非递归BMS

非递归BMS是用BMS结构来表示非递归序数的一个记号。

定义

首列一定是若干的1构成

0和空等价，在列末可以任意添加0而不改变表达式本身大小，如$(1,1,1,1)(2,2,1)(3,3,2)$等价于$(1,1,1,1,0)(2,2,1,0,0)(3,3,2,0,0)$

如果末列是$(1)$，则等同于后继

如$(1,1,1)(2,2)(1)=(1,1,1)(2,2)+1$

否则，如果LNZ(末列最下非零项)能按照BMS规则找到坏根，则按照BMS规则展开

如$(1,1,1)(2,2)(3,3,1,1)=(1,1,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,2)(5,5,3)\cdots$

否则，找不到坏根的情况下，把末列去掉LNZ，并在后面拼接末列全列+1的新列，视为非递归展开。

如$(1,1,1)(2,2,1)$，变为$(1,1,1)(2,2)(3,3,1,1,1,1,\cdots )$，并视为非递归展开。

又如$(1,1)(2,2,1)(3,1)$，变为$(1,1)(2,2,1)(3)(4,1,1,1,1,\cdots )$，并视为非递归展开

意义

可以看出，这个非递归记号和其他的一样，并不能表示极限之下的所有序数。它的表示能力极限是“BMS级别的递归操作”。

十分显然的，如果从严肃数学的角度来说，它依然是不良的。但作为对严谨性要求不算特别高的googologist来说，它的性质(如一个表达式只对应一个序数)已经够用了。

枚举

参见词条非递归BMS分析