Y序列

Y序列，又称1-Y，是一种Worm型序数记号。

定义

合法表达式

一个合法的 1-Y 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)(n,a_1,a_2,\cdots ,a_n\in \mathbb{\mathbb{N}},a_1=1)$

的序列。

例如：$(1,4,6,4)$和$(1,1,4,5,1,4)$都是合法的 1-Y 表达式，而$(1,2,\pi )$不是。

结构

1-Y的合法表达式可分为零表达式、后继表达式和极限表达式。

• 零表达式指$n=0$的表达式，即空序列；
• 后继表达式指$n>0,a_n=1$的表达式，即末项为1的非空序列；
• 极限表达式指$n>0,a_n>1$的表达式，末项不为1的非空序列。

对于 1-Y 的一个极限表达式$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，定义以下术语：

行标与列标

设想我们在一个无限大的矩阵下工作，从左往右是第1,2,...列，从下往上是第0,1,...行。与0-Y不同的是，行标现在可以是一个超限序数，例如第$\omega$行。第$\alpha$行第$j$列的项记为$x_{\alpha ,j}$。

初始时，我们有$x_{0,j}=a_j$，$1\le j\le n$。

后继序数行的父项 & 阶差项

对于后继序数$\alpha +1$和项$x_{\alpha +1,j}$，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧项$x_{\alpha +1,k}$：

• $k<j$且$x_{\alpha +1,k}<x_{\alpha +1,j}$。
• $x_{\alpha ,k}$是$x_{\alpha ,j}$的祖先项。

这里“祖先项”的定义类似于BMS：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项......共同构成它的祖先项。

对于第0行的项$x_{0,j}$，它的父项是与它位于同一行，且同时满足$k<j$和$x_{0,k}<x_{0,j}$的最右侧项$x_{0,k}$。

如果满足上述条件的项不存在，那么$x_{\alpha +1,j}$(或者$x_{0,j}$)的父项不存在。特别地，等于1的项的父项不存在。

对于任何序数$\alpha$，项$x_{\alpha ,j}$，如果它有父项$x_{\alpha ,k}$，则它的阶差项为$x_{\alpha +1,j}=x_{\alpha ,j}-x_{\alpha ,k}$。否则它的阶差项不存在。

由于第$\alpha$行的项的阶差项构成了第$\alpha +1$行，称第$\alpha +1$行的序列是第$\alpha$行的序列的阶差序列。

极限序数行的父项 & 提取

上述定义只给出了后继序数行的项的取值和父项关系。接下来给出极限序数的情形：

设极限序数$\alpha =\beta +\omega$，$\beta$为极限序数。则定义项$x_{\alpha ,j}$如下：

取出最大的非负整数p使得$x_{\beta +p,j}$有定义，则$x_{\alpha ,j}=x_{\beta +p,j}$。这些项$x_{\beta +p,j}$称为大项。

对大于1的项$x_{\alpha ,j}$定义如下概念：

• 设$x_{\alpha ,j}=x_{\beta +p,j}$，$x_{\beta +p-1,j}$的父项为$x_{\beta +p-1,k}$。
• 如果$x_{\beta +p-1,k}$是大项，或者$x_{\beta +p,k}$是大项，称$x_{\alpha ,k}$是$x_{\alpha ,j}$的拟父项。
• 否则将$x_{\beta +p-1,k}$换为其父项并重复上一条规则，直到找到某个大项，设其列标是$l$，称$x_{\alpha ,l}$是$x_{\alpha ,j}$的拟父项。

对于极限序数$\alpha$和大于1的项$x_{\alpha ,j}$，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧项$x_{\alpha ,k}$：

• $k<j$且$x_{\alpha ,k}<x_{\alpha ,j}$。
• $x_{\alpha ,k}$是$x_{\alpha ,j}$的拟祖先项。

这里“拟祖先项”的定义是：一个元素自己，以及它的拟父项、拟父项的拟父项......共同构成它的拟祖先项。

如果满足上述条件的项不存在，那么$x_{\alpha ,j}$的父项不存在。另外，等于1的项的父项不存在。

以上定义项$x_{\alpha ,j}$时，将所有位于$\beta$到$\beta +\omega$之间的行中每一列的最上方项取了出来，并“提”到了$\alpha =\beta +\omega$行(还保留了其下的一些父项关系)，这就是提取(Extraction)的含义。

末列与坏根

第$n$列称为末列。

对于末列的某一项$x_{\alpha ,n}$，它的父项设为$x_{\alpha ,r}$。如果在计算到某行(第$\gamma$行)时有$x_{\gamma ,n}-x_{\gamma ,r}=1$，则称$a_r$为坏根，称第$r$列为根列。

以上给出了 1-Y 极限表达式$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$的完整寻找坏根流程。