Laver Table：修订间差异

2025年8月30日 (六) 22:46的版本

Laver 表（Laver Table）是 Richard Laver 在 1992 年提出的一个增长速度很快的表。^[1]

定义

考虑作用于 ${1, \dots, 2^{n}}$ 上的二元运算 $⋆_{n}$ ，它满足如下条件：

\begin{eqnarray*}a \star_n 0 & = & 0 \\a \star_n 1 & = & (a+1) \mod 2^n \\a \star_n i & = & (a \star_n (i-1)) \star_n (a \star_n 1) \ (i \neq 0,1)\end{eqnarray*}

Laver 表 $A_{n}$ 定义为唯一的取值为 $a ⋆_{n} b$ 的 $2^{n} \times 2^{n}$ 表。Laver 表可以用此^[2]进行计算。

注意这一定理仅适用于 2 的幂。假如我们考虑的二元运算作用于一般的 ${1, \dots, a}$ 上，其中 $a \neq 2^{n}$ ，则这样的二元运算 $⋆_{n}$ 将不是存在且唯一的。

我们定义如下函数的周期为 p(n):

$2^{n} \to 2^{n}$
$a \mapsto 1 ⋆_{n} a$

定义 q(n) 为函数 p(n) 的逆，即 $q (n) = \min {N | p (N) \geq 2^{n}}$ 。

取值

Laver 表

以下展示了前 6 个 Laver 表。^[3]

$⋆_{0}$ 的 Laver 表
	1
1	1

$⋆_{1}$ 的 Laver 表
	1	2
1	2	2
2	1	2

$⋆_{2}$ 的 Laver 表
	1	2	3	4
1	2	4	2	4
2	3	4	2	4
3	4	4	4	4
4	1	2	3	4

$⋆_{3}$ 的 Laver 表
	1	2	3	4	5	6	7	8
1	2	4	6	8	2	4	6	8
2	3	4	7	8	3	4	7	8
3	4	8	4	8	4	8	4	8
4	5	6	7	8	5	6	7	8
5	6	8	6	8	6	8	6	8
6	7	8	7	8	7	8	7	8
7	8	8	8	8	8	8	8	8
8	1	2	3	4	5	6	7	8

$⋆_{4}$ 的 Laver 表
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	2	12	14	16	2	12	14	16	2	12	14	16	2	12	14	16
2	3	12	15	16	3	12	15	16	3	12	15	16	3	12	15	16
3	4	8	12	16	4	8	12	16	4	8	12	16	4	8	12	16
4	5	6	7	8	13	14	15	16	5	6	7	8	13	14	15	16
5	6	8	14	16	6	8	14	16	6	8	14	16	6	8	14	16
6	7	8	15	16	7	8	15	16	7	8	15	16	7	8	15	16
7	8	16	8	16	8	16	8	16	8	16	8	16	8	16	8	16
8	9	10	11	12	13	14	15	16	9	10	11	12	13	14	15	16
9	10	12	14	16	10	12	14	16	10	12	14	16	10	12	14	16
10	11	12	15	16	11	12	15	16	11	12	15	16	11	12	15	16
11	12	16	12	16	12	16	12	16	12	16	12	16	12	16	12	16
12	13	14	15	16	13	14	15	16	13	14	15	16	13	14	15	16
13	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16
14	15	16	15	16	15	16	15	16	15	16	15	16	15	16	15	16
15	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16
16	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16

$⋆_{5}$ 的 Laver 表
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
1	2	12	14	16	18	28	30	32	2	12	14	16	18	28	30	32	2	12	14	16	18	28	30	32	2	12	14	16	18	28	30	32
2	3	12	15	16	19	28	31	32	3	12	15	16	19	28	31	32	3	12	15	16	19	28	31	32	3	12	15	16	19	28	31	32
3	4	8	12	16	20	24	28	32	4	8	12	16	20	24	28	32	4	8	12	16	20	24	28	32	4	8	12	16	20	24	28	32
4	5	6	7	8	13	14	15	16	21	22	23	24	29	30	31	32	5	6	7	8	13	14	15	16	21	22	23	24	29	30	31	32
5	6	24	30	32	6	24	30	32	6	24	30	32	6	24	30	32	6	24	30	32	6	24	30	32	6	24	30	32	6	24	30	32
6	7	24	31	32	7	24	31	32	7	24	31	32	7	24	31	32	7	24	31	32	7	24	31	32	7	24	31	32	7	24	31	32
7	8	16	24	32	8	16	24	32	8	16	24	32	8	16	24	32	8	16	24	32	8	16	24	32	8	16	24	32	8	16	24	32
8	9	10	11	12	13	14	15	16	25	26	27	28	29	30	31	32	9	10	11	12	13	14	15	16	25	26	27	28	29	30	31	32
9	10	28	30	32	10	28	30	32	10	28	30	32	10	28	30	32	10	28	30	32	10	28	30	32	10	28	30	32	10	28	30	32
10	11	28	31	32	11	28	31	32	11	28	31	32	11	28	31	32	11	28	31	32	11	28	31	32	11	28	31	32	11	28	31	32
11	12	16	28	32	12	16	28	32	12	16	28	32	12	16	28	32	12	16	28	32	12	16	28	32	12	16	28	32	12	16	28	32
12	13	14	15	16	29	30	31	32	13	14	15	16	29	30	31	32	13	14	15	16	29	30	31	32	13	14	15	16	29	30	31	32
13	14	16	30	32	14	16	30	32	14	16	30	32	14	16	30	32	14	16	30	32	14	16	30	32	14	16	30	32	14	16	30	32
14	15	16	31	32	15	16	31	32	15	16	31	32	15	16	31	32	15	16	31	32	15	16	31	32	15	16	31	32	15	16	31	32
15	16	32	16	32	16	32	16	32	16	32	16	32	16	32	16	32	16	32	16	32	16	32	16	32	16	32	16	32	16	32	16	32
16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
17	18	28	30	32	18	28	30	32	18	28	30	32	18	28	30	32	18	28	30	32	18	28	30	32	18	28	30	32	18	28	30	32
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19	20	24	28	32	20	24	28	32	20	24	28	32	20	24	28	32	20	24	28	32	20	24	28	32	20	24	28	32	20	24	28	32
20	21	22	23	24	29	30	31	32	21	22	23	24	29	30	31	32	21	22	23	24	29	30	31	32	21	22	23	24	29	30	31	32
21	22	24	30	32	22	24	30	32	22	24	30	32	22	24	30	32	22	24	30	32	22	24	30	32	22	24	30	32	22	24	30	32
22	23	24	31	32	23	24	31	32	23	24	31	32	23	24	31	32	23	24	31	32	23	24	31	32	23	24	31	32	23	24	31	32
23	24	32	24	32	24	32	24	32	24	32	24	32	24	32	24	32	24	32	24	32	24	32	24	32	24	32	24	32	24	32	24	32
24	25	26	27	28	29	30	31	32	25	26	27	28	29	30	31	32	25	26	27	28	29	30	31	32	25	26	27	28	29	30	31	32
25	26	28	30	32	26	28	30	32	26	28	30	32	26	28	30	32	26	28	30	32	26	28	30	32	26	28	30	32	26	28	30	32
26	27	28	31	32	27	28	31	32	27	28	31	32	27	28	31	32	27	28	31	32	27	28	31	32	27	28	31	32	27	28	31	32
27	28	32	28	32	28	32	28	32	28	32	28	32	28	32	28	32	28	32	28	32	28	32	28	32	28	32	28	32	28	32	28	32
28	29	30	31	32	29	30	31	32	29	30	31	32	29	30	31	32	29	30	31	32	29	30	31	32	29	30	31	32	29	30	31	32
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q 函数

事实上 $p (n)$ 是一个增长速度非常缓慢的函数。

我们有

$q (0) = 0$
$q (1) = 2$
$q (2) = 3$
$q (3) = 5$
$q (4) = 9$
$q (5) > f_{9} (f_{8} (f_{8} (254))),$ ，其中这里的 FGH 改版定义为 $f_{α + 1} (n) = f_{α}^{n + 1} (n)$

强度

Dougherty 证明了 $q^{n} (1) > f_{ω + 1} (⌊ l o g 3 n ⌋ - 1)$ 。^[4]

事实上，二元关系 $⋆_{n}$ 的存在唯一性以及函数 p(n) 的发散性并非显然的结果，它实际上与集合论中的嵌入有着深刻的联系。

事实上，p(n) 发散的结论是在 I3 公理下才能够得到证明的。因此，作为一个快速增长的函数，q(n) 的完全性（即在所有自然数 n 下都有定义）在 ZFC+I3

下得到了证明。用 googology 更熟悉（但是并不严格）的说法，我们目前认为 q(n) 的增长率的上界为 PTO(ZFC+I3)。

参考资料

↑ Laver, Richard. On the Algebra of Elementary Embeddings of a Rank into Itself. Retrieved 2014-08-23.
↑ 猫山にゃん太. Laver table - レイバーのテーブル[EB/OL]. 2022. https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/.
↑ Dehornoy, Patrick. Laver Tables (starting on slide 26). Retrieved 2018-12-11.
↑ Dougherty, Randall. Critical points in an algebra of elementary embeddings. Retrieved 2014-08-23.

[1] Laver, Richard. On the Algebra of Elementary Embeddings of a Rank into Itself. Retrieved 2014-08-23.

[2] 猫山にゃん太. Laver table - レイバーのテーブル[EB/OL]. 2022. https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/.

[3] Dehornoy, Patrick. Laver Tables (starting on slide 26). Retrieved 2018-12-11.

[4] Dougherty, Randall. Critical points in an algebra of elementary embeddings. Retrieved 2014-08-23.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ 第1行： / 第1行： @@
-Laver表是Richard Laver在1992 年提出的一个增长速度很快的表<ref>Laver, Richard. [http://arxiv.org/abs/math.LO/9204204 On the Algebra of Elementary Embeddings of a Rank into Itself]. Retrieved 2014-08-23. </ref>
+Laver 表（Laver Table）是 Richard Laver 在 1992 年提出的一个增长速度很快的表。<ref>Laver, Richard. [http://arxiv.org/abs/math.LO/9204204 On the Algebra of Elementary Embeddings of a Rank into Itself]. Retrieved 2014-08-23. </ref>
-== 定义 ==
+=== 定义 ===
-考虑作用于<math>\{1,\cdots,2^n\}</math>上的二元运算<math>\star_n</math>，它满足如下条件:
+考虑作用于 <math>\{1,\cdots,2^n\}</math> 上的二元运算 <math>\star_n</math>，它满足如下条件：
 \begin{eqnarray*}a \star_n 0 & = & 0 \\a \star_n 1 & = & (a+1) \mod 2^n \\a \star_n i & = & (a \star_n (i-1)) \star_n (a \star_n 1) \ (i \neq 0,1)\end{eqnarray*}
-Laver表<math>A_n</math>定义为唯一的取值为<math>a~\star_n~b</math>的<math>2^n\times2^n</math>表。Laver表可以用此<ref>猫山にゃん太. Laver table - レイバーのテーブル[EB/OL]. 2022. [https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/. https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/.]</ref>进行计算。
+Laver 表 <math>A_n</math> 定义为唯一的取值为 <math>a\ \star_n\ b</math> 的 <math>2^n\times2^n</math> 表。Laver 表可以用此<ref>猫山にゃん太. Laver table - レイバーのテーブル[EB/OL]. 2022. [https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/. https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/.]</ref>进行计算。
-注意这一定理仅适用于 2 的幂。假如我们考虑的二元运算作用于一般的<math>\{1,\cdots,a\}</math>上，其中<math>a\neq 2^n</math>，则这样的二元运算<math>\star_n</math>将不是存在且唯一的。
+注意这一定理仅适用于 2 的幂。假如我们考虑的二元运算作用于一般的 <math>\{1,\cdots,a\}</math> 上，其中 <math>a\neq 2^n</math>，则这样的二元运算 <math>\star_n</math> 将不是存在且唯一的。
 我们定义如下函数的周期为 p(n):
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 * <math>a\mapsto1\star_na</math>
-定义q(n)为函数p(n)的逆，即<math>q(n)=min\{N|p(N)\geq2^n\}</math>
+定义 q(n) 为函数 p(n) 的逆，即 <math>q(n)=\min\{N|p(N)\geq2^n\}</math>。
-== 取值 ==
+=== 取值 ===
-=== Laver表 ===
+==== Laver 表 ====
-以下展示了前6个Laver表<ref>Dehornoy, Patrick. [https://web.archive.org/web/20230429003832/https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Talks/Dyz.pdf Laver Tables] (starting on slide 26). Retrieved 2018-12-11.</ref>
+以下展示了前 6 个 Laver 表。<ref>Dehornoy, Patrick. [https://web.archive.org/web/20230429003832/https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Talks/Dyz.pdf Laver Tables] (starting on slide 26). Retrieved 2018-12-11.</ref>
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-=== q函数 ===
+=== q 函数 ===
-事实上<math>p(n)</math>是一个增长速度非常缓慢的函数。
+事实上 <math>p(n)</math> 是一个增长速度非常缓慢的函数。
 我们有
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 * <math>q(3)=5</math>
 * <math>q(4)=9</math>
-* <math>q(5) > f_9 (f_8 (f_8(254))) ,</math>,其中这里的FGH改版定义为<math>f_{\alpha+1}(n)=f_\alpha^{n+1}(n)</math>
+* <math>q(5) > f_9 (f_8 (f_8(254))) ,</math>，其中这里的 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 改版定义为 <math>f_{\alpha+1}(n)=f_\alpha^{n+1}(n)</math>
-== 强度 ==
+=== 强度 ===
-Dougherty 证明了<math>q^n(1) > f_{\omega+1} (\lfloor log3 n\rfloor - 1)</math><ref>Dougherty, Randall. [http://arxiv.org/abs/math.LO/9205202 Critical points in an algebra of elementary embeddings.] Retrieved 2014-08-23.</ref>
+Dougherty 证明了 <math>q^n(1) > f_{\omega+1} (\lfloor log3 n\rfloor - 1)</math>。<ref>Dougherty, Randall. [http://arxiv.org/abs/math.LO/9205202 Critical points in an algebra of elementary embeddings.] Retrieved 2014-08-23.</ref>
-事实上，二元关系<math>\star_n</math>的存在唯一性以及函数p(n)的发散性并非显然的结果，它实际上与集合论中的嵌入有着深刻的联系。
+事实上，二元关系 <math>\star_n</math> 的存在唯一性以及函数 p(n) 的发散性并非显然的结果，它实际上与集合论中的嵌入有着深刻的联系。
-事实上，p(n) 发散的结论是在I3公理下才能够得到证明的。因此，作为一个快速增长的函数，q(n) 的完全性（即在所有自然数 n 下都有定义）在 ZFC+I3
+事实上，p(n) 发散的结论是在 I3 公理下才能够得到证明的。因此，作为一个快速增长的函数，q(n) 的完全性（即在所有自然数 n 下都有定义）在 ZFC+I3
-下得到了证明。用[[googology]]更熟悉（但是并不严格）的说法，我们目前认为 q(n) 的增长率的上界为PTO(ZFC+I3)
+下得到了证明。用 [[googology]] 更熟悉（但是并不严格）的说法，我们目前认为 q(n) 的增长率的上界为 [[证明论序数|PTO(ZFC+I3)]]。
 == 参考资料 ==
 {{默认排序:相关问题}}
 [[分类:记号]]

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