ω-Y

$\omega \mathrm{-}\mathrm{Y}$，是一种Worm型序数记号。

定义

合法表达式

一个合法的$\omega \mathrm{-}\mathrm{Y}$表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)(n,a_1,a_2,\cdots ,a_n\in \mathbb{\mathbb{N}},a_1=1)$

的序列。

例如：$(1,4,6,4)$和$(1,1,4,5,1,4)$都是合法的 $\omega \mathrm{-}\mathrm{Y}$ 表达式，而$(1,2,\pi )$不是。

结构

$\omega \mathrm{-}\mathrm{Y}$的合法表达式可分为零表达式、后继表达式和极限表达式。

• 零表达式指$n=0$的表达式，即空序列；
• 后继表达式指$n>0,a_n=1$的表达式，即末项为1的非空序列；
• 极限表达式指$n>0,a_n>1$的表达式，末项不为1的非空序列。

对于$\omega \mathrm{-}\mathrm{Y}$的一个极限表达式$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，定义以下术语：

行标与列标

设想我们在一个无限大的矩阵下工作，从左往右是第1,2,...列，从下往上是第0,1,...行。与$\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{Y}$相同：

• 行标现在可以是一个超限序数，例如第$\omega$行。
• 一些项现在可以不赋予任何数作为取值，这些项称为空项，记作$\varnothing$。

第$\alpha$行第$j$列的项记为$x_{\alpha ,j}$。

初始时，我们有$x_{0,j}=a_j$，$1\le j\le n$。

后继序数行的父项 & 阶差项

对于后继序数$\alpha +1$和非空项$x_{\alpha +1,j}$，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧非空项$x_{\alpha +1,k}$：

• $k<j$且$x_{\alpha +1,k}<x_{\alpha +1,j}$。
• $x_{\alpha ,k}$是$x_{\alpha ,j}$的祖先项。

这里“祖先项”的定义类似于BMS：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项......共同构成它的祖先项。

对于第0行的项$x_{0,j}$，它的父项是与它位于同一行，且同时满足$k<j$和$x_{0,k}<x_{0,j}$的最右侧项$x_{0,k}$。

如果满足上述条件的项不存在，那么$x_{\alpha +1,j}$(或者$x_{0,j}$)的父项不存在。特别地，等于1的项的父项不存在。

对于任何序数$\alpha$，项$x_{\alpha ,j}$：

• 如果它有父项$x_{\alpha ,k}$，则它的阶差项为$x_{\alpha +1,j}=x_{\alpha ,j}-x_{\alpha ,k}$。
• 如果它没有父项，或者为空项，它的阶差项为$x_{\alpha ,j}=\varnothing$。

由于第$\alpha$行的项的阶差项构成了第$\alpha +1$行，称第$\alpha +1$行的序列是第$\alpha$行的序列的阶差序列。

极限序数行的父项

上述定义只给出了后继序数行的项的取值和父项关系。接下来给出极限序数的情形：

设极限序数$\alpha =\beta +{\omega }^k<{\omega }^{\omega }$，$\beta$为极限序数，$k$是正整数。

取出最大的序数$\gamma <{\omega }^k$使得$x_{\beta +\gamma ,j}$不为空项，这些项$x_{\beta +\gamma ,j}$称为顶端元素。如果这样的$\gamma$不存在，则记顶端元素为空项。

对于任何项$x_{\delta ,j}$，定义如下概念：

• 取出最大的${\delta }_1$使得${\delta }_1<\delta$且$x_{{\delta }_1,j}$有父项，记为$x_{{\delta }_1,k}$，然后取出最大的${\delta }_2$使得${\delta }_1\le {\delta }_2\le \delta$且$x_{{\delta }_2,k}$非空。得到的$x_{{\delta }_2,k}$称为$x_{\delta ,j}$的待定父项。

对于顶端元素$x_{\beta +\gamma ,j}$定义如下概念：

• 如果顶端元素为空项，或$\gamma =0$，则$x_{\alpha ,j}=\varnothing$。
• 否则，从$x_{\beta +\gamma ,j}$开始不断取待定父项，得到第一个小于$x_{\beta +\gamma ,j}$的项，记为$x_{\delta ,k}$。则令$x_{\alpha ,j}=x_{\beta +\gamma ,j}-x_{\delta ,k}$，称$x_{\alpha ,k}$为$x_{\alpha ,j}$的拟父项。

对于极限序数$\alpha$和大于1的项$x_{\alpha ,j}$，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧项$x_{\alpha ,k}$：

• $k<j$，$x_{\alpha ,k}$非空且$x_{\alpha ,k}<x_{\alpha ,j}$。
• $x_{\alpha ,k}$是$x_{\alpha ,j}$的拟祖先项。

这里“拟祖先项”的定义是：一个元素自己，以及它的拟父项、拟父项的拟父项......共同构成它的拟祖先项。

如果满足上述条件的项不存在，那么$x_{\alpha ,j}$的父项不存在。另外，等于1的项的父项不存在。

注：此处的“拟父项/拟祖先项”是编者引入的等价的临时定义。在主流的定义与教程中，通常使用山脉图(见下文)定义此部分内容。

末列与坏根

第$n$列称为末列。

对于末列的某一项$x_{\alpha ,n}$，它的父项设为$x_{\alpha ,r}$。如果在计算到某行(第$\gamma$行)时有$x_{\gamma ,n}-x_{\gamma ,r}=1$，则称$a_r$为坏根，称第$r$列为根列。

以上给出了$\omega \mathrm{-}\mathrm{Y}$极限表达式$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$的完整寻找坏根流程。

山脉图

要描述$\omega \mathrm{-}\mathrm{Y}$的展开规则或者直观理解部分定义，需要用到山脉图的辅助。

(不会写了，要不直接复制一下教程)

网站MEGAwhY mountain可以绘制$\omega \mathrm{-}\mathrm{Y}$的山脉图。

(待补充附有配图的ω-Y山脉图绘制例子)

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(还是不会写，要不直接复制一下教程)

枚举

(开摆!)