Mountain Notation

前定义

山脉系列的矩阵由列组成，它可以表示为 $A_1{A}_2\cdots A_{n-1}{A}_n$ 的形式，其中 $A_i$ 为各列，$n$ 是非负整数。把所有列从左到右列出来，列标大为右，最左列的列标是 1。

列由元素组成，它可以表示为 $a_1{a}_2\cdots a_{n-1}{a}_n$ 的形式，其中 $a_i$ 为各元素，$n$ 是非负整数。把所有元素从下到上列出来，行标大为上，每一列还额外存在一个元素，位于最下端的行标 0 处。

元素由两部分构成：值、分隔符。值是正整数，代表该元素向左下伸出的左腿要跨越到第几列（左腿元素的行标则小于本元素，且左腿元素是满足条件的所有元素之中的最上者）。分隔符代表元素与它下方一格元素的行标差，这个行标差总是 $\omega$ 的次方，于是该次方数称作本元素的维度（其实维度、分隔符也就是一个意思）。元素的写法是先写分隔符，再写值。至于分隔符的具体表达，则与具体的记号有关。

为了可计算地表达行标，它需要一个记号。（每一列最下端元素的）行标 0 用表达。如果一个元素 $a$ 的行标是 $A$，它上方一格元素 $b$ 的分隔符是 $B$，那么 $b$ 的行标则是 $A+B$。此处的“+”是“行标加”运算，其定义如下：

$[A_1\oplus A_2\cdots \oplus A_n]+B=[A_1\oplus A_2\cdots \oplus A_j\oplus B]j=\max (\{i\le n|A_i\ge B\}\cup \{0\})$

行标的大小比较方式为以分隔符为单位，按字典序比较。至于分隔符的大小关系，则与具体的记号有关。

山脉系列记号同样沿用了山脉图中的一些概念。

• 父元：从一个元素 a 出发，先沿右腿向上一格，再沿左腿向左下一步，就到达 a 的父元。
• 祖先：“父元”关系的传递闭包。此处祖先不含自身。
• 后代：如果 a 是 b 的祖先，那么 b 是 a 的后代。
• 右上角：最右列中最上端的元素。
• 根元素与具体的记号有关。
• 根元素所在的列是根列，但根列元素并非其字面含义。
• 根列元素指的是根元素及其下方所有元素。注意：不含根元素上方的元素！
• 参考元素与具体的记号有关。但一般而言，一个根列元素会对应一个或更多个参考元素。
• 复制部分是根列以右（不含）、最右列以左（含）的部分。其宽度称为复制宽度。
• magma 元素：任何一个根列元素 a 都对应一个或更多个 magma 元素。a 对应的 magma 元素是（在复制部分中）a 的同行后代。这样的对应可以用到所有根列元素上。把这些 magma 元素都收集起来，就是所有的 magma 元素了。
• 减一操作：在 Y 系列记号中就是简单的把原序列最右元素减去 1，但在山脉系列记号则稍显复杂，而且与具体的记号有关。

定义

ωMN

ω 山脉记号（ωMN）是将 ω-Y 的山脉图显式写出，并作些简化得到的记号。

定义分隔符：分隔符是多重逗号（连续写正整数个逗号），分隔符的大小关系就是逗号数量的大小关系。

ωMN 的简单规则如下：

1. 零规则：$[n]=n$
2. 后继规则：$A_1{A}_2\cdots A_X()[n]=A_1{A}_2\cdots A_X[n^2]$

其主流表达式为：$f(n)=()(\underset{n}{\underbrace{,,\cdots ,,1}})[n]$。由主流表达式展开简单规则所得的矩阵都是标准表达式。

如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开，此时就需要定义根元素、参考元素、减一操作之类的概念。

• 定义根元素：从右上角出发，沿左腿向左下一步，就到达根元素。
• 定义顶元素：除了第 0 行元素以外，其它根列元素都是顶元素。此外，右上角也是顶元素。于是顶元素、根列元素数量相等。二者都从下到上排列，于是形成一一对应。
• 定义参考元素：每一对（根列元素, 顶元素）都对应一个或更多个参考元素。最右列之中，行标（大于等于根列元素行标）且（小于顶元素行标）的那些元素，就是这个配对对应的（也可以说：根列元素对应的）参考元素。

定义减一操作：按下列步骤修改矩阵。

1. 设右上角的分隔符是 k 重逗号。右上角沿左腿向左下走一步，到达行标 A；右上角沿右腿向下一格，到达行标 B。
2. 如果 k = 1，则删掉右上角，然后跳到第 4 步。如果 k > 1，继续第 3 步。
3. 如果 A + (k − 1 重逗号 ) ≤ B，则删掉右上角，否则把右上角的分隔符从 k 重逗号改为 k − 1 重逗号。
4. 把根元素上方的元素（不含根元素）都复制到最右列上方。

展开流程如下：

首先确定右上角、根列元素、顶元素。然后做减一操作。然后确定复制部分、复制宽度、magma 元素。对于矩阵 [n]，接下来要做 n 轮延伸，每一轮延伸都有编号：1, 2, . . . , n。

每一轮延伸的步骤如下：

先确定参考元素（注意，此时的矩阵可能已经做了若干延伸，而不再是原来的矩阵或者减一之后的矩阵）。然后，从左到右逐列地把复制部分的元素（称为源元素）复制到右边的新增列中（目标元素）。对于每一个“源元素列”的复制，从下到上应对那些元素。第 0 行的元素需要应对，但它不会作为源元素。最上端的元素不需应对，但它会作为源元素。

非 magma 元素 a。从 a 沿右腿向上一格，到达的元素 x 是待复制的源元素。它只能复制成一个目标元素。此类复制，目标元素的分隔符与 x 相同。如果 x 的值小于根列的列标，那么目标元素的值与 x 相同。如果 x 的值大于等于根列的列标，那么目标元素的值等于 x 的值加上 w · m，其中是 w 复制宽度，m 是延伸的编号。

magma 元素 a。从 a 沿右腿向上一格，到达的元素 x 是待复制的源元素。它可能复制成一个或更多个目标元素。找到 a 所在行的根列元素，然后找到这个根列元素对应的参考元素。每个参考元素将得出一个目标元素。此类复制，目标元素的值等于 x 的值加上 w · m，其中是 w 复制宽度，m 是延伸的编号。对于不是最上端的参考元素，沿右腿向上一格，到达一个元素，其分隔符为 K。于是目标元素的分隔符是 K。对于最上端的参考元素，目标元素的分隔符与 x 相同。

TωMN

超限 ωMN（Transfinite ω Mountain Notation, TωMN）是 ωMN 的简单扩展，它有 Ω 行的结构。TωMN 之于 ωMN，就好比 Ω 行 BMS 之于 BMS，它应该说算是一种比较弱的扩展。

定义分隔符：分隔符是非空矩阵。分隔符 $\underset{n}{\underbrace{()()\cdots ()()}}$ 也可以简写为 n 重逗号。

元素的大小比较：两元素相比，先比其值，如果值不等，则得出结果；如果值相等，再比分隔符，分隔符的比较结果就是元素的比较结果。

列的大小比较：以元素为单位，按字典序比较。

矩阵的大小比较（也就是分隔符的大小比较）：以列为单位，按字典序比较。

其简单规则如下：

1. 零规则：$[n]=n$
2. 后继规则：$A_1{A}_2\cdots A_X()[n]=A_1{A}_2\cdots A_X[n^2]$
3. 极限维度规则：如果右上角的分隔符是” 最右列不是 ( )” 的矩阵，那么展开此分隔符。

主流表达式：$f(n)=A_n[n]$，其中 $A_0=(),A_{i+1}=()(A_{i}1)$。

如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开。此时就需要定义根元素、参考元素、减一操作之类的概念了。根元素、参考元素的定义与 ωMN 相同。

定义减一操作：按下列步骤修改矩阵。

1. 设右上角的分隔符是 $M_1{M}_2\cdots M_X()$。右上角沿左腿向左下走一步，到达行标 A；右上角沿右腿向下一格，到达行标 B 。
2. 如果 X = 0 ，则删掉右上角，然后跳到第 4 步。如果 X > 0 ，继续第 3 步。
3. 如果 $A+M_1{M}_2\cdots M_X\le B$，则删掉右上角，否则把右上角的分隔符从 $M_1{M}_2\cdots M_X$ 改为 $M_1{M}_2\cdots M_X$。
4. 把根元素上方的元素（不含根元素）都复制到最右列上方。

其展开流程与 ωMN 完全相同。

MωMN

变异 ωMN（Mutant ω mountain notation,MωMN）是 ωMN 的改版，增加了一点急模式的特质，但更类似于 mutant matrix，而不像 hyper matrix、sudden matrix 那样整块地比较矩阵大小。

MωMN 的分隔符、简单规则都与 ωMN 相同。

如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开。此时就需要定义根元素、参考元素、减一操作之类的概念了。

• 按下列流程确定根元素：从右上角出发。设右上角的分隔符是 k 重逗号。如果 k = 1，那么沿左腿向左下走一步。到达的元素就是根元素。如果 k > 1，则继续后续的步骤。沿左腿向左下走一步。如果当前元素在第 0 行，则令 i = 0，否则设当前元素的分隔符是 i 重逗号。如果 i ≥ k，则回到步骤 3。否则，当前元素就是根元素。
• 定义参考元素：对于不是根元素的根列元素 a，从 a 沿右腿向上一格，到达根列元素 b。最右列之中，行标（大于等于 a 行标）且（小于 b 行标）的那些元素，就是 a 对应的参考元素。根元素对应的参考元素，是最右列之中，行标（大于等于根元素行标）且（小于等于“从右上角沿右腿向下一格到达的元素”的行标）的那些元素。

减一操作的定义与 ωMN 相同。

其展开流程如下：

对于矩阵 [n]，接下来要做 n 轮延伸。每一轮延伸都有编号：1, 2, . . . , n。最后去掉最右列，才完成整个展开流程。

每一轮延伸的步骤如下：首先确定右上角、根列元素、复制部分、复制宽度、magma 元素。然后做减一操作。然后确定参考元素。然后，从左到右逐列地把复制部分的元素（称为源元素）复制到右边的新增列中（目标元素）。每一列的处理过程，与 ωMN 相同。

MTωMN

既然有 MωMN 、有 TωMN ，那么接下来，mutant transfinite ω mountain notation（MTωMN ），就融入了"mutant"与"transfinite"两种特质。实质上它是在 TωMN 的基础上，改用 mutant 的方法来找根元素。MTωMN 的分隔符、简单规则都与 TωMN 相同。

如果一个表达式不能按简单规则处理，就执行一次展开。此时就需要定义根元素、减一操作之类的概念了。根元素的定义与 MωMN 完全相同。减一操作的定义与 TωMN 完全相同。展开流程与 MωMN 完全相同。

与 Y 系列记号的区别

Y 系列记号的表达式是个正整数序列，每个元素都压缩了许多信息，不能立即辨认，需要画出山脉图才可以看到其结构。山脉图分为行、列，列标与行标的二元组可以定位山脉图中的一个元素。列标是正整数，每一列对应原来序列的一个元素。行标则是序数，理想中 $\alpha \text{-Y}$ 山脉图的行标是小于 ${\omega }^{1+\alpha }$ 的序数。相比之下，山脉系列记号则显式地表达山脉图，而无需像 Y 系列记号那样需要解压、压缩。山脉系列记号的表达式是 矩阵[n]，此 n 也就是展开时的基本列项数。

相比于 Y 系列记号而言，山脉系列记号具有如下的优点：

1. 显式地表达山脉图，无需解压（画山脉图）、压缩（从山脉图还原为正整数序列）就可看出结构。
2. 表达式可以更加自由（不受解压、压缩的限制），从而可以简化。尽管与 Y 同样有许多非标准表达。
3. 可以规避压扁现象——山脉记号中特定行标的元素总可以存在。这是第二点优势的延伸。
4. 可以规避 Y 系列作超限简单扩展时“极限序数行标的 1 与极限序数值不匹配”的问题。

但同时它有如下的不足：

1. 表达式比较长，不如 Y 系列简短。
2. 难以提取，而 Y 系列却可以简单地提取任何可以形成正整数序列的东西。