0 \in \mathbb{N}\) 使得 \((0, j_0) <_{M}^{Next}(0, j_1)\) , 且 \(M_{1,j_1} = 0\) 、 \(q, q' \leq n-1\) 和 \(r' \in j_1-j_0\) , 则 \(M[n]_{0,j_0+q(j_1-j_0)} < M[n]_{0,q'(j_1-j_0)+r'}\) 。

证明：

由于 \(M_{1,j_1} = 0\) ， \(M[n] = (M_j)_{j=0}^{j_0-1} \oplus \bigoplus_{\mathbb{N}^2} ((M_j)_{j=j_0}^{j_1-1})_{k=0}^{n-1}\) 。

由于 \((0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_1)\) ，对于任意 \(j\in \mathbb{N}\) ，若 \(j_0 < j < j_1\) ，则 \(M_{0,j}\geq M_{0,j_1} > M_{0,j_0}\) 。

因为 \(j_0 < j_0+r' < j_1, M_{0,j_0} < M_{0,j_0+r'}\) ，且因为 \(M[n]_{j_0+q(j_1-j_0)} = M_{j_0}\) 且 \(M[n]_{j_0+q'(j_1-j_0)+r'} = M_{j_0+r'}\) ，所以我们有 \(M[n]_{0,j_0+q(j_1-j_0)} < M[n]_{0,j_0+q'(j_1-j_0)+r'}\) 。

证毕。

定理 102 0 型基本列的基本分支规则。

对于任意 \(M \in RT_{PS}\) 、 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) 和 \(q \in \mathbb{N}\) ，令 \(j_1 := Lng(M)-1\) ，并假设存在唯一的 \(j_0 \in \mathbb{N}\) 使得 \((0, j_0) <_{M}^{Next}(0, j_1)\) 。如果 \(M_{1,j_1} = 0\) 且 \(q \leq n-1\) 且 \(j_0\) 不是 \(M\) 容许的，则 \((0, j_0-1) <_{M[n]}^{Next}(0, j_0+q(j_1-j_0))\) 且 \((1, j_0-1) <_{M[n]}^{Next}(1, j_0+q(j_1-j_0))\) 。

证明：

令 \(j_{-1} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{0})\) 。

由于 \(j_0\) 不满足 \(M\) 可接受性，因此 \(j_{-1} < j_0\) 。对于任意 \(j_0' \in \mathbb{N}\) ，若 \(j_{-1} < j_0' \leq j_0\) ，则 \((1, j_0'-1) < _M^{\text{Next}} (1, j_0')\) 。特别地， \((1, j_0-1) < _M^{\text{Next}} (1, j_0)\) 。由于可约性与系数之间的关系， \(M\) 满足条件 (A) 和 (B)，因此 \(M_{0,j_0-1}+1 = M_{0,j_0}\) 且 \(M_{1,j_0-1}+1 = M_{1,j_0}\) 。

此外，由于 \(M_{1,j_1} = 0\) ， \(M[n] = (M_j)_{j=0}^{j_0-1} \oplus \bigoplus_{\mathbb{N}^2} ((M_j)_{j=j_0}^{j_1-1})_{k=0}^{n-1}\) ，因此 \(M[n]_{j_0-1} = M_{j_0-1}\) 且 \(M[n]_{j_0+q(j_1-j_0)} = M_{j_0}\) ，因此 \(M[n]_{0,j_0-1} = M[n]_{0,j_0+q(j_1-j_0)}-1 < M[n]_{0,j_0+q(j_1-j_0)}\) 且 \(M[n]_{1,j_0-1} = M[n]_{1,j_0+q(j_1-j_0)}-1 < M[n]_{1,j_0+q(j_1-j_0)}\) 。

另一方面，对于任意 \(j_0' \in \mathbb{N}\) ，若 \(j_0-1 < j_0' < j_0+q(j_1-j_0)\) ，则根据第0型基本列的基本不等式， \(M[n]_{j_0'} \geq M[n]_{j_0+q(j_1-j_0)}\) 。由上可知， \((0, j_0-1) <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0, j_0+q(j_1-j_0))\) 和 \((1, j_0-1) <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (1, j_0+q(j_1-j_0))\) 。

证毕。

定理 103 第 0 类基本列的基本基点关系。

对于任意 \(M \in RT_{PS}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，令 \(j_{1} := Lng(M)-1\) ，并假设存在唯一的 \(j_{0} \in \mathbb{N}\) 使得 \((0, j_{0}) <_{M}^{Next}(0, j_{1})\) ，且令 \(j_{-1} := Adm_{M}(j_{0})\) 。若 \(M_{1,j_{1}} = 0\) ，则下列成立：

(1) 若 n > 1，则 \((M[n], j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})) \in RT_{PS}^{Marked}\) 。 (2) 若 \(j_{0}\) 为非 M 可接受的，则 \((M[n], j_{-1}) \in RT_{PS}^{Marked}\) 。

证明： \(M[n]\) 是可约的，因为可约性在基本列中得以保留。

\(M_{1,j_{1}}=0\) ，因此 \((M[n]_{j})_{j=j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}^{j_{0}+n(j_{1}-j_{0})-1}=(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}-1}\) 。

（1）由第0个基本列的基本不等式 \((0,j_0)\leq_M(0,j_1-1)\) 可知， \((0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))\leq_{M[n]}(0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)+(j_1-j_0-1)) = (0,j_0+n(j_1-j_0)-1)\) 。

根据第 0 类基本列的基本分支规则， \((1,j_{0}-1)<_{M[n]}^{\text{Next}}(1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))\) ，且由于 n>1, \(j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})-1>j_{0}-1\) ，因此 \((1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})-1)\leq_{M[n]}(1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))\) 不成立。因此， \(j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})\) 是 M[n] 容许的，且 \((M[n],j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))\in RT_{PS}^{\text{Marked}}\) 。

（2）由 \(j_0\) 的非M可接受性， \((0,j_{-1}) \leq_M (0,j_0-1)\) ，故 \((0,j_{-1}) \leq_{M[n]} (0,j_0-1)\) 。由第0型基本列的基本分支规则， \((0,j_0-1) <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))\) 。根据(1)， \((0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)) \leq_{M[n]} (0,j_0+n(j_1-j_0)-1)\) ，因此 \((0,j_{-1}) \leq_{M[n]} (0,j_0+n(j_1-j_0)-1)\) 。

由于切片可接受性的遗传性， \(j_{-1}\) 是 \(\mathrm{Pred}(M)\) 可接受的。由于 \(j_{0}\) 不满足 M 可接受性，因此 \(j_{-1} < j_{0} \leq j_{1}-1\) ，且 \((M[n]_{j})_{j=0}^{j_{1}-1} = \mathrm{Pred}(M)\) ，同样由于可接受性对切片的遗传性， \(j_{-1}\) 满足 M[n] 可接受性。由此可知， \((M[n], j_{-1}) \in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 。

证毕。

现在，回到正题。

在条件 (II) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

根据标准形式的约化性，M 可约化；根据约化性与系数的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。

由于 M 满足条件 (II)， \(M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}\) 且 \(j_{0}\) 不为 M 可接受的，即 \(j_{-1} < j_{0}\) 。

根据 Mark 左端的基本性质， \(v = M_{1,j-1}\) 。由于 scb 分解的可替代性， \((s_{1}, c_{2}, b_{1}) = (s_{1}, D_{M_{1,j-1}}(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}} (t_{4}+D_{0}0)), b_{1})\) 是 Trans(M) 的 scb 分解，且由于 scb 分解与基序列 (1-2) 的关系，

\[ \mathrm{Trans} (M)[n] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times (n+1)) b_{1} \]

特别地， \(\mathrm{Trans}(M)\neq0\) 。

（1）至（4）可以用关于 \(n \in N_{+}\) 的数学归纳法证明。

设 n = 1。

由于 \(M[n] = \text{Pred}(M)\) ， \(\text{Trans}(M[n]) = \text{Trans}(\text{Pred}(M)) = t_{1}\) 且 \(\text{Mark}(M[n], j_{-1}) = \text{Mark}(\text{Pred}(M), j_{-1}) = c_{1}\) 。

设 \(P(t_{2})_{J_{1}}\) 的左端为 \(D_{M_{1,j_{0}}}\) 。

\(m_{n}=n-1=0\) ，且

\[ {t_{3}} = {\Sigma_{\mathrm{B}} (P (t_{2})_{J})_{J = 0}^{J_{1}-1}} \]

\[ c_{1} = D_{v} t_{2} = D_{M_{1, j-1}} (\Sigma_{\mathrm{B}} (P (t_{2})_{J})_{J = 0}^{J_{1}-1}+P (t_{2})_{J_{1}}) = D_{M_{1, j-1}} (t_{3}+D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \]

因此 \(\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}) = c_1 = D_{M_{1,j_{-1}}}(t_3+(D_{M_{1,j_0}} t_4) \times (m_n+1))\) ，且

\[ \operatorname{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} \left(t_{3}+\left(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}\right)\right) b_{1} = \operatorname{Trans} (M)[n-1] \]

因此， \(\operatorname{Trans}(M) \neq 0\) ，且[Buc1] 引理 3.2 得出 \(\operatorname{Trans}(M[n]) = \operatorname{Trans}(M)[n-1] < \operatorname{Trans}(M)\) 。

假设 \(P(t_{2})_{J_{1}}\) 的左端不是 \(D_{M_{1,j_{0}}}\) 。

\[ c_{1} = D_{v} t_{2} = D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} \]

\[ c_{2} = D_{v} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) \]

因此， \(\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}) = c_1 = D_{M_{1,j_{-1}}} t_2,\)

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} t_{2} b_{1} \]

\[ \mathrm{Trans} (M) = s_{1} c_{2} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) b_{1} \]

因此，由子表达式不等式的可扩展性， \(t_{2}<t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}0\) ，故 \(\mathrm{Trans}(M[n])<\mathrm{Trans}(M)\) 。设 n>1。

设 \(N := (M[n]_{j})_{j=0}^{j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}\) 。

由 M 的单项式性， \((0,0)\leq_{M}(0,j_{0}-1)\) ，故 \((0,0)\leq_{N}(0,j_{0}-1)\) 。根据第 0 型基本列的基本分支规则， \((0,j_{0}-1)<_{M[n]}^{\mathrm{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))\) ，故 \((0,j_{0}-1)<_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))\) ，因此 N 是单项式的。由于 M 满足条件 (B)，所以 \(N_{0,0}=M_{0,0}=M_{1,0}=N_{1,0}\) 。由于 N 是单项式且 \(N_{0,0}=N_{1,0}\) ，所以 N 满足条件 (B)。

证明 N 满足条件 (A)。

令 \(i \in \{0,1\}\) 且 \(j_0', j_1' \in \mathbb{N}\) ，并令 \((i,j_0') <_{N}^{\text{Next}}(i,j_1')\) 。若 \(j_1' \leq j_0\) ，则 \((i,j_0') <_{M}^{\text{Next}}(i,j_1')\) 且 \(M\) 满足条件 (A)，因此 \(N_{i,j_0'}+1 = M_{i,j_0'}+1 = M_{i,j_1'} = N_{i,j_1'}\) 。

令 \(j_{0}^{\prime}<j_{0}<j_{1}^{\prime}\) 。

令 \(q_{1}, r_{1} \in N\) 为 \(j_{1}^{\prime}-j_{0}\) 除以 \(j_{1}-j_{0}\) 的商与余数。

\(q_{1} \leq n-1\) 且 \(r_1 < j_1-j_0\) 。

根据第 0 类基本列的基本分支规则和第 0 类基本列的基本不等式， \((0,j_{0}-1)<_{N}^{\text{Next}}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0}))\leq_{N}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})+r_{1})=(0,j_{1}^{\prime})\) ，因此 \((0,j_{0}-1)\leq_{N}(0,j_{1})\) 。此外，由于 \(j_{0}^{\prime}<j_{0}\) 且 \((i,j_{0}^{\prime})<_{N}^{\text{Next}}(i,j_{1}^{\prime})\) ， \((0,j_{0}^{\prime})\leq_{N}(0,j_{0}-1)\) ，因此 \((0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{0}-1)\) 。

对于任何 \(j \in \mathbb{N}\) ，如果 \((0, j_0') \leq_M (0, j) \leq_M (0, j_0+r)\) ，则 \((i, j) \leq_M (i, j_0+r_1)\) 不成立。

如果 \(j \leq j_0-1\) ，则 \((0, j_0') \leq_M (0, j) \leq_M (0, j_0+r)\) 和 \((0, j_0') \leq_M (0, j_0-1)\) 蕴涵 \((0, j) \leq_M (0, j_0-1)\) ，这意味着 \((0, j) \leq_N (0, j_0-1) \leq_N (0, j_1')\) 。因此，根据 \((i, j_0') <_{N}^{\mathrm{Next}} (i, j_1')\) 及其父元素的基本性质， \(M_{i,j} = N_{i,j} \geq N_{i,j_1'} = M_{i,j_0+r_1}\) 。

如果 \(j > j_0-1\) ，则 \((0,j)\leq_{M}(0,j_{0}+r)\) 蕴涵 \((0,j+q_{1}(j_{1}-j_{0}))\leq_{N}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})+r) = (0,j_{1}^{\prime})\) ，且由 \((i,j_0') < _N^{\mathrm{Next}}(i,j_1')\) 及其父元素的基本性质， \(M_{i,j} = N_{i,j+q_1(j_1-j_0)}\geq N_{i,j_1'} = M_{i,j_0+r_1}\) 。

由上可知，在两种情况下， \(M_{i,j} \geq M_{i,j_0+r}\) ，尤其不满足 \((i,j) \leq_{M}(i,j_{0}+r_{1})\) 。

因此， \((i,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(i,j_{0}+r_{1})\) ，且由于 M 满足条件 (A)， \(N_{i,j_{0}^{\prime}}+1=M_{i,j_{0}^{\prime}}+1=M_{i,j_{0}+r_{1}}=N_{i,j_{1}^{\prime}}\) 。

令 \(j_{0} \leq j_{0}^{\prime}\) 。

令 \(j_1'-j_0\) 除以 \(j_1-j_0\) 的商与余数为 \(q_1, r_1 \in \mathbb{N}\) 。

\[ q_{1} \leq n-1 \text {且} r_{1} < j_{1}-j_{0} 。 \]

根据第 0 类基本列的基本分支规则和第 0 类基本列的基本不等式， \((0,j_{0}-1)<_{N}^{Next}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0}))\leq_{N}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})+r_{1})=(0,j_{1}^{\prime})\) ，因此 \(j_{0}-1<j_{0}\leq j_{0}^{\prime}\) ；又根据 \((i,j_{0}^{\prime})<_{N}^{Next}(i,j_{1}^{\prime})\) ， \(j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})\leq j_{0}^{\prime}<j_{1}^{\prime}\) 。

此外，由于 \((N_{j})_{j=j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})}^{j_{1}^{\prime}}=(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{0}+r_{1}},\quad(i,j_{0}^{\prime}-q_{1}(j_{1}-j_{0}))<_{M}^{\mathrm{Next}}(i,j_{0}+r_{1})\) 。由于 M 满足条件 (A)， \(N_{i,j_{0}^{\prime}}+1=M_{i,j_{0}^{\prime}-q_{1}(j_{1}-j_{0})}+1=M_{i,j_{0}+r_{1}}=N_{i,j_{1}^{\prime}}\) 。

由上可知，无论哪种情况， \(N_{i,j_{0}^{\prime}}+1=N_{i,j_{1}^{\prime}}\) 。因此，N 满足条件 (A)。

由于 N 满足条件 (A) 和 (B)，因此由于可约性与系数之间的关系，N 是可约的。

设 \(L' := \text{Red}((M[n]_{j})_{j = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}^{j_{0}+n(j_{1}-j_{0})-1})\) 。

证明 \(\mathrm{Trans}(M[n]) = s_1D_{M_{1,j_{-1}}}(t_3+(D_{M_{1,j_0}}t_4)\times m_n+\mathrm{Trans}(L'))b_1\) 。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 N 定义的，并且 N 写在右边，以明确这是对 N 的应用。

由于 \(j_{-1} < j_{0} < j_{1}\) ， \(j_{1}^{N} = \mathrm{Lng}(N)-1 = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}) > j_{-1}+(j_{1}-j_{0}) \geq 1\) ，因此 \(\mathrm{Pred}(N)\) 为零项，且由于 Trans 保持零项性质， \(t_{1}^{N} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) \neq 0\) 。结合 N 为单项函数这一事实，条件 (I) 至 (VI) 对 N 有意义。

根据第 0 类基本列的基本分支规则， \((0,j_{0}-1)<_{N}^{\text{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))\) ，且由于 \(j_{0}\) 不是 M 容许的且 M 满足条件 (A)，因此 \(N_{1,j_{0}-1}+1=M_{1,j_{0}-1}+1=M_{1,j_{0}}=N_{1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}>0\) ，且由于 \((j_{0}-1)+1=j_{0}<j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})\) ，因此 N 满足条件 (V)。 \(j_{1}^{N}=j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})\) ，且根据第 0 类基本列的基本分支规则， \((0,j_{0}-1)<_{N}^{\text{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))\) ，因此 \(j_{0}^{N}=j_{0}-1\) 。由于 \(j_{0}\) 不为 M 可接受，因此 \(j_{-1}=\operatorname{Adm}_{M}(j_{0}-1)=\operatorname{Adm}_{N}(j_{0}-1)=\operatorname{Adm}_{N}(j_{0}^{N})\) 。根据 Mark 左端的基本性质， \(v^{N}=N_{1,\operatorname{Adm}_{N}(j_{0}^{N})}=N_{1,j_{-1}}=M_{1,j_{-1}}\) 。

\(\operatorname{Pred}(N) = (M[n]_j)_{j=0}^{j_0+(n-1)(j_1-j_0)-1} = M[n-1]\) , 因此 \(c_1^N = \operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(N), \operatorname{Adm}_N(j_0^N)) = \operatorname{Mark}(M[n-1], j_{-1})\) , 且根据归纳假设

\[ D_{v^{N}} t_{2}^{N} = c_{1}^{N} = \mathrm{Mark} (M[n-1], j_{- 1}) = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}) \]

且

\[ s_{1}^{N} c_{1}^{N} b_{1}^{N} = t_{1}^{N} = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (N)) = \mathrm{Trans} (M[n-1]) \]

\[ \begin{array}{l} = \left\{ \begin{array}{l l} \operatorname{Trans} (M) \left[m_{n-1} \right] & \left(m_{n-1} \geq 0\right) \\ s_{1} D_{M_{1, j-1}} \left(t_{2}\right) & \left(m_{n-1} =-1\right) \end{array} \right. \\ = \left\{ \begin{array}{l l} s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}) b_{1} & (m_{n} \geq 1) \\ s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{2}) & (m_{n} = 0) \end{array} \right. \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}) b_{1} \\ \end{array} \]

因此， \(t_{2}^{N}=t_{3}+(D_{M_{1,j_{0}}}t_{4})\times m_{n}\) ，且 \(s_{1}^{N}=s_{1}\) ， \(b_{1}^{N}=b_{1}\) 。由于N满足条件(V)，

\[ c_{2}^{N} = D_{v^{N}} (t_{2}^{N}+D_{N_{1, j_{1}^{N}}} 0) = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) \]

因此，

\[ \mathrm{Trans} (N) = s_{1}^{N} c_{2}^{N} b_{1}^{N} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) b_{1} \]

此外，根据第 0 类基本列 \((M[n], j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})) \in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 的基本基点关系（1），以及使用 Mark 和切片的 Trans 表达式，

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+\mathrm{Mark} (M[n], j_{0}+(n-1) (j_{1}-j_{0}))) b_{1} \]

由于 \(j_0\) 不是 \(M\) 可接受的， \((1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1, j_0+1)\) 。由于 \(M\) 满足条件 (II)， \(M_{1,j_0} \geq 0 = M_{1,j_1}\) ，因此 \(j_1 > j_0+1\) ，进而 \(\mathrm{Lng}(L')-1 = j_1-j_0-1 > 0\) 。

根据直系祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系

\[ \begin{array}{l} (M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1} = (M[n]_{j})_{j = j_{0}+(n-1) (j_{1}-j_{0})}^{j_{0}+n (j_{1}-j_{0})-1} = \operatorname{IncrFirst}^{M[n]_{0, j_{0}+(n-1) (j_{1}-j_{0})}-M[n]_{1, j_{0}+(n-1) (j_{1}-j_{0})}} \left(L^{\prime}\right) \\ = \mathrm{IncrFirst}^{M_{0, j_{0}}-M_{1, j_{0}}} (L^{\prime}) \\ \end{array} \]

由于 Red 是 IncrFirst 不变的并且 \(L'\) 是可约的， \(\mathrm{Red}((M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}-1})=L'\) 。根据 Mark 用 Trans 表示，以及 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性，

\[ \begin{array}{l} \operatorname{Mark} (M[n], j_{0}+(n-1) \left(j_{1}-j_{0}\right)) = \operatorname{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{0}+(n-1) \left(j_{1}-j_{0}\right)}^{j_{0}+n \left(j_{1}-j_{0}\right)-1}) = \operatorname{Trans} ((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}) \\ = \mathrm{Trans} (L^{\prime}) \\ \end{array} \]

因此

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+\mathrm{Trans} (L^{\prime})) b_{1} \]

证明 \(\mathrm{Trans}(L') = D_{M_{1,j_0}}t_4\) 。令 \(L := \mathrm{Red}((M_j)_{j = j-1}^{j_1-1})\) 。由 \((0, j_{-1}) \leq_M (0, j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0, j_1)\) 和其直接祖先 \((0, j_{-1}) \leq_M (0, j_1-1)\) 的树结构(1)。因此，由于标准形式的直接祖先对切片约化的强单项式性质， \(L\) 是强单项式的。因为 \(j_{-1} < j_0\) ，且容差的遗传性对切片 \(j_0-j_{-1}\) 不

为 \(L\) 容差，又因为容差的遗传性对切片 \(\mathrm{Adm}_L(j_0-j_{-1}) = j_{-1}-j_{-1} = 0\) 。因此，根据TrMax的定义， \(0 < j_0-j_{-1} < \mathrm{TrMax}(L)\) 。 \(\mathrm{Lng}(L)-1 = j_1-j_{-1}\) ，且因为 \((0, j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0, j_1)\) 、 \((0, j_0-j_{-1}) < _L^{\mathrm{Next}}(0, j_1-j_{-1})\) ，且 \(L_{1,j_0-j_{-1}} = M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1} = L_{1,j_1-j_0'}\) 。因此，根据TrMax的定义， \(\mathrm{TrMax}(L) < j_1-j_0'\) ，因而 \(\mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(L)) \geq 0\) 。

根据可约性与系数的关系，L 满足条件 (A) 和 (B)。由于 L 满足条件 (A) 和 (B)， \(L_{0,j_{1}-j_{-1}}=L_{0,j_{1}-j_{-1}}+1=L_{1,j_{1}-j_{-1}}+1\geq L_{0,j_{1}-j_{-1}}+1>L_{0,j_{1}-j_{-1}}\) 。

因此，由条件 (II) 或 (IV) 下末端段与 Trans 的关系可知，存在一个 \((t_{1}^{\prime}, t_{2}^{\prime}) \in T_{\mathrm{B}}^{2}\) 使得：

(1) \(\mathrm{Trans}(L') = D_{L_{1,j_0-j-1}}(t'_1+t'_2)\) 和 \(t_2'\) 。 (2) \(\mathrm{Trans}(L) = D_{L_{1,0}}(t_1'+D_{L_{1,j_0-j_{-1}}} (t_1'+t_2'))\) 。

从右端 2 个基点 Mark 的基本性质、Mark 关于 Trans 的表示、Trans 关于 (IncrFirst, Red) 的不变性、P 的不变性、以及 Mark 关于 Trans 的表示

\[ \begin{array}{l} D_{L_{1, 0}} (t_{1}^{\prime}+D_{L_{1, j_{0}-j_{- 1}}} (t_{1}^{\prime}+t_{2}^{\prime})) = \operatorname{Trans} (L) = \operatorname{Trans} ((M_{j})_{j = j_{- 1}}^{j_{1}}) = \operatorname{Mark} (M, j_{- 1}) = c_{2} \\ = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \\ \end{array} \]

由于 \(D_{L_{1,j_{0}-j_{-1}}}(t_{1}^{\prime}+t_{2}^{\prime})\) 等于 \(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}t_{4}\) 的最右边的单项式 \(D_{M_{1,j_{0}}}t_{4}\) ,

因此，

\[ \mathrm{Trans} (L^{\prime}) = D_{L_{1, j_{0}-j_{- 1}}} (t_{1}^{\prime}+t_{2}^{\prime}) = D_{M_{1, j_{0}}} t_{4} \]

由此可知，

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+\mathrm{Trans} (L^{\prime})) b_{1} \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) b_{1} \\ { = } { s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( t_{ 3 }+( D_{ M_{ 1 , j_{ 0 } } } t_{ 4 } ) \times ( m_{ n }+1 ) ) b_{ 1 } = \mathrm{Trans} ( M )[m_{ n }] } \\ \end{array} \]

证毕。

定理 104 在条件 (III) 或 (IV) 下 Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，利用 Trans 的递归定义中引入的符号，假设存在唯一的 \(j_{-2} \in \mathbb{N}\) 使得 \((1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)\) ，且令 \(j_{-3} := Adm_M(j_{-2})\) 。如果 \(j_1 > 1\) 且 \(M\) 满足条件 (III) 或 (IV)，则以下成立：

(1) \(\text{Trans}(M[n]) \leq \text{Trans}(M)[n-1]\) 。 (2) \(Trans(M[n]) < Trans(M)\) 。 (3) \(Trans(M)[n-1] < Trans(M[n+1])\) 。

我们提出一些引理，作为在条件 (III) 或 (IV) 下证明 Trans 和基本列之间的交换关系的初步。

定理 105 最右非容许直接祖先的基本性质。

对于任何 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(m_0, m_1 \in \mathbb{N}\) , 令 \(j_1 := Lng(M)-1\) , 令 \(m_{-1} := Adm_M(m_0)\) , 令 \(N := (M_j)_{j=m-1}^{j_1}\) , 令 \((0, m_0) < _M^{Next}(0, m_1) \leq_M(0, j_1)\) , 令 \(N' := (M_j)_{j=m_0}^{j_1}\) , 令 \(J_1 := LetLng(Br(Red(N)))-1\) 。然后, 如果 \((1, m_1-1) < M^{Next}(1, m_1)\) 且 \(m_0\) 不容许, 则 \(J_1 \geq 0\) 且 \(0 < m_0-m_{-1} < TrMax(Red(N))\) 且 \(m_0-m_{-1} = Joints(Red(N))_{J_1}\) 且 \(FirstNodes(Red(N))_{J_1} = m_1-m_{-1}\) 。

证明：

由于 \(m_{0}\) 不具有 M 容错性， \(m_{-1} < m_{0}\) ，因此 \(m_{-1}-m_{0} > 0\) 。

对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，若 \(0 < j \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))\) ，则 \((1, j-1) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1, j)\) ，且由其直接祖先的 Red 不变性， \((1, j-1) <_{N}^{\mathrm{Next}}(1, j)\) ，即 \((1, j+m_{-1}-1) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j+m_{-1})\) 。因此，由于 \((1, m_1-1) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, m_1)\) 不是这种情况，所以 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < m_1-m_{-1}\) 。

\((0, m_0) <_{M}^{\text{Next}} (0, m_1) \leq_M (0, j_1)\) 意味着 \((0, m_0-m_{-1}) <_{N}^{\text{Next}} (0, m_1-m_{-1}) \leq_N (0, j_1-m_{-1})\) ，而 \((0, m_0-m_{-1}) <_{\text{Red}(N)}^{\text{Next}} (0, m_1-m_{-1}) \leq_{\text{Red}(N)} (0, j_1-m_{-1})\) 由直接祖先的 Red 不变性所暗示。由于公差对切片的遗传性， \(\text{Adm}_N(m_0-m_{-1}) = \text{Adm}_M(m_0)-m_{-1} = 0\) ，且由于 Red 在公差上的不变性， \(\text{Adm}_{\text{Red}(N)}(m_0-m_{-1}) = 0\) 。因此， \(m_0-m_{-1} \leq \text{TrMax}(\text{Red}(N))\) 。

由于 \(0 < m_0-m_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))\) ， \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) > 0\) 。根据 \(\mathrm{TrMax}\) 的定义， \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))\) 对于 \(\mathrm{Red}(N)\) 是可以接受的，因此 \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) > 0 = \mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(m_0-m_{-1})\) 。因此， \(m_0-m_{-1} < \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))\) 。因为 \(m_0-m_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < m_1-m_{-1}\) 、 \((0, m_0-m_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}} (0, m_1-m_{-1}) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, j_1-m_{-1})\) ，且 \(P\) 的每个组成部分都是非二进制的，所以 \(\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Red}(N))_{J_1} = m_1-m_{-1}\) 且 \(m_0-m_{-1} = \mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_1}\) 。

证毕。

定理 106 在条件 (III) 至 (V) 下，右端替换与 Trans 的关系。

对于任意 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) ，利用 Trans 的递归定义中引入的符号，假设存在唯一的 \(j_{-2} \in \mathbb{N}\) 使得 \((1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)\) 。令 \(N' := (M_j)_{j=j_2}^{j_1}\) 且 \(L' := (M_j)_{j=j_2}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_1}, M_{1,j_2}))\) 。然后，如果 \(j_{-2} < j_1-1\) ，则存在唯一的 \((s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 满足：

(1) \((s,D_{M_{1},j_{1}}0,b)\) 是 \(Trans(N')\) 的 scb 分解。 (2) 如果 \(j_{-2} = j_0\) 或 \(j_0\) 是 \(M\) 可接受的，则 \((s, D_{M_{1,j-2}} 0, b)\) 是 Trans(L') 的 scb 分解。 (3) 如果 \(j_{-2} < j_0\) 且 \(j_0\) 不是 \(M\) 可接受的，则 \((s, D_{M_{1,j_0}}(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b)\) 是 Trans( \(L'\) ) 的 scb 分解。

证明：

设 \(j_{-3} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})\) 。

设 \(N := (M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}\) 。

由于 \((1,j_{-3})\leq_{M}(1,j_{-2})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1}),\quad(0,j_{-3})\leq_{M}(0,j_{-2})\leq_{M}(0,j_{1})\) 。因此，根据标准形式的直系祖先约化切片的强单项式性质， \(\mathrm{Red}(N)\) 和 \(\mathrm{Red}(N')\) 是强单项式的，并且特别地，它们既是约化的又是单项式的。

\(L'\) 是单项的，因为 \((N_{0,j}^{\prime})_{j=0}^{j_{1}-j_{2}} = (L_{0,j}^{\prime})_{j=0}^{j_{1}-j_{2}}\) 且直接祖先满足 Red 不变性，又因为 Red 保持单项性质，所以 \(\mathrm{Red}(L')\) 是约化的且是单项的。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 \(\mathrm{Red}(N)\) 、 \(\mathrm{Red}(N')\) 和 \(\mathrm{Red}(L')\) 定义的，为了清楚地表明这是对 \(\mathrm{Red}(N)\) 、 \(\mathrm{Red}(N')\) 和 \(\mathrm{Red}(L')\) 的应用，我们在右边标上分别用 N、 \(N'\) 和 \(L'\) 表示它们。

\(j_{1}^{N}=j_{1}-j_{-3}\) 且 \(j_{1}^{N^{\prime}}=j_{1}^{L^{\prime}}=j_{1}-j_{-2}\) ，并且根据直接祖先的 Red 不变性， \(j_{0}^{N}=j_{0}-j_{-3}\) 且 \(j_{0}^{N^{\prime}}=j_{0}^{L^{\prime}}=j_{0}-j_{-2}\) 且 \((1,0)\leq_{\mathrm{Red}(N)}(1,j_{-2}-j_{-3})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})=(1,j_{1}^{N})\) 且 \((1,0)<_{\mathrm{Red}(N^{\prime})}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-2}).=(1,j_{1}^{N^{\prime}})\) 。因此， \(\mathrm{Red}(N^{\prime})_{1,0}<_{\mathrm{Red}(N^{\prime})}^{\mathrm{Next}}\mathrm{Red}(N^{\prime})_{1,j_{1}^{N^{\prime}}}\) 。

由于可约性与系数之间的关系，M 和 \(\mathrm{Red}(N')\) 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A) 且 \(j_{-3} = \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})\) ，因此 \((N_{j})_{j=0}^{j_{-2}-j_{-3}} = \mathrm{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(((j,j))_{j=N_{1,0}}^{N_{1,j-2-j_{-3}}})\) 且 \(N_{0,0}-N_{1,0} = M_{0,j_{-3}}-M_{1,j_{-3}} = M_{0,j_{-2}}-M_{1,j_{-2}} = N_{0,0}'-N_{0,1}'\) 。

根据基于直接祖先的切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系, \(\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(\operatorname{Red}(N))=\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\operatorname{Red}(N))=N\) 和 \(\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(\operatorname{Red}(N^{\prime}))=N^{\prime}\) 。所以

\[ \operatorname{Red} (N) = \left(N_{0, j}-N_{0, 0}^{\prime}+N_{1, 0}^{\prime}, N_{1, j}\right)_{j = 0}^{j_{1}^{N^{\prime}}} = ((j, j))_{j = N_{1, 0}}^{N_{1, 0}^{\prime}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(N_{0, j}^{\prime}-N_{0, 0}^{\prime}+N_{1, 0}^{\prime}, N_{1, j}^{\prime}\right)_{j = 0}^{j_{1}^{N^{\prime}}} \]

\[ \mathrm{Red} (N^{\prime}) = (N_{0, j}^{\prime}-N_{0, 0}^{\prime}+N_{1, 0}^{\prime}, N_{1, j}^{\prime})_{j = 0}^{j_{1}^{N^{\prime}}} \]

因此， \(\mathrm{Red}(N) = ((j,j))_{j=N_{1,0}}^{N'_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \mathrm{Red}(N')\) 。具体而言， \(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)) = \mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N'))\) 。令 \(J_1 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N'))-1\) 。 \(\mathrm{Red}(N')_{1,0} <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}\) 且 \(0 < j_1-1-j_{-2} < j_1^{N'}-1\) ，因此 \(\mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}-1} <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}\) 。因此， \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N')) < j_1^{N'}\) 且 \(J_1 \geq 0\) 。令 \(R := \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N')) \oplus_{\mathbb{N}^2} (N'_{0,j_1^{N'}}-N'_{0,0}+N'_{1,0}, N'_{1,0})\) 。

我们证明 R 是可约的。

根据 \(R\) 的定义， \(\leq_{\mathrm{Red}(N')} \text{和} \leq_R\) 在 \((\{0,1\} \times \mathbb{N}) \setminus \{(1,j_1^{N'})\}\) 上相等。特别地，由于 \(\mathrm{Red}(N')\) 的单项性质， \(R\) 也是单项的。

通过 \((1,0) <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}}(1,j_1^{N'})\) 及其父元素的基本性质 (2)， \(\mathrm{Red}(N')_{1,0} < \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}\) 并且对于任何 \(j \in \mathbb{N}\) ，如果 \(0 < j < j_1^{N'}\) 且 \((0,j) \leq_{\mathrm{Red}(N')} (0,j_1^{N'})\) ，则 \(R_{1,j} = N_{1,j}' = \mathrm{Red}(N')_{1,j} \geq \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} > \mathrm{Red}(N')_{1,0} = N_{1,0}' = R_{1,j_1^{N'}}\) 。

因此，对于任意 \(j \in \mathbb{N}\) ，如果 \(0 < j < j_1^{N'}\) ，则 \((1, j) \leq_R (1, j_1^{N'})\) 不成立。此外，由于 \(R_{1,0} = N_{1,0}' = R_{1,j_1^{N'}}\) ，因此 \((1, 0) \leq_R (1, j_1^{N'})\) 不成立。换句话说，不存在唯一的 \(j \in \mathbb{N}\) 使得 \((1, j) < _R^{\mathrm{Next}} (1, j_1^{N'})\) 。

由上可知，对于任意 \(i \in \{0,1\}\) 和 \(j_1', j_2' \in \mathbb{N}\) ， \((i, j_1') <_{R}^{\text{Next}} (i, j_1')\) 的充分必要条件为 \((i, j_1') <_{\text{Red}(N')}^{ \text{Next}} (i, j_2') \neq (1, j_1^{N'})\) 。此外，由于 \(\text{Red}(N')\) 满足条件 (A) 且 \(R = \text{Pred}(\text{Red}(N')) \oplus_{\mathbb{N}^2} (\text{Red}(N')_{0, j_1^{N'}}, N_{1,0}')\) ，因此 \(R\) 满足条件 (A)。

R 满足条件 (B)，因为 R 是单项式，且 \(R_{0,0} = \text{Pred}(\text{Red}(N'))_{0,0} = N'_{1,0}\) 。因此，根据可约性与系数之间的关系，R 是可约的。

此外，由于 \(\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(R)=L^{\prime}\) ，由于 Red 的 IncrFirst 不变性， \(\operatorname{Red}(L^{\prime})=\operatorname{Red}(R)=R\) 。

由于 \(\mathrm{Pred}(N') = \mathrm{Pred}(L')\) , \(t_{1}^{N'} = t_{1}^{L'}\) ，且 \(\mathrm{Red}(N')\) 为单项式，Trans 为零项式， \(t_{1}^{N'} \neq 0\) 。因此，条件 (I) 至 (VI) 对于 \(\mathrm{Red}(N')\) 和 \(\mathrm{Red}(L')\) 均有意义。

\(\operatorname{Pred}(N') = \operatorname{Pred}(L')\) 且 \(j_0^{N'} = j_0^{L'} < j_1^{L'}\) ，所以 \(j_{-1}^{N'} = j_{-1}^{L'}\) 。因此， \(c_1^{N'} = c_1^{L'}\) 且 \(D_{v^{N'}}t_2^{N'} = c_1^{N'} = c_1^{L'} = D_{v^{L'}}t_2^{L'}\) ，所以 \(v^{N'} = v^{L'}\) 且 \(t_2^{N'} = t_2^{L'}\) 。另外，由于 \(t_1^{N'} = t_1^{L'}\) 、 \(c_1^{N'} = c_1^{L'}\) ，并且 scb 分解的唯一性， \(s_1^{N'} = s_1^{L'}\) 和 \(b_1^{N'} = b_1^{L'}\) 。

\((1,0) <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} (1,j_1-j_{-2}) = (1,j_1^{N'})\) ，因此 \(\mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} > \mathrm{Red}(N')_{1,0} \geq 0\) ，且 \((1,0) <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} (1,j_1^{N'})\) 且 \(0 < j_{1}-1-j_{-2} = j_{1}^{N'}-1\) ，因此 \(\mathrm{Red}(N')\) 满足条件(III)、(IV)或(V)。

\(\operatorname{Red}(N')\) 满足条件 (A) 且 \(\operatorname{Red}(N')_{1,0} <_{\operatorname{Red}(N')}^{\operatorname{Next}} \operatorname{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}\) ，因此 \(\operatorname{Red}(N')_{1,0} = \operatorname{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}-1\) ，

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{0}^{L^{\prime}}}-\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{1}^{L^{\prime}}} = R_{1, j_{0}^{N^{\prime}}}-R_{1, j_{1}^{N^{\prime}}} = \mathrm{Red} (N^{\prime})_{1, j_{0}^{N^{\prime}}}-N_{1, 0}^{\prime} \\ { = } { \operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } }-\operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , 0 } = \operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } }-\operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }+1 > \operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } }-\operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }} \\ \end{array} \]

为真。因此，如果 \(\operatorname{Red}(N')\) 满足条件 (III) 或 (IV)，则 \(\operatorname{Red}(N')_{1,j_0^{N'}}-\operatorname{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} \geq 0\) ，且因此 \(\operatorname{Red}(L')_{1,j_0^{L'}}-\operatorname{Red}(L')_{1,j_1^{L'}} > 0\) ，且因此 \(\operatorname{Red}(L')\) 不满足条件 (V) 或 (VI)。如果 \(\operatorname{Red}(N')\)

满足条件 (V)，则 \(\mathrm{Red}(N')_{1,j_{0}^{N'}}+1 = \mathrm{Red}(N')_{1,j_{1}^{N'}}\) ，因此 \(\mathrm{Red}(L')_{1,j_{0}^{L'}}-\mathrm{Red}(L')_{1,j_{1}^{L'}} = 0\) ，因此 \(\mathrm{Red}(L')\) 不满足条件 (V) 或 (VI)。

从上式可知，无论哪种情况， \(\mathrm{Red}(L')\) 都不满足条件 (V) 或 (VI)。

由于可接受性对切片的遗传性，以下等价：

(1) \(j_{0}^{N'}\) 是 \(N'\) 可接受的。 (2) \(j_{0}^{L'}\) 是 \(L'\) 可接受的。 (3) \(j_{-2}=j_{0}\) 或 \(j_{0}\) 是 M 可接受的。

因此，由于 Red 保持可接受性，以下等价：

(1) \(j_0^{N'}\) 是 \(\operatorname{Red}(N')\) 可接受的。 (2) \(j_{0}^{L'}\) 是 \(\mathrm{Red}(L')\) 可接受的。 (3) \(j_{-2}=j_{0}\) 或 \(j_{0}\) 是 M 可接受的。

如果 \(j_{-2} = j_0\) 或 \(j_0\) 是 \(M\) 容许的，则 \(\operatorname{Red}(L')\) 满足条件 (I) 或 (III)；如果 \(j_{-2} < j_0\) 且 \(j_0\) 不是 \(M\) 容许的，则 \(\operatorname{Red}(L')\) 满足条件 (II) 或 (IV)。

假设 \(j_{-2}=j_{0}\) 或 \(j_{0}\) 是 M 容许的。

\(\operatorname{Red}(N')\) 满足条件 (III) 或 (V)，且 \(\operatorname{Red}(L')\) 满足条件 (I) 或 (III)。

从 \(t_2^{N'} = t_2^{L'}\) 和 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，得到 \(t_2^{N'} = t_2^{L'}\) 的 \(P\) -不变性

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N^{\prime})) = s_{1}^{N^{\prime}} c_{2}^{N^{\prime}} b_{1}^{N^{\prime}} = s_{1}^{N^{\prime}} D_{v^{N^{\prime}}} (t_{2}^{N^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (N^{\prime})_{1. j_{1}^{N^{\prime}}}} 0) b_{1}^{N^{\prime}} \\ { = } s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_N_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ N^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{ 1 } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \mathrm{Trans} (L^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (L^{\prime})) = s_{1}^{L^{\prime}} c_{2}^{L^{\prime}} b_{1}^{L^{\prime}} = s_{1}^{L^{\prime}} D_{v^{L^{\prime}}} (t_{2}^{L^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{1}^{L^{\prime}}}} 0) b_{1}^{L^{\prime}} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ L_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ N_{ 1 , 0 }^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \end{array} \]

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (L^{\prime})) = s_{1}^{L^{\prime}} c_{2}^{L^{\prime}} b_{1}^{L^{\prime}} = s_{1}^{L^{\prime}} D_{v^{L^{\prime}}} (t_{2}^{L^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{1}^{L^{\prime}}}} 0) b_{1}^{L^{\prime}} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ L_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ N_{ 1 , 0 }^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \end{array} \]

因此, 根据 scb 分解的合成规则以及加法与 scb 分解的关系, 存在唯一的 \((s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}\) 使得 \((s, D_{M_{1,j_1}})0, b)\) 和 \((s, D_{M_{1,j_2}}0, b)\) 分别是 \(\mathrm{Trans}(N')\) 和 \(\mathrm{Trans}(L')\) 的 scb 分解。

证毕。

假设 \(j_{-2} < j_{0}\) 且 \(j_{0}\) 为非 M 可接受的。

\(\operatorname{Red}(N')\) 满足条件 (IV)， \(\operatorname{Red}(L')\) 满足条件 (II) 或 (IV)。

\(t_2^{N'} = t_2^{L'}\) 且 \(\mathrm{Red}(N')_{1,j_0^{N'}} = R_{1,j_0^{N'}} = \mathrm{Red}(L')_{1,j_0^{L'}}\) ，因此 \(t_3^{N'} = t_3^{L'}\) 且 \(t_4^{N'} = t_4^{L'}\) 。因此，由Trans的(IncrFirst,Red)不变性，即 \(P\) -不变性，

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N^{\prime})) = s_{1}^{N^{\prime}} c_{2}^{N^{\prime}} b_{1}^{N^{\prime}} = s_{1}^{N^{\prime}} D_{v^{N^{\prime}}} (t_{3}^{N^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (N^{\prime})_{1, j_{0}^{N^{\prime}}}} (t_{4}^{N^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (N^{\prime})_{1, j_{1}^{N^{\prime}}}} 0)) b_{1}^{N^{\prime}} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } }+D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ N_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ \prime } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } }+D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{ 1 } } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \mathrm{Trans} (L^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (L^{\prime})) = s_{1}^{L^{\prime}} c_{2}^{L^{\prime}} b_{1}^{L^{\prime}} = s_{1}^{L^{\prime}} D_{v^{L^{\prime}}} (t_{3}^{L^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{0}^{L^{\prime}}}} (t_{4}^{L^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{1}^{L^{\prime}}}} 0)) b_{1}^{L^{\prime}} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } } D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ L_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ \prime } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } }+D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ N_{ 1 , 0 }^{ \prime } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } }+D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \end{array} \]

因此,根据 scb 分解的复合规则以及加法与 scb 分解的关系,存在唯一的 \((s,b)\in(\Sigma^{<\omega})^{2}\) , 且 \((s,D_{M_{1,j_{1}}}0,b)\) 和 \((s,D_{M_{1,j_{-2}}}0,b)\) 分别是 \(\mathrm{Trans}(N')\) 和 \(\mathrm{Trans}(L')\) 的 scb 分解。

证毕。

定理 107 条件 (III) 至 (VI) 下的展开规则的基本性质。

对于任意 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) , 令 \(N' := (M_j)_{j=j-2}^{j_1}\) , \(L' := (M_j')_{j=j-2}^{j_1}\) , 且对于每个 \(n \in \mathbb{N}_+\) , 令 \(L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2}\) 。设 \(((M_{0,j-2}+n(M_{0,j_1}-M_{0,j-2}), M_{1,j-2}))\) , 若 \(j_1 > 1\) , 则下列命题成立:

(1) 若 \(M\) 满足条件 (III) 或 (IV)，则 \(j_{-2} < j_0\) ；若 \(M\) 满足条件 (V) 或 (VI)，则 \(j_{-2} = j_0\) 。 (2) 对于任意 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) , \(L_{n}\) 是可约化的且单项的。 (3) \(\leq_{M}\) 和 \(\leq_{L_1}\) 对 \((\{0,1\} \times \mathbb{N})\setminus \{(1,j_1)\}\) 的限制一致。 (4) 若 “M 满足 (VI) 或 \(j_{0}\) 为 M-可接受的”，则 \(L_{1}\) 满足条件 (I) 或 (III); 若 “M 不满足 (VI) 且 \(j_{0}\) 为非 M-可接受的”，则 \(L_{1}\) 满足条件 (II) 或 (IV)。 (5) 对任意 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) , 若 \(n > 1\) , 存在唯一的 \((s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 满足:

(5-1) \((s', D_{M_{1,j-2}}0, b')\) 是 \(Trans(L_{n-1})\) 的 \(scb\) 分解。

(5-2) \((s', Trans(L'), b')\) 是 \(Trans(L_n)\) 的 \(scb\) 分解。

(5-3) \((s', Trans(Pred(N')), b')\) 是 \(Trans(M[n])\) 的 \(scb\) 分解。

证明：

(1)

如果 M 满足条件 (III) 或 (IV)，则 \(M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}\) ，因此 \((1,j_{0}) \leq_{M}(1,j_{1})\) 不成立，因此 \(j_{-2} < j_{0}\) 。如果 M 满足条件 (V) 或 (VI)，则 \(M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{1}}\) ，因此 \((1,j_{0}) < _{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 成立，因此 \(j_{-2} = j_{0}\) 。

(2)

由于标准形式的可约性，M 是可约的；由于基序列保留了可约性，因此 \(M[n+1]\) 也是可约的。 \(M[n+1]\) 是单项的，因为 \(M_{1,j_{1}} > M_{1,j_{-2}} > 0\) ，且非多重性与基本列之间的关系(2)。此外，

\[ L_{n} = M[n] \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(\left(M_{0, j_{1}}, M_{1, j_{- 2}}\right)\right) = M[n] \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(\left(M_{0, j_{1}}, M_{1, j_{1}}-1\right)\right) = (M[n+1]_{j})_{j = 0}^{j_{- 2}+n (j_{1}-j_{- 2})} \]

因此， \(L_{n}\) 既是单项的又是可约化的，因为约化性对切片具有遗传性，单项性对初始切片也具有遗传性。

(3)

由于 \(L_{1} = M[1] \oplus_{\mathbb{N}^{2}} (M_{0,j_{1}}, M_{0,j_{-2}}) = \mathrm{Pred}(M) \oplus_{\mathbb{N}^{2}} (M_{0,j_{1}}, M_{0,j_{-2}})\) ，因此 \(\leq_{M}\) 和 \(\leq_{L_{1}}\) 对 \((\{0,1\} \times \mathbb{N}) \setminus \{(1,j_{1})\}\) 的限制相符。特别地， \((0,j_{0}) <_{L_{1}}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})\) 。

Trans 递归定义中引入的符号也适用于 \(L_{1}\) ，为了明确这是对 \(L_{1}\) 的应用，我们将 \(L_{1}\) 记为 \(L_{1}\) ，并在其上标处加上 \(L_{1}\) 。

由于 \(\mathrm{Pred}(L_{1})=\mathrm{Pred}(M)\) ， \(t_{1}^{L_{1}}=t_{1}\neq0\) ，因此条件 (I) 至 (VI) 对 \(L_{1}\) 有意义。

由于 \((0,j_0) <_{L_1}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)\) 且 \(L_{1,j_0} = M_{1,j_0} = L_{1,j_1}\) ，因此 \(L_1\) 既不满足条件 (V)，也不满足条件 (VI)。

令 M 满足条件 (VI)。

\(j_{0}+1=j_{1}\) 。由于 \(L_{1,j_{0}}=L_{1,j_{1}}=L_{1,j_{0}+1},\quad(1,j_{0})<_{L_{1}}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}+1)\) 不成立。因此， \(j_{0}\) 是 \(L_{1}\) 可容许的。

由上可知， \(L_{1}\) 满足条件 (I) 或 (III)。

假设 \(j_{0}\) 是 M 可容许的。

由于 \(j_0\) 是 \(M\) 可容许的，因此 \((0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0+1)\) 不成立，或者 \(M_{1,j_0} \geq M_{1,j_0+1}\) 为真。

如果 \((0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0+1)\) 不成立，则 \((0,j_0) < _{L_1}^{\mathrm{Next}}(0,j_0+1)\) 也不成立，因此 \(j_0\) 是 \(L_{1}\) 可接受的。如果 \(M_{1,j_0}\geq M_{1,j_0+1}\) ，则 \(j_0 < j_1\) ，因此 \(L_{1,j_0} = M_{1,j_0}\geq M_{1,j_1}\geq L_{1,j_1}\) ，因此 \(j_0\) 是 \(L_{1}\) 可接受的。因此，无论哪种情况， \(j_0\) 都是 \(L_{1}\) 可接受的。由上可知， \(L_{1}\) 满足条件(I)或(III)。假设 \(M\) 不满足(VI)条件，且 \(j_0\) 不满足 \(M\) 条件。

由于 \(j_{0}\) 不满足 M 条件，因此 \((1, j_{0}-1) <_{M}^{\text{Next}} (1, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}} (1, j_{0}+1)\) 。

由于 \(M_{1,j_{1}} > M_{1,j_{-2}} \geq 0\) ，M 不满足条件 (I) 或 (II)。因此，M 满足条件 (IV) 或 (V)，所以 \(M_{1,j_{0}}+1 \geq M_{1,j_{1}}\) ，且 \(L_{1,j_{0}} = M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}-1 = L_{1,j_{1}}\) 。

\((1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 不成立。因此， \(j_{0}+1<j_{1}\) ，进而 \((1,j_{0}-1)<_{L_{1}}^{\text{Next}}(1,j_{0})<_{L_{1}}^{\text{Next}}(1,j_{0}+1)\) 。因此， \(j_{0}\) 不为 \(L_{1}\) 可接受的。

由上可知， \(L_{1}\) 满足条件 (II) 或 (IV)。

(5)

\(\mathrm{Lng}(L_n)-1 = j_{-2}+n(j_1-j_{-2})\) 。假设 \(j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})\) 不符合 \(L_{n}\) 要求，则会导致矛盾。

由于 \(j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})\) 不是 \(L_{n}\) 容错的，因为 \((1,j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})-1) < _{L_n}^{\mathrm{Next}}(1,j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2}))\)

\[ \begin{array}{l} M_{0, j_{1}-1} = (L_{n})_{0, j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})-1}-(n-2) (M_{0, j_{1}}-M_{0, j_{- 2}}) \\ < \quad (L_{n})_{0, j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})}-(n-2) (M_{0, j_{1}}-M_{0, j_{- 2}}) \\ = \left(M_{0, j_{- 2}}+(n-1) (M_{0, j_{1}}-M_{0, j_{- 2}})\right)-(n-2) (M_{0, j_{1}}-M_{0, j_{- 2}}) = M_{0, j_{1}} \\ \end{array} \]

且 \(M_{1,j_1-1} = (L_n)_{1,j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})-1} < (L_n)_{1,j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})} = M_{1,j_{-2}} < M_{1,j_1}\)

由于 \(M_{0,j_1-1} < M_{0,j_1}\) 且 \(M_{1,j_1-1} < M_{1,j_{-2}} < M_{1,j_1}\) ，因此有 \((1,j_1-1) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)\) ，即 \(j_{-2} = j_1-1\) ，这与 \(M_{1,j_1-1} < M_{1,j_2}\) 矛盾。

由上可知， \(j_{-2}+(n-1)(j_{1}-j_{-2})\) 是 \(L_{n}\) 可接受的。进一步，由于 \((1,j_{-2})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})\) ， \((0,j_{-2})\leq_{M}(0,j_{1})\) ，所以 \((0,j_{-2}+(n-1)(j_{1}-j_{-2}))\leq_{L_{n}}(0,j_{-2}+n(j_{1}-j_{-2}))\) 。因此， \((L_{n},j_{-2}+(n-1)(j_{1}-j_{-2}))\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 。

将 Mark 用 Trans 表示

\[ \mathrm{Mark} (L_{n}, j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})) = \mathrm{Trans} (((L_{n})_{j})_{j = j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})}^{j_{- 2}+n (j_{1}-j_{- 2}}) = \mathrm{Trans} (L^{\prime}) \]

因此， \(((L_n)_j)_{j=0}^{j-2+(n-1)(j_1-j-2)} = L_{n-1}\) ，且 Trans 用 Mark 和切片表示，我们得到一个唯一的 \((s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得：

(1) \((s',D_{M_{1,j-2}}0,b')\) 是 \(\mathrm{Trans}(L_{n-1})\) 的scb分解。 (2) \((s',\mathrm{Trans}(L'),b')\) 是 \(\mathrm{Trans}(L_{n})\) 的scb分解。

因为 \(j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})\) 是 \(L_{n}\) 可接受的， \(j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2}) < j_{-2}+n(j_1-j_{-2})\) 且 \(M[n] = \mathrm{Pred}(L_n)\) ，所以对基准切片的遗传率为 \((M[n], j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 。

由于基本列保持可约性， \(M[n]\) 可约，因此，由 Mark 用 Trans 表示可得：

\[ \operatorname{Mark} (M[n], j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})) = \operatorname{Trans} (((M[n])_{j})_{j = j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})}^{j_{- 2}+n (j_{1}-j_{- 2})}) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N^{\prime})) \]

因此， \(((M[n])_j)_{j=0}^{j-2+(n-1)(j_1-j_{-2})} = L_{n-1}\) ，并且通过用 Mark 和切片表示 Trans， \((s', \text{Trans}(\text{Pred}(N')), b')\) 是 Trans(M[n]) 的 scb 分解。

证毕。

定理 108 在条件 (III) 至 (VI) 下，Trans 与 scb 分解的关系。

对于任意 \(M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}\) , 令 \(j_1 := Lng(M)-1\) 且令 \(j_1 > 1\) 。利用 Trans 的递归定义中引入的符号, 假设存在唯一的 \(j_{-2} \in \mathbb{N}\) 使得 \((1, j_{-2}) < _M^{Next}(1, j_1)\) 。令 \(j_{-3} := Adm_M(j_{-2})\) 且令 \(N := (M_j)_{j = j_{-3}}^{j_1}\) 。然后, 存在唯一的 \((s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得 \((s', Trans(N), b')\) 是 \(Trans(M)\) 的第一种 scb 分解。

证明：

由于 \((0,j_{-3})\leq_M(0,j_{-2})\leq_M(0,j_1)\) 且 \(j_{-3}\) 是 \(M\) 可接受的，因此 \((M,j_{-3})\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) 。

令 \(N := (M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}\) 。

由于 \((0,j_{-3})\leq_M(0,j_{-2})\) 且 \((1,j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)\) ， \(j_{-3} < j_{1}\) 且 \((0,j_{-3})\leq_M(0,j_{-2})\leq_M(0,j_1)\) 。

由于 \((M,j_{-3})\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}\) ，存在唯一的 \((s',b')\in(\Sigma^{<\omega})^{2}\) 使得 \((s',\mathrm{Mark}(M,j_{-2}',b'))\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)\) 的 scb 分解。

由于 Mark 用 Trans 表示, \((s', \text{Trans}(N), b')\) 是 \(\text{Trans}(M)\) 的 scb 分解。由于 \((0, j_{-2}') \leq_M (0, j_1)\) ，且单项式遗传性与直系祖先切片相关， \(N\) 是单项式的。因此，由于 Red 保持单项式性， \(\text{Red}(N)\) 既是约化的，又是单项式的。因为 \((0, j_{-2}') \leq_M (0, j_1)\) ，所以它是 \((0, 0) \leq_N (0, j_1-j_{-2}')\) ，又因为直接祖先的 Red 不变性意味着它是 \((0, 0) \leq_{\text{Red}(N)} (0, j_1-j_{-2}')\) 。

由于 \((0,0) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, j_1-j'_{-2})\) 且 0 是 \(\operatorname{Red}(N)\) 可接受的，因此存在唯一的 \(J_1 \in \mathbb{N}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_M^{<\omega}\) 使得：

\[ \mathrm{Lng} (n) = J_{1}+1 。 \]

\[ n_{0} = 0 \text {。} \]

对于任何 \(J \in \mathbb{N}\) ，如果 \(J < J_1\) 则 \((0, n_J) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{NextAdm}}(0, n_{J+1})\) 。

\[ n_{J_{1}} = j_{1}-j_{- 2}^{\prime} \circ \]

对于任何 \(J \in \mathbb{N}\) ，如果 \(0 < J < J_1\) ，则 \(n_J+j_{-2}' > n_0+j_{-2}' = j_{-2}' \geq j_{-2}\) 。由于 \((0, n_J) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, n_{J_1}) = (0, j_1-j_{-2}')\) 且直系祖先 Red 保持不变， \((0, n_J) \leq_N (0, j_1-j_{-2}')\) 即 \((0, n_J+j_{-2}') \leq_M (0, j_1)\) ，我们有 \((1, j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}} (1, j_1)\) 以及父母的基本性质。由 (2) 可知， \(M_{1, n_J+j_{-2}'} \geq M_{1, j_1}\) 。

令 \(J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{RightAnces}(N))-1\) 。由于 \(\mathrm{Red}(N)\) 是单项的，根据 RightAnces 的递归定义，存在唯一的 \(n^{\prime} \in N\) 使得：

\[ \mathrm{RightAnces} (N) = (\mathrm{Red} (N)_{1, n_{J^{\prime}}^{\prime}})_{J^{\prime} = 0}^{J_{1}^{\prime}}. \]

\[ n_{0}^{\prime} = 0_{\circ} \]

对于任意 \(J' \in \mathbb{N}\) ，若 \(J' \leq J_1'\) ，则 \((0,0) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, n_{J'}') \leq_M (0, j_1-j_{-2}')\) 。

对于任意 \(J' \in N\) ，若 \(J' < J_{1}'\) ，则 \(n_{J'}' < n_{J'+1}'\) 。

\[ n_{J_{1}^{\prime}}^{\prime} = j_{1}-j_{- 2}^{\prime} \circ \]

对于任意 \(J' \in \mathbb{N}\) , 若 \(J' \leq J_1'\) , 则存在唯一的 \(J \in \mathbb{N}\) , 使得 \(J \leq J_1\) 且:

(a) \(n'_{J'} = n_{J}\) 。

(b) \((\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J-1}\) 不是零项，且 \((\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J}\) 满足条件 (II) 或 (IV)，且 \((0, n_{J'}') <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, n_J)\) 。

我们证明，对于任何 \(J' \in \mathbb{N}\) ，如果 \(0 < J' \leq J_1'\) ，则 \(\mathrm{RightNodes}(\mathrm{Trans}(N))_{J'} \geq \mathrm{RightNodes}(\mathrm{Trans}(N))_{J_1'}\) 。

根据直接祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系， \(\mathrm{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\mathrm{Red}(N))=N\) ，因此，特别地，对于任何 \(j\in N\) ，如果 \(j\leq j_{1}-j_{-3}\) ，则 \(\mathrm{Red}_{1,j}=N_{1,j}=M_{1,j+j_{-3}}\) 。

存在唯一的 \(J \in N\) ，使得 \(0 < J \leq J_{1}\) ，并且对于 \(J'\) ，满足条件 (a) 或 (b)。

如果 \(J\) 满足 (a)，则 \(n_J\) 是 \(\operatorname{Red}(N)\) -可接受的，且 \(\operatorname{Adm}_M(j_{-2}) = j_{-3} < n_J+j_{-3}\) ，因此 \(n_J+j_{-3} > j_{-2}\) ，进而 \(j_{-2} < n_J+j_{-3} = n_{J'}'+j_{-3}\) 且 \((0, n_{J'}'+j_{-3}) = (0, n_J+j_{-3}) \leq_M (0, j_1)\) 。

假设 J 满足 (b)。

因为 \((0, n_{J'}') <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J})\) 且其直接祖先 Red 不变性为 \(n_{J'}' < n_{J}\) 且 \((0, n_{J'}') <_{N}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J})\) ，即 \((0, n_{J'}'+j_{-3}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}+j_{-3}) \leq_{M} (0, j_{1})\) 。

\((0,j_{-2})\leq_{M}(0,j_{1})\) 蕴含着 \((0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{N}(0,j_{1}-j_{-3})\) ，而 \((0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_1-j_{-3})\) 由直接祖先的Red不变性蕴含。

\(j_{-2}-j_{-3}<n_{J}\) 且 \((0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})=(0,n_{J_{1}})\) 且 \((0,n_{J})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,n_{J_{1}})\) ，因此 \((0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,n_{J})\) 且 \((0,n_{J'}')<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,n_{J})\) 。因此， \((0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,n_{J'}')\) 。

根据 \((0, n_{J'}') <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}) \leq_{\mathrm{Red}(N)}(0, n_{J_{1}}) = (0, j_{1}-j_{-3})\) 及直接祖先 Red 的不变性， \((0, n_{J'}') <_{N}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}) \leq_{N}(0, j_{1}-j_{-3})\) ，即 \((0, n_{J'}'+j_{-3}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}+j_{-3}) \leq_{M}(0, j_{1})\) 。

假设 \(j_{-2}-j_{-3}=n_{J'}^{\prime}\) 会导致矛盾。

\((0,j_{-2})=(0,n_{J^{\prime}}^{\prime}+j_{-3})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,n_{J}+j_{-3})\leq_{M}(0,j_{1})\) ，且由 \((1,j_{-2})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})\) 和父元素的基本性质(2)， \(M_{1,n_{J}+j_{-3}}\geq M_{1,j_{1}}>M_{1,j_{-2}}\) 。

因此， \(\mathrm{Red}(N)_{1,n_J} = M_{1,n_J+j_{-3}} > M_{1,j_{-2}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-3}}\) ，因此 \((0,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,n_J)\) 意味着 \((\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J}\) 满足条件 (V) 或 (VI)，这与 \((\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J}\) 满足条件 (II) 或 (IV) 相矛盾。

由上可知， \(j_{-2}-j_{-3}<n_{J'}^{\prime}\) ，即 \(j_{-2}<n_{J'}^{\prime}+j_{-3}\) 。

由上可知，在这两种情况下， \(j_{-2}<n_{J'}^{\prime}+j_{-3}\) 且 \((0,n_{J'}^{\prime}+j_{-3})\leq_{M}(0,j_{1})\) 。

因为 \(j_{-2} < n_{J'}'+j_{-3}\) 且 \((0, n_{J'}'+j_{-3}) \leq_{M} (0, j_{1})\) 和 \((1, j_{-2}) < \frac{\text{Next}}{M} (1, j_{1})\) ，根据父级的基本性质 (2)， \(M_{1, n_{J'}'+j_{-2}'} \geq M_{1, j_{1}}\) 。因此，根据 RightNodes 和 RightAnces 的关系，

\[ \begin{array}{l} \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N))_{J^{\prime}} = \operatorname{RightAnces} (N)_{J^{\prime}} = \operatorname{Red} (N)_{1, n_{J^{\prime}}^{\prime}} = M_{1, n_{J^{\prime}}^{\prime}+j_{- 2}^{\prime}} \\ \geq M_{1, j_{1}} = \operatorname{Red} (N)_{1, n_{J_{1}^{\prime}}^{\prime}} = \operatorname{RightAnces} (N)_{J_{1}^{\prime}} = \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N))_{J_{1}^{\prime}} \\ \end{array} \]

\(M_{1,j-3} \leq M_{1,j-2} < M_{1,j_1}\) ，因此，根据 RightNodes 和 RightAnces 的关系，

\[ \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N))_{0} = \operatorname{RightAnces} (N)_{0} = \operatorname{Red} (N)_{1, n_{0}^{\prime}} = M_{1, j_{- 3}} \]

\[ < \quad M_{1, j_{1}} = \operatorname{RightAnces} (N)_{J_{1}^{\prime}} = \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N))_{J_{1}^{\prime}} \]

由上可知， \((s',\mathrm{Trans}(N),b')\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)\) 的第一类scb分解。

证毕。

定理 109 在条件 (III) 至 (V) 下切片的 scb 分解。

对于任意 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，利用 Trans 的递归定义中引入的符号，假设存在唯一的 \(j_{-2} \in \mathbb{N}\) 使得 \((1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)\) ，且令 \(N' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1}\) 。如果 \(M\) 不满足条件 (VI)，且 \(Adm_M(j_{-2}) = j_{-1}\) ，则存在唯一的 \((s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 满足：

(1) \((D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(c_{2}\) 的scb分解。 (2) \((D_{M_{1,j_2}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')\) 是 \(Trans(N')\) 的 \(scb\) 分解。 (3) \(Trans(Pred(N')) = D_{M_{1,j-2}}t_{2}\)

证明：

下文中，我们将在条件 (III) 至 (VI) 下使用展开规则的基本性质，无需任何说明。

(1)

由于标准形式的可约性，M 是可约的。

由于右端第 1 个基点的 Mark 的基本性质， \(\mathrm{Mark}(M,j_{1})=D_{M_{1,j_{1}}}0\) ，并且由于右端第 2 个基点的 Mark 的基本性质， \(\mathrm{Mark}(M,j_{-1})=c_{2}\) 。

因此，基于 \(j_{-1} \leq j_0 < j_1\) 、scb 分解的平凡性准则、Trans 最左分量的基本性质以及 Mark 保持有序关系，存在唯一的 \((s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) ，使得 \((D_{M_{1,j-1}} s_1', D_{M_{1,j_1}} 0, b_1')\) 是 \(c_2\) 的 scb 分解。

(2)

设 \(N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}\) 。

由于 \((0,j_{-1})\leq_{M}(0,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})\) 以及标准形式的直系祖先函数切片约化的强单项式性质， \(\mathrm{Red}(N)\) 是强单项式。

从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性以及 Mark 用 Trans 表示, \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N)) = \mathrm{Trans}(N) = \mathrm{Mark}(M, j_{-1}) = c_{2}\) 。

\(j_{-1} = \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2}) \leq j_{-2} \leq j_{0}\) 。由于公差对切片的遗传性， \(\mathrm{Adm}_{N}(j_{-2}-j_{-1}) = \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})-j_{-1} = 0\) 且 \(\mathrm{Adm}_{N}(j_{0}-j_{-1}) = \mathrm{Adm}_{M}(j_{0})-j_{-1} = 0\) ，并且由于公差的Red不变性， \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-1}) = 0\) 且 \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{0}-j_{-1}) = 0\) 。因此， \(j_{-2}-j_{-1} \leq j_{0}-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))\) 。

如果 M 满足条件 (III) 或 (IV)，则 \(M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}\) ，所以 \((1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) ，进而 \(j_{-2} < j_{0} < j_{1}\) ，所以 \(j_{-2} < j_{1}-1\) ，尤其是 \((1,j_{1}-1) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 。如果 M 满足条件 (V)，则 \(j_{0} < j_{1}-1\) ，因此 \((0,j_{1}-1) <_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})\) ，尤其 \((1,j_{1}-1) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 。

因此，无论哪种情况， \((1,j_{1}-1)<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 都不成立。

设 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))\) 。

由于 \((1,j_{1}-1)\leq_{M}(1,j_{1})\) 不成立，因此 \((1,j_{1}-1-j_{-1})\leq_{N}(1,j_{1}-j_{-1})\) 也不成立。由于直接祖先的Red不变性， \((1,j_{1}-1-j_{-1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(1,j_1-j_{-1})\) 并非如此，因此 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_1-j_{-1}\) 。因此， \(J_{1}\geq 0\)

由于 \((0,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)\) ， \((0,j_0-j_{-1}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_1-j_{-1})\) ；由于直接祖先的 Red 不变性， \((0,j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_1-j_{-1})\) 。

因为 \((0, j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, j_1-j_{-1})\) 且 \(j_0-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_1-j_{-1}\) ，由于 \(P\) 每个分量都具有非二进制性质，所以 \(\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Red}(N))_{J_1} = j_1-j_{-1}\) 且 \(\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_1} = j_0-j_{-1} \circ (1, j_{-2}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j_1)\) 意味着 \((1, j_{-2}-j_{-1}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(1, j_1-j_{-1})\) ，且 \((1, j_{-2}-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1, j_1-j_{-1})\) 意味着 \((1, j_{-2}-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1, j_1-j_{-1})\) ，因为 \(j_{-2} < j_0\) 。

如果 M 满足条件 (III) 或 (IV)，则 \(j_{-2}-j_{-1}<j_{0}-j_{-1}=\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}\) 。

假设 M 满足条件 (V)。

由于 \(M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}\) ， \((1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) ，因此 \(j_{-2} = j_{0}\) 。具体而言，由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系， \(j_{-2}-j_{-1} = j_{0}-j_{-1} = \text{Joints}(\text{Red}(N))_{J_{1}} \leq \text{TrMax}(\text{Red}(N))\) 。

由于可约性与系数之间的关系， \(\mathrm{Red}(N)\) 满足条件 (A) 和 (B)。 \(\mathrm{Red}(N)\) 满足条件 (A) 和 (B) 且 \(j_{-2}-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))\) ，因此 \(\mathrm{Red}(N)_{0,j_{-2}-j_{-1}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-1}}\) 。 \(\mathrm{Red}(N)\) 满足条件 (A) 且 \((1,j_{-2}-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1-j_{-1})\) ，因此 \(\mathrm{Red}(N)_{0,j_1-j_1} = \mathrm{Red}(N)_{0,j_{-2}-j_{-1}}+1 = \mathrm{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-1}}+1 = \mathrm{Red}(N)_{1,j_1-j_{-1}}\) 。

\(\operatorname{Red}(N)\) 是强单项的，因此 \(\operatorname{Br}(\operatorname{Red}(N))\) 是降序的。

从上式可知，“ \(j_{-2}-j_{-1}<\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}\) ”或“ \(j_{-2}-j_{-1}=\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}\) 且 \(\mathrm{Red}(N)_{0,j_{1}-j_{-1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}-j_{-1}}\) 且 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))\) 按降序排列。”

因此， \((D_{M_{1,j_- 1}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')\) 是 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N)) = c_2\) 的 scb 分解，又由于 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 \(P\) 齐次性以及在条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系， \((D_{M_{1,j_- 2}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')\) 是 \(\mathrm{Trans}(N')\) 的 scb 分解。

(3)

由于可约化为段的遗传性和单项化为初始段的遗传性， \(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))\) 是可约化的且是单项的。此外，由于 Red 和 Pred 的交换性， \(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))\) 。从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 \(P\) 等方差，以及 Mark 用 Trans 表示，

\[ \begin{array}{l} \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (\operatorname{Red} (\operatorname{Pred} (N))) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (\operatorname{Pred} (N))) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) \\ = \mathrm{Mark} (\mathrm{Pred} (M), j_{- 1}) = c_{1} = D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} \\ \end{array} \]

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)，所以 \(j_{-2}-j_{-1}<j_{0}-j_{-1}\leq\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))=\mathrm{TrMax}(N)\) ，因此 \(N_{0,0}-N_{1,0}=N_{0,j_{-2}-j_{-1}}-N_{1,j_{-2}-j_{-1}}=N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}\) 。

根据基于直系祖先的切片以及 Red 和 IncrFirst 之间的关系, \(\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N))) = \operatorname{Pred}(N)\) 并且 \(\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(\operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N^{\prime}))) = \operatorname{Pred}(N^{\prime})\) , 因此 \((\operatorname{Pred}(N)_j)_{j=j-2-j-1}^{j_1-1-j-1} = \operatorname{Pred}(N')\) , 我们得到 \((\operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N))_j)_{j=j-2-j-1}^{j_1-1-j-1} = \operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N'))\) 。令 \(J_0 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))))\) 。

令 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-1-j_{-1}\) 。

由于 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-1-j_{-1}\) ， \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))\) ，特别地， \(j_{-2}-j_{-1} < j_{0}-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) < j_{1}-j_{-1}\) 。因此， \(J_{0} \geq 0\) 。因为 Pred 表示为[1]，且由于 P 与基本列的关系，所以 \(J_{1}-1 \leq J_{0} \leq J_{1}\) 。

从 \((1,j_{-2}-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1-j_{-1})\) 和 \((0,j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_1-j_{-1})\) 以及直接祖先的树结构(1)， \((0,j_{-2}-j_{-1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_0-j_{-1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_1-1-j_{-1}), (0,j_{-2}-\) \(j_{-1})\leq_{\mathrm{Pred(Red(N))}}(0,j_0-j_{-1})\leq_{\mathrm{Pred(Red(N))}}(0,j_1-1-j_{-1})\) 。

由于 \((0, j_0-j_{-1}) \leq_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))} (0, j_1-1-j_{-1})\) 且 \(j_0-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) < j_1-1-j_{-1}\) ，因此 \(P\) 每个分量的非二进制性质意味着 \(j_0-j_{-1} \leq \mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))_{J_0}\) 。特别地， \(j_{-2}-j_{-1} < j_0-j_{-1} \leq \mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))_{J_0}\) 。

因此， \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = D_{M_{1,j-1}} t_2\) 且 \((\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))_j)_{j=j-2-j-1}^{j_1-1-j_1} = \mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N'))\) 。由 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，以及在条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系，可知 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N')) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N')) = D_{M_{1,j-2}} t_2\) 。

令 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_{1}-1-j_{-1}\) 。

\(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_1-1-j_{-1}\)

因此， \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))) = D_{M_{1,j-1}}t_2\) 且 \((\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))_j)_{j = j-2-j-1}^{j_1-1-j-1} = \mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N'))\) 且 \(j_{-2}-j_{-1} < j_0-j_{-1}\leq j_1-1-j_{-1}\) ，并且由于(IncrFirst, Red)不变性，Trans的

P-不变性以及具有公差 (1,1) 的对序列的 Trans 的基本性质，我们有 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N')) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N')) = D_{M_{1,j-2}} t_2\) 。

证毕。

定理 110 在条件 (III) 至 (V) 下的各种 scb 分解。

对于任何 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) , 使用 Trans 的递归定义中引入的符号, 假设存在唯一的 \(j_{-2} \in \mathbb{N}\) 使得 \((1, j_{-2}) < _M^{Next}(1, j_1)\) , 且令 \(N' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1}\) , 且令 \(L' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2}\) 令 \(L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_{-2}}+n(M_{0,j_1}-M_{0,j_{-2}}), M_{1,j_{-2}}))\) 。若 \(M\) 不满足条件 (VI), 且 “ \(j_{-2} < j_0\) 或 \(j_0\) 为 \(M\) 可接受的”, 且 \(Adm_M(j_{-2}) = j_{-1}\) , 则存在唯一的 \((s'_1, b'_1) \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得:

(1) \((D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(c_{2}\) 的scb分解。 (2) \((D_{M_{1,j_- 2}}s_1^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_1^{\prime})\) 和 \((D_{M_{1,j_- 2}}s_1^{\prime},D_{M_{1,j_- 2}}0,b_1^{\prime})\) 分别是 \(Trans(N^{\prime})\) 和 \(Trans(L^{\prime})\) 的scb分解。 (3) \(Trans(Pred(N')) = D_{M_{1,j-2}}t_2\) 。 (4) \(Trans(L_n) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_1^{\prime})^nb_1\) 。 (5) \(Trans(M[n]) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1'D_{M_{1,j-2}})^{n-1}t_2(b_1')^{n-1}b_1\) 。

证明：

下文中，我们将使用条件 (III) 至 (VI) 下的展开规则的基本性质，无需赘述。

在条件 (III) 至 (V) 下，存在唯一的 \((s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}\) ，该式由切片的 scb 分解得到，且满足：

(1) \((D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(c_{2}\) 的scb分解。 (2) \((D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(N^{\prime})\) 的scb分解。 (3) Trans(Pred(N')) = D\_{M\_{1,j-2}} t\_2。

由上式可知（1）和（3）。

(2)

由于 \(j_{-2} < j_0\) 或 \(j_0\) 是 \(\mathrm{M}\) 可接受的， \(L_{j_1-j_{-2}}' = (M_{0,j_1}, M_{1,j_{-2}}) = (N_{0,j_1-j_{-2}}', N_{1,0}')\) 且 \(j_0\) 的 \(\mathrm{M}\) 可接受性以及右端置换与 Trans 的关系在条件 (III) 至 (V) 下成立，因此 \((D_{M_{1,j_{-2}}} s_1', D_{M_{1,j_{-2}}} 0, b_1')\) 是 \(\operatorname{Trans}(L')\) 的 scb 分解。

(4)

由于 M 满足条件 (A) 且 \((1,j_{-2}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) ，因此 \(M_{1,j_{-2}} = M_{1,j_{1}}-1\) 。

我们利用关于 n 的数学归纳法证明， \(\mathrm{Trans}(L_{n})=s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^{n}0(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}\) 。

设 n = 1。

我们也定义 Trans 递归定义中引入的符号，并将 \(L_{1}\) 写在上标上，以明确这是对 \(L_{1}\) 的应用。

\(\operatorname{Pred}(L_1) = \operatorname{Pred}(M)\) ，因此 \(s_1^{L_1} = s_1\) 且 \(b_1^{L_1} = b_1\) 。取决于 \(M\) 是否满足条件 (III) 或 (IV)， \(L_1\) 满足条件 (I) 或 (III)，或者满足条件 (II) 或 (IV)。 \((D_{M_{1,j-1}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')\) 是 \(c_2\) 的 scb 分解。根据 Trans 的定义， \((D_{M_{1,j-1}}s_1', D_{M_{1,j-2}}0, b_1')\) 是 \(c_2^{L_1}\) 的 scb 分解。因此，

\[ \mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (L_{1}) = s_{1}^{L_{1}} c_{2}^{L_{1}} b_{1}^{L_{1}} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}} 0 b_{1}^{\prime} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \]

设 n > 1。

根据归纳假设，

\[ \mathrm{Trans} (L_{n-1}) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1} \]

\[ { = } { ( s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } ) D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 ( ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } ) } \]

因此，

\[ \begin{array}{l} \operatorname{Trans} (L_{n}) = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-2} s_{1}^{\prime}\right) \operatorname{Trans} (L^{\prime}) ((b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}) \\ { = } { ( s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } ) D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 b_{ 1 }^{ \prime } ( ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } ) } \\ { = } { s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n } 0 ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n } b_{ 1 } } \\ \end{array} \]

(5)

设 n = 1。

由 \(M[n]=\mathrm{Pred}(M)\) ,

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{2} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} b_{1} \\ { = } { s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-1 } t_{ 2 } ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } } \\ \end{array} \]

设 n > 1。

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n}) = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ { = } { ( s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-2 } ) s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 b_{ 1 }^{ \prime } ( ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } ) } \\ = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-2}\right) s_{1}^{\prime} \mathrm{Trans} (L^{\prime}) ((b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}) \\ \end{array} \]

于是

\[ \begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M[n]) = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-2}\right) s_{1}^{\prime} \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N^{\prime})) ((b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}) \\ { = } { ( s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j-1 } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } )^{ n-2 } ) s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } t_{ 2 } ( ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } ) } \\ { = } { s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-1 } t_{ 2 } ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } } \\ \end{array} \]

证毕。

定理 111 条件 (III) 或 (IV) 下的各种 scb 分解。

对于任何 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，设 \(j_{-2} \in \mathbb{N}\) 存在，使得 \((1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)\) ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，设 \(j_{-3} := Adm_M(j_{-2})\) ，设 \(N := (M_j)_{j=j_{-3}}^{j_1}\) ，设 \(N' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1}\) ，设 \(L' := Let(M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_1}, M_{1,j_{-2}}))\) 且令 \(L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_{-2}}+n(M_{0,j_1}-M_{0,j_{-2}}), M_{1,j_{-2}}))\) 。然后，若 \(j_1 > 1\) 且 \(M\) 满足条件 (III) 或 (IV)，且 \(j_{-3} < j_{-1}\) ，则存在唯一的 \((s_0', s_1', s_2', b_2', b_1', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^6\) 使得：

(1) \((s_{0}^{\prime}, Trans(N), b_{0}^{\prime})\) 是 \(Trans(M)\) 的 scb 分解。 (2) \((D_{M_{1,j_- 3}}s_1',c_1,b_1')\) 和 \((D_{M_{1,j_- 3}}s_1',c_2,b_1')\) 分别是Trans(Pred(N))和Trans(N)的scb分解。

(3) \((s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{2}^{\prime})\) 是 \(c_{2}\) 的scb分解。

(4) \((D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})\) 、 \((D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})\) 和 \((D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j-2}}0,b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})\) 分别是 \(Trans(Pred(N^{\prime}))\) 、 \(Trans(N^{\prime})\) 和 \(Trans(L^{\prime})\) 的scb分解。

(5) \(Trans(L_n) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_2'b_1')^n b_0'\) . (6) \(Trans(M[n]) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^{n-1}s_1' c_1b_1'(b_2'b_1')^{n-1}b_0'\) .

证明：

下文中，我们将毫无保留地运用条件 (III) 至 (VI) 下的展开规则的基本性质。

(1)

由于 \(\operatorname{Trans}(N) = \operatorname{Mark}(M, j_{-3})\) ，且 Mark 在 Trans 中的表示成立，因此存在唯一的 \((s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) ，使得 \((s_0', \operatorname{Trans}(N), b_0')\) 是 \(\operatorname{Trans}(M)\) 的 scb 分解。

(2)

由于标准形式的可约性，M 也是可约的。

由于 \(j_{-3} < j_{-1}\) 、scb分解的平凡性准则、Trans最左分量的基本性质以及Mark保持有序关系，存在唯一的 \((s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 且 \((D_{M_{1,j_3}} s_1', c_2, b_1')\) 是 \(\mathrm{Trans}(N)\) 的scb分解。

将 Trans 表示为 Mark 和 Pred，则 \((D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N))\) 的 scb 分解。

(3)

由于最右边 1 个基点处 Mark 的基本性质以及 Mark 的顺序关系, 存在唯一的 \((s_{2}^{\prime}, b_{2}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}\) , 使得 \((s_{2}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{2}^{\prime}) = (s_{2}^{\prime}, \text{Mark}(M, j_{1}), b_{2}^{\prime})\) 是 \(c_{2}\) 的 scb 分解。

(4)

由于 \((1,j_{-3})\leq_M(1,j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)\) 具有强单项式性，且切片可以通过标准形式的直系祖先约化，因此 \(\operatorname {Red}(N)\) 为强单项式。由于可约性与系数之间的关系， \(\operatorname {Red}(N)\) 满足条件(A)和(B)。

令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))\) 。

由于 M 满足条件 (III) 或 (IV), \(M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}\) , 因此 \((1,j_{0}) \leq_{M}(1,j_{1})\) , 即不满足 \((1,j_{0}-j_{-3}) \leq_{N}(1,j_{1}-j_{-3})\) 。由于直接祖先的 Red 不变性, \((1,j_{0}-j_{-3}) \leq_{\mathrm{Red}(N)}(1,j_{1}-j_{-3})\) , 因此 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-j_{-3}\) 。因此, \(J_{1} \geq 0\) 。 \((1,j_{-2}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})\) 和 \((0,j_{0}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})\) , 因此 \((1,j_{-2}-j_{-3}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})\) 和 \((0,j_{0}-j_{-3}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-j_{-3})\) , 以及 \((1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})\) 和 \((0,j_{0}-j_{-3})\) , 因为直接祖先的 Red 不变性 \((1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})\) かつ \((0,j_{0}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-j_{-3})\) 。

由于公差对切片的遗传性， \(\mathrm{Adm}_N(j_{-2}-j_{-3}) = 0\) 且 \(\mathrm{Adm}_N(j_0-j_{-3}) = j_{-1}-j_{-3}\) ；同时由于公差的 Red 不变性， \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3}) = 0\) 且 \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_0-j_{-3}) = j_{-1}-j_{-3}\) 。

\(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3}) = 0\) ，因此 \(j_{-2}-j_{-3}\leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))\) 。 \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_0-j_{-3}) = j_{-1}-j_{-3} > 0\) ，因此 \(j_0-j_{-3}\geq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))\) 。

令 \(m_{0} := \text{Joints}(\text{Red}(N))_{J_{1}}\) 。

令 \(m_{1} := \text{FirstNodes}(\text{Red}(N))_{J_{1}}\) 。

\((1,j_{-2}-j_{-3})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})\) 且 \(j_{-2}-j_{-3}\leq\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))<j_{1}-j_{-3}\) ，因此 \(j_{-2}-j_{-3}\leq m_{0}\) 。

若 \(j_{-2}-j_{-3} = m_0\) ，则表明 \(\operatorname{Red}(N)_{0,m_1} = \operatorname{Red}(N)_{1,m_1}\) ，且 \(\operatorname{Br}(\operatorname{Red}(N))\) 按降序排列。

由于 \(\mathrm{Red}(N)\) 是强单项式，因此 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))\) 是下降的。

由于 P 的每个分量都是非复合的， \((0,0)\leq_{\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}}(0,j_{1}-j_{-3}-m_{1})\) ，因此 \((0,m_{1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})\) 。特别地， \((0,j_{-2}-j_{-3})=(0,m_{0})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,m_{1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})\) 。

由于 \((1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1-j_{-3})\) 和 \((0,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,m_1) \leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_1-j_{-3})\) ，直接祖先的树结构(2)给出 \((1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,m_1)\) 。

由于 \(\operatorname{Red}(N)\) 满足条件 (A) 和 (B), \(j_{-2}-j_{-3} \leq \operatorname{TrMax}(\operatorname{Red}(N))\) , 因此 \(\operatorname{Red}(N)_{0,j_{-2}-j_{-3}} = \operatorname{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-3}}\) 。同样, \(\operatorname{Red}(N)\) 满足条件 (A), 且 \((0, j_{-2}-j_{-3}) <_{\operatorname{Red}(N)}^{\operatorname{Next}}(0, m_1)\) 和 \((1, j_{-2}-j_{-3}) <_{\operatorname{Red}(N)}^{\operatorname{Next}}(1, m_1)\) 得到

\[ \mathrm{Red} (N)_{0, m_{1}} = \mathrm{Red} (N)_{0, j_{- 2}-j_{- 3}}-1 = \mathrm{Red} (N)_{1, j_{- 2}-j_{- 3}}-1 = \mathrm{Red} (N)_{1, m_{1}} \]

从上式可知，“ \(j_{-2}-j_{-3}<m_{0}\) ”或“ \(j_{-2}-j_{-3}=m_{0}\) 且 \(\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,m_{1}}\) 且 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))\) 按降序排列。”

因此， \((D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(N)\) 的scb分解，又由于Trans的(IncrFirst,Red)不变P同质性以及条件(V)下末端段与Trans的关系， \((D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(N^{\prime})\) 的scb分解。

由于 \((1,j_0)\leq_M(1,j_1)\) 不成立，且 \((1,j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)\) 和 \((0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_1)\) ， \(j_{-2} < j_0 < j_1\) 。因此， \(j_1-1-j_{-3}\geq j_0-j_{-3} > j_{-2}-j_{-3}\geq 0\) ， \(\operatorname{Pred}(\operatorname{Red}(N))\) 为强单项式，这是由于 \(\operatorname{Red}(N)\) 对切片的遗传性以及 \(\operatorname{Red}(N)\) 的强单项式性质所致。

\(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3}) = 0\) 且 \(j_{-2}-j_{-3} < j_1-1-j_{-3}\) ，因此 \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{-2}-j_{-3}) = 0\) 。因此， \(j_{-2}-j_{-3} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))\) 。

令 \(J_{0} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))))\) 。

由于 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-j_{-3}\) ， \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))\) ，即 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) \leq j_{1}-1-j_{-3}\) 。

令 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-1-j_{-3}\) 。

由于 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-1-j_{-3}\) ， \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))\) ，特别地， \(j_{-2}-j_{-3} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) < j_{1}-1-j_{-3}\) 。因此， \(J_{0} \geq 0\) 。

\((1,j_{-2}-j_{-3})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})\) ，因此 \((0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})\) ，且 \(j_{-2}-j_{-3}<j_{1}-1-j_{-3}\) 以及直接祖先的树结构(1)， \((0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-1-j_{-3})\) ，即 \((0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(0,j_{1}-1-j_{-3})\) 。

由于 \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3})=0\) 且 \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{0}-j_{-3})=j_{-1}-j_{-3}\) ，因此 \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{-2}-j_{-3})=0\) 且 \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{0}-j_{-3})=j_{-1}-j_{-3}\) 。

\(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{-2}-j_{-3}) = 0\) ，因此 \(j_{-2}-j_{-3}\leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))\) 。 \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))} = j_{-1}-j_{-3} > 0\) ，因此 \(j_0-j_{-3}\geq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))\) 。

令 \(m_{0}^{\prime} := \text{Joints}(\text{Pred}(\text{Red}(N)))_{J_{0}}\) 。

令 \(m_{1}^{\prime} := \text{FirstNodes}(\text{Pred}(\text{Red}(N)))_{J_{0}}\) 。

由于 \((0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Pred(Red}(N))}(0,j_1-1-j_{-3})\) 且 \(j_{-2}-j_{-3}\leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))) < j_1-1-j_{-3}\) ，则 \(j_{-2}-j_{-3}\leq m_0^\prime\) 。

如果 \(j_{-2}-j_{-3} = m_0'\) ，则 \(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{0,m_1'} = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{1,m_1'}\) ，且 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))\) 为下降矩阵。

由于 Pred(Red(N)) 为强单项矩阵，因此 Br(Pred(Red(N))) 为下降矩阵。

由于Pred表示为[1]，且 \(P\) 与基本列具有关系 \(J_{1}-1\leq J_{0}\leq J_{1}\) ，由于FirstNodes和Joints的单调性，

\[ \begin{array}{l} m_{0} = \mathrm{Joints} (\mathrm{Red} (N))_{J_{1}} \leq \mathrm{Joints} (\mathrm{Red} (N))_{J_{0}} = \mathrm{Joints} (\mathrm{Pred} (\mathrm{Red} (N)))_{J_{0}} = m_{0}^{\prime} \\ m_{1} = \mathrm{FirstNodes} (\mathrm{Red} (N))_{J_{1}} \geq \mathrm{FirstNodes} (\mathrm{Red} (N))_{J_{0}} = \mathrm{FirstNodes} (\mathrm{Pred} (\mathrm{Red} (N)))_{J_{0}} = m_{1}^{\prime} \\ \end{array} \]

\(j_{-2}-j_{-3}=m_{0}^{\prime}\) 且 \(j_{-2}-j_{-3}\leq m_{0}\leq m_{0}^{\prime}\) ，因此 \(j_{-2}-j_{-3}=m_{0}=m_{0}^{\prime}\) ，从而 \(\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,m_{1}}\) 且 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))\) 按降序排列。 \(\mathrm{Red}(N)\) 满足条件 (A)，因此 \(\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}^{\prime}}=\mathrm{Red}(N)_{0,m_{0}^{\prime}}+1=\mathrm{Red}(N)_{0,m_{0}}+1=\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}}\) 。

由于 \(m_1' \leq m_1\) 且 \(\mathrm{Red}(N)_{0,m_1'} = \mathrm{Red}(N)_{0,m_1}, \mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))\) 按降序排列，因此 \(\mathrm{Red}(N)_{1,m_1'} \geq \mathrm{Red}(N)_{1,m_1} = \mathrm{Red}(N)_{0,m_1} = \mathrm{Red}(N)_{0,m_1'}\) 。另一方面，由于可约性和系数的基本性质， \(\mathrm{Red}(N)_{0,m_1'} \geq \mathrm{Red}(N)_{1,m_1'}\) ，因此 \(\mathrm{Red}(N)_{0,m_1'} = \mathrm{Red}(N)_{1,m_1'}\) ，即 \(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))(N)_{0,m_1'} = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{1,m_1'}\) 。

从上式可知，“ \(j_{-2}-j_{-3}<m_{0}^{\prime}\) ”或“ \(j_{-2}-j_{-3}=m_{0}^{\prime}\) 且 \(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{0,m_{1}^{\prime}}=\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{1,m_{1}^{\prime}}\) 且 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))\) 按降序排列。”

因此， \((D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N))\) 的scb分解，而由Trans的(IncrFirst,Red)不变P等变性、Red与Pred的交换性、以及在条件(V)下末端段与Trans的关系可知， \((D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N^{\prime}))\) 的scb分解。

令 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_{1}-1-j_{-3}\) 。

\(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_1-1-j_{-3}\) 。因此， \((D_{M_{1,j_{-3}}}s_1', c_1, b_1')\) 是 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N))\) 的 scb 分解，且由于 Red 与 Pred 的交换性，Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，以及具有公差 (1,1) 的对序列 Trans 的基本性质， \((D_{M_{1,j_{-2}}}s_1', c_1, b_1')\) 是 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N'))\) 的 scb 分解。

由上可知，在两种情况下， \((D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})\) 都是 \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N^{\prime}))\) 的 scb 分解。

根据 scb 分解的复合律， \((D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(N^{\prime})\) 的 scb 分解。根据 \(L_{j_{1}-j_{-2}}^{\prime}=(M_{0,j_{1}},M_{1,j_{-2}})=(N_{0,j_{1}-j_{-2}}^{\prime},N_{1,0}^{\prime}),\quad j_{-2}<j_{0}\) ，且在条件 (III) 至 (V) 下，右端代换与 Trans 的关系， \((D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j-2}}0,b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})\) 为 \(\mathrm{Trans}(L^{\prime})\) 的 scb 分解。

(5)

\(s_{1}c_{2}b_{1}=\mathrm{Trans}(M)=s_{0}^{\prime}\mathrm{Trans}(N)b_{0}^{\prime}=s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime}c_{2}b_{1}^{\prime}b_{0}^{\prime}\) ，因此，由scb分解的唯一性（1）可知， \(s_{1}=s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime}\) 且 \(b_{1}=b_{1}^{\prime}b_{0}^{\prime}\) 。

我们利用数学归纳法证明， \(\mathrm{Trans}(L_n) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_2'b_1')^nb_0'\) 。

令 n = 1。

因为 \(\operatorname{Pred}(L_1) = \operatorname{Pred}(M)\) , 根据 Trans 的定义, \(s_1^{L_1} = s_1\) 且 \(b_1^{L_1} = b_1\) , 且 \((s_2', D_{M_{1,j-2}}0, b_2') = (s_2', \operatorname{Mark}(L_1, j_1), b_2')\) 是 \(c_2^{L_1}\) 的 scb 分解,

\[ \mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (L_{1}) = s_{1}^{L_{1}} c_{2}^{L_{1}} b_{1}^{L_{1}} = s_{1} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}} 0 b_{2}^{\prime} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}} 0 b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime} b_{0}^{\prime} \]

\[ = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} \]

令 n > 1。

根据归纳假设，

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n-1}) = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n-1} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{0}^{\prime} \\ = (s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n-2} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime}) D_{M_{1, j-2}} 0 ((b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{0}^{\prime}) \\ \end{array} \]

因此，

\[ \begin{array}{l} \operatorname{Trans} \left(L_{n}\right) = \left(s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} \left(s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}}\right)^{n-2} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime}\right) \operatorname{Trans} \left(L^{\prime}\right) \left(\left(b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime}\right)^{n-1} b_{0}^{\prime}\right) \\ { = } { s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-3 } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } 0 b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime }} \\ = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} \\ \end{array} \]

(6)

设 n=1。

\[ M[n] = \operatorname{Pred} (M), \]

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{2} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} s_{1}^{\prime} c_{1} b_{1}^{\prime} b_{0}^{\prime} \\ { = } { s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-3 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-1 } s_{ 1 }^{ \prime } c_{ 1 } b_{ 1 }^{ \prime } ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime }} \\ \end{array} \]

令 n > 1。

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n}) = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} \\ { = } { ( s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-3 } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } ) D_{ M_{ 1 , j-2 } } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } 0 b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } ( ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime } ) } \\ { = } { ( s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-3 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } ) \mathrm{Trans} ( L^{ \prime } ) ( ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime } ) } \\ \end{array} \]

我们有

\[ \begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M[n]) = \left(s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} \left(s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}}\right)^{n-2} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime}\right) \operatorname{Trans} \left(\operatorname{Pred} \left(N^{\prime}\right)\right) \left(\left(b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime}\right)^{n-1} b_{0}^{\prime}\right) \\ = (s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-2} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime}) D_{M_{1, j_{- 2}}} s_{1}^{\prime}, c_{1}, b_{1}^{\prime} ((b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{0}^{\prime}) \\ { = } { s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-3 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-1 } s_{ 1 }^{ \prime } c_{ 1 } b_{ 1 }^{ \prime } ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime }} \\ \end{array} \]

证毕。

定理 112 条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质。

对于任意 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，使用 Trans 递归定义中引入的符号，如果存在唯一的 \(j_{-2} \in \mathbb{N}\) 使得 \((1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)\) ，则若 \(j_1 > 1\) 且 \(M\) 满足条件 (III) 或 (IV)[80]，则有：

(1) \(M[n] = M[n+1][1]^{j_1-j_{-2}}\) 。 (2) \(Trans(M)[n-1] = Trans(M[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}})\) 。 (3) 存在某个 \((s', c_{1}', c_{2}', b') \in (\Sigma^{<\omega})^{4}\) 使得:

(3-1) \(c_{1}^{\prime}\) 和 \(c_{2}^{\prime}\) 是单项式，并且 \(c_{1}^{\prime} < c_{2}^{\prime}\) 。

(3-2) \((s', c_1', b')\) 是 \(Trans(M[n])\) 的 \(scb\) 分解。

(3-3) \((s', c_2', b')\) 是 \(Trans(M)[n]\) 的 \(scb\) 分解。

证明：

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A)， \(M_{1,j-2} = M_{1,j_1}-1\) 。

由于 M 满足条件 (III) 或 (IV)， \(M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}\) ，因此 \((1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 并非成立，因此 \(j_{-2} < j_{0}\) 。

令 \(j_{-3} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})\) 。

令 \(N := (M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}\) 。

设 \(N' := (M_{j})_{j=j-2}^{j_{1}}\) 。

\[ L^{\prime} := (M_{j})_{j = j_{- 2}}^{j_{1}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{0, j_{1}}, M_{1, j_{- 2}})\right) 。 \]

设 \(L_{n} := M[n] \oplus_{N^{2}} ((M_{0,j_{-2}}+n(M_{0,j_{1}}-M_{0,j_{-2}}), M_{1,j_{-2}}))\) 。

由于 Pred 表示为[1],

\[ L_{n} = \mathrm{Pred}^{j_{1}-1-j_{- 2}} (M[n+1]) = M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{- 2}} \]

\[ M[n] = \mathrm{Pred} (L_{n}) = M[n+1][1]^{j_{1}-j_{- 2}} \]

令 \(j_{-3} = j_{-1}\) 。

在 \(j_{-2} < j_{0}\) 以及条件 (III) 至 (V) 下的各种 scb 分解下，存在一个 \((s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}\) 使得：

(1) \((D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(c_{2}\) 的scb分解。 (4) \(\mathrm{Trans}(L_n) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^n0(b_1^{\prime})^nb_1\) 。 (5) Trans(M[n]) = \(s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^{n-1}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n-1}b_{1}\) 。

证明 \(s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}\) 且 \(s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime} > t_2\) 。

如果 M 满足条件 (III)，则 \(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)\) 蕴涵 \(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\in T_{B}\) ，因此 \(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}>t_{2}\) 。

假设 M 满足条件 (IV)。

如果 \(t_2\) 最右边单项分量的左端是 \(D_{M_{1,j_0}}\) ，则 \(t_2 = t_3+D_{M_{1,j_0}}t_4 < t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_2}}0)\) 。

如果 \(t_2\) 最右边单项分量的左端不是 \(D_{M_{1,j_0}}\) ，则 \(t_2 = t_3 < t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_-2}}0)\) 。

因此，在两种情况下， \(t_{2}<t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{-2}}}0)\) 。

\(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=c_{2}=D_{v}(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0))\) ，所以 \(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0)\in T_{B}\) 。因此，由于加法和scb分解之间的关系， \(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}}0b_{1}^{\prime}=t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j-2}}0)\in T_{B}\) 。

另外，由于在条件 (II) 或 (IV) 下 \(t_2\) 不为 0， \(t_2 > 0\) ，因此 \(D_{M_{1,j-2}} t_2 > D_{M_{1,j-2}} 0\) 。因此，根据子表达式不等式的可扩展性，

\[ s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}} t_{2} b_{1}^{\prime} > s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}} 0 b_{1}^{\prime} = t_{3}+D_{M_{1, j_{0}}} \left(t_{4}+D_{M_{1, j_{- 2}}} 0\right) > t_{2} \]

令 n = 1。

令 \(s' := s_{1}\) 。

令 \(c_{1}^{\prime} := c_{1}\) 。

令 \(c_{2}^{\prime} := c_{2}\) 。

\(c_{1}\) 和 \(c_{2}\) 之间的量级关系意味着 \(c_{1}^{\prime}\) 和 \(c_{2}^{\prime}\) 是单项的，且 \(c_{1}^{\prime} < c_{2}^{\prime}\) 。

令 n > 1。

令 \(s' := s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}'D_{M_{1,j-2}})^{n-2}s_{1}'\) 。

令 \(c_{1}^{\prime} := D_{M_{1,j-2}} t_{2}\) 。

令 \(c_{2}^{\prime} := D_{M_{1,j-2}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1,j-2}} t_{2} b_{1}^{\prime}\) 。

由于 \(s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}\) ，根据定义， \(c_{1}^{\prime}\) 和 \(c_{2}^{\prime}\) 是单项的。由于 \(t_2 < s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime},\) \(c_{1}^{\prime} = D_{M_{1,j-1}}t_{2} < D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_{2}b_{1}^{\prime} = c_{2}^{\prime}\) 。

令 \(b' := (b_{1}')^{n-1} b_{1}\) 。

根据定义， \((s',c_{1}',b')\) 和 \((s',c_{2}',b)\) 分别是 \(\mathrm{Trans}(M[n])\) 和 \(\mathrm{Trans}(L_{n})\) 的 scb 分解。

从 Mark 用 Trans 表示可知， \(\mathrm{Trans}((M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}})=c_{2}=D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}\) ，因此，从 Trans 与条件 (III) 至 (VI) 下的 scb 分解的关系可知， \((s_{1},D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime},b_{1})\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)\) 的 1 scb 分解。因此，由 scb 分解与基本列（2）的关系可知，

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M)[n-1] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{1}}-1})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ = \mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{- 2}}) \\ \end{array} \]

因此， \((s',c_{2}',b')\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)[n-1]\) 的scb分解。

设 \(j_{-3} < j_{-1}\) 。

根据条件 (III) 或 (IV) 下的各种 scb 分解，存在 \((s_{0}^{\prime}, s_{1}^{\prime}, s_{2}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{1}^{\prime}, b_{0}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{6}\) 满足：

(1) \((s_0', \mathrm{Trans}((M_j)_{j = j-3}^{j_1}), b_0')\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)\) 的 scb 分解。 (2) \((D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}((M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}})\) 的scb分解。 (3) \((s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{2}^{\prime})\) 是 \(c_{2}\) 的scb分解。 (5) \(\mathrm{Trans}(L_n) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_2'b_1')^nb_0'\) . (6)Trans(M[n]) = \(s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j_{-3}}}(s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime}D_{M_{1,j_{-2}}})^{n-1}s_{1}^{\prime}c_{1}b_{1}^{\prime}(b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})^{n-1}b_{0}^{\prime}\) 。令 \(s^{\prime} := s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j_{-3}}}(s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime}D_{M_{1,j_{-2}}})^{n-1}s_{1}^{\prime}\) 。 令 \(c_{1}^{\prime} := c_{1}\) 。

令 \(c_{2}^{\prime} := c_{2}\) 。

令 \(b' := (b_{2}'b_{1}')^{n-1}b_{0}'\) 。

由于 \(c_{1}\) 和 \(c_{2}\) 之间存在量级关系， \(c_{1}^{\prime}\) 和 \(c_{2}^{\prime}\) 均为单项矩阵，且 \(c_{1}^{\prime} < c_{2}^{\prime}\) 。

根据定义， \((s',c_{1}',b')\) 和 \((s',c_{2}',b')\) 分别是 \(\mathrm{Trans}(M[n])\) 和 \(\mathrm{Trans}(L_{n})\) 的 scb 分解。

由 Trans 与条件 (III) 至 (VI) 下的 scb 分解的关系可知， \((s_{0}^{\prime}, \text{Trans}((M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}), b_{0}^{\prime}) = (s_{0}^{\prime}, D_{M_{1,j-3}} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1,j_{1}}} 0 b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime}, b_{0}^{\prime})\) 为 Trans(M) 的第一类 scb 分解。因此，由 scb 分解与基本列（2）的关系可知，

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M)[n-1] = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{1}}-1})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} \\ = \mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{- 2}}) \\ \end{array} \]

因此， \((s',c_{2}',b')\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)[n-1]\) 的scb分解。

证毕。

现在，让我们回到正题。

在条件 (III) 或 (IV) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

(1) 由于 Pred \((M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{-2}})=M[n+1][1]^{j_{1}-j_{-2}}\) ，因此，由 Pred 关于 Trans 的下降性质以及条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质 (1) 和 (2) 可知。 (2) 由于 \(M\) 是单项的，Trans 保留零项性质，因此 \(\operatorname{Trans}(M) \neq 0\) 。这直接由 (1)、 \(\operatorname{Trans}(M) \neq 0\) 和[Buc1] 引理 3.2 得出。 （3）这是根据 Pred 记为[1]、Pred 相对于 Trans 的下降性质，以及条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质 (2) 得出的。证毕。

证毕。

定理 113 条件 (V) 下 Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 \(j_0\) 是 \(M\) 容许的，则 \(m_n := n-1\) ；如果 \(j_0\) 不是 \(M\) 容许的，则如果 \(j_1 > 1\) 且 \(M\) 满足条件 \((V)\) ，则如下结论成立：

(1) \(Trans(M[n]) \leq Trans(M)[m_n]\) 。 (2) \(Trans(M[n]) < Trans(M)\) 。 (3) \(\text{Trans}(M)[m_{n}] \leq \text{Trans}(M[n+1])\) 。

我们提出一些引理，作为在条件 (V) 下证明 Trans 与基本列之间交换关系的初步尝试。

定理 114 在条件 (V) 下，Joints、FirstNodes 和 \(t_{2}\) 的基本性质。

对于任意 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) , 使用 Trans 递归定义中引入的符号, 设 \(N := (M_j)_{j=j-1}^{j_1}\) 且 \(J_1 := Lng(Br(Red(N))))-1\) , 则若 \((1, j_0) < _M^{Next}(1, j_1)\) 且 \(j_0\) 不满足 \(M\) 条件, 且 \(j_0 < j_1-1\) , 则以下成立:

(1) \(J_{1} \geq 0\) 且 \(j_{0}-j_{-1} = \text{Joints}(Red(N))_{J_{1}}\) 且 \(FirstNodes(Red(N))_{J_{1}} = j_{1}-j_{-1}\) 。 (2) \(Red(N)_{0,j_1-j_-1} = Red(N)_{1,j_1-j_-1} \circ\) (3) \(t_2\) 的每个单项式分量都大于或等于 \(D_{M_{1,j_1}}0\) 。

证明：

由于标准形式的约化性，M 是约化的。由于 \(j_{0} < j_{1}-1, j_{1} > j_{0}+1 \geq 1\) ，所以 \(\mathrm{Pred}(M)\) 不是零项。特别地，由于 Trans 保持零项性质， \(t_{1} \neq 0\) 。

因此，条件 (I) 至 (VI) 对 M 有意义。

由于约化性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。M 满足条件 (A)，且 \((0, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(0, j_{1})\) 和 \((1, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1, j_{1})\) ，所以 \(M_{0,j_{0}} = M_{0,j_{1}}-1\) 且 \(M_{1,j_{0}} = M_{1,j_{1}}-1\) 。因此，M 满足条件 (V)。

设 \(N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}\) 。

由于标准形式中通过直系祖先减少切片具有强单项式性质，因此 \(\operatorname{Red}(N)\) 也是强单项式的。

从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性、Mark 在最右边 2 个基点的基本性质以及 Mark 用 Trans 表示可知，

\[ D_{v} (t_{2}+D_{M_{1, j_{1}}} 0) = c_{2} = \mathrm{Mark} (M, j_{- 1}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) \]

令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))-1\) 。

\((1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 且 \(j_{0}<j_{1}-1\) ，所以 \((1,j_{1}-1)<_{M}(1,j_{1})\) 不成立。因此，根据最右边不可接受直系祖先的基本性质， \(J_{1}\geq0\) 且 \(0<j_{0}-j_{-1}<\operatorname{TrMax}(\operatorname{Br}(\operatorname{Red}(N)))\) 且 \(j_{0}-j_{-1}=\operatorname{Joints}(\operatorname{Red}(N))_{J_{1}}\) 且 FirstNodes( \(\operatorname{Red}(N)=j_{1}-j_{-1}\) 。

对于任意 \(i \in 0,1\) ， \((i,j_0-j_{-1}) < _N^{\text{Next}}(i,j_1)\) 蕴涵 \((i,j_0-j_{-1}) < _N^{\text{Next}}(i,j_1-j_{-1})\) ，且根据直系祖先的 Red 不变性， \((i,j_0-j_{-1}) < _{\text{Red}(N)}^{\text{Next}}(i,j_1-j_{-1})\) 。

根据可约性与系数的关系， \(\mathrm{Red}(N)\) 满足条件 (A) 和 (B)。由于 \(\mathrm{Red}(N)\) 满足条件 (A) 和 (B) 且 \(j_0-j_{-1} < \mathrm{TrMax}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))\) ，因此 \(\mathrm{Red}(N)_{0,j_0-j_{-1}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_0-j_{-1}}\) ，又由于 \(\mathrm{Red}(N)\) 满足条件 (A) 且 \((0,j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_1-j_{-1})\) 和 \((1,j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1-j_{-1})\)

\[ \mathrm{Red} (N)_{0, j_{1}-j_{- 1}} = \mathrm{Red} (N)_{0, j_{0}-j_{- 1}}+1 = \mathrm{Red} (N)_{1, j_{0}-j_{- 1}}+1 = \mathrm{Red} (N)_{1, j_{1}-j_{- 1}} \]

由于 \(0 < j_0-j_{-1} < \mathrm{TrMax}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))\) 且 \(\mathrm{Red}(N)_{0,j_1-j_{-1}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_1-j_{-1}},\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N)) = D_v(t_2+D_{M_{1,j_1}}0)\) 及强单项式性质下子表示的单项式分量的基本性质， \(t_2+D_{M_{1,j_1}}0\) 的每个单项式分量均大于等于 \(D_{\mathrm{Red}(N)_{1,j_1-j_{-1}}}0\) 。

根据直系祖先的切片以及 Red 与 IncrFirst 的关系， \(\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}} = M_{1,j_{1}}\) ，因此 \(t_{2}\) 的每个单项式分量均大于等于 \(D_{M_{1,j_{1}}}0\) 。

证毕。

定理 115 条件 (V) 下的各种 scb 分解。

对于任意 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，利用 Trans 递归定义中引入的符号，设 \(N' := (M_j)_{j=j_0}^{j_1}\) ，设 \(L' := (M_j)_{j=j_0}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_1}, M_{1,j_0}))\) ，设 \(L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_0} +\)

\(n(M_{0,j_{1}}-M_{0,j_{0}}),M_{1,j_{0}})\) ，若 \(j_{1}>1\) ，且 M 满足条件 (V)，且 \(j_{0}\) 为非 M 可接受的，则存在唯一的 \((s_{1}^{\prime},b_{1}^{\prime})\in(\Sigma^{<\omega})^{2}\) 使得：

(1) \((D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(c_{2}\) 的scb分解。 (2) \((D_{M_{1,j_0}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')\) 和 \((D_{M_{1,j_0}}s_1', D_{M_{1,j_0}}0, b_1')\) 分别是 \(Trans(N')\) 和 \(Trans(L')\) 的 \(scb\) 分解。 (3) \(Trans(Pred(N')) = D_{M_{1,j_0}}t_2\) 。 (4) \(Trans(L_{n}) = s_{1}D_{M_{1,j_{-1}}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n+1}0(b_{1}^{\prime})^{n+1}b_{1}\circ\) (5) \(Trans(M[n]) = s_1D_{M_{1,j_{- 1}}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}})^{n}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}\circ\)

证明：

下文中，我们将毫无保留地运用条件 (III) 至 (VI) 下展开规则的基本性质。

由于 M 满足条件 (V)， \(M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}\) 。因此， \((1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 。根据条件 (III) 至 (V) 下切片的 scb 分解，存在唯一的 \((s_{1}', b_{1}') \in (\Sigma^{<\omega})^{2}\) 满足：

(1) \((D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(c_{2}\) 的scb分解。 (2) \((D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(N^{\prime})\) 的scb分解。 (3) \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N')) = D_{M_{1,j_0}}t_2\) 。

由上式可知 (1) 和 (3)。

(2)

设 \(N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}\) 。

由于 \(\mathrm{Red}(N)\) 是强单项式，这是由于标准形式的直系祖先函数对切片约化的强单项式性质所致，因此 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))\) 为降序。

由右边第二个基点处 Mark 的基本性质, 以及 Mark 关于 Trans 的表示可知, \(\mathrm{Trans}(N)=\mathrm{Mark}(M,j_{-1})=c_{2}\) ，因此 \((D_{M_{1,j_{-1}}}s_{1}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{1}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(N)\) 的 scb 分解。

令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))))-1\) 。

由于 \(M\) 满足条件 (V)， \(j_0+1 < j_1\) ，即 \(j_0 < j_1-1\) 。因此，由条件 (V) 下 Joints、FirstNodes 和 \(t_2\) 的基本性质可知：

(1) \(J_{1} \geq 0\) 且 \(j_{0}-j_{-1} = \mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}\) 且 \(\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}} = j_{1}-j_{-1}\) 。 (2) \(\operatorname{Red}(N)_{0,j_1-j_{-1}} = \operatorname{Red}(N)_{1,j_1-j_{-1}}\) 。

由于 \(\mathrm{Red}(N)_{0,j_{1}-j_{-1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}-j_{-1}}\) 且 \(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))\) 为降序，因此 \((D_{M_{1,j_{-1}}}s_{1}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{1}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(N)\) 的 scb 分解，又由于条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系，因此 \((D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{1}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(N^{\prime})\) 的 scb 分解。

由于 \((1,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_1)\) 且 \(L_{j_1-j_0}' = (M_{0,j_1},M_{1,j_0}) = (N_{0,j_1-j_0}',N_{1,0}')\) ，因此 \((D_{M_{1,j_0}}s_1',D_{M_{1,j_1}}0,b_1')\) 是 \(\operatorname {Trans}(N')\) 的scb分解。另外，由于条件(III)至(V)下右端代换与Trans之间的关系，因此 \((D_{M_{1,j_0}}s_1',D_{M_{1,j_0}}0,b_1')\) 是 \(\operatorname {Trans}(L')\) 的scb分解。

(4)

由于标准形式的可约性，M 可约。由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。M 满足条件 (A)，且 \((0,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})\) 和 \((1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) ，因此 \(M_{0,j_{0}}=M_{0,j_{1}}-1\) ， \(M_{1,j_{0}}=M_{1,j_{1}}-1\) 。

我们利用关于 n 的数学归纳法证明， \(\mathrm{Trans}(L_{n})=s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{2n}0(b_{1}^{\prime})^{2n}b_{1}\) 。

设 n = 1。

Trans 的递归定义中引入的符号也适用于 \(L_{1}\) ，为了清楚地表明这是对 \(L_{1}\) 的应用，我们将 \(L_{1}\) 写为 \(L_{1}\) ，并在其右侧加上 \(L_{1}\) 。

根据 \(L_{1}\) 的定义，对 \(\leq_{L_1}\) 和 \(\leq_M\) 的限制与对 \((\{0,1\} \times \mathbb{N})\setminus \{(1,j_1)\}\) 的限制相同。 \(j_1^{J_1} = j_1\) 且由于 \((0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_1),(0,j_0) < _L^{\mathrm{Next}}(0,j_1) = (0,j_1^{L_1}),j_0^{L_1} = j_0\) 且 \((L_{1})_{1,j_{0}^{L_{1}}} = (L_{1})_{1,j_{0}} = M_{1,j_{0}} = (L_{1})_{1,j_{1}} = (L_{1})_{1,j_{1}^{L_{1}}}\) 。

\(j_{-1}^{L_1} = j_{-1}\) ，且由于 \(j_0\) 不是 \(M\) 可接受的， \(j_0^{L_1} = j_0 > j_{-1} = j_{-1}^{L_1}\) ，所以 \(j_0^{L_1}\) 不是 \(L_{1}\) 可接受的。

\(\operatorname{Pred}(L_1) = \operatorname{Pred}(M)\) ，因此 \(t_1^{L_1} = t_1 \neq 0\) 、 \(c_1^{L_1} = c_1\) 、 \(t_2^{L_1} = t_2\) 、 \(s_1^{L_1} = s_1\) ，且 \(b_1^{L_1} = b_1\) 。由于 \(t_1^{L_1} \neq 0\) ，条件 (I) 至 (VI) 对 \(L_1\) 有意义。

由于 M 不满足条件 (VI) 且 \(j_{0}\) 不为 M 可接受，因此 \(L_{1}\) 满足条件 (II) 或 (IV)。

根据 Mark 左端的基本性质， \(v^{L_{1}}=(L_{1})_{1,j_{-1}^{L_{1}}}=M_{1,j_{-1}}\) 。

由于 \((1,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_1)\) 且 \(j_0\) 不是 \(M\) 容许的，且 \(j_0 < j_1-1\) ，根据条件 (V) 下Joints、FirstNodes和 \(t_2\) 的基本性质， \(t_2\) 的每个单例分量均大于或等于 \(D_{M_{1,j_1}}0\) 。此外，由于 \((L_1)_{1,j_0^{L_1}} = M_{1,j_0} = M_{1,j_1}-1 < M_{1,j_1}\) ，因此 \(t_2^{L_1} = t_2\) 的最右边单例分量的最左边分量不为 \(D_{(L_1)_{1,j_0^{L_1}}}\) 。因此， \(t_3^{L_1} = t_2^{L_1} = t_2\) 且 \(t_4^{L_1} = t_2^{L_1} = t_2\) ，且

\[ c_{2}^{L_{1}} = D_{v^{L_{1}}} (t_{3}^{L_{1}}+D_{(L_{1})_{1, j_{0}^{L_{1}}}} (t_{4}^{L_{1}}+D_{(L_{1})_{1, j_{1}^{L_{1}}}} 0)) = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0)) \]

\((D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)\) 的scb分解,因此 \((D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)\) 的scb分解。

从加法和 scb 分解的关系可知， \((D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{0}}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+(D_{M_{1,j_{0}}}0)\) 的 scb 分解，而 \((D_{M_{1,j_{-1}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}}0b_{1}^{\prime},b_{1}^{\prime})\) 是 \(c_{2}^{L_{1}}=D_{M_{1,j_{-1}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}})0))\) 的 scb 分解。

由上式可知，

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (L_{1}) = s_{1}^{L_{1}} c_{2}^{L_{1}} b_{1}^{L_{1}} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} 0 b_{1}^{\prime} b_{1}^{\prime} b_{1} \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} \\ \end{array} \]

令 n > 1。

由归纳推理假设，

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n-1}) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ = (s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}) D_{M_{1, j_{0}}} 0 ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ \end{array} \]

因此，

\[ \begin{array}{l} \operatorname{Trans} (L_{n}) = (s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}) \operatorname{Trans} (L^{\prime}) ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} 0 b_{1}^{\prime} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} \\ \end{array} \]

设 n = 1。

\(M[n]=\mathrm{Pred}(M)\) ，因此

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{2} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} b_{1} \]

\[ { = } s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{ 0 } } } )^{ 2 n-2 } t_{ 2 } ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ 2 n-2 } b_{ 1 } \]

令 n > 1。

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n}) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} \\ = (s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}) D_{M_{1, j_{0}}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} 0 b_{1}^{\prime} ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}\right) \mathrm{Trans} (L^{\prime}) ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ \end{array} \]

于是

\[ \begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M[n]) = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} \left(s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}}\right)^{n-1} s_{1}^{\prime}\right) \operatorname{Trans} \left(\operatorname{Pred} \left(N^{\prime}\right)\right) \left(\left(b_{1}^{\prime}\right)^{n} b_{1}\right) \\ = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}\right) D_{M_{1, j_{0}}} t_{2} ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ \end{array} \]

证毕。

定理 116 条件 (V) 下基本列的 scb 分解。

对于任意 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，使用 Trans 递归定义中引入的符号，如果 \(j_0\) 满足 \(M\) 容许，则 \(m_n := n-1\) ；如果 \(j_0\) 不满足 \(M\) 容许，则如果 \(j_1 > 1\) 且 \(M\) 满足条件 \((V)\) ，则存在唯一的 \(u \in \mathbb{N}\) 、 \((s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 和 \(t' \in T_B\) 满足：

(1) \((s_{0}^{\prime},D_{u}t_{2},b_{0}^{\prime})\) 是 \(Trans(M[n])\) 的scb分解。 (2) \((s_0', D_u(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b_0')\) 是 \(Trans(M)[m_n]\) 的 \(scb\) 分解。 (3) \((s_0', D_u(t_2+D_{M_{1,j_0}}t'), b_0')\) 是 \(Trans(M[n+1])\) 的 \(scb\) 分解。

证明：

由于 M 满足条件 (V)， \(M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}\) 。因此， \((1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 。

证明对于任何 \((s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) ，如果 \((D_{M_{1,j-1}} s_1', D_{M_{1,j_1}} 0, b_1')\) 是 \(c_2\) 的 scb 分解，则 \(\mathrm{Trans}(M)[m_n] = s_1 D_{M_{1,j-1}} (s_1' D_{M_{1,j_0}})^{m_n+1} 0(b_1')^{m_n+1} b_1\) 且对于任何 \(t' \in T_B\) ， \(s_1' D_{M_{1,j_0}} t'b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}} t'\) 。

由条件(III)至(VI)下 Trans 与 scb 分解的关系可知, \((s_{1},c_{2},b_{1})=(s_{1},D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime},b_{1})\) 为 Trans(M) 的第一类 scb 分解，又由 scb 分解与基本列（2）的关系可知，

\[ \mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{1}}}-1)^{m_{n}+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{m_{n}+1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{m_{n}+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{m_{n}+1} b_{1} \]

\(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)\) ，因此 \(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\) 。因此，根据加法和scb分解之间的关系， \(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}t^{\prime}=s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}}t^{\prime}b_{1}^{\prime}\) 。

假设 \(j_{0}\) 是 M 可接受的。

通过条件 (III) 至 (V) 下的各种 scb 分解，存在唯一的 \((s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}\) 满足：

(1) \((D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(c_{2}\) 的scb分解。 (5) \(\mathrm{Trans}(M[n]) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}})^{n-1}t_2(b_1^{\prime})^{n-1}b_1\) 。 (5) 'Trans(M[n+1]) = \(s_1 D_{M_{1,j-1}} (s_1' D_{M_{1,j_0}})^n t_2 (b_1')^n b_1\) 。

令 n = 1。

令 \(u := M_{1,j-1}\) 。

令 \(s_{0}^{\prime} := s_{1}\) 。

令 n > 1。

令 \(u := M_{1,j_{0}}\) 。

令 \(s_0' := s_1 D_{M_{1,j-1}}(s_1' D_{M_{1,j_0}})^{n-2} s_1'\) 。

令 \(b_{0}^{\prime} := (b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}\) 。

令 \(t' := t_{2}\) 。

如前所述， \(\mathrm{Trans}(M)[m_n] = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1'D_{M_{1,j_0}})^{m_n+1}0(b_1')^{m_n+1}b_1\) 且 \(s_1'D_{M_{1,j_0}}0b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}}0\) 且 \(s_1'D_{M_{1,j_0}}t'b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}}t'\) 。因此

\[ \operatorname{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} \left(s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}}\right)^{n-1} t_{2} \left(b_{1}^{\prime}\right)^{n-1} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{u} t_{2} b_{0}^{\prime} \]

\[ \mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{u} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) b_{0}^{\prime} \]

\[ \mathrm{Trans} (M[n+1]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{u} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} t^{\prime}) b_{0}^{\prime} \]

假设 \(j_{0}\) 不满足 M 容许条件。

在条件 (V) 下，存在唯一的 \((s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}\) 满足以下条件：

(1) \((D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(c_{2}\) 的scb分解。

(5) Trans(M[n]) = \(s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}\) 。

(5) 'Trans(M[n+1]) = \(s_1 D_{M_{1,j-1}}(s_1' D_{M_{1,j_0}})^{n+1} t_2(b_1')^{n+1} b_1\) 。

令 \(u := M_{1,j_{0}}\) 。

令 \(s_0' := s_1 D_{M_{1,j-1}}(s_1' D_{M_{1,j_0}})^{n-1} s_1'\) 。

设 \(b_{0}^{\prime} := (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}\) 。

设 \(t_{0}^{\prime} := t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}} t_{2}\) 。

如前所述， \(\mathrm{Trans}(M)[m_n] = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1'D_{M_{1,j_0}})^{m_n+1}0(b_1')^{m_n+1}b_1\) 且 \(s_1'D_{M_{1,j_0}}0b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}}0\) 且 \(s_1'D_{M_{1,j_0}}t_2b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}}t_2 = t'\) 。因此

\[ \operatorname{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} \left(s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}}\right)^{n} t_{2} \left(b_{1}^{\prime}\right)^{n} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{u} t_{2} b_{0}^{\prime} \]

\[ \mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) b_{0}^{\prime} \]

\[ \mathrm{Trans} (M[n+1]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+2} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n+2} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} t_{0}^{\prime}) b_{0}^{\prime} \]

证毕。

现在，让我们回到正题。

在条件 (V) 下，证明 Trans 与基本列的交换关系:

由于 \(M\) 是单项的，Trans 保留零终端性，因此 \(\operatorname{Trans}(M) \neq 0\) 。因此，(2) 可由 (1) 和[Buc1] 引理 3.2 直接得出。下面，我们给出 (1) 和 (3) 的证明。

在条件 (V) 下, 通过基本列的 scb 分解, 存在唯一的 \(u \in \mathbb{N}\) 、 \((s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 和 \(t' \in T_{\mathrm{B}}\) 满足:

(1) \((s_{0}^{\prime},D_{u}t_{2},b_{0}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(M[n])\) 的scb分解。 (2) \((s_0', D_u(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b_0')\) 是 \(\operatorname{Trans}(M)[m_n]\) 的 \(\operatorname{scb}\) 分解。 (3) \((s_{0}^{\prime},D_{u}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}t^{\prime}),b_{0}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(M[n+1])\) 的scb分解。

由于 \(t_{2}<t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}0\leq t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}t'\) ，根据子表示不等式的可扩展性， \(\mathrm{Trans}(M[n])<\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]\leq\mathrm{Trans}(M[n+1])\) 。

假设 \(j_{0}\) 不是 M 可接受的。

在条件 (V) 下，从各种 scb 分解中，存在唯一的 \((s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}\) 满足：

(1) \((D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})\) 是 \(c_{2}\) 的scb分解。

(5) Trans(M[n]) = \(s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}\) 。 (5) ' Trans(M[n+1]) = \(s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n+1}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n+1}b_{1}\) .

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \]

\[ \mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} 0 b_{1}^{\prime} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \]

并且因为 \(t_2 < s_1' D_{M_{1,j_0}} 0b_1'\) ，通过扩展子表达式不等式， \(\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)[m_n]\) 。

\(s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}}0b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}\) ，且scb分解的可替代性给出 \(s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}}t_2b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}\) ，且

\[ \mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} \]

\[ \mathrm{Trans} (M[n+1]) = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+2} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n+2} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} t_{2} b_{1}^{\prime} (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} \]

又，由于 \(0 \leq s_1' D_{M_{1,j_0}} t_2 b_1'\) ，根据子表达式不等式的可扩展性， \(\mathrm{Trans}(M)[m_n] \leq \mathrm{Trans}(M[n+1])\) 。

证毕。

定理 117 在条件 (VI) 下，Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 \(M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) ，使用 Trans 递归定义中引入的符号，如果 \(j_0\) 满足 \(M\) 容许，则 \(m_n := n-2\) ；如果 \(j_0\) 不满足 \(M\) 容许，则如果 \(j_1 > 1\) 且 \(M\) 满足条件 (VI)，则如下结论成立：

(1) 若 \(m_{n} = -1\) ，则存在某个 \(k \in \mathbb{N}\) 使得 \(1 < k \leq M_{1,j_1}+1\) 且 \(Trans(M[n]) = Trans(M)[0]^k\) 。 (2) 若 \(m_{n} \geq 0\) ，则 \(\text{Trans}(M[n]) = \text{Trans}(M)[m_{n}]\) 。 (3) \(Trans(M[n]) < Trans(M)\) 。

我们提出一些引理，作为在条件 (VI) 下证明 Trans 与基本列之间交换关系的前提。

定理 118 公差为 \((1,0)\) 的数列 Trans 的基本性质。

对于任意 \(u, m, j_1 \in \mathbb{N}\) , 设 \(M := ((m+j, u))_{j=0}^{j_1} \in T_{PS}\) , 则

\[ T r a n s (M) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & (j_{1} = 0 \land u = 0) \\ D_{u}^{j_{1}+1} 0 & (j_{1} > 0 \lor u > 0) \end{array} \right. \]

证明：

\(((u+j, u))_{j=0}^{j_1}\) 满足条件 (A) 和 (B)，因此根据约化率与系数之间的关系，它是约化的。因此，由于 Red 的 IncrFirst 不变性，

\[ \operatorname{Red} (M) = \operatorname{Red} (\operatorname{IncrFirst}^{u} (M)) = \operatorname{Red} (\operatorname{IncrFirst}^{m} (((u+j, u))_{j = 0}^{j_{1}})) = \operatorname{Red} (((u+j, u))_{j = 0}^{j_{1}}) = ((u+j, u))_{j = 0}^{j_{1}} \]

这可以通过对 \(j_{1}\) 进行数学归纳法得到。

令 \(j_{1}=0\) 。

根据 Trans 的递归定义，

\[ \begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M) = \mathrm{Trans} ((m, u)) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} ((m, u))) = \mathrm{Trans} ((u, u)) \\ = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & (u = 0) \\ D_{u} 0 & (u > 1) \end{array} \right. \\ \end{array} \]

设 \(j_{1}=1\) 。

从 2-序列对序列的基本性质以及 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性和 P 等变性可知，

\[ \mathrm{Trans} (M) = \mathrm{Trans} ((m, u), (m+1, u)) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} ((m, u), (m+1, u))) = \mathrm{Trans} ((u, u), (u+1, u)) = D_{u} D_{u} 0 = \]

令 \(j_{1} > 1\) 。

\(\operatorname{Red}(M) = ((j, u))_{j=0}^{j_1}\) 既可约又单项。Trans 的递归定义中引入的符号是针对 \(\operatorname{Red}(M)\) 定义。

根据归纳假设，Trans(Pred(M)) = \(D_{u}^{j_{1}}0\) 。

由于 Red 和 Pred 的交换性，以及 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，我们有

\[ t_{1} = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (\mathrm{Red} (M))) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (\mathrm{Pred} (M))) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (M)) = D_{u}^{j_{1}} 0 \neq 0 \]

因此，条件 (I) 至 (VI) 对 \(\mathrm{Red}(M)\) 有意义。 \(j_{0}=j_{1}-1\) 且 \(j_{-1}=j_{0}\) 。

如果 u = 0，则 M 满足条件 (I)。

如果 u > 0，则 M 满足条件 (III)。

因此，无论哪种情况，M 都满足条件 (I) 或 (III)。

由于可约化为切片的遗传性， \(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(M))\) 是可约的，因此，由于Mark在最右边1个基点的基本性质， \(c_{1} = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(M)), j_{-1}) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(M)), j_{1}-1) = D_{u}0\) 。

由于 \(t_{1}=D_{u}^{j_{1}}0\) 且 \(c_{1}=D_{u}0,\quad s_{1}=D_{u}^{j_{1}-1}\) 且 \(b_{1}=()\) 。

\(D_{v}t_{2}=c_{1}=D_{u}0\) ，因此 v=u 且 \(t_{2}=0\) 。

M 满足条件 (I) 或 (III)，因此 \(c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{u}0)=D_{u}D_{u}0=D_{u}^{2}0\) 。

因此，根据 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，即 P 等变性，

\[ \operatorname{Trans} (M) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (M)) = s_{1} c_{2} b_{1} = D_{u}^{j_{1}-1} D_{u}^{2} 0 = D_{u}^{j_{1}+1} 0 \]

证毕。

定理 119 公差为 \((1,1)\) 的序列 Trans 的展开规则。

对于任意 \(u, j_1 \in \mathbb{N}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_+\) ，令 \(M := ((u+j, u+j))_{j=0}^{j_1} \in T_{PS}\) 。如果 \(j_1 > 1\) ，则 \(Trans(M[n]) = D_u D_{u+j_1-1}^n 0\) 。

证明：

M 满足条件 (A) 和 (B)，因此由于约化率与系数之间的关系，M 是约化的。 \(M[n]\) 也是约化的，因为约化率对于基本列保持不变。

从 \((1,j_{1}-1)<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})\)

\[ M[n] = (M_{j})_{j = 0}^{j_{1}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} ((M_{0, j_{1}-1}+j, M_{1, j_{1}-1}))_{j = 1}^{n-1} = (M_{j})_{j = 0}^{j_{1}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} ((u+j_{1}-1+j, u+j_{1}-1))_{j = 1}^{n-1} \]

且 \(\mathrm{Lng}(M[n])-1=j_{1}-2+n\) 。

如果 \(n = 1\) ，则 \(j_{1}-1 = \mathrm{Lng}(M[n])-1\) ，因此 \(j_{1}-1\) 是 \(M[n]\) 容许的。

如果 \(n > 1\) ，则 \(j_{1}-1 < \mathrm{Lng}(M[n])-1\) 且 \(M[n]_{1,j_1-1} = M_{1,j_1-1} = M[n]_{1,j_1}\) ，因此 \((1,j_{1}-1) < _{M[n]}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})\) 不成立，因此 \(j_{1}-1\) 是 \(M[n]\) 容许的。

由上可知，无论哪种情况， \(j_{1}-1\) 都是 M[n] 容许的。

\((M[n]_{j})_{j=0}^{j_{1}-1}=(M_{j})_{j=0}^{j_{1}-1}=((u+j,u+j))_{j=0}^{j_{1}-1}\) ，因此，根据 \(j_{1}>1\) 且公差 (1,1) 的对序列的 Trans 的基本性质，

\[ \mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = 0}^{j_{1}-1}) = D_{u} D_{u+j_{1}-1} 0 \]

因为 \((M[n]_j)_{j = j_1-1}^{j_1-2+n} = ((u+j_1-1+j, u+j_1-1))_{j = 1}^{n-1}\) ，由 \(j_1 > 1\) 且公差 \((1,0)\) 的对序列的 Trans 的基本性质， \(\mathrm{Trans}((M[n]_j)_{j = j_1-1}^{j_1-2+n}) = D_{u+j_1-1}^n 0\) 。因此，由 Mark 乘以 Trans 的表达式可知，

\[ \mathrm{Mark} (M[n], j_{1}-1) = \mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{1}-1}^{j_{1}-2+n}) = D_{u+j_{1}-1}^{n} 0 \]

证毕。

定理 120 序数项的最后一个单项式消失的可能性。

对于任意 \(t, t' \in T_B\) ， \(s, b \in \Sigma^{<\omega}\) ，且 \(u, v \in \mathbb{N}\) ，若 \((s, D_u(t'+D_v0), b)\) 是 \(t\) 的 \(scb\) 分解，则存在某个 \(k \in \mathbb{N}\) 使得 \(0 < k \leq v+1\) 且 \((s, D_u t', b)\) 是 \(t[0]^k\) 的 \(scb\) 分解。

证明：

我们利用数学归纳法对 v 进行证明。

设 v = 0。

设 \(k := 1\) 。

\[ 0 < k = 1 = v+1_{\circ} \]

根据序数项基本列的递归定义，

\[ (s, (D_{u} (t^{\prime}+D_{0} 0))[0], b) = (s, D_{u} ((t^{\prime}+D_{0} 0)[0]), b) = (s, D_{u} (t^{\prime}+(D_{0} 0)[0]), b) = (s, D_{u} (t^{\prime}+0), b) = (s, D_{u} t^{\prime}, b) \]

是 \(t[0]^{k}=t[0]\) 的 scb 分解。

设 v > 0。

由于 \((D_v0)[0] = 0\) 且 \((D_v0)[D_{v-1}0] = D_{v-1}0\) ，根据序数项基本列的递归定义和scb分解的可替换性， \((s, D_u t', b)\) 或 \((s, D_u(t'+D_{v-1}0), b)\) 是 \(t[0]\) 的scb分解。

令 \((s,D_{u}t',b)\) 是 t[0] 的 scb 分解。

令 \(k := 1\) 。

\[ 0 < k = 1 < v+1_{\circ} \]

\((s,D_{u}t',b)\) 是 \(t[0]^{k}=t[0]\) 的scb分解。

设 \((s, D_u(t'+D_{v-1}0), b)\) 是 \(t[0]\) 的 scb 分解。

根据归纳假设，存在 \(k' \in N\) 使得 \(0 < k' \leq v\) 且 \(t[0][0]^{k'}\) 是 \((s, D_{u}t', b)\) 的 scb 分解。

设 \(k := k'+1\) 。

\[ 0 < 1 < k \leq v+1 。 \]

\(t[0]^{k}=t[0][0]^{k'}\) 是 \((s,D_{u}t',b)\) 的scb分解。

证毕。

现在，回到正题。

在条件 (VI) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

由于 M 是单项序列，Trans 保留零终端性，因此 \(\mathrm{Trans}(M) \neq 0\) 。因此，(3) 可由 (1)、(2) 和[Buc1] 引理 3.2 直接得出。

由于 \(M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}\) ，因此 \((1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) 。

\(j_{0}+1=j_{1}\) 且 \(M_{1,j_{0}}+1=M_{1,j_{1}}\) ，因此

\[ M[n] = (M_{j})_{j = 0}^{j_{1}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} ((M_{0, j_{0}}+j, M_{1, j_{0}}))_{j = 1}^{n-1} \]

且 \(\mathrm{Lng}(M[n])-1=j_{1}-2+n\) 。

如果 n=1，则 \(j_{0}=\mathrm{Lng}(M[n])-1\) ，因此 \(j_{0}\) 满足 M[n] 条件。

如果 \(n > 1\) ，则 \(j_0 < \mathrm{Lng}(M[n])-1\) 且 \(M[n]_{1,j_0} = M_{1,j_0} = M[n]_{1,j_0+1}\) ，因此 \((1,j_0) < _{M[n]}^{\mathrm{Next}}(1,j_0+1)\) 不成立，因此 \(j_0\) 是 \(M[n]\) 容许的。

因此，无论哪种情况， \(j_{0}\) 都是 \(M[n]\) 容许的。

\((1,j_0) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_1)\) ，因此 \((1,j_{-1}) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_{-1}+1)\) 。由于 \(j_{-1}\) 是 \(M\) 容许的，因此 \((1,j_{-1}-1) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_{-1})\) 不成立。此外， \((M[n]_j)_{j=0}^{j_{-1}} = (M_j)_{j=0}^{j_{-1}}\) 不成立。因此， \(j_{-1}\) 是 \(M[n]\) 容许的。根据最右边2个基点Mark的基本性质， \(\operatorname{Trans}(M) = s_1c_2b_1 = s_1\operatorname{Mark}(M,j_{-1})b_1\) ，因此若 \(j_{-1} > 0\) ，则根据使用Mark和切片的Trans表达式，

\[ \mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = 0}^{j-1}) = \mathrm{Trans} ((M_{j})_{j = 0}^{j-1}) = s_{1} D_{M_{1, j-1}} b_{1} \]

设 \(N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}\) 。

由于标准形式的直系祖先函数切片约化的强单项性， \(\mathrm{Red}(N)\) 是强单项式的。由于可约性与系数之间的关系， \(\mathrm{Red}(N)\) 满足条件 (A) 和 (B)。由于直系祖先函数切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系， \(\mathrm{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\mathrm{Red}(N)) = N\) ，即 \(\mathrm{Red}(N) = ((M_{1,j}-M_{0,j-1}+M_{1,j-1}, M_{1,j}))_{j=j-1}^{j_1}\) 。

\(M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}\) ，因此 \((1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) ，且 \((1,j_{0}) <_{N}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) ，且 \((1,j_{0}) <_{\text{Red}(N)}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) ，因为 \(M_{1,j_{0}} < M^{\text{Next}}(1,j_{1})\) ，且 \((1,j_{0}) <_{\text{Red}(N)}^{\text{Next}}(1,j_{1})\) ，因为 Red 是直系祖先的不变性。

\(\mathrm{Adm}_N(j_0-j_{-1}) = 0\) ，因为Red是容许性的不变性，且 \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_0-j_{-1}) = 0\) ，因为Red是容许性的不变性。

\((1,j_{0})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})\) 且 \(\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{0}-j_{-1})=0\) ，因此 \(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))=j_{1}-j_{-1}\) 。进一步，由于 \(\mathrm{Red}(N)\) 满足条件 (A) 和 (B)，且 \(\mathrm{Red}(N)_{1,0}=M_{1,j_{-1}}\) 和 \(\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}}=M_{1,j_{1}}\) ，因此有 \(\mathrm{Red}(N)=((j,j))_{j=M_{1,j_{-1}}}^{M_{1,j_{1}}}\) 。

由公差 \((1,1)\) 的对序列的 \(j_{1}-j_{-1}\geq j_{1}-j_{0}>0\) 和 Trans 的基本性质可知， \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N))=D_{M_{1,j_{-1}}}D_{M_{1,j_{1}}}0\) 。因此，根据 IncrFirst, Red) 的不变 P 等变性，以及 Mark 用 Trans 表示，

\[ c_{2} = \mathrm{Mark} (M, j_{- 1}) = \mathrm{Trans} (N) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}} 0 \]

在条件 (III) 至 (VI) 下， \((s_{1}, c_{2}, b_{1}) = (s_{1}, D_{M_{1,j-1}} D_{M_{1,j_{1}}} 0, b_{1}) = (s_{1}, \text{Trans}(N), b_{1})\) 是 Trans(M) 的第一类 scb 分解，且对于任意 \(m \in N\) ，

\[ \mathrm{Trans} (M)[m] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{m+1} 0 b_{1} \]

因为 Red 和 Pred 可交换，所以 \(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)) = ((j, j))_{j=M_{1,j-1}}^{M_{1,j_1}-1}\) 。

令 \(j_{1}-j_{-1}=1\) 。

由于 \(j_{-1} \leq j_0 < j_1 = j_{-1}+1\) ，所以 \(j_0 = j_{-1}\) 。因此， \(j_0\) 是 \(M\) 可接受的，且 \(m_n = n-2\) 。 \(\operatorname{Pred}(M)_{1,j_1-1} = M_{1,j_1-1} = M_{1,j_{-1}}\) 以及 Mark 在最右边 1 个基点的基本性质

\[ c_{1} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}) = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{1}-1) = D_{M_{1, j_{- 1}}} 0 \]

设 n = 1。

\[ m_{n} =-1 \text {。} \]

\[ M[n] = \operatorname{Pred} (M), \]

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} c_{1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} 0 b_{1} \]

\[ \mathrm{Trans} (M)[0] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1} 0 b_{1} \]

因此，由于序数项的最后一项可能被消灭，存在 \(k' \in \mathbb{N}\) 使得 \(0 < k' \leq M_{1,j_1}\) 且 \(\operatorname{Trans}(M[n]) = \operatorname{Trans}(M)[0][0]^{k'} = \operatorname{Trans}(M)[0]^{k+1}\) 。

令 \(k := k'+1\) 。

\[ 1 < k \leq M_{1, j_{1}}+1 。 \]

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = \mathrm{Trans} (M)[0][0]^{k^{\prime}} = \mathrm{Trans} (M)[0]^{k} 。 \]

令 n > 1。

\[ m_{n} \geq 0. \]

\((M[n]_{j})_{j=j-1}^{j_{1}-2+n}=(\left(M_{0,j_{0}}+j,M_{1,j_{0}}\right))_{j=1}^{n-1}\) ，因此，由 Mark 用 Trans 表示，以及公差为 \((1,0)\) 的对序列 Trans 的基本性质可知，

\[ \mathrm{Mark} (M[n], j_{- 1}) = \mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{- 1}}^{j_{1}-2+n}) = D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 \]

令 \(j_{-1}=0\) 。

由于 \(s_{1}\) 与 \(b_{1}\) 之间为空且为基点关系，因此 \(s_{1}=()\) ， \(b_{1}=()\) 。

\(M[n]=((M_{0,j_{0}}+j,M_{1,j_{0}}))_{j=}^{n-1}\) ，因此，具有公差(1,0)的对序列的Trans的基本性质

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = D_{M_{1, j-1}}^{n} 0 = D_{M_{1, j-1}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n-1} 0 \]

\[ \mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n-1} 0 b_{1} = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n-1} 0 \]

也就是说， \(\mathrm{Trans}(M[n])=\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]\) 。

设 \(j_{-1} > 0\) 。

Trans((M[n]j)j-1) = s1DM1,j-10b1 且 Mark(M[n], j-1) = DnM1,j00，由 Trans 的表达式 Mark 和切片

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 b_{1} \]

\[ \mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n-1} 0 b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 b_{1} \]

即 \(\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(M)[m_{n}]\) 。设 \(j_{1}-j_{-1} > 1\) 。

\(j_{-1}<j_{1}-1=j_{0}\) 。因此， \(j_{0}\) 不具有 M 容错性，且 \(m_{n}=n-1\geq0\) 。

根据公差为 \((1,1)\) 的对序列 Trans 的基本性质, \(\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N)))) = D_{M_{1,j-1}} D_{M_{1,j_1}-1}0\) 。因此，从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性以及 Mark 用 Trans 表示，

\[ c_{1} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (\operatorname{Pred} (N))) = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1} 0 \]

令 n = 1。

由 \(M[n]=\mathrm{Pred}(M)\) 可知，

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} c_{1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1} 0 b_{1} \]

\[ \mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1} 0 b_{1} \]

即， \(\text{Trans}(M[n]) = \text{Trans}(M)[m_n]\) 。

令 n > 1。

\((M[n]_j)_{j = j-1}^{j_1-2+n} = (M_j)_{j = j-1}^{j_1-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}((M_{0,j_0}+j,M_{1,j_0}))_{j = 1}^{n-1} = N[n]\) ，故由Red与基本列的交换性，Trans的(IncrFirst, Red)不变性，Mark由Trans表示，以及公差(1,1)的偶序列Trans的展开规则，

\[ \begin{array}{l} \operatorname{Mark} (M[n], j_{- 1}) = \operatorname{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{- 1}}^{j_{1}-2+n}) = \operatorname{Trans} (N[n]) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (N[n])) \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (N)[n]) = \operatorname{Trans} (((j, j))_{j = M_{1, j-1}}^{M_{1, j_{1}}}[n]) = D_{M_{1, j-1}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0 \\ \end{array} \]

设 \(j_{-1}=0\) 。

由于 \(s_{1}\) 与 \(b_{1}\) 之间为空且为基点关系，因此 \(s_{1}=()\) ， \(b_{1}=()\) 。

\(M[n]=(M[n]_{j})_{j=j-1}^{j_{1}-2+n}\) ，因此

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = \mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{- 1}}^{j_{1}-2+n}) = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0 \]

\[ \mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0 b_{1} = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0 \]

也就是说， \(\mathrm{Trans}(M[n])=\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]\) 。

设 \(j_{-1} > 0\) 。

Trans((M[n]\_{j})^{j-1}\_{j=0}) = s\_{1}D\_{M\_{1,j-1}}0b\_{1} 且 Trans 除以 Mark 并切片

\[ \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} \mathrm{Mark} (M[n], j_{- 1}) b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 b_{1} \]

\[ \operatorname{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0 b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 b_{1} \]

也就是说， \(\mathrm{Trans}(M[n])=\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]\) 。

我们最后证明如下的主定理。

定理 121 标准对序列系统的终止。

\[ S T_{P S} \times \mathbb {N}_{+} \subset D o m (F) 。 \]

我们提出一些引理作为证明标准对序列系统终止性的预备。

定理 122 公差为 \((0,0)\) 的数列 Trans 的基本性质。

对于任意 \(u, j_{1} \in N\) ，设 \(M := ((u, u))_{j=0}^{j_{1}}\) ，则

\[ T r a n s (M) = \left\{ \begin{array}{l l} (D_{0} 0) \times j_{1} & (u = 0) \\ (D_{u} 0) \times (j_{1}+1) & (u > 0) \end{array} \right. \]

证明：由 Trans 的递归定义可知，通过对 \(j_{1}\) 进行数学归纳推理，可知 Trans 的递归定义成立。证毕。

定理 123 基本列的下降性质。

对于任意 \(M \in ST_{PS}\) 和 \(n \in N_{+}\) ，若 \(Lng(M) > 1\) ，则 \(Trans(M[n]) < Trans(M)\) 。

证明：

由于标准形式的约化性，M 是约化的。由于约化性和系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。

我们使用 Trans 递归定义中引入的符号。

设 \(J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(P(M))-1\) 。

如果 \(M[n] = \operatorname{Pred}(M)\) ，则由 Pred 关于 Trans 的下降性质可知。下文中，我们记 \(M[n] \neq \operatorname{Pred}(M)\) 。

从 \(M[n] \neq \text{Pred}(M)\) 出发，存在唯一的 \(j_{0} \in N\) 使得 n > 1 且 \((0, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_{1})\) 。特别地， \(j_{1} > j_{0} \geq 0\) ，且 \(\text{Lng}(P(M)_{J_{1}^{\prime}}) \geq j_{1}-j_{0} > 0\) 。也就是说， \(P(M)_{J_{1}^{\prime}} \neq ((0, 0))\) 。

利用 \(P(M)_{J_{1}^{\prime}} \neq ((0,0))\) 、Trans 的递归定义以及标准形式的单项分量均为标准形式的事实，通过将 M 替换为 \(P(M)_{J_{1}}\) ，可以将 M 简化为 M 为单项的情况。下文中，我们假设 M 为单项。

令 \(t_{1}=0\) 。

由于 Trans 保持零项性质， \(\mathrm{Pred}(M)\) 为零项。因此， \(j_{1}=1,\ M_{1,0}=0\) 。由于 M 为单项且满足条件 (A) 和 (B)，因此 \(M=((0,0),(1,0))\) 或 \(M=((0,0),(1,1))\) 。

令 \(M = ((0,0), (1,0))\) 。

由公差为 \((1,0)\) 的对序列的 Trans 的基本性质可知， \(\mathrm{Trans}(M)=D_{0}D_{0}0\) 。

由于 \(M[n] = ((0,0))_{j=0}^{n-1}\) , 由公差为 \((0,0)\) 的对序列的 Trans 的基本性质可知, \(\mathrm{Trans}(M[n]) = (D_00) \times (n-1)\) 。

由于 \(0 < D_00\) ， \((D_00) \times (n-1) < D_0D_00\) ，因此， \(\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)\) 。令 \(M = ((0,0), (1,1))\) 。

由公差为 (1,1) 的对序列 Trans 的基本性质可知， \(\mathrm{Trans}(M)=D_{0}D_{1}0\) 。由于 \(M[n]=(\left(j,0\right))_{j=0}^{n-1}\) ，由公差为 (1,0) 的对序列 Trans 的基本性质可知， \(\mathrm{Trans}(M[n])=D_{0}^{n}0\) 。

由于 \(D_0^{n-1}0 < D_10\) ， \(D_0^n 0 < D_0D_10\) ，因此 \(\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)\) 。令 \(t_1 \neq 0\) 。

由于 Trans 为零项，因此 Pred(M) 不为零项。

令 M 满足条件 (I)。

令 \(j_{1}=1\) 。

由于 \(\operatorname{Pred}(M)\) 不为零项，且 \(M\) 满足条件 (A) 和 (B)，因此存在唯一的 \(u \in \mathbb{N}\) 使得 \(u > 0\) 且 \(M = ((u, u), (u+1, 0))\) 。

由 2 序列对的基本性质 (1) 可知， \(\mathrm{Trans}(M)=D_{u}D_{0}0\) 。

由于 \(M[n] = ((u, u))_{j=0}^{n-1}\) , 由公差为 \((0, 0)\) 的对偶序列的 Trans 基本性质可知, \(\mathrm{Trans}(M[n]) = (D_u 0) \times n\) 。

由于 \(0 < D_00, D_u0 < D_uD_00\) ，因此 \((D_u0) \times n < D_uD_00\) ，即 \(\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)\) 。

如果 \(j_{1} > 1\) ，则根据 Trans 与基序列在条件 (I) 下的交换关系 (2)， \(\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)\) 。

假设 M 满足条件 (II)。

由于 M 是单项的， \((0,0) \leq_{M}(0,j_{1})\) ，但由于 0 是 M 容许的， \((0,0) <_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})\) 不成立。因此， \(j_{1} > 1\) ，并且根据条件 (II) 下 Trans 与基序列的交换关系 (4)， \(\text{Trans}(M[n]) < \text{Trans}(M)\) 。

假设 \(M\) 满足条件 (III) 或 (IV)。由 \(M[n] \neq \operatorname{Pred}(M)\) 可知，存在唯一的 \(j_{-2} \in \mathbb{N}\) 使得 \((1, j_{-2}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j_1)\) 。由 \(M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}\) 可知， \((1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j_1)\) 不成立，因此 \(j_{-2} < j_0 < j_1\) 。因此， \(j_1 > 1\) ，且由 Trans 与基本列在条件 (III) 或 (IV) 下的交换关系 (2) 可知， \(\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)\) 。

设 M 满足条件 (V)。

由于 \(j_{1} > j_{0}+1 \geq 1\) ，根据 Trans 与条件 (V) 下基本列的交换关系 (2)， \(\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)\) 。

设 M 满足条件 (VI)。

设 \(j_{1}=1\) 。

由于 \(\operatorname{Pred}(M)\) 不是零项，且 \(M\) 满足条件 (A) 和 (B)，因此存在唯一的 \(u \in \mathbb{N}\) 使得 \(u > 0\) 且 \(M = ((u, u), (u+1, u+1))\) 。

根据 2 序列对序列的基本性质 (1)， \(\mathrm{Trans}(M)=D_{u}D_{u+1}0\) 。

因为 \(M[n] = ((u+j, u))_{j=0}^{n-1}\) , 由公差 \((1, 0)\) 的对偶序列的 Trans 基本性质可知, \(\mathrm{Trans}(M[n]) = D_u^n 0\) 。

由于 \(D_{u}^{n-1}0 < D_{u+1}0,\quad D_{u}^{n}0 < D_{u}D_{u+1}0\) ，所以 \(\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)\) 。

若 \(j_{1} > 1\) ，则由Trans与条件(VI)下基本列的交换关系(3)可知， \(\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)\) 。

证毕。

下文中，我们将 OT 与[Buc1] 中的 \(T_{B}\) 的交集表示为 \(OT_{B}\) 。

定理 124 序数项的递归构造。

对于任意 \(t \in OT_B\) 、 \(c \in T_B\) 和 \(s, b \in \Sigma^{<\omega}\) ，若 \((s, c, b)\) 是 \(t\) 的 \(scb\) 分解，则 \(c\) 为序数项。

证明：根据 scb 分解的平凡性准则和序数项的递归定义，通过对 \(\mathrm{Lng}(s)\) 的数学归纳法可知。证毕。

定理 125 序数项共尾数的遗传性。

对于任意 \(t, t' \in T_B\) 和 \(s, b \in \Sigma^{<\omega}\) ，若 \(dom(t') = \mathbb{N}\) 且 \((s, t', b)\) 是 \(t\) 的 \(scb\) 分解，则 \(dom(t) = \mathbb{N}\) 。

证明：根据 scb 分解的平凡性准则和 dom 的递归定义，通过对 \(\mathrm{Lng}(s)\) 的数学归纳法可知。证毕。

定理 126 序数项尾项消失的可能性。

对于任意 \(t \in OT_B\) 、 \(t' \in T_B\) 、 \(s, b \in \Sigma^{<\omega}\) 和 \(u \in \mathbb{N}\) ，若 \((s, D_u t', b)\) 是 \(t\) 的 \(scb\) 分解，则存在某个 \(k \in \mathbb{N}\) 使得 \((s, D_u 0, b)\) 是 \(t[0]^k\) 的 \(scb\) 分解。

证明：

\((OT_{B},<)\) 是良基的。因此，数学归纳法可以应用于 \((OT_{B},<)\) 。

由 \(t = sD_{u}t'b\) ， \((sD_{u}, t', b)\) 是 t 的 scb 分解，因此，根据序数项的递归结构， \(t'\) 是序数项。

通过对 \(t'\) 进行数学归纳法，证明存在 \(k \in \mathbb{N}\) 使得 \((s, D_u0, b)\) 是 \(t[0]^k\) 的 scb 分解。

令 \(t' = 0\) 。

令 \(k := 0\) 。

\((s,D_{u}0,b)=(s,D_{u}t',b)\) 是 \(t[0]^{k}=t\) 的scb分解。

令 \(t' > 0\) 。

由于 \(t' \neq 0\) ， \(t'\) 为单项复项或复项。因此存在 \(\tau \in T_{B}\) 和 \(\tau' \in PT_{B}\) 使得 \(t' = \tau+\tau'\) 。

由于 \(\tau'\) 为单项复项， \(0 < \tau'\) ，因此 \(0 \geq \tau < \tau+\tau' = t'\) 。

令 \(\mathrm{dom}(\tau')=\{0\}\) 。

\(\mathrm{dom}(t') = \mathrm{dom}(\tau') = \{0\}\) ，因此 \(\mathrm{dom}(D_u t') = \mathbb{N}\) ，进而由于序数项的同端项的可遗传性， \(\mathrm{dom}(t) = \mathbb{N}\) 。

根据基本列的递归定义， \((D_u t')[0] = (D_u \tau) \times (0+1) = D_u \tau \in PT_{\mathrm{B}}\) ，因此，根据 scb 分解的可替代性和[] 的递归定义， \((s, D_u \tau, b)\) 是 \(t[0]\) 的 scb 分解。

由于 \(\tau < t'\) 且 \((s, D_{u}\tau, b)\) 是 t[0] 的 scb 分解，根据归纳假设，存在一个 \(k' \in N\) 使得 \((s, D_{u}0, b)\) 是 \(t[0][0]^{k'}\) 的 scb 分解。令 \(\mathrm{dom}(\tau') \neq \{0\}\) 。

根据基本列的递归定义，存在一个 \(n \in \mathrm{dom}(t') \cup \mathbb{N}\) ，使得 \((s, D_u(t'[n]), b)\) 是 \(t[0]\) 的 scb 分解。

\(t' > 0\) 且 \(t'[n] < t'\) 。由于 \(t'[n] < t'\) 且 \((s, D_u(t'[n]), b)\) 是 t[0] 的 scb 分解，根据归纳假设，存在 \(k' \in N\) ，使得 \((s, D_u0, b)\) 是 \(t[0][0]^{k'}\) 的 scb 分解。

令 \(k := k'+1\) 。

根据 \(t[0]^{k}=t[0][0]^{k'}\) ， \((s,D_{u}0,b)\) 是 \(t[0]^{k}\) 的 scb 分解。

证毕。

定理 127 Pred 与[0] 的关系。

对于任意 \(M \in RT_{PS} \cap PT_B\) ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，若 \(j_1 > 1\) 且 \(M\) 不满足条件 (VI)，且 Trans(M) 为序数项，则存在某个 \(k \in \mathbb{N}\) 使得 Trans(M)[0] \(^k = t_1\) 。

证明：

由于可约性以及系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。由于 \(j_{1} > 1, t_{1} \neq 0\) ，因此 \((s_{1}, D_{v}t_{2}, b_{1}) = (s_{1}, c_{1}, b_{1})\) 是 \(t_{1}\) 的 scb 分解，且条件 (I) 至 (VI) 对 M 有意义。

假设 M 满足条件 (I)、(III) 或 (V)。

\((s_{1},D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0),b_{1})=(s_{1},c_{2},b_{1})\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)\) 的scb分解。

由于序数项的最后一个单项式存在湮灭可能性， \((s_{1}, D_{v}t_{2}, b_{1})\) 和 \((s_{1}, D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0), b_{1})\) 分别是 \(t_{1}\) 和 \(\mathrm{Trans}(M)\) 的 scb 分解，因此存在某个 \(k \in N\) 使得 \(t_{1} = \mathrm{Trans}(M)[0]^{k}\) 。

假设 M 满足条件 (II) 或 (IV)。

假设 \(P(t_2)_{J_1}\) 的左端是 \(D_{M_{1,j_0}}\circ t_2 = t_3+D_{M_{1,j_0}}t_4\) 。因此， \((s_1,D_v(t_3+D_{M_{1,j_0}}t_4),b_1) = (s_1,c_1,b_1)\) 和 \((s_1,D_v(t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_1}}0)),b_1) = (s_1,c_2,b_1)\) 分别是 \(t_1\) 和 \(\mathrm{Trans}(M)\) 的scb分解。

进一步，由于 scb 分解的复合规则以及加法与 scb 分解之间的关系，存在 \((s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 使得 \((s', D_{M_{1,j_0}} t_4, b')\) 和 \((s', D_{M_{1,j_0}} (t_4+D_{M_{1,j_1}} 0), b')\) 分别是 \(t_1\) 和 Trans(M) 的 scb 分解。

由于序数项的最后一个单项式存在湮灭可能性，存在 \(k \in \mathbb{N}\) 使得 \((s', D_{M_{1,j_0}} t_4, b')\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)[0]^k\) 的scb分解。因此，

\[ t_{1} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} t_{2} b_{1} = \mathrm{Trans} (M)[0]^{k} \]

假设 \(P(t_{2})_{J_{1}}\) 的左端不是 \(D_{M_{1,j_{0}}}\) 。

\(t_{3}=t_{2}\) 且 \(t_{4}=t_{2}\) ，且 \(c_{2}=D_{v}(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0))=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0))\) 。因此， \((s_{1},D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)),b_{1})=(s_{1},c_{2},b_{1})\) 是 Trans(M) 的 scb 分解。

此外，由于 scb 分解的复合规则以及加法与 scb 分解之间的关系，存在 \((s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) ，使得 \((s', D_{M_{1,j_0}}(t_2+D_{M_{1,j_1}}0), b')\) 是 Trans(M) 的 scb 分解。

因为 \(\operatorname{Trans}(M)\) 是序数项，且该序数项的尾项可以消除，所以存在 \(k_0' \in \mathbb{N}\) 使得 \((s', D_{M_{1,j_0}}0, b')\) 是 \(\operatorname{Trans}(M)[0]^{k_0'}\) 的scb分解。

\((s_1, D_{M_{1,j-1}}(t_2+D_{M_{1,j_0}}(t_2+D_{M_{1,j_1}}0)), b_1)\) 和 \((s', D_{M_{1,j_0}}(t_2+D_{M_{1,j_1}}0), b')\) 都是 \(\mathrm{Trans}(M)\) 的 \(\mathrm{scb}\) 分解，而 \((s', D_{M_{1,j_0}}0, b')\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)[0]^{k'_0}\) 的 \(\mathrm{scb}\) 分解。因此，由加法与 \(\mathrm{scb}\) 分解的关系 (3) 可知， \((s_1, D_{M_{1,j-1}}(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b_1)\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)[0]^{k'_0}\) 的 \(\mathrm{scb}\) 分解。

因此，由于序数项最后一个单项式的湮灭可能性，存在一个 \(k_1' \in \mathbb{N}\) ，使得 \((s_1, D_{M_{1,j-1}} t_2, b_1)\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)[0]^{k_0'}[0]^{k_1'}\) 的scb分解。

令 \(k := k_{0}^{\prime}+k_{1}^{\prime}\) 。

\[ t_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} b_{1} = \mathrm{Trans} (M)[0]^{k_{0}^{\prime}}[0]^{k_{1}^{\prime}} = \mathrm{Trans} (M)[0]^{k} \]

证毕。

定理 128 序数项的基本列。

(1) 对于任意 \(u \in \mathbb{N}\) , \(D_u 0 \in OT_B\) 。 (2) 对于任意 \(u, v \in \mathbb{N}\) , \(D_u D_v 0 \in OT_B\) 。 (3) 对于任意 \(u \in \mathbb{N}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_{+}\) , \((D_u0) \times (n-1) \in OT_B\) 。 (4) 对于任意 \(u \in \mathbb{N}\) 和 \(n \in \mathbb{N}\) , \(D_u^n 0 \in OT_B\) 。

证明：

下面，令 \(2^{T_{B}}\) 表示 \(T_{B}\) 所有子集的集合，令 G 表示过滤条件的限制，即 \(N \times T_{B}\) 。

\[ \begin{array}{l} G \colon \mathbb {N} \times T_{\mathrm{B}} \rightarrow 2^{T_{\mathrm{B}}} \\ (u, t) \mapsto G_{u} t \\ \end{array} \]

将 < 扩展至 \(T_{B} \cup 2^{T_{B}}\) 。

（1）它直接由 \(0 \in OT_{B}\) 和 \(G_{u}0 = \emptyset < D_{u}0\) 得出。 (2) \(D_{v}0\in OT_{B}\) 且

\[ G_{u} D_{v} 0 = \left\{ \begin{array}{l l} \{0 \} \cup G_{u} 0 & (u \leq v) \\ \emptyset & (u > v) \end{array} \right. \]

\[ \begin{array}{l} = \left\{ \begin{array}{l l} \{0 \} \cup \emptyset & (u \leq v) \\ \emptyset & (u > v) \end{array} \right. \\ \begin{array}{l l} = & \left\{ \begin{array}{l l} \{0 \} & (u \leq v) \\ \emptyset & (u > v) \end{array} \right. \\ < & D_{v} 0 \end{array} \\ \end{array} \]

这可由 (OT3) 直接推导出来。

(3) 这可由 \(0, D_{u}0 \in OT_{B}\) 直接推导出来。

(4) 利用数学归纳法证明，对于任何 \(m \in \mathbb{N}\) ，如果 \(m < n\) ，则 \(D_u^m 0 < D_u^n 0\) 。

如果 m=0，则 \(D_{u}^{m}0=0<D_{u}^{n}0\) 。

如果 \(m > 0\) ，则根据归纳推理假设， \(D_{u}^{m-1}0 < D_{u}^{n-1}0\) ，因此 \(D_{u}^{m}0 = D_{u}D_{u}^{m-1}0 < D_{u}D_{u}^{n-1}0 = D_{u}^{n}0\) 。

特别地， \(\{D_{u}^{m}0\mid m\in N\land m<n\}<D_{u}^{n}0\) 。

我们通过对 n 进行数学归纳推理证明， \(G_{u}D_{u}^{n}0=\{D_{u}^{m}0\mid m\in\mathbb{N}\wedge m<n\}\) 且 \(D_{u}^{n}0\in OT_{B}\) 。

如果 \(n = 0\) ，则 \(G_{u}D_{u}^{n}0 = G_{u}0 = \emptyset = \{D_{u}^{m}0\mid m\in \mathbb{N}\wedge m < n\}\) 且 \(D_{u}^{n}0 = 0\in OT_{\mathrm{B}}\) 。

设 n > 0。

根据归纳假设， \(G_{u}D_{u}^{n-1}0=\{D_{u}^{m}0\mid m\in\mathbb{N}\wedge m<n-1\}\) 且 \(D_{u}^{n-1}0\in OT_{B}\) 。

\[ \begin{array}{c} G_{u} D_{u}^{n} 0 = \left\{D_{u}^{n-1} 0 \right\} \cup G_{u} D_{u}^{n-1} 0 = \left\{D_{u}^{m} 0 \mid m \in \mathbb {N} \wedge m < n \right\} 。 D_{u}^{n-1} 0 \in O T_{\mathrm{B}}, G_{u} D_{u}^{n-1} 0 = \\ \left\{D_{u}^{m} 0 \mid m \in \mathbb {N} \wedge m < n-1 \right\} < D_{u}^{n-1} 0, \text {以及} D_{u}^{n} 0 \in O T_{\mathrm{B}} 。 \end{array} \]

定理 129 Trans 保持其标准形式。

对于任何 \(M \in ST_{PS}\) ， \(Trans(M) \in OT_{B}\) 。

证明：

下文中，我们使用序数项的基本示例，不做任何限制。

设 \(k_{0} := \min\{k \in N \mid M \in S_{k} T_{PS}\}\) 。

我们通过对 \(k_{0}\) 进行数学归纳法证明这一点。

设 \(k_{0}=0\) 。

存在唯一的 \((u,v)\in\mathbb{N}^{2}\) 使得 \(u\leq v\) 且 \(M=((j,j))_{j=u}^{v}\) 。

如果 u = v = 0，则根据 Trans 的定义， \(\mathrm{Trans}(M) = 0 \in OT_{\mathrm{B}}\) 。

若 u = v > 0，则根据 Trans 的定义， \(\mathrm{Trans}(M) = D_{u}0 \in OT_{\mathrm{B}}\) 。

若 u < v，则根据公差 \((1,1)\) 的对序列 Trans 的基本性质， \(\mathrm{Trans}(M[n]) = D_{u}D_{v}0 \in OT_{\mathrm{B}}\) 。

令 \(k_{0} > 0\) 。

设 \(N \in S_{k_{0}-1}T_{PS}\) 和 \(n \in N_{+}\) ，令 \(M = N[n]\) 。

根据归纳假设， \(\mathrm{Trans}(N)\in OT_{\mathrm{B}}\) 。

对于任意 \(m \in \mathbb{N}\) , \(\mathrm{Trans}(N)[m]\) 和 \(\mathrm{Trans}(N)[0]^m\) 均为序数项。

若 \(\operatorname{Pred}(N) = M\) ，则由于 \(\operatorname{Pred}\) 与[0]的关系，存在某个 \(k \in \mathbb{N}\) 使得 \(\operatorname{Trans}(M) = \operatorname{Trans}(N)[0]^k\) ，因此 \(\operatorname{Trans}(M)\) 为序数项。下文中，我们假设 \(\operatorname{Pred}(N) \neq M\) 。

由于 \(N[1] = \text{Pred}(N) \neq M = N[n]\) ，且 n > 1。

根据标准形式的可约性，N 可约。由于可约性和系数之间的关系，N 满足条件 (A) 和 (B)。

由于 \(((0,0))[n] = ((0,0))\in S_0T_{\mathrm{B}}\) 且 \(k_{0} > 0\) ， \(N\neq ((0,0))\) 。因此， \(N\) 是单项的或复项的。

设 N 是单项的。

设 Trans 的递归定义中引入的符号为 N 的定义。

设 \(t_{1}=0\) 。

由于 Trans 保持零项式性质， \(\mathrm{Pred}(N)\) 是零项式的。因此， \(j_{1}=1\) 且 \(N_{1,0}=0\) 。由于 N 是单项的，且满足条件 (A) 和 (B)，因此 \(N=((0,0),(1,0))\) 或 \(N=((0,0),(1,1))\) 。

若 \(N = ((0,0),(1,0))\) ，则 \(M = N[n] = ((0,0))_{j = 0}^{n-1}\) ，因此由公差为 \((0,0)\) 的对序列Trans的基本性质可知， \(\mathrm{Trans}(M) = (D_00)\times (n-1)\in OT_{\mathrm{B}}\) 。

设 \(N = ((0,0),(1,1))\) ，则 \(M = N[n] = ((j,0))_{j = 0}^{n-1}\) ，因此，由 \(n > 1\) 且公差 \((1,0)\) 的对序列的Trans的基本性质可知， \(\mathrm{Trans}(M) = D_0^n 0\in OT_{\mathrm{B}}\) 。

设 \(t_{1} \neq 0\) 。

由于 Trans 是零项式的，因此 Pred(N) 不是零项式的。

设 N 满足条件 (I)。

设 \(j_{1}=1\) 。

由于 \(\operatorname{Pred}(N)\) 不是零项，且 \(N\) 满足条件 (A) 和 (B)，因此存在唯一的 \(u \in \mathbb{N}\) 使得 \(u > 0\) 且 \(N = ((u, u), (u+1, 0))\) 。

由于 \(M = N[n] = ((u, u))_{j=0}^{n-1}\) ，对于公差为 \((0, 0)\) 的对序列，Trans 的基本性质意味着 \(\mathrm{Trans}(N[n]) = (D_u 0) \times n \in OT_{\mathrm{B}}\) 。

如果 \(j_{1} > 1\) ，则 \(\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[n-1] \in OT_{\mathrm{B}}\) ，根据条件(I)下Trans与基本列的对易关系(1)。

设 N 满足条件 (II)。

设 \(m_{n} := n-1\) 或 \(m_{n} := n-2\) ，取决于 \(P(t_{2})_{J_{1}}\) 的左端是否为 \(D_{N_{1,j_{0}}}\) 。

由于 N 是单项的， \((0,0) \leq_{N}(0,j_{1})\) ，但由于 0 是 N 容许的， \((0,0) <_{N}^{\text{Next}}(0,j_{1})\) 不成立。因此， \(j_{1} > 1\) 。

由于 \(n > 1\) ， \(m_n \geq 0\) 。因此，在条件 (II) 下，根据 Trans 与基本列的对易关系 (2)， \(\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[m_n] \in OT_{\mathrm{B}}\) 。

假设 N 满足条件 (III) 或 (IV)。

由于 \(\operatorname{Pred}(N) \neq M = N[n]\) ，存在唯一的 \(j_{-2} \in \mathbb{N}\) 使得 \((1, j_{-2}) <_{N}^{\text{Next}} (1, j_1)\) 。 \(N_{1,j_0} \geq N_{1,j_1}\) 意味着 \((1, j_0) <_{N}^{\text{Next}} (1, j_1)\) 不成立，因此 \(j_{-2} < j_0 < j_1\) 。因此， \(j_1 > 1\) ，且根据条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质，有以下成立：

(1) \(M = N[n] = N[n+1][1]^{j_1-j-2}\) 。 (2) \(\mathrm{Trans}(N)[n-1] = \mathrm{Trans}(N[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}})\) 。

特别地，由于 \(\operatorname{Pred}(N[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}}) = M\) ，且 \(\operatorname{Trans}(N[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}})\) 为序数项，因此 \(\operatorname{Pred}\) 和[0] 之间的关系意味着存在某个 \(k \in \mathbb{N}\) ，使得 \(\operatorname{Trans}(M) = \operatorname{Trans}(N[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}})[0]^k = \operatorname{Trans}(N)[n-1][0]^k\) 。因此，根据[Buc1] 引理 3.3， \(\operatorname{Trans}(M)\) 为序数项。

设 N 满足条件 (V)。

如果 \(j_{0}\) 为 M-可接受的，则令 \(m_{n} := n-1\) 。

如果 \(j_{0}\) 不为 M-可接受的，则令 \(m_{n} := n\) 。

根据 \(j_{1} > j_{0}+1 \geq 1\) 和条件 (V) 下基本列的 scb 分解，存在唯一的 \(u \in \mathbb{N}\) 、 \((s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2\) 和 \(t' \in T_{\mathrm{B}}\) 使得：

(1) \((s_{0}^{\prime},D_{u}t_{2},b_{0}^{\prime})\) 是 \(\mathrm{Trans}(M[n])\) 的scb分解。

(2) \((s_0', D_u(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b_0')\) 是 \(\mathrm{Trans}(M)[m_n]\) 的 scb 分解。

因此，由于序数项的最后一个单项式湮灭的可能性，存在某个 \(k \in N\) 使得 \(\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[m_n][0]^k\) ，因此，根据[Buc1] 引理 3.3， \(\mathrm{Trans}(M)\) 为序数项。

令 N 满足条件 (VI)。

令 \(j_{1}=1\) 。

由于 \(\operatorname{Pred}(N)\) 不是零项，且 \(N\) 满足条件 (A) 和 (B)，因此存在唯一的 \(u \in \mathbb{N}\) 使得 \(u > 0\) 且 \(N = ((u, u), (u+1, u+1))\) 。

由于 \(N[n]=((u+j,u))_{j=0}^{n-1}\) ，由公差 \((1,0)\) 的对序列 Trans 的基本性质可知， \(\mathrm{Trans}(N[n]) = D_{u}^{n}0 \in OT_{\mathrm{B}}\) 。

令 \(j_{1} > 1\) 。

如果 \(j_{0}\) 是 M 可接受的，则令 \(m_{n} := n-2\) 。

如果 \(j_{0}\) 不是 M 可接受的，则令 \(m_{n} := n-1\) 。

由于 \(n > 1\) ， \(m_n \geq 0\) ，因此，根据 Trans 与条件 (VI) 下基本列的交换关系 (2)， \(\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[m_n] \in OT_{\mathrm{B}}\) 。

令 N 为复合项。

令 \(J_{1} := \mathrm{Lng}(P(N))-1\) 。

由于 P 的每个分量都是非复合的，因此 \(J_{1} > 0\) 。由于 \(\mathrm{Pred}(N) \neq M = N[n]\) ， \(\mathrm{Lng}(P(N)_{J_{1}}) > 1\) 。因此，由 P 与基本列 (2) 的关系可知， \(P(M) = P(N[n]) = (P(N)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} P(P(N)_{J_{1}}[n])\) 。

令 \(J_{0} := \mathrm{Lng}(P(P(N)_{J_{1}}[n]))-1\) 。

映射

\[ \begin{array}{l} \mathrm{PTrans}: P T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{B}} \\ M^{\prime} \mapsto \mathrm{PTrans} (M^{\prime}) \\ \end{array} \]

定义如下:

如果 \(M'\) 为零项，则 PTrans( \(M'\) ) = \(D_{0}0\) 。

如果 \(M'\) 不是零项，则 \(\mathrm{PTrans}(M') = \mathrm{Trans}(M')\) 。

令 \(a_{0} := (\text{Trans}(P(N)_{0})) \oplus_{T_{\mathrm{B}}} (\text{PTrans}(P(N)_{J})_{J=1}^{J_{1}-1})\) 。

令 \(a_1 := (\mathrm{PTrans}(P(P(N)_{J_1}[n])_{J'})_{J'=0}^{J_0}\) 。

令 \(a_2 := (\text{Trans}(P(P(N)_{J_1}[n])_0)) \oplus_{T_\text{B}} (\text{PTrans}(P(P(N)_{J_1}[n])_{J'})^{J_0}_{J'=1}\) 。

由于 P 的每个分量都是非复项的，因此 Trans 保持零项式性质，而 Trans 保持单项式性质，因此 \(a_{0}\) 、 \(a_{1}\) 和 \(a_{2}\) 的每个分量均为 0 或单项式，且 0 仅出现在左端。根据 Trans 的递归定义，对于任意 \(M' \in RT_{PS} \cap MT_{PS}\) ，设 \(J_{1}' := \mathrm{Lng}(M')-1\) ，

\[ \mathrm{Trans} (M^{\prime}) = \mathrm{Trans} (P (M^{\prime})_{0})+\Sigma_{\mathrm{B}} (\mathrm{PTrans} (P (M^{\prime})_{J}))_{J = 1}^{J_{1}^{\prime}-1}+\mathrm{PTrans} (P (M^{\prime})_{J_{1}^{\prime}}) \]

具体而言，

\[ \mathrm{Trans} (N) = \Sigma_{\mathrm{B}} a_{0}+\mathrm{PTrans} (P (N)_{J_{1}}) \]

\[ \mathrm{Trans} (M) = \Sigma_{\mathrm{B}} (a_{0} \oplus_{T_{\mathrm{B}}} a_{1}) \]

\[ \mathrm{Trans} (P (N)_{J_{1}}[n]) = \Sigma_{\mathrm{B}} a_{2} \]

这表明 \(a_{0} \oplus_{T_{B}} a_{1}\) 的每个分量都是序数项。

由于 \(\mathrm{Lng}(P(N)_{J_{1}})>1\) ，因此 \(P(N)_{J_{1}}\) 不是零项。此外，由于 P 的每个分量都是非复项的， \(P(N)_{J_{1}}\) 也不是复项项，所以它是单项。由于 Trans 是单项的，所以 \(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})\) 也是单项的。

由于 \(P(N)_{J_1}\) 不是零项，所以 \(\mathrm{PTrans}(P(N)_{J_1}) = \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})\) 。因此， \(\mathrm{Trans}(N) = \Sigma_{\mathrm{B}}a_0+\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})\) 。 \(\mathrm{Trans}(N)\) 是序数项，因此由Buchholz序数符号系统的递归定义可知， \(a_0\) 和 \(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})\) 的每个分量均为序数项，而从 \(a_0 \oplus_{T_{\mathrm{B}}}\) 的分量中去掉0得到的 \(PT_{\mathrm{B}}\) 值数组 \((\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1}))\) 为降序。

由于标准形式的单项分量即为标准形式, \(P(N)_{J_{1}}\in S_{k_{0}-1}T_{\mathrm{PS}}\) ,因此 \(P(N)_{J_{1}}[n]\in S_{k_{0}}T_{\mathrm{PS}}\) 。

由于 \(\mathrm{Lng}(P(N)_{J_{1}})>1\) 且这是标准形式, 基本列的下降性质意味着 \(\Sigma_{\mathrm{B}}a_{2}=\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n])<\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})\) 。因此， \(a_{2}\) 的每个分量都小于 \(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})\) 。

如果 \(P(N)_{J_1}[n] \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}\) ，那么根据归纳假设，Trans \((P(N)_{J_1}[n])\) 是一个序数项。

如果 \(P(N)_{J_1}[n] \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}\) 不成立，则 \(k_0 = \min \{k \in \mathbb{N} \mid P(N)_{J_1} \in S_kT_{\mathrm{PS}}\}\) ，因此 \(P(N)_{J_1}\) 为单项项，所以 \(\operatorname{Trans}(P(N)_{J_1}[n])\) 为序数项。

因此，无论哪种情况， \(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n])\) 都是序数项。

由于 \(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n])\) 为序数项，且 \(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n]) = \Sigma_{\mathrm{B}}a_{2}\) ，根据 Buchholz 序数符号系统的递归定义， \(a_{2}\) 的每个分量都是序数项，从 \(a_{2}\) 的分量中剔除 0 后得到的 \(PT_{B}\) 值数组按降序排列。由于 0 为序数项，因此 \(a_{1}\) 的每个分量也是序数项。

由此可知， \(a_{0}\oplus_{T_{B}}a_{1}\) 的每个分量都是序数项。

我们证明，通过从 \(a_{0} \oplus_{T_{B}} a_{1}\) 的分量中排除 0 得到的 \(PT_{B}\) 值数组是降序的。

设 \(a_{2}\) 的分量为 0。

只有 \(a_{2}\) 最左边的分量为 0，因此 \(P(P(N)_{J_{1}}[n])_{0}\) 为零项。

设 \(J_{2} := \mathrm{Lng}(P(P(N)_{J_{1}}[n]))-1\) 。

设 \(J_{2}=0\) 。

\[ a_{1} = (D_{0} 0) 。 \]

由于 \(a_2\) 中唯一一个分量0小于 \(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})\) ，且 \(D_00\) 大于0，即 \(D_00 \leq \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})\) 。由于从 \(a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} (\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1}))\) 的分量中排除0得到的 \(PT_\mathrm{B}\) 值数组是降序的，因此从 \(a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} a_1\) 的分量中排除0得到的 \(PT_\mathrm{B}\) 值数组也是降序的。

令 \(J_{2} > 0\) 。

由于 \(P(N)_{J_{1}}\) 的单项性和非二元性与基本列的关系， \(P(P(N)_{J_{1}}[n])\) 的每个分量同样都是零项。因此， \(a_{1}=(D_{0}0)_{J=0}^{J_{2}}\) ， \(a_{2}=(0)\oplus_{T_{\mathrm{B}}}(D_{0}0)_{J=1}^{J_{2}}\) 。

由于 \(a_2\) 的每个分量都小于 \(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})\) ，因此， \(D_00 < \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})\) 。也就是说， \(a_1\) 的每个分量也小于 \(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})\) 。由于从 \(a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} (\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1}))\) 的分量中去掉 0 得到的 \(PT_\mathrm{B}\) 值数组是降序的，因此从 \(a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} a_1\) 的分量中去掉 0 得到的 \(PT_\mathrm{B}\) 值数组也是降序的。

假设 \(a_{2}\) 不包含 0 作为分量。

由于 Trans 保持零项性质, 因此 \(P(P(N)_{J_{1}}[n])\) 的分量中没有一个是零项, 因此 \(a_{1}=a_{2}\) 。特别地, \(a_{1}\) 是降序的, 且 \(a_{1}\) 的每个分量都小于 \(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})\) 。

由于从 \(a_{0} \oplus_{T_{\mathrm{B}}} (\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}))\) 的分量中去掉 0 得到的 \(PT_{B}\) 值数组是降序的，因此从 \(a_{0} \oplus_{T_{B}} a_{1}\) 的分量中去掉 0 得到的 \(PT_{B}\) 值数组也是降序的。

由上可知， \(\mathrm{Trans}(M) = \Sigma_{\mathrm{B}}(a_0 \oplus_{T_{\mathrm{B}}} a_1)\) 是按降序排列的序数项之和。因此，根据序数项的递归定义， \(\mathrm{Trans}(M)\) 是一个序数项。

证毕。

现在，让我们回到正题。

标准形式对序列系统终止性的证明：

\((OT_{B},<)\) 是良基的。因此，数学归纳法可以应用于 \((OT_{B},<)\) 。

对于任何 \(t \in OT_{B}\) ，我们通过对 t 进行数学归纳证明：“对于任何 \(M \in ST_{PS}\) 和 \(n \in N_{+}\) ，如果 \(\mathrm{Trans}(M) = t\) ，则 \((M, n) \in \mathrm{Dom}(F)\) ”。

由于标准形式的可约性，M 是可约的。

设 t = 0。

由于 Trans 具有可约性，因此 M 也是可约的。因此， \(\mathrm{Lng}(M)=1\) ，根据 F 的定义， \((M,n)\in\mathrm{Dom}(F)\) 。

假设存在唯一的 \(v \in N_{+}\) 使得 \(t = D_{v}0\) 。

由于 Trans 与不可数基数的关系， \(M = ((v, v))\) 。

由于 \(\mathrm{Lng}(M)=1\) ，根据 F 的定义， \((M,n)\in\mathrm{Dom}(F)\) 。

假设不存在唯一的 \(v \in N_{+}\) 使得 \(t = D_{v}0\) ，且 t > 0。

由于 1-序列对序列的基本性质、Trans 保持零项性质，以及 Trans 与不可数基数的关系， \(\mathrm{Lng}(M) > 1\) 。

由于基本列的下降性质， \(\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M) = t\) 。由于 \(M\) 为标准形式，且由于标准形式的递归定义， \(M[n]\) 也为标准形式，Trans 保持标准形式，因此 \(\operatorname{Trans}(M[n])\) 为序数项。因此，根据归纳假设， \((M[n], n) \in \operatorname{Dom}(F)\) 。

由于 \(F_{M}\) 与基本列的关系， \((M, n) \in \mathrm{Dom}(F)\) 。

证毕。

至此，我们给出了 PSS 序列停机性的证明。