PrSS VS 康托范式：修订间差异

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2025年7月5日 (六) 13:39的版本

本条目展示PrSS和康托范式的列表分析

枚举

$(0) = 1$

$(0, 0) = 2$

$(0, 0, 0) = 3$

$(0, 1) = (0, 0, \dots, 0) = ω$

$(0, 1, 0) = ω + 1$

$(0, 1, 0, 0) = ω + 2$

$(0, 1, 0, 1) = (0, 1, 0, 0, \dots, 0) = ω \times 2$

$(0, 1, 0, 1, 0, 1) = ω \times 3$

$(0, 1, 1) = (0, 1, 0, 1, \dots, 0, 1) = ω^{2}$

$(0, 1, 1, 0) = ω^{2} + 1$

$(0, 1, 1, 0, 1) = ω^{2} + ω$

$(0, 1, 1, 0, 1, 0) = ω^{2} + ω + 1$

$(0, 1, 1, 0, 1, 0, 1) = ω^{2} + ω \times 2$

$(0, 1, 1, 0, 1, 1) = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, \dots, 0, 1) = ω^{2} \times 2$

$(0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1) = ω^{2} \times 3$

$(0, 1, 1, 1) = (0, 1, 1, 0, 1, 1, \dots, 0, 1, 1) = ω^{3}$

$(0, 1, 1, 1, 1) = ω^{4}$

$(0, 1, 2) = (0, 1, 1, \dots, 1) = ω^{ω}$

$(0, 1, 2, 0, 1, 2) = ω^{ω} \times 2$

$(0, 1, 2, 1) = (0, 1, 2, 0, 1, 2, \dots, 0, 1, 2) = ω^{ω + 1}$

$(0, 1, 2, 1, 0, 1, 2) = ω^{ω + 1} + ω^{ω}$

$(0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1) = ω^{ω + 1} \times 2$

$(0, 1, 2, 1, 1) = (0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, \dots, 0, 1, 2, 1) = ω^{ω + 2}$

$(0, 1, 2, 1, 1, 1) = ω^{ω + 3}$

$(0, 1, 2, 1, 2) = (0, 1, 2, 1, 1, \dots, 1) = ω^{ω \times 2}$

$(0, 1, 2, 1, 2, 1) = ω^{ω \times 2 + 1}$

$(0, 1, 2, 1, 2, 1, 2) = ω^{ω \times 3}$

$(0, 1, 2, 2) = (0, 1, 2, 1, 2, \dots, 1, 2) = ω^{ω^{2}}$

$(0, 1, 2, 2, 1) = ω^{ω^{2} + 1}$

$(0, 1, 2, 2, 1, 2) = ω^{ω^{2} + ω}$

$(0, 1, 2, 2, 1, 2, 1) = ω^{ω^{2} + ω + 1}$

$(0, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2) = ω^{ω^{2} + ω \times 2}$

$(0, 1, 2, 2, 1, 2, 2) = (0, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, \dots, 1, 2) = ω^{ω^{2} * 2}$

$(0, 1, 2, 2, 2) = (0, 1, 2, 2, 1, 2, 2, \dots, 1, 2, 2) = ω^{ω^{3}}$

$(0, 1, 2, 3) = (0, 1, 2, 2, \dots, 2) = ω^{ω^{ω}}$

$(0, 1, 2, 3, 2) = ω^{ω^{ω + 1}}$

$(0, 1, 2, 3, 2, 3) = ω^{ω^{ω \times 2}}$

$(0, 1, 2, 3, 3) = ω^{ω^{ω^{2}}}$

$(0, 1, 2, 3, 4) = (0, 1, 2, 3, 3, \dots, 3) = ω^{ω^{ω^{ω}}}$

$(0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .) = L i m i t o f P r S S = ε_{0}$

最终得到，PrSS的极限是 $ε_{0}$ .

互译方法

PrSS 和康托范式之间存在直接的转换关系．下面介绍 PrSS 到康托范式的转换：

对于待转换的 PrSS 表达式 $S$ ，首先找到 $S$ 中所有的项 $0$ ，以这些 $0$ 为起点把 $S$ 分为若干个以 $0$ 开头的子表达式，并在中间用加号连接．如果一个子表达式只有一项，即 $(0)$ ，则将其变为 $1$ ．否则，将 $(0, X)$ 变换为 $ω^{X^{'}}$ ，其中 $X^{'}$ 是将 $X$ 中所有的项都减一后得到的表达式．

然后继续对 $X^{'}$ 递归地进行操作，直到无法操作为止，就得到了对应的康托范式．

例如 PrSS 表达式 $(0, 1, 2, 2, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 1)$ ，首先把它分为若干个 $0$ 开头的子表达式并用加号连接，得到 $(0, 1, 2, 2) + (0, 1, 2, 1, 1) + (0, 1, 2, 1, 1) + (0, 1, 1, 1)$ ，随后将每个子表达式按照 $(0, X) \mapsto ω^{X^{'}}$ 的形式变换，得到 $ω^{(0, 1, 1)} + ω^{(0, 1, 0, 0)} + ω^{(0, 1, 0, 0)} + ω^{(0, 0, 0)}$ ．随后，把指数上的 PrSS 继续递归变换． $(0, 1, 1)$ 变换为 $ω^{(0, 0)} = ω^{1 + 1} = ω^{2}$ ． $(0, 1, 0, 0)$ 变换为 $ω^{1} + 1 + 1 = ω + 2$ ．而 $(0, 0, 0)$ 就是 $1 + 1 + 1 = 3$ ．因此我们便得到了 $(0, 1, 2, 2, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 1)$ 对应的康托范式 $ω^{ω^{2}} + ω^{ω + 2} \times 2 + ω^{3}$ ．

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 本条目展示[[初等序列系统|PrSS]]和[[康托范式]]的列表分析
+== 枚举 ==
 <math>(0)=1</math>
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 最终得到，PrSS的极限是<math>\varepsilon_0</math>.
+== 互译方法 ==
+PrSS 和[[康托范式]]之间存在直接的转换关系．下面介绍 PrSS 到康托范式的转换：
+对于待转换的 PrSS 表达式 <math>S</math>，首先找到 <math>S</math> 中所有的项 <math>0</math>，以这些 <math>0</math> 为起点把 <math>S</math> 分为若干个以 <math>0</math> 开头的子表达式，并在中间用加号连接．如果一个子表达式只有一项，即 <math>(0)</math>，则将其变为 <math>1</math>．否则，将 <math>(0,X)</math> 变换为 <math>\omega^{X'}</math>，其中 <math>X'</math> 是将 <math>X</math> 中所有的项都减一后得到的表达式．
+然后继续对 <math>X'</math> 递归地进行操作，直到无法操作为止，就得到了对应的康托范式．
+例如 PrSS 表达式 <math>(0,1,2,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1,0,1,1,1)</math>，首先把它分为若干个 <math>0</math> 开头的子表达式并用加号连接，得到 <math>(0,1,2,2)+(0,1,2,1,1)+(0,1,2,1,1)+(0,1,1,1)</math>，随后将每个子表达式按照 <math>(0,X)\mapsto\omega^{X'}</math> 的形式变换，得到 <math>\omega^{(0,1,1)} +\omega ^{(0,1,0,0)}+\omega^{(0,1,0,0)}+\omega^{(0,0,0)}</math>．随后，把指数上的 PrSS 继续递归变换．<math>(0,1,1)</math> 变换为 <math>\omega^{(0,0)}=\omega^{1+1}=\omega^2</math>．<math>(0,1,0,0)</math> 变换为 <math>\omega^1+1+1=\omega+2</math>．而 <math>(0,0,0)</math> 就是 <math>1+1+1=3</math>．因此我们便得到了 <math>(0,1,2,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1,0,1,1,1)</math> 对应的康托范式 <math>\omega^{\omega^2}+\omega^{\omega+2}\times 2+\omega^3</math>．
 [[分类:分析]]