超运算序列：修订间差异

2025年7月5日 (六) 21:47的版本

超运算序列(Hyperoperation Sequence)是指一个从基本算术运算（如加法）开始，通过迭代方式逐步扩展到更高阶运算（如乘法、乘方、迭代幂次等）的二元运算序列。超运算序列可以统一地用三元函数表示，其中级别n参数化了运算的“高度”。高德纳箭头、阿克曼函数等均为超运算序列。

特别地，对于一个超运算序列中特定的非初始n值的运算，我们称之为超运算。序列中的第n项即为第n级超运算。

定义

广义的超运算序列可以这么定义：

$H_{n} (a, b) = {\begin{cases} f (a, b) & if n = 1 \\ H_{n - 1} (a, H_{n} (a, b - 1)) & if n > 1 \end{cases}$

其中 $f$ 可以是任意二元函数，例如 $f (a, b) = a + b$ ， $f (a, b) = a^{b}$ 。

现在常用的超运算序列 $a [n] b$ 是Goodstein的 $G (n, a, b)$ 的变体。它的定义如下：

$a [n] b = {\begin{cases} b + 1 & if n = 0 \\ a & if n = 1 and b = 0 \\ 0 & if n = 2 and b = 0 \\ 1 & if n \geq 3 and b = 0 \\ a [n - 1] (a [n] (b - 1)) & otherwise \end{cases}$

@@ 第9行： / 第9行： @@
 f(a,b)             & \text{if } n = 1 \\
 H_{n-1}(a, H_{n}(a,b-1)) & \text{if } n > 1
+\end{cases}</math>
+其中<math>f</math>可以是任意二元函数，例如<math>f(a,b)=a+b</math>，<math>f(a,b)=a^b</math>。
+现在常用的超运算序列<math>a[n]b</math>是Goodstein的<math>G(n,a,b)</math>的变体。它的定义如下：
+<math>a[n]b = \begin{cases}
+b + 1 & \text{if } n = 0 \\
+a & \text{if } n = 1 \text{ and } b = 0 \\
+& \text{if } n = 2 \text{ and } b = 0 \\
+& \text{if } n \ge 3 \text{ and } b = 0 \\
+a[n-1]\left(a[n]\left(b - 1\right)\right) & \text{otherwise}
 \end{cases}</math>