Mountain Notation

前定义

山脉系列的矩阵由列组成，它可以表示为 $A_1{A}_2\cdots A_{n-1}{A}_n$ 的形式，其中 $A_i$ 为各列，$n$ 是非负整数。把所有列从左到右列出来，列标大为右，最左列的列标是 1。

列由元素组成，它可以表示为 $a_1{a}_2\cdots a_{n-1}{a}_n$ 的形式，其中 $a_i$ 为各元素，$n$ 是非负整数。把所有元素从下到上列出来，行标大为上，每一列还额外存在一个元素，位于最下端的行标 0 处。

元素由两部分构成：值、分隔符。值是正整数，代表该元素向左下伸出的左腿要跨越到第几列（左腿元素的行标则小于本元素，且左腿元素是满足条件的所有元素之中的最上者）。分隔符代表元素与它下方一格元素的行标差，这个行标差总是 $\omega$ 的次方，于是该次方数称作本元素的维度（其实维度、分隔符也就是一个意思）。元素的写法是先写分隔符，再写值。至于分隔符的具体表达，则与具体的记号有关。

为了可计算地表达行标，它需要一个记号。（每一列最下端元素的）行标 0 用表达。如果一个元素 $a$ 的行标是 $A$，它上方一格元素 $b$ 的分隔符是 $B$，那么 $b$ 的行标则是 $A+B$。此处的“+”是“行标加”运算，其定义如下：

$[A_1\oplus A_2\cdots \oplus A_n]+B=[A_1\oplus A_2\cdots \oplus A_j\oplus B]j=\max (\{i\le n|A_i\ge B\}\cup \{0\})$

行标的大小比较方式为以分隔符为单位，按字典序比较。至于分隔符的大小关系，则与具体的记号有关。

山脉系列记号同样沿用了山脉图中的一些概念。

• 父元：从一个元素 a 出发，先沿右腿向上一格，再沿左腿向左下一步，就到达 a 的父元。
• 祖先：“父元”关系的传递闭包。此处祖先不含自身。
• 后代：如果 a 是 b 的祖先，那么 b 是 a 的后代。
• 右上角：最右列中最上端的元素。
• 根元素与具体的记号有关。
• 根元素所在的列是根列，但根列元素并非其字面含义。
• 根列元素指的是根元素及其下方所有元素。注意：不含根元素上方的元素！
• 参考元素与具体的记号有关。但一般而言，一个根列元素会对应一个或更多个参考元素。
• 复制部分是根列以右（不含）、最右列以左（含）的部分。其宽度称为复制宽度。
• magma 元素：任何一个根列元素 a 都对应一个或更多个 magma 元素。a 对应的 magma 元素是（在复制部分中）a 的同行后代。这样的对应可以用到所有根列元素上。把这些 magma 元素都收集起来，就是所有的 magma 元素了。
• 减一操作：在 Y 系列记号中就是简单的把原序列最右元素减去 1，但在山脉系列记号则稍显复杂，而且与具体的记号有关。

定义

ωMN

ω 山脉记号（ωMN）是将 ω-Y 的山脉图显式写出，并作些简化得到的记号。

定义分隔符：分隔符是多重逗号（连续写正整数个逗号），分隔符的大小关系就是逗号数量的大小关系。

ωMN 的简单规则如下：

1. 零规则：$[n]=n$
2. 后继规则：$A_1{A}_2\cdots A_X()[n]=A_1{A}_2\cdots A_X[n^2]$

其主流表达式为：$f(n)=()(\underset{n}{\underbrace{,,\cdots ,,1}})[n]$。由主流表达式展开简单规则所得的矩阵都是标准表达式。

如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开，此时就需要定义根元素、参考元素、减一操作之类的概念。

• 定义根元素：从右上角出发，沿左腿向左下一步，就到达根元素。
• 定义顶元素：除了第 0 行元素以外，其它根列元素都是顶元素。此外，右上角也是顶元素。于是顶元素、根列元素数量相等。二者都从下到上排列，于是形成一一对应。
• 定义参考元素：每一对（根列元素, 顶元素）都对应一个或更多个参考元素。最右列之中，行标（大于等于根列元素行标）且（小于顶元素行标）的那些元素，就是这个配对对应的（也可以说：根列元素对应的）参考元素。

定义减一操作：按下列步骤修改矩阵。

1. 设右上角的分隔符是 k 重逗号。右上角沿左腿向左下走一步，到达行标 A；右上角沿右腿向下一格，到达行标 B。
2. 如果 k = 1，则删掉右上角，然后跳到第 4 步。如果 k > 1，继续第 3 步。
3. 如果 A + (k − 1 重逗号 ) ≤ B，则删掉右上角，否则把右上角的分隔符从 k 重逗号改为 k − 1 重逗号。
4. 把根元素上方的元素（不含根元素）都复制到最右列上方。

展开流程如下：

首先确定右上角、根列元素、顶元素。然后做减一操作。然后确定复制部分、复制宽度、magma 元素。对于矩阵 [n]，接下来要做 n 轮延伸，每一轮延伸都有编号：1, 2, . . . , n。

每一轮延伸的步骤如下：

先确定参考元素（注意，此时的矩阵可能已经做了若干延伸，而不再是原来的矩阵或者减一之后的矩阵）。然后，从左到右逐列地把复制部分的元素（称为源元素）复制到右边的新增列中（目标元素）。对于每一个“源元素列”的复制，从下到上应对那些元素。第 0 行的元素需要应对，但它不会作为源元素。最上端的元素不需应对，但它会作为源元素。

非 magma 元素 a。从 a 沿右腿向上一格，到达的元素 x 是待复制的源元素。它只能复制成一个目标元素。此类复制，目标元素的分隔符与 x 相同。如果 x 的值小于根列的列标，那么目标元素的值与 x 相同。如果 x 的值大于等于根列的列标，那么目标元素的值等于 x 的值加上 w · m，其中是 w 复制宽度，m 是延伸的编号。

magma 元素 a。从 a 沿右腿向上一格，到达的元素 x 是待复制的源元素。它可能复制成一个或更多个目标元素。找到 a 所在行的根列元素，然后找到这个根列元素对应的参考元素。每个参考元素将得出一个目标元素。此类复制，目标元素的值等于 x 的值加上 w · m，其中是 w 复制宽度，m 是延伸的编号。对于不是最上端的参考元素，沿右腿向上一格，到达一个元素，其分隔符为 K。于是目标元素的分隔符是 K。对于最上端的参考元素，目标元素的分隔符与 x 相同。

TωMN

超限 ωMN（Transfinite ω Mountain Notation, TωMN）是 ωMN 的简单扩展，它有 Ω 行的结构。TωMN 之于 ωMN，就好比 Ω 行 BMS 之于 BMS，它应该说算是一种比较弱的扩展。

定义分隔符：分隔符是非空矩阵。分隔符 $\underset{n}{\underbrace{()()\cdots ()()}}$ 也可以简写为 n 重逗号。

元素的大小比较：两元素相比，先比其值，如果值不等，则得出结果；如果值相等，再比分隔符，分隔符的比较结果就是元素的比较结果。

列的大小比较：以元素为单位，按字典序比较。

矩阵的大小比较（也就是分隔符的大小比较）：以列为单位，按字典序比较。

其简单规则如下：

1. 零规则：$[n]=n$
2. 后继规则：$A_1{A}_2\cdots A_X()[n]=A_1{A}_2\cdots A_X[n^2]$
3. 极限维度规则：如果右上角的分隔符是” 最右列不是 ( )” 的矩阵，那么展开此分隔符。

主流表达式：$f(n)=A_n[n]$，其中 $A_0=(),A_{i+1}=()(A_{i}1)$。

如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开。此时就需要定义根元素、参考元素、减一操作之类的概念了。根元素、参考元素的定义与 ωMN 相同。

定义减一操作：按下列步骤修改矩阵。

1. 设右上角的分隔符是 $M_1{M}_2\cdots M_X()$。右上角沿左腿向左下走一步，到达行标 A；右上角沿右腿向下一格，到达行标 B 。
2. 如果 X = 0 ，则删掉右上角，然后跳到第 4 步。如果 X > 0 ，继续第 3 步。
3. 如果 $A+M_1{M}_2\cdots M_X\le B$，则删掉右上角，否则把右上角的分隔符从 $M_1{M}_2\cdots M_X$ 改为 $M_1{M}_2\cdots M_X$。
4. 把根元素上方的元素（不含根元素）都复制到最右列上方。

其展开流程与 ωMN 完全相同。

MωMN

变异 ωMN（Mutant ω mountain notation,MωMN）是 ωMN 的改版，增加了一点急模式的特质，但更类似于 mutant matrix，而不像 hyper matrix、sudden matrix 那样整块地比较矩阵大小。

MωMN 的分隔符、简单规则都与 ωMN 相同。

如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开。此时就需要定义根元素、参考元素、减一操作之类的概念了。

• 按下列流程确定根元素：从右上角出发。设右上角的分隔符是 k 重逗号。如果 k = 1，那么沿左腿向左下走一步。到达的元素就是根元素。如果 k > 1，则继续后续的步骤。沿左腿向左下走一步。如果当前元素在第 0 行，则令 i = 0，否则设当前元素的分隔符是 i 重逗号。如果 i ≥ k，则回到步骤 3。否则，当前元素就是根元素。
• 定义参考元素：对于不是根元素的根列元素 a，从 a 沿右腿向上一格，到达根列元素 b。最右列之中，行标（大于等于 a 行标）且（小于 b 行标）的那些元素，就是 a 对应的参考元素。根元素对应的参考元素，是最右列之中，行标（大于等于根元素行标）且（小于等于“从右上角沿右腿向下一格到达的元素”的行标）的那些元素。

减一操作的定义与 ωMN 相同。

其展开流程如下：

对于矩阵 [n]，接下来要做 n 轮延伸。每一轮延伸都有编号：1, 2, . . . , n。最后去掉最右列，才完成整个展开流程。

每一轮延伸的步骤如下：首先确定右上角、根列元素、复制部分、复制宽度、magma 元素。然后做减一操作。然后确定参考元素。然后，从左到右逐列地把复制部分的元素（称为源元素）复制到右边的新增列中（目标元素）。每一列的处理过程，与 ωMN 相同。

MTωMN

既然有 MωMN 、有 TωMN ，那么接下来，mutant transfinite ω mountain notation（MTωMN ），就融入了"mutant"与"transfinite"两种特质。实质上它是在 TωMN 的基础上，改用 mutant 的方法来找根元素。MTωMN 的分隔符、简单规则都与 TωMN 相同。

如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开。此时就需要定义根元素、减一操作之类的概念了。根元素的定义与 MωMN 完全相同。减一操作的定义与 TωMN 完全相同。展开流程与 MωMN 完全相同。

Dω·2MN

defective ω·2 mountain notation（Dω·2MN）是ω·2 mountain notation的一个尝试。ω·2 mountain notation的含义，是有ω·2种分隔符。

已知Y和TBMS都是BMS的扩展，前者只有ω^2行的结构却能远远超越后者的Ω行结构（不止如此，前者甚至还没有用完ω+1行结构，就已经在Y(1,3,4,2,5,8,10)处达到后者的$\mathrm{\Omega }$行结构）。归根结底，这是由于Y具有一种特别的、TBMS不具有的提升。TBMS中，极限序数行只意味着最右列会变为极限序数下的大行标，而非最右列没有行标的增长。Y中，最右列出现极限序数行时，不论是最右列还是非最右列，都存在行标的增加。Y的这种现象称作eruption。同样，为了真正强烈地超越ωMN，而不是像TωMN那样弱，需要引入一种新型的提升：拉伸。在TωMN中，极限序数行只意味着最右列的分隔符会变为极限序数下的大分隔符，而非最右列的分隔符没有增长。接下来，在Dω·2MN（或者其它>ω mountain notation）中，最右列出现极限序数行时，不论是最右列还是非最右列，都存在分隔符的增加。分隔符的增加意味着同列相邻元素的距离变远了，“拉伸”因而得名。

定义分隔符：

分隔符由两部分组成：（写在左边）0~1个分号、（写在右边）非负整数个逗号。

分隔符的大小关系：两分隔符相比，先比其分号数，如果不等，则得出结果；如果分号数相等，再比逗号数，逗号数的比较结果就是分隔符的比较结果。规定第0行元素具有0个分号、0个逗号组成的分隔符。它仍在第0行（行标为[]）。以逗号结尾的分隔符称作后继分隔符（其前继是它去掉结尾的逗号）。否则称作极限分隔符。在本记号中，非空极限分隔符只有“;”一种。

其简单规则如下

1. 零规则：$[n]=n$
2. 后继规则：$A_1{A}_2\cdots A_X()[n]=A_1{A}_2\cdots A_X[n^2]$

主流表达式：$f(n)=()(;,,\cdots ,,1)[n]$.由主流表达式展开，用简单规则得到的矩阵都是标准式。 如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开。此时就需要定义根元素、参考元素、减一操作之类的概念了。对于>ω mountain notation而言，还要定义拉伸相关的概念。 定义根元素：从右上角出发，沿左腿向左下一步，就到达根元素。（其实这个根元素的定义与ωMN相同）

定义拉伸阈：每一对(根列元素,顶元素)都有至多一个拉伸阈。拉伸阈是个分隔符。如果顶元素的分隔符是后继分隔符，则没有拉伸阈。其它情况，顶元素的分隔符是极限分隔符“;”。如果根列元素的分隔符≥顶元素的分隔符，则拉伸阈是1重逗号。设根列元素的分隔符是n重逗号，则拉伸阈是n+1重逗号。

定义拉伸量：每一对(根列元素,顶元素)，有拉伸量。拉伸量是个非负整数。如果没有拉伸阈，则拉伸量为0。如果参考元素只有1个，则拉伸量为0。如果顶元素分隔符>最上参考元素的分隔符≥拉伸阈，设拉伸阈是n重逗号，最上参考元素的分隔符是m重逗号，则拉伸量为m-n+1。其它情况，拉伸量为0。

定义减一操作：按下列步骤修改矩阵。

1. 设右上角的分隔符是M。右上角沿左腿向左下走一步，到达的元素具有分隔符A、行标α；右上角沿右腿向下一格，到达的元素具有分隔符B、行标β。
2. 判断M的种类：
   1. M是1重逗号。删掉右上角，然后跳到（外层的）第3步。
   2. M是后继分隔符。记M的前继为M'。如果α+M'≤β，则删掉右上角；否则把右上角的分隔符从M改为M'。然后跳到第3步。
   3. M是极限分隔符“;”。
      1. 如果A≥M则令j=1。否则设A是i重逗号，则令j=i+1。
      2. 如果α<β且B是≥j重逗号，则删掉右上角；否则把右上角的分隔符从M改为j重逗号。
      3. 跳到第3步。
3. 把根元素上方的元素（不含根元素）都复制到最右列上方。

以下是展开流程：

对于矩阵[n]，接下来要做n轮延伸。每一轮延伸都有编号：1、2……、n。最后去掉最右列，才完成整个展开流程。

每一轮延伸的步骤如下：首先确定右上角、根列元素、顶元素、复制部分、复制宽度、magma元素。然后做减一操作。然后确定参考元素、拉伸阈、拉伸量。然后，从左到右逐列地把复制部分的元素（称为源元素）复制到右边的新增列中（目标元素）。

对于每一个“源元素列”的复制，从下到上应对那些元素。第0行的元素需要应对，但它不会作为源元素。最上端的元素不需应对，但它会作为源元素。

非magma元素a。从a沿右腿向上一格，到达的元素x是待复制的源元素。它只能复制成一个目标元素。

如果x的值小于根列的列标，那么目标元素的值与x相同。

如果x的值大于等于根列的列标，那么目标元素的值等于x的值加上复制宽度。

如果x的分隔符大于等于顶元素分隔符或小于拉伸阈，或者没有拉伸阈，则目标元素的分隔符与x相同。

否则，目标元素的分隔符是“x的分隔符后面添加(拉伸量)重逗号”。

magma元素a。从a沿右腿向上一格，到达的元素x是待复制的源元素。它可能复制成一个或更多个目标元素。找到a所在行的根列元素，然后找到这个根列元素对应的参考元素。每个参考元素将得出一个目标元素。

此类复制，目标元素的值等于x的值加上复制宽度。

对于不是最上端的参考元素，沿右腿向上一格，到达一个元素，其分隔符为K。于是目标元素的分隔符是K。

对于最上端的参考元素。

如果x的分隔符大于等于顶元素分隔符或小于拉伸阈，或者没有拉伸阈，则目标元素的分隔符与x相同。

否则，目标元素的分隔符是“x的分隔符后面添加(拉伸量)重逗号”。

注意到减一操作可能引入左腿跨越“非ω的次方”行，即M是分号、α+(j重逗号)≤β、但B<j重逗号的情况。这是ωMN、TωMN没有的情况。在此情况下，右上角的分隔符从M改成了j重逗号，形成新的元素m。这个元素m，今后它作为某个根列元素时，在拉伸的判断下显得像j重逗号。然而，元素m在展开时，其分隔符却显示出比“β与α的差值”还要大的跨度。这种不匹配的错位（defect）也直接地表现为“左腿跨越非ω的次方行”。

典型例子：

$()(;1)(,2;1)(,3,3)(,1)(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,7;5)$，粗体为根元素。

初次减一后得$()(;1)(,2;1)(,3,3)(,1)(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,7,,5)$，粗体为根元素及其对应的最上参考元素。

第一轮延伸时，拉伸阈为2重逗号，拉伸量为1。得到$()(;1)(,2;1)(,3,3)(,1)(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,7,,5)(,8,,8,8,,8;8)(,9,,9,9,,9,,,9;8)(,10,,10,10,,10,,,10,10;8)$，粗体为根元素。

最终展开为$()(;1)(,2;1)(,3,3)(,1)(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,7,,5)(,8,,8,8,,8;8)(,9,,9,9,,9,,,9;8)(,10,,10,10,,10,,,10,10,,,8)(,11,,11,11,,11,,,11,11,,,11;11)(,12,,12,12,,12,,,12,12,,,12,,,,12;11)(,13,,13,13,,13,,,13,13,,,13,,,,13,13,,,,11)\cdots \cdots$

关于它的强度以及相对于$T\omega MN$的提升，参见词条TωMN VS ω·2MN

Aω·2MN

astral ω·2 mountain notation（Aω·2MN）是ω·2 mountain notation的另一个尝试。

在Dω·2MN中，每个根列元素都成了拉伸的判断依据。要与之匹配，则减一操作时，根元素对应的最上参考元素必须按Dω·2MN定义中的那种方式变化，才能让每次最右列出现极限分隔符时有合理的拉伸。然而，还有一种方式来判断拉伸的依据。这种方式需要让一部分元素“不作为判断拉伸的依据”，因此判断的时候要跳过它们，找它们下方的元素。这些元素要有额外的标记，这里就用星号（*）来表示。

于是，每个元素由三部分构成：值、分隔符、星标。值是正整数，代表该元素向左下伸出的左腿要跨越到第几列（左腿元素的行标则小于本元素，且左腿元素是满足条件的所有元素之中的最上者）。分隔符代表元素与它下方一格元素的行标差，这个行标差总是ω的次方。星标是只有“有”“无”取值的布尔值，代表本元素作为判断拉伸的依据之否定。元素的写法是先写分隔符，再（如果有星标则写星号，否则不写任何东西），再写值。

分隔符的定义与Dω·2MN相同。简单规则与Dω·2MN相同。 如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开。此时就需要定义根元素、参考元素、减一操作、拉伸阈、拉伸量之类的概念了。对于Aω·2MN，还有额外的标记操作。 根元素的定义与ωMN相同。

定义函数S(a)，其中a是元素。如果a有星标，则S(a)是S(a沿右腿向下一格)，否则S(a)是a的分隔符。

定义拉伸阈：每一对(根列元素,顶元素)都有至多一个拉伸阈。拉伸阈是个分隔符。如果顶元素的分隔符是后继分隔符，则没有拉伸阈。其它情况，顶元素的分隔符是极限分隔符“;”。如果S(根列元素)≥顶元素的分隔符，则拉伸阈是1重逗号。设S(根列元素)是n重逗号，则拉伸阈是n+1重逗号。

定义拉伸量：每一对(根列元素,顶元素)，有拉伸量。拉伸量是个非负整数。如果没有拉伸阈，则拉伸量为0。

其它情况，作下列流程：

1. 从最上参考元素出发。
2. 如果当前元素与根列元素同行，则拉伸量为0。结束流程。
3. 设当前元素的分隔符是M。
4. 如果顶元素分隔符>M≥拉伸阈，设M是m重逗号，拉伸阈是n重逗号，则拉伸量为m-n+1。结束流程。
5. 沿右腿向下一格。回到步骤2。

定义减一操作：按下列步骤修改矩阵。

1. 设右上角的分隔符是M。右上角沿左腿向左下走一步，到达的元素a具有行标α；右上角沿右腿向下一格，到达的元素具有分隔符B、行标β。
2. 判断M的种类：
   1. M是1重逗号。删掉右上角，然后跳到（外层的）第3步。
   2. M是后继分隔符。记M的前继为M'。如果α+M'≤β，则删掉右上角；否则把右上角的分隔符从M改为M'。然后跳到第3步。
   3. M是极限分隔符“;”。
      1. 如果S(a)≥M则令M'是1重逗号。否则设S(a)是i重逗号，则令M'是i+1重逗号。
      2. 如果α+M'≤β，则删掉右上角；否则把右上角的分隔符从M改为M'。
      3. 跳到第3步。
3. 把根元素上方的元素（不含根元素）都复制到最右列上方。

定义标记操作：对于每一对(根列元素,顶元素)，都按下列步骤修改矩阵。

1. 从最上参考元素出发。
2. 如果当前元素与根列元素同行，则结束流程。
3. 设当前元素的分隔符是M。
4. 如果M<拉伸阈，则把当前元素设为“有星标”。
5. 如果顶元素>M≥拉伸阈，则结束流程。
6. 沿右腿向下一格。回到步骤2。

以下是展开流程：

对于矩阵[n]，接下来要做n轮延伸。每一轮延伸都有编号：1、2……、n。最后去掉最右列，才完成整个展开流程。

每一轮延伸的步骤如下：首先确定右上角、根列元素、顶元素、复制部分、复制宽度、magma元素。然后做减一操作。然后确定参考元素、拉伸阈、拉伸量，再做标记操作。然后，从左到右逐列地把复制部分的元素（称为源元素）复制到右边的新增列中（目标元素）。

对于每一个“源元素列”的复制，从下到上应对那些元素。第0行的元素需要应对，但它不会作为源元素。最上端的元素不需应对，但它会作为源元素。

非magma元素a。从a沿右腿向上一格，到达的元素x是待复制的源元素。它只能复制成一个目标元素。

如果x的值小于根列的列标，那么目标元素的值与x相同。

如果x的值大于等于根列的列标，那么目标元素的值等于x的值加上复制宽度。

如果x的分隔符大于等于顶元素分隔符或小于拉伸阈，或者没有拉伸阈，则目标元素的分隔符与x相同。 否则，目标元素的分隔符是“x的分隔符后面添加(拉伸量)重逗号”。

目标元素的星标与x相同。

magma元素a。从a沿右腿向上一格，到达的元素x是待复制的源元素。它可能复制成一个或更多个目标元素。找到a所在行的根列元素，然后找到这个根列元素对应的参考元素。每个参考元素将得出一个目标元素。

此类复制，目标元素的值等于x的值加上复制宽度。

对于不是最上端的参考元素，沿右腿向上一格，到达一个元素k。于是目标元素的分隔符、星标与k相同。

对于最上端的参考元素。如果x的分隔符大于等于顶元素分隔符或小于拉伸阈，或者没有拉伸阈，则目标元素的分隔符与x相同。否则，目标元素的分隔符是“x的分隔符后面添加(拉伸量)重逗号”。

目标元素的星标与x相同。

在Dω·2MN中，每个根列元素都成了拉伸的判断依据；与之匹配的是最上端的参考元素。

而在Aω·2MN中，最上端的参考元素可能不够大，便用它下方最近的“足够大”的参考元素作为拉伸的判断依据。由此，要想与之匹配，根列元素就需要星标，延续“它下方最近的足够大的参考元素”这一思想。

典例分析：$()(;1)(,2;1)(,3,3)(,1)(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,7;5)$，粗体为根元素。

减一后得$()(;1)(,2;1)(,3,3)(,1)(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,7)$，粗体为根元素及其对应的最上参考元素。

拉伸阈为2重逗号，拉伸量为1。

标记后得$()(;1)(,2;1)(,3,3)(,1)(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,*7)$。然后延伸出更多列。

最终展开为$()(;1)(,2;1)(,3,3)(,1)(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,*7)(,8,,8,*8;8)(,9,,9,*9,,,9;8)(,10,,10,*10,,,10,*10)(,11,,11,*11,,,11,*11;11)(,12,,12,*12,,,12,*12,,,,12;11)(,13,,13,*13,,,13,*13,,,,13,*13)$……

$D{\omega }^{2}MN$

defective ω^2 mountain notation（Dω^2MN）是Dω·2MN的进一步扩展，是ω^2MN的一种尝试。因为astral型定义比较复杂，所以我选用了defective型的定义。虽不太完美，但好在定义比astral简单一点点。ω^2MN，意思是有ω^2种分隔符的mountain notation。

Dω·2MN有一种极限分隔符“;”，由此有一种拉伸：一部分小于分号的分隔符（有拉伸阈的要求）扩大了，但仍小于分号。在ω^2MN中，那就有ω种极限分隔符，它们是n重分号，由此有拉伸：一部分小于n重分号的分隔符（有拉伸阈的要求）扩大了，但仍小于n重分号。

定义分隔符：分隔符由两部分组成：（写在左边）非负整数个分号、（写在右边）非负整数个逗号。分隔符的大小关系：两分隔符相比，先比其分号数，如果不等，则得出结果；如果分号数相等，再比逗号数，逗号数的比较结果就是分隔符的比较结果。规定第0行元素具有0个分号、0个逗号组成的分隔符。它仍在第0行（行标为[]）。以逗号结尾的分隔符称作后继分隔符（其前继是它去掉结尾的逗号）。否则称作极限分隔符。

简单规则与Dω·2MN相同。主流表达式：$f(n)=()(;;;\cdots ;;1)[n]$.由主流表达式展开，用简单规则得到的矩阵都是标准式。 如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开。此时就需要定义根元素、减一操作、拉伸阈、拉伸量之类的概念了。 对于极限分隔符M=n重分号，记M[i] = n-1重分号后跟i重逗号（i只取正整数）。

根元素的定义与ωMN相同——从右上角出发，沿左腿向左下一步，就到达根元素。

定义拉伸阈：每一对(根列元素,顶元素)都有至多一个拉伸阈。拉伸阈是个分隔符。如果顶元素的分隔符是后继分隔符，则没有拉伸阈。其它情况，顶元素的分隔符是极限分隔符——设它是M。如果根列元素的分隔符≥M，则拉伸阈是M[1]。如果根列元素的分隔符<M，则拉伸阈是M[n]，其中n是使得“M[i]>根列元素的分隔符”的最小正整数i。

定义拉伸量：每一对(根列元素,顶元素)，有拉伸量。拉伸量是个非负整数。如果没有拉伸阈，则拉伸量为0。如果参考元素只有1个，则拉伸量为0。如果顶元素分隔符>最上参考元素的分隔符≥拉伸阈：设拉伸阈是n重分号后跟m重逗号，最上参考元素的分隔符是n重分号后跟k重逗号，则拉伸量为k-m+1。其它情况，拉伸量为0。

定义减一操作：按下列步骤修改矩阵。

1. 设右上角的分隔符是M。右上角沿左腿向左下走一步，到达的元素具有分隔符A、行标α；右上角沿右腿向下一格，到达的元素具有分隔符B、行标β。
2. 判断M的种类：
   1. M是1重逗号。删掉右上角，然后跳到（外层的）第3步。
   2. M是后继分隔符。记M的前继为M'。如果α+M'≤β，则删掉右上角；否则把右上角的分隔符从M改为M'。然后跳到第3步。
   3. M是极限分隔符。
      1. 如果A≥M则令j=1。否则令j=(使得“M[i]>A”的最小正整数i)。
      2. 如果α<β且B≥M[j]，则删掉右上角；否则把右上角的分隔符从M改为M[j]。
      3. 跳到第3步。
3. 把根元素上方的元素（不含根元素）都复制到最右列上方。

以下是展开流程： 对于矩阵[n]，接下来要做n轮延伸。每一轮延伸都有编号：1、2……、n。最后去掉最右列，才完成整个展开流程。 每一轮延伸的步骤如下：首先确定右上角、根列元素、顶元素、复制部分、复制宽度、magma元素。然后做减一操作。然后确定参考元素、拉伸阈、拉伸量。然后，从左到右逐列地把复制部分的元素（称为源元素）复制到右边的新增列中（目标元素）。

对于每一个“源元素列”的复制，从下到上应对那些元素。第0行的元素需要应对，但它不会作为源元素。最上端的元素不需应对，但它会作为源元素。

非magma元素a。从a沿右腿向上一格，到达的元素x是待复制的源元素。它只能复制成一个目标元素。

确定目标元素的值：

1. 如果x的值小于根列的列标，那么目标元素的值与x相同。
2. 如果x的值大于等于根列的列标，那么目标元素的值等于x的值加上复制宽度。

确定目标元素的分隔符：

1. 如果x的分隔符大于等于顶元素分隔符或小于拉伸阈，或者没有拉伸阈，则目标元素的分隔符与x相同。
2. 否则，目标元素的分隔符是“x的分隔符后面添加(拉伸量)重逗号”。

magma元素a。从a沿右腿向上一格，到达的元素x是待复制的源元素。它可能复制成一个或更多个目标元素。找到a所在行的根列元素，然后找到这个根列元素对应的参考元素。每个参考元素将得出一个目标元素。

确定目标元素的值：

此类复制，目标元素的值等于x的值加上复制宽度。

确定目标元素的分隔符：

1. 对于不是最上端的参考元素，沿右腿向上一格，到达一个元素，其分隔符为K。于是目标元素的分隔符是K。
2. 对于最上端的参考元素。
   1. 如果x的分隔符大于等于顶元素分隔符或小于拉伸阈，或者没有拉伸阈，则目标元素的分隔符与x相同。
   2. 否则，目标元素的分隔符是“x的分隔符后面添加(拉伸量)重逗号”。

$D{\omega }^{\omega }MN$

defective ω^ω mountain notation（Dω^ωMN）是Dω^2MN的进一步扩展，是ω^ωMN的一种尝试。

Dω^ωMN中的分隔符有ω^ω种。其中，第$\alpha +1$种都是后继分隔符；第$\alpha +\omega$种分隔符与Dω^2MN中的分隔符类似，以它为顶元素发生拉伸的时候，被拉伸的分隔符总是在末尾添加若干个逗号（即分隔符的种类序数增加一个正整数）；而更大的第$\alpha +{\omega }^2$种分隔符则是新东西，以它为顶元素发生拉伸的时候，被拉伸的分隔符要从第$\alpha +\omega \times n+m$种分隔符拉伸到第$\alpha +\omega \times (n+k)+m$种分隔符，这不是简单的“加一个序数”，而是连末尾的整数部分也保留着。

由于分隔符的种类较多，Dω^ωMN将像TωMN那样，用记号自身来表达分隔符。只不过，分隔符的大小有上限。

定义分隔符：分隔符是小于$()(,1)(,2)$的非空矩阵。分隔符也可以简写为n重逗号。

（以下分隔符概念与TωMN相同）

元素的大小比较：两元素相比，先比其值，如果值不等，则得出结果；如果值相等，再比分隔符，分隔符的比较结果就是元素的比较结果。

列的大小比较：以元素为单位，按字典序比较。

矩阵的大小比较（也就是分隔符的大小比较）：以列为单位，按字典序比较。

规定第0行元素具有空矩阵分隔符。它仍在第0行（行标为[]）。

以结尾的分隔符称作后继分隔符（其前继是它去掉结尾的）。否则称作极限分隔符。

简单规则与Dω·2MN相同。主流表达式：$f(n)=()(,1)(,2()(,1)(,1)\cdots (,1)2)[n]$.由主流表达式展开，用简单规则得到的矩阵都是标准式。 如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开。此时就需要定义根元素、减一操作、拉伸阈、拉伸量之类的概念了。 对于分隔符M而言，它可以作为矩阵长展开为M[n]（n为非负整数），我们也定义长展开的M[-1]是M去掉根列右侧（不含根列）的所有列。以下所有定义中，M[n]都采用长展开而非短展开。

根元素的定义与ωMN相同——从右上角出发，沿左腿向左下一步，就到达根元素。

定义拉伸阈：每一对(根列元素,顶元素)都有至多一个拉伸阈。拉伸阈是个分隔符。如果顶元素的分隔符是后继分隔符，则没有拉伸阈。其它情况，顶元素的分隔符是极限分隔符——设它是M。如果根列元素的分隔符≥M，则拉伸阈是M[-1]。如果根列元素的分隔符<M，则拉伸阈是M[n]，其中n是满足“M[n]>根列元素的分隔符”的最小值。

定义拉伸量：每一对(根列元素,顶元素)，有拉伸量。拉伸量是个非负整数。如果没有拉伸阈，则拉伸量为0。如果参考元素只有1个，则拉伸量为0。如果顶元素分隔符>最上参考元素的分隔符≥拉伸阈：设顶元素分隔符是M，拉伸阈是M[n]，最上参考元素的分隔符是K，k是满足“K≥M[k]”的最大值，则拉伸量为k-n+1。其它情况，拉伸量为0。

定义减一操作：按下列步骤修改矩阵。

1. 设右上角的分隔符是M。右上角沿左腿向左下走一步，到达的元素具有分隔符A、行标α；右上角沿右腿向下一格，到达的元素具有分隔符B、行标β。
2. 判断M的种类：
   1. M是1重逗号。删掉右上角，然后跳到（外层的）第3步。
   2. M是后继分隔符。记M的前继为M'。如果α+M'≤β，则删掉右上角；否则把右上角的分隔符从M改为M'。然后跳到第3步。
   3. M是极限分隔符。
      1. 如果A≥M则令j=-1。否则令j=(使得“M[i]>A”的最小i)。
      2. 如果α<β且B≥M[j]，则删掉右上角；否则把右上角的分隔符从M改为M[j]。
      3. 跳到第3步。
3. 把根元素上方的元素（不含根元素）都复制到最右列上方。

以下是展开流程 对于矩阵[n]，接下来要做n轮延伸。每一轮延伸都有编号：1、2……、n。延伸完毕后，如果是长展开，则再做一次减一操作；如果是短展开，则去掉最右列。这才完成整个展开流程。 每一轮延伸的步骤如下：首先确定右上角、根列元素、顶元素、复制部分、复制宽度、magma元素。然后做减一操作。然后确定参考元素、拉伸阈、拉伸量。然后，从左到右逐列地把复制部分的元素（称为源元素）复制到右边的新增列中（目标元素）。

对于每一个“源元素列”的复制，从下到上应对那些元素。第0行的元素需要应对，但它不会作为源元素。最上端的元素不需应对，但它会作为源元素。

非magma元素a。从a沿右腿向上一格，到达的元素x是待复制的源元素（分隔符为X）。它只能复制成一个目标元素。

确定目标元素的值：

1. 如果x的值小于根列的列标，那么目标元素的值与x相同。
2. 如果x的值大于等于根列的列标，那么目标元素的值等于x的值加上复制宽度。

确定目标元素的分隔符：

1. 如果X大于等于顶元素分隔符或小于拉伸阈，或者没有拉伸阈，则目标元素的分隔符是X。
2. 否则，记顶元素分隔符为M、拉伸量为k。
3. 设s满足“X≤M[s]”。从最左列数起，X与M[s]的最长公共部分（一整列一整列地数）为N。再取t是满足“M[t]是X从最左列开始的部分”的最大值，Y是X去掉M[t]后剩余的部分。
4. 设M的根列在第u列。将Y中所有大于等于u的元素值都加上(M的复制宽度)·k。
5. 于是，目标元素的分隔符是“M[t+k]右边跟着Y”。

magma元素a。从a沿右腿向上一格，到达的元素x是待复制的源元素。它可能复制成一个或更多个目标元素。找到a所在行的根列元素，然后找到这个根列元素对应的参考元素。每个参考元素将得出一个目标元素。

确定目标元素的值：

此类复制，目标元素的值等于x的值加上复制宽度。

确定目标元素的分隔符：

1. 对于不是最上端的参考元素，沿右腿向上一格，到达一个元素，其分隔符为K。于是目标元素的分隔符是K。
2. 对于最上端的参考元素。
   1. 如果x的分隔符大于等于顶元素分隔符或小于拉伸阈，或者没有拉伸阈，则目标元素的分隔符与x相同。
   2. 否则，设x的分隔符是X，记顶元素分隔符为M、拉伸量为k。
   3. 设s满足“X≤M[s]”。从最左列数起，X与M[s]的最长公共部分（一整列一整列地数）为N。再取t是满足“M[t]是X从最左列开始的部分”的最大值，Y是X去掉M[t]后剩余的部分。
   4. 设M的根列在第u列。将Y中所有大于等于u的元素值都加上(M的复制宽度)·k。
   5. 于是，目标元素的分隔符是“M[t+k]右边跟着Y”。

$T{\omega }^{\omega }MN$

transfinite ω^ω mountain notation（Tω^ωMN）是Dω^ωMN的进一步扩展。不确定更高层次的αMN是否需要更“新型”的提升/eruption/拉伸/etc.概念才能完成。这里暂用transfinite这个形容词来表示分隔符种类之多——Tω^ωMN中的分隔符种类数与该记号的极限相当。

看到这里，我们知道，Tω^ωMN最关键的问题在于如何拉伸。我们仍规定只有当 顶元素分隔符>待拉伸分隔符≥拉伸阈 的时候才有可能拉伸。所有其他定义都要配合这一准则。

一个非平凡的拉伸发生在“顶元素具有第ω^ω种分隔符”的情形。被拉伸的分隔符要从第${\omega }^n$种分隔符拉伸到第${\omega }^{n+k}$种分隔符。

但如果分隔符的种类序数不是ω的整次方呢？比如，被拉伸的分隔符是第${\omega }^n\times 2$种分隔符，按照Dω^ωMN的拉伸方法，它将变成第${\omega }^{n+k}+{\omega }^n$种分隔符，只取“最左侧”的一个部分发生拉伸。

另一个非平凡的拉伸发生在“顶元素具有分隔符$()(,1)(,2,,2)$”的情形。此时分隔符在展开时出现eruption，那么拉伸就不是按照Dω^ωMN定义的那种“仅仅向右平移、元素值增加”能完成的了。我们需要把被拉伸的分隔符也纳入顶元素分隔符的延伸过程中，把（被拉伸的分隔符中的）根列右方的列当作被复制的东西，连同主要的延伸过程一起复制、一起向右移动、一起eruption、一起拉伸。

Tω^ωMN的分隔符与TωMN相同。

简单规则与Dω·2MN相同。主流表达式：$f(n)=A_n[n],\text{其中}{A}_0=(),A_i=A_{i-1}(A_{0}i{A}_{1}i\cdots A_{i-1}i)$.由主流表达式展开，用简单规则得到的矩阵都是标准式。

如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开。此时就需要定义根元素、减一操作、拉伸阈、拉伸量之类的概念了。

对于分隔符M而言，它可以作为矩阵长展开为M[n]（n为非负整数），我们也定义长展开的M[-1]是M去掉根列右侧（不含根列）的所有列。以下所有定义中，M[n]都采用长展开而非短展开。此外，对于分隔符M>N而言，把它们作为矩阵，可以将M延伸，同时N作为“附加列”也一起延伸。带附加列的延伸流程将在“展开流程”一节阐述。

根元素的定义与ωMN相同——从右上角出发，沿左腿向左下一步，就到达根元素。

定义拉伸阈：每一对(根列元素,顶元素)都有至多一个拉伸阈。拉伸阈是个分隔符。如果顶元素的分隔符是后继分隔符，则没有拉伸阈。其它情况，顶元素的分隔符是极限分隔符——设它是M。如果根列元素的分隔符≥M，则拉伸阈是M[-1]。此时定义预拉伸量为0。如果根列元素的分隔符<M，则拉伸阈是M[n]，其中n是满足“M[n]>根列元素的分隔符”的最小值。此时定义预拉伸量为n+1。

定义拉伸量：每一对(根列元素,顶元素)，有拉伸量。拉伸量是个非负整数。如果没有拉伸阈，则拉伸量为0。如果参考元素只有1个，则拉伸量为0。如果顶元素分隔符>最上参考元素的分隔符≥拉伸阈：设顶元素分隔符是M，预拉伸量是n，最上参考元素的分隔符是K，k是满足“M[k]>K”的最小值，则拉伸量为k-n+1。其它情况，拉伸量为0。

减一操作的定义与Dω^ωMN相同。

以下是展开流程： 对于矩阵[n]，接下来要做n轮延伸。每一轮延伸都有编号：1、2……、n。 延伸完毕后，如果是长展开，则再做一次减一操作；如果是短展开，则去掉最右列。这才完成整个展开流程。

每一轮延伸，可能是单独一个矩阵的延伸，也可能是“A附加B延伸”（A、B都是矩阵。此处A称作主矩阵，B称作附加矩阵）。步骤如下：

1. 首先是附加矩阵的预处理。A、B的最长公共部分（一整列一整列地数）记作C。B删去C这个部分，余下的部分作为后续步骤中的“附加矩阵”。
2. 主矩阵确定右上角、根列元素、顶元素、复制部分、复制宽度。
3. 附加矩阵的复制部分是根列以右（不含根列）的所有列，列标甚至能超过主矩阵的列数。
4. 主矩阵、附加矩阵都（按照主矩阵的根列元素）确定magma元素。
5. 主矩阵做减一操作，不含附加矩阵。
6. 主矩阵确定参考元素、拉伸阈、预拉伸量、拉伸量。
7. 从左到右逐列地把主矩阵、附加矩阵复制部分的元素（称为源元素）复制到右边的新增列中（目标元素）。
8. 如果要得到附加矩阵D，那么把“现有的附加矩阵”作为D最右边的部分，D左边空余的列从主矩阵取得。

对于每一个“源元素列”的复制，从下到上应对那些元素。第0行的元素需要应对，但它不会作为源元素。最上端的元素不需应对，但它会作为源元素。

非magma元素a。从a沿右腿向上一格，到达的元素x是待复制的源元素（分隔符为X）。它只能复制成一个目标元素。

确定目标元素的值：

1. 如果x的值小于根列的列标，那么目标元素的值与x相同。
2. 如果x的值大于等于根列的列标，那么目标元素的值等于x的值加上复制宽度。

确定目标元素的分隔符：

1. 如果X大于等于顶元素分隔符或小于拉伸阈，或者没有拉伸阈，则目标元素的分隔符是X。
2. 否则，记顶元素分隔符为M、预拉伸量为m、拉伸量为k。M延伸m轮得到N。目标元素的分隔符是“N附加X延伸”k轮之后得到的附加矩阵。

magma元素a。从a沿右腿向上一格，到达的元素x是待复制的源元素。它可能复制成一个或更多个目标元素。找到a所在行的根列元素，然后找到这个根列元素对应的参考元素。每个参考元素将得出一个目标元素。

确定目标元素的值：

此类复制，目标元素的值等于x的值加上复制宽度。

确定目标元素的分隔符：

1. 对于不是最上端的参考元素，沿右腿向上一格，到达一个元素，其分隔符为K。于是目标元素的分隔符是K。
2. 对于最上端的参考元素。
   1. 如果x的分隔符大于等于顶元素分隔符或小于拉伸阈，或者没有拉伸阈，则目标元素的分隔符与x相同。
   2. 否则，设x的分隔符是X，记顶元素分隔符为M、预拉伸量为m、拉伸量为k。M延伸m轮得到N。目标元素的分隔符是“N附加X延伸”k轮之后得到的附加矩阵。

与 Y 系列记号的区别

Y 系列记号的表达式是个正整数序列，每个元素都压缩了许多信息，不能立即辨认，需要画出山脉图才可以看到其结构。山脉图分为行、列，列标与行标的二元组可以定位山脉图中的一个元素。列标是正整数，每一列对应原来序列的一个元素。行标则是序数，理想中 $\alpha \text{-Y}$ 山脉图的行标是小于 ${\omega }^{1+\alpha }$ 的序数。相比之下，山脉系列记号则显式地表达山脉图，而无需像 Y 系列记号那样需要解压、压缩。山脉系列记号的表达式是 矩阵[n]，此 n 也就是展开时的基本列项数。

相比于 Y 系列记号而言，山脉系列记号具有如下的优点：

1. 显式地表达山脉图，无需解压（画山脉图）、压缩（从山脉图还原为正整数序列）就可看出结构。
2. 表达式可以更加自由（不受解压、压缩的限制），从而可以简化。尽管与 Y 同样有许多非标准表达。
3. 可以规避压扁现象——山脉记号中特定行标的元素总可以存在。这是第二点优势的延伸。
4. 可以规避 Y 系列作超限简单扩展时“极限序数行标的 1 与极限序数值不匹配”的问题。

但同时它有如下的不足：

1. 表达式比较长，不如 Y 系列简短。
2. 难以提取，而 Y 系列却可以简单地提取任何可以形成正整数序列的东西。