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| 第3行： |
第3行： |
| <math>\mathbf{L}_a \prec \mathbf{L}_{a+1} \Longrightarrow a</math> 是 <math>\Pi^1_0</math>-反射。 | | <math>\mathbf{L}_a \prec \mathbf{L}_{a+1} \Longrightarrow a</math> 是 <math>\Pi^1_0</math>-反射。 |
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| 大数花园数（英语：The Large Number Garden Number，缩写：LNGN，日语：巨大数庭園数）是 <math>f^{10}(10 \uparrow^{10} 10)</math> 大数的缩写名称。这里 <math>f(\cdot)</math> 是超越高阶集合论的一阶理论中定义的函数。
| | 确实很过高 |
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| '''理论'''
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| 首先，通过在具有可数多个变量项符号和集合隶属关系符号 <math>\in</math> 的一阶集合论语言中加入一个一元函数符号 <math>U</math> 来定义语言 L。将 ZF<sub>L</sub> 定义为属于 ZF 集合论公理的 L 公式集合。在这里，ZF<sub>L</sub> 中理解和替换的公理模式由所有 L-公式（即可以包含 <math>U</math> 的公式）参数化。 通过使用显式 Gödel 对应关系将可数多个常数项符号、可数多个函数符号、可数多个关系符号和一个新的一元函数符号 \Theta 添加到 L 的显式形式化中，定义一阶逻辑的形式语言 L。然后，我们用 ZFC<sub>L</sub> 表示属于 ZFC 集合论公理的 L-公式集合，在这里，ZFC<sub>L</sub> 中理解和替换的公理模式由所有 L-公式参数化，即公式可以包括 <math>U</math> 的形式化，附加常数项符号，附加函数符号，附加关系符号和 <math>\Theta</math>。 我们将 <math>\varepsilon_0</math> 和 L-公式下面的序数显式编码为 ZF<sub>L</sub> 中的自然数，并将 Henkin 公理“如果存在满足 <math>P</math> 的 x，则 <math>\Theta(n)</math> 满足 <math>P</math>”的形式化，对于每个变量项符号 x，每个带有代码 n 的 L-公式 <math>P</math> 通过重复后继运算形式化为 ZFC<sub>L</sub>，
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| 用 ZFCH<sub>L</sub> 表示由 Henkin 公理模式增强的理论 ZFC<sub>L</sub>。新的函数符号 <math>\Theta</math> 起着“Henkin 常数族”的作用。请不要混淆基本理论 ZF<sub>L</sub> 和形式化理论 ZFCH<sub>L</sub>。用 <math>U1</math> 表示 L-公式“对于任何序数 <math>\alpha</math>，<math>U(\alpha) \vDash \text{ZFCH}_{\text{L}}</math>”。在 <math>U1</math> 增强的 ZFC<sub>L</sub> 下，<math>U(\alpha)</math> 形成了 ZFC<sub>L</sub> 的模型，从而形成了任何序数 <math>\alpha</math> 的 L-结构。我们用 <math>U^{U(\alpha)}</math> 表示 <math>U(\alpha)</math> 中 <math>U</math> 的解释。我们用 <math>U2</math> 表示 L-公式“对于任何序数 <math>\alpha</math> 和任何 <math>\beta \in \alpha</math>，<math>U^{U(\alpha)} = U(\beta)</math>”，用 <math>U3</math> 表示 L-公式“对于任何序数 <math>\alpha</math>，存在一个序数 <math>\beta</math> 使得 <math>\vert U(\alpha)\vert = \text{V}_\beta</math>，对于任何 <math>x \in \text{V}_\beta</math> 和任何 <math>y \in \text{V}_\beta</math>，<math>x \in^{U(\alpha)} y</math> 等价于 <math>x \in y</math>”，其中 <math>\text{V}_\beta</math> 表示 von Neumann 层次。将 T 定义为 L-公式的集合 <math>\text{ZF}_{\text{L}} \cup \{U1, U2, U3\}</math>。
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| '''嵌入'''
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| 通过给 ZFC 集合论中每个原子式 <math>x_i \in x_j</math> 赋值 L-公式 <math>\{x_i \in x_j\} \wedge \{x_j \in U(0)\}</math>，理论 T 可以看作是 ZFC 集合论的扩展。特别是，ZFC 集合论中定义的集合 <math>N</math> 在 <math>U(0)</math> 处被解释为 T 的项，这与 ZF<sub>L</sub> 下定义的项 <math>N</math> 一致，因为 <math>U(0)</math> 是 ZFC<sub>L</sub> 的传递模型。因此，在 ZFC 集合论中可定义的大数也可以在 T 中定义，并形成一个大数项。此外，由于 L 承认可数无限多的常数项符号、函数符号和关系符号，因此，即使是在 ZFC 集合论中加入可数多个常数项符号、函数符号和关系符号的理论中的闭式，也可以在 <math>U(0)</math> 处解释为 T 中的闭式。此外，通过给未排序的 MK 集合论中的每个原子公式 <math>x_i \in x_j</math> 赋值 L-公式 <math>\{x_i \in x_j\} \wedge \{x_j \in U(0)\}</math>，理论 T 可以看作是 MK 集合论的扩展。粗略地说，<math>U(0)</math> 在形式上起着一阶集合论宇宙的作用，<math>U(0)</math> 的幂集在形式上起着二阶集合论和一阶类理论的宇宙的作用，它的幂集在形式上起着三阶集合论宇宙的作用。由于它们都包含在 <math>U(1)</math> 中，因此 <math>U</math> 正式扮演着高阶集合论宇宙的严格递增序列的角色。请注意，这种严格递增序列的存在可以在 ZFC 集合论中构造，并由 Grothendieck 宇宙公理增强，这在通常的数学中出现。
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| '''大数'''
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| 显式定义一个满射映射：<math>\text{CNF}: N \rightarrow \varepsilon_0</math> 使用 Cantor 范式。 对于 L-公式 <math>P</math>，用 <math>\text{IsDefinition}(P)</math> 表示 L-公式“存在一个 x，使得 <math>P</math> 并且对于任何 <math>i</math>，<math>(P)[i/x]</math> 意味着 <math>i = x</math>”。用 <math>\text{Definable}(m, i, P)</math> 表示 L-公式“<math>i \in N</math>，<math>P</math> 是 L-公式，<math>U(\text{CNF}(i)) \vDash \text{IsDefinition}(P)</math>，<math>U(\text{CNF}(i)) \vDash (P)[m/x]</math>”，其中 <math>P[/x]</math> 中的 m<math>m</math> 以显式方式被视为参数。对于 <math>n \in N</math>，将 <math>f(n)</math> 定义为满足 <math>i \in N, P \in N</math> 和 <math>\text{Definable}(m, i, P)</math> 的 <math>m \in N</math> 之和，这样，最终就有一个不可计算的大函数 <math>f: N \rightarrow N, n \mapsto N</math>。从这里开始，大数花园数是 <math>f^{10}(10 \uparrow^{10} 10)</math>。
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| {{默认排序:相关问题}}
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| [[分类:经典大数]]
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| [[分类:记号]]
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