Veblen 函数：修订间差异

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2025年7月4日 (五) 07:25的版本

Veblen函数（别名： $φ$ 函数）是一个 $O r d \to O r d$ 的序数函数，由美国数学家 Oswald Veblen 定义。

定义

二元 Veblen 函数

Veblen 函数的定义基于序数函数的不动点.

二元 Veblen 函数 $φ (α, β) (α, β \in O r d)$ 的定义如下：

$φ (0, β) = φ (β) = ω^{β}$
$φ (α + 1, β)$ 是函数 $x \mapsto φ (α, x)$ 的第 $1 + β$ 个不动点.
对于极限序数 $α$ , $φ (α, β)$ 为所有 $x \mapsto φ (γ, x) (γ < α)$ 的第 $1 + β$ 个公共不动点.

其基本列定义如下：

$(φ (α_{1}, β_{1}) + φ (α_{2}, β_{2}) + \dots + φ (α_{k}, β_{k})) [n] = φ (α_{1}, β_{1}) + φ (α_{2}, β_{2}) + \dots + φ (α_{k}, β_{k}) [n]$
$φ (0, 0) = 1$
$φ (0, β + 1) [n] = φ (0, β) \cdot n$
对于极限序数 $β$ , $φ (α, β) [n] = φ (α, β [n])$
$φ (α + 1, 0) [0] = 0$
$φ (α + 1, β + 1) [0] = φ (α + 1, β) + 1$
$φ (α + 1, β + 1) [n + 1] = φ (α, φ (α + 1, β + 1) [n])$
对于极限序数 $α$ , $φ (α, 0) [n] = φ (α [n], 0)$
对于极限序数 $α$ , $φ (α, β + 1) [n] = φ (α [n], φ (α, β) + 1)$

有限元 Veblen 函数

序数元 Veblen 函数

@@ 第1行： / 第1行： @@
-'''Veblen函数(别名：<math>\varphi</math>函数)'''是一个<math>\rm Ord\rightarrow Ord</math>的序数函数，由美国数学家Oswald Veblen定义。
+'''Veblen函数（别名：<math>\varphi</math> 函数）'''是一个 <math>\rm Ord\rightarrow Ord</math> 的序数函数，由美国数学家 Oswald Veblen 定义。
 == 定义 ==
-=== 二元Veblen函数 ===
+=== 二元 Veblen 函数 ===
-Veblen函数的定义基于序数函数的[[不动点]].
+Veblen 函数的定义基于序数函数的[[不动点]].
-二元Veblen函数<math>\varphi(\alpha,\beta)~(\alpha,\beta\in\mathrm{Ord})</math>的定义如下：
+二元 Veblen 函数<math>\varphi(\alpha,\beta)~(\alpha,\beta\in\mathrm{Ord})</math>的定义如下：
 # <math>\varphi(0,\beta)=\varphi(\beta)=\omega^\beta</math>
-# <math>\varphi(\alpha+1,\beta)</math>是函数<math>x\mapsto\varphi(\alpha,x)</math>的第<math>1+\beta</math>个不动点.
+# <math>\varphi(\alpha+1,\beta)</math> 是函数 <math>x\mapsto\varphi(\alpha,x)</math>的第 <math>1+\beta</math> 个不动点.
-# 对于[[序数#极限序数|极限序数]]<math>\alpha</math>,<math>\varphi(\alpha,\beta)</math>为所有<math>x\mapsto\varphi(\gamma,x)(\gamma<\alpha)</math>的第<math>1+\beta</math>个公共不动点.
+# 对于[[序数#极限序数|极限序数]] <math>\alpha</math>,<math>\varphi(\alpha,\beta)</math> 为所有 <math>x\mapsto\varphi(\gamma,x)(\gamma<\alpha)</math> 的第 <math>1+\beta</math> 个公共不动点.
 其基本列定义如下：
@@ 第16行： / 第16行： @@
 # <math>\varphi(0,0)=1</math>
 # <math>\varphi(0,\beta+1)[n]=\varphi(0,\beta)\cdot n</math>
-# 对于极限序数<math>\beta</math>,<math>\varphi(\alpha,\beta)[n]=\varphi(\alpha,\beta[n])</math>
+# 对于极限序数 <math>\beta</math>,<math>\varphi(\alpha,\beta)[n]=\varphi(\alpha,\beta[n])</math>
 # <math>\varphi(\alpha+1,0)[0]=0</math>
 # <math>\varphi(\alpha+1,\beta+1)[0]=\varphi(\alpha+1,\beta)+1</math>
 # <math>\varphi(\alpha+1,\beta+1)[n+1]=\varphi(\alpha,\varphi(\alpha+1,\beta+1)[n])</math>
-# 对于极限序数<math>\alpha</math>,<math>\varphi(\alpha,0)[n]=\varphi(\alpha[n],0)</math>
+# 对于极限序数 <math>\alpha</math>,<math>\varphi(\alpha,0)[n]=\varphi(\alpha[n],0)</math>
-# 对于极限序数<math>\alpha</math>,<math>\varphi(\alpha,\beta+1)[n]=\varphi(\alpha[n],\varphi(\alpha,\beta)+1)</math>
+# 对于极限序数 <math>\alpha</math>,<math>\varphi(\alpha,\beta+1)[n]=\varphi(\alpha[n],\varphi(\alpha,\beta)+1)</math>
-=== 有限元Veblen函数 ===
+=== 有限元 Veblen 函数 ===
-=== 序数元Veblen函数 ===
+=== 序数元 Veblen 函数 ===
 [[分类:记号]]