超E记号：修订间差异

2025年7月14日 (一) 10:45的版本

超E记号（Hyper-E Notation，简称E#表示法）是Sbiis Saibian发明的大数记号。^[1]

定义

原始的超E记号由一个或多个正整数参数的序列 $a_{n}$ 组成，这些参数由#分隔。我们将其标记为 $E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n}$ .b称为底数。如果省略它，则默认为 10。E#的具体操作规则如下：

$E [b] x = b^{x}$
$E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n} # 1 = E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n}$
$E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n - 2} # a_{n - 1} # a_{n} = E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n - 2} # (E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n - 2} # a_{n - 1} # (a_{n} - 1))$

通俗的说:

如果序列只有一个参数x，则返回 $b^{x}$ .
否则，如果序列末项为1，可以直接去掉，不影响结果。
否则，删除原表达式的最后两个条目，随后在后面加入一个新条目x，其中x是原表达式中把末项减一得到的新表达式的值。

举例：

$E 306 # 6 = E E 306 # 5 = E E E 306 # 4 = \dots = E E E E E E 306 = E E E E E 1 0^{306} = \dots = 1 0^{1 0^{1 0^{1 0^{1 0^{1 0^{306}}}}}}$

$E 3 # 1 # 8 # 4$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8 # 3)$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8 # 2))$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8 # 1)))$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8)))$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # (E 3 # 1 # 7))))$

$= \dots$

关于它的强度，我们有如下结论：

$a ↑^{c} b = E [a] \underset{c - 1 个 1}{\underset{⏟}{1 # 1 # \dots 1 #}} b$ ^[2]

Nathan Ho和Wojowu证明了超E记号规则的停机性。^[3]

扩展定义

扩展的超E记号允许在每个条目之间显示多个#。为了这个定义， $#^{n}$ 是 n 个连续的#的简写。例如，完整表达式将写成 $E [b] a_{1} #^{n_{1}} a_{2} #^{n_{2}} \dots #^{n_{i - 1}} a_{i}$ ,其中 $a_{i}, n_{i}$ 都是自然数。

以下为操作规则，其中&指序列的其余部分。

$E [b] x = b^{x}$
末项是1的情况下， $E [b] & #^{n_{i - 1}} a_{i} #^{n_{i}} 1 = E [b] & #^{n_{i - 1}} a_{i}$
如果 $n_{i - 1} > 1$ , $E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} #^{n_{i - 1}} a_{i} = E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} #^{n_{i - 1} - 1} a_{i - 1} #^{n_{i - 1}} a_{i} - 1$
否则， $E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} # a_{i} = E [b] & #^{n_{i - 2}} (E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} # (a_{i} - 1))$

通俗的说，序列只有一个参数、末项是1、末项之前是单独的#的情况，和原超E记号是相同的。只有末项之前是多于1个#的情况下， $a_{i - 1} #^{n_{i - 1}} a_{i} = \underset{n 个 a_{i - 1}}{\underset{⏟}{a_{i - 1} #^{n_{i - 1} - 1} a_{i - 1} #^{n_{i - 1} - 1} a_{i - 1} #^{n_{i - 1 - 1}} \dots a_{i - 1}}}$ .

举例：

$E 5 #^{2} 2 #^{3} 3$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} 2 #^{2} 2$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} 2 # 2$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} (E 5 #^{2} 2 #^{2} 2 # 1)$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} (E 5 #^{2} 2 #^{2} 2)$

=……

它的极限FGH 增长率是 $ω^{ω}$ .

继续扩展

级联E记号

扩展级联E记号

超扩展级联E记号

参考资料

[1] 4.3.1 - A 2nd Grader's Close Encounter with the Infinite - Large Numbers

[2] Fish, Comparison of up-arrow notation with hyper-E notation 1 July 2021

[3] ttps://web.archive.org/web/20160513034718/http://snappizz.com/termination

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	超E记号（Hyper-E Notation，简称E#~~）是Sbiis~~ Saibian发明的大数记号。<ref>[https://sites.google.com/site/largenumbers/home/4-3/4-3-1-foray 4.3.1 - A 2nd Grader's Close Encounter with the Infinite - Large Numbers]</ref>		超E记号（Hyper-E Notation，简称E#表示法）是Sbiis Saibian发明的大数记号。<ref>[https://sites.google.com/site/largenumbers/home/4-3/4-3-1-foray 4.3.1 - A 2nd Grader's Close Encounter with the Infinite - Large Numbers]</ref>

	== 定义 ==		== 定义 ==