长初等序列

长初等序列(Long Primitive Sequence System,LPrSS)，是一种Worm型序数记号。它是PrSS的一种扩展。

定义

合法式

LPrSS的合法式是1开头的自然数序列，即

${\mathrm{s}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{2}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{3}},\mathrm{\cdots },{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\mathrm{|}\mathrm{n},{\mathrm{s}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{2}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{3}},\mathrm{\cdots },{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\in }\mathbb{\mathbb{N}}$，且满足${\mathrm{s}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{1}$

例：

• 1,7,3,9是一个合法的LPrSS表达式
• 3,1,8,4不是一个合法的LPrSS表达式，因为$s_1=3\ne 1$
• 1,2,3,😰不是一个合法的LPrSS表达式，因为$s_4=$😰不是自然数。

LPrSS的极限基本列是$(1,2)$、$(1,3)$、$(1,4)$、$(1,5)$……

结构

LPrSS的合法式分为零表达式、后继表达式和极限表达式。

零表达式是空序列，即满足$n=0$的表达式。

后继表达式即满足$n\ne 0$，且$s_n=1$的表达式。通俗的说，是末项为1的非空序列。比如说，$\mathrm{L}\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{(}\mathrm{1},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{1}\mathrm{)}$就是一个后继表达式。

极限表达式即满足$n\ne 0$，且$s_n\ne 1$的表达式。通俗的说，是末项非1的非空序列。比如说，$\mathrm{L}\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{(}\mathrm{1},\mathrm{4},\mathrm{6},\mathrm{4}\mathrm{)}$就是一个极限表达式。

对于LPrSS的极限表达式$\mathrm{S}\mathrm{=}\mathrm{(}{\mathrm{s}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{2}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{3}},\mathrm{\cdots },{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\mathrm{)}$,令$\mathrm{k}\mathrm{=}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{\{}\mathrm{1}\mathrm{\le }\mathrm{k}<\mathrm{n}\mathrm{|}{\mathrm{s}}_{\mathrm{k}}<{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\}}$,则坏根定义为$\mathrm{r}\mathrm{=}{\mathrm{s}}_{\mathrm{k}}$.

通俗的说，是最靠右的小于末项的项。注意到LPrSS的坏根选取和PrSS实际上完全相同。

坏部定义为$\mathrm{(}{\mathrm{s}}_{\mathrm{k}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{k}\mathrm{+}\mathrm{1}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{k}\mathrm{+}\mathrm{2}},\mathrm{\cdots }{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{)}$，坏部记作B

好部定义为$\mathrm{(}{\mathrm{s}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{2}},\mathrm{\cdots }{\mathrm{s}}_{\mathrm{k}\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{)}$,如果$\mathrm{k}\mathrm{=}\mathrm{1}$,则好部为空序列。好部记作G

通俗的说，坏部是坏根(含)到末项(不含)的部分。坏部最短为 1 项。好部是坏根之前的部分。实际上，好部，坏部的规则，LPrSS和PrSS也是一模一样的。区别在下面，

LPrSS的阶差定义为${\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\mathrm{-}{\mathrm{s}}_{\mathrm{k}}\mathrm{-}\mathrm{1}$.阶差记作d.

我们定义${\mathrm{B}}_{\mathrm{m}}\mathrm{=}\mathrm{(}{\mathrm{s}}_{\mathrm{k}}\mathrm{+}\mathrm{m}\mathrm{\times }\mathrm{d},{\mathrm{s}}_{\mathrm{k}\mathrm{+}\mathrm{1}}\mathrm{+}\mathrm{m}\mathrm{\times }\mathrm{d},{\mathrm{s}}_{\mathrm{k}\mathrm{+}\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{m}\mathrm{\times }\mathrm{d},\mathrm{\cdots },{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{+}\mathrm{m}\mathrm{\times }\mathrm{d}\mathrm{)}$.这里的B就是坏部的B。通俗的说，$B_m$就是对坏部的每一项都加上m倍的d。

展开

对于一个合法的 PrSS 表达式 $S=(s_1,s_2,\dots ,s_{n-1},s_n)$，其展开规则如下：

• 如果 $S$ 是零表达式，则 $S$ 代表序数 $0$.
• 如果 $S$ 是后继表达式，则其前驱是 $S^{\prime }=(s_1,s_2,\dots ,s_{n-1})$.
• 如果 $S$ 是极限表达式，则根据前文定义确定坏根，好部、坏部，阶差. 则其基本列的第 $t$ 项定义为 $\mathrm{S}\mathrm{[}\mathrm{t}\mathrm{]}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{G},\mathrm{B},{\mathrm{B}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{B}}_{\mathrm{2}},\mathrm{\cdots }{\mathrm{B}}_{\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{)}$，其中 $t\in \mathbb{\mathbb{N}}$. 或者说 $S$ 的展开式为 $\mathrm{S}\mathrm{[}\mathrm{t}\mathrm{]}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{G},\mathrm{B},\underset{\mathrm{\omega }}{\underbrace{{\mathrm{B}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{B}}_{\mathrm{2}},\mathrm{\cdots }}}\mathrm{)}$.

举例

考虑LPrSS表达式$(1,4,6,6)$

末项是6，首先需要找到最靠右的小于6的一项，即第二项的4，即$(1,4,6,6)$(坏根被标红展示)。

随后得到好部G是$(1)$,坏部B是$(4,6)$.计算出$\mathrm{d}\mathrm{=}\mathrm{6}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{=}\mathrm{1}$。

于是我们便可以得出${\mathrm{B}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{5},\mathrm{7}\mathrm{)}$、${\mathrm{B}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{6},\mathrm{8}\mathrm{)}$、${\mathrm{B}}_{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{7},\mathrm{9}\mathrm{)}$……

于是我们便得到了$(1,4,6,6)$的展开式$(1,4,6,5,7,6,8,7,9,\cdots )$

与PrSS的关系

你可能会注意到，对PrSS来说，它的末项和坏根的差一定为1.因此，如果硬要按LPrSS的规则去运行PrSS，会得到$d=0$，于是任意的$B_m$都和B等同。于是，展开规则不会有任何变化。而且，LPrSS的$1,3$的展开式刚好是$1,2,3,4,5,\cdots$，这恰好是PrSS的极限。

这意味着，二者的规则实际上并不互斥，PrSS可以看作LPrSS在1,3之下的特殊情况。

枚举

$1,3$之前等价于PrSS，这里不再枚举，详情可以参见PrSS的枚举。这里使用veblen函数进行对照。

$1,3=\phi (1,0)$

$1,3,1=\phi (1,0)+1$

$1,3,1,3=\phi (1,0)\times 2$

$1,3,2={\omega }^{\phi (1,0)+1}$

$1,3,2,1,3,2={\omega }^{\phi (1,0)+1}\times 2$

$1,3,2,2={\omega }^{\phi (1,0)+2}$

$1,3,2,3={\omega }^{\phi (1,0)+\omega }$

$1,3,2,3,2,3={\omega }^{\phi (1,0)+\omega \times 2}$

$1,3,2,3,3={\omega }^{\phi (1,0)+{\omega }^2}$

$1,3,2,3,4={\omega }^{\phi (1,0)+{\omega }^{\omega }}$

$1,3,2,4={\omega }^{\phi (1,0)\times 2}$

$1,3,2,4,2,4={\omega }^{\phi (1,0)\times 3}$

$1,3,2,4,3={\omega }^{{\omega }^{\phi (1,0)+1}}$

$1,3,2,4,3,2,4,3={\omega }^{{\omega }^{\phi (1,0)+1}\times 2}$

$1,3,2,4,3,3={\omega }^{{\omega }^{\phi (1,0)+2}}$

$1,3,2,4,3,4={\omega }^{{\omega }^{\phi (1,0)+\omega }}$

$1,3,2,4,3,5={\omega }^{{\omega }^{\phi (1,0)\times 2}}$

$1,3,2,4,3,5,4={\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\phi (1,0)+1}}}$

$1,3,3=\phi (1,1)$

$1,3,3,2={\omega }^{\phi (1,1)+1}$

$1,3,3,2,4={\omega }^{\phi (1,1)+\phi (1,0)}$

$1,3,3,2,4,4={\omega }^{\phi (1,1)\times 2}$

$1,3,3,3=\phi (1,2)$

$1,3,4=\phi (1,\omega )$

$1,3,4,3=\phi (1,\omega +1)$

$1,3,4,3,4=\phi (1,\omega \times 2)$

$1,3,4,4=\phi (1,{\omega }^2)$

$1,3,4,5=\phi (1,{\omega }^{\omega })$

$1,3,5=\phi (1,\phi (1,0))$

$1,3,5,3=\phi (1,\phi (1,0)+1)$

$1,3,5,3,5=\phi (1,\phi (1,0)\times 2)$

$1,3,5,4,6=\phi (1,{\omega }^{\phi (1,0)\times 2})$

$1,3,5,5=\phi (1,\phi (1,1))$

$1,3,5,6=\phi (1,\phi (1,\omega ))$

$1,3,5,7=\phi (1,\phi (1,\phi (1,0)))$

$1,4=\phi (2,0)$ss

$1,4,3=\phi (1,\phi (2,0)+1)$

$1,4,3,4=\phi (1,\phi (2,0)+\omega )$

$1,4,3,5=\phi (1,\phi (2,0)+\phi (1,0))$

$1,4,3,6=\phi (1,\phi (2,0)\times 2)$

$1,4,3,6,4=\phi (1,{\omega }^{\phi (2,0)+1})$

$1,4,3,6,4,7=\phi (1,{\omega }^{\phi (2,0)\times 2})$

$1,4,3,6,5=\phi (1,\phi (1,\phi (2,0)+1))$

$1,4,3,6,5,8=\phi (1,\phi (1,\phi (2,0)\times 2))$

$1,4,4=\phi (2,1)$

$1,4,5=\phi (2,\omega ))$

$1,4,6=\phi (2,\phi (1,0))$

$1,4,7=\phi (2,\phi (2,0))$

$1,5=\phi (3,0)$

$1,5,2={\omega }^{\phi (3,0)+1}$

$1,5,3=\phi (1,\phi (3,0)+1)$

$1,5,4=\phi (2,\phi (3,0)+1)$

$1,5,5=\phi (3,1)$

$1,6=\phi (4,0)$

$Limit=\phi (\omega ,0)$