递增元序列

递增元序列(IUN)是由3183丶4139于2023年2月创造的一个记号，极限不明，极限基本列为$\sup \{(1),(1,2),(1,2,3),(1,2,3,4)\dots \}$。

概念与定义

   IUN虽然名字叫Notation，但是是一个自然数序列。一般情况下，IUN中能出现的最小数字是1，即用n个1表示序数n（当然把每一项减1，用n个0表示序数n也不影响）；例如(1,1,1,1)[0]=序数4。

   对于后继序数的处理，IUN类似于HH，即(A,1)[n]=(A)[n+1]，并定义()[n]=序数n，如(1,1,1,1)[0]=(1,1,1)[1]=(1,1)[2]=(1)[3]=()[4]=4。

   IUN仅在1,2,1,1,2之前与原始序列PrSS相同，因为IUN的基本单位不是单个的项，而是后继元。

   什么是后继元呢？在某一个序列的表达式中（以1,2,3,4,2,3,4,4为例），选取任意一项（如1,2,3,4,2,3,4,4），以这一项为中心，找到包含这一项的 1,2,3,4,5,6,...中的一部分（1,2,3,4,2,3,4,4），这个2,3,4就是一个后继元，每一项都是前一项的后继（注意必须选取其中最大长度的，这个后继元不能是单独的2,3）。

   名字叫“递增元序列”，想必递增元也是存在的。递增元和后继元类似，但每一项都不小于它的前一项就能构成递增元（1,2,3,4,2,3,4,4）。

   在IUN中，后继元远远比递增元重要，只是因为在IUN的发展过程中，在2月20号之前，IUN的核心还是递增元。

以下为IUN的数学定义（不做严谨分析的可以跳过）

 

以下是不严谨的语言描述（还是建议跳过）

 后继元：序列中以某个项为中心取最长的0,1,2,3,4,5,...中连续的一部分    单后继元：只由一个数构成的后继元    递增元：序列中以某个项为中心取最长的对应数列是不减数列的一部分    递增元差：递增元内的末项减首项    递增元位差：递增元内某一个后继元的末项减递增元的首项    待坏项：找到序列的末后继元；如果这个后继元不是单后继元，那么待坏项是这个后继元去掉末项；否则是单后继元减1    n阶待坏项：待坏项的待坏项的待坏项的...的待坏项的待坏项，最高阶待坏项就是1

如果末项是1，A,1[n]=A[n+1]；否则要找坏根：    若前面有2个相连且等差的后继元组，它们的首项与 单后继元的末项-1 形成等差数列，或与末项-1形成非常数等差数列；同时其中第二个后继元组的首项比它后面的项都要小(如果公差是0则可以并列最小)，则这个首项是坏根    否则在序列中找所有阶的待坏项，如果找到了，那么其中 待坏项末项序号最大的待坏项 的下一项就是坏根（该待坏项与末项不在同一个递增元时，需满足其所在的递增元位差不小于末递增元差），否则首项是坏根；

   设坏根是b，末项是x+1，令x=b+d，用A和C表示坏根前的项和坏根后的项，则整个序列等于A,b,C,x+1。A,b,C,x+1[n]=A,b,C,b+d,C+d,b+2d,C+2d,...,C+nd[n]，其中C+m表示C中的每一项都加上m。