不动点：修订间差异

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2025年7月3日 (四) 21:21的版本

在数学中，函数的不动点（fixed point,fp），指的是在函数定义域内的某一个值，经过函数映射后的值还是其本身。

例子

在googology中，我们一般只关心 $ℕ \to ℕ$ 的连续递增函数以及 $O r d \to O r d$ 的连续递增函数。由于前者一般无不动点(即使有也是平凡的，如 $f (x) = x$ )，因而只有后者的不动点是重要的。

如 $f (x) = 1 + x$

注意到当 $x = ω$ 时， $f (x) = 1 + ω = s u p {1 + 0, 1 + 1, 1 + 2, 1 + 3, \dots} = ω$ 。因此 $ω$ 是 $f (x) = 1 + x$ 的不动点。

又如 $f (x) = ω \times x$

当 $x = ω^{ω}$ 时， $f (ω^{ω}) = ω^{ω}$ ，因此 $ω^{ω}$ 是 $f (x) = ω \times x$ 的不动点。

注意

并非所有的Ord→Ord的连续递增函数都存在不动点。如f(x)=x+1,就不存在不动点。
在googology中，我们一般把f(α)的不动点写作α→f(α)不动点。
一个序数函数可以不只存在一个不动点。如 $ω^{ω} \times m$ 是 $f (x) = ω \times x$ 的第m个不动点。

不动点与基本列

$O r d \to O r d$ 的连续递增函数f(x) $f (x)$ 且满足f(x)≥x $f (x) \geq x$ ，存在这样一个定理：

如果X是其第m个不动点，则 $s u p {X + 1 . f (X + 1), f (f (X + 1)), f (f (f (X + 1))), \dots}$ 是其第m+1个不动点

注意到这实际上提供了一种基本列选取的方法。实际上，著名的序数表示法φ函数的强度就高度依赖于不动点.

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 在数学中，函数的不动点（fixed point,fp），指的是在函数定义域内的某一个值，经过函数映射后的值还是其本身。
 == 例子 ==
-在[[Googology|googology]]中，我们一般只关心N→N的连续递增函数以及Ord→Ord的连续递增函数。由于前者一般无不动点(即使有也是平凡的，如f(x)=x))，因而只有后者的不动点是重要的。
+在[[Googology|googology]]中，我们一般只关心<math>\mathbb N \rightarrow \mathbb N</math>的连续递增函数以及<math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math>的连续递增函数。由于前者一般无不动点(即使有也是平凡的，如<math>\rm{f(x)=x}</math>)，因而只有后者的不动点是重要的。
-如
-f(x)=1+ω
+如<math>\rm{f(x)=1+x}</math>
-注意到当x=ω时，f(x)=1+ω=sup{1+0,1+1,1+2,…}=ω。因此ω是f(x)=1+x的不动点。因为不存在x＜ω满足f(x)=x，因此ω是其第一个不动点。当x=ω+1时，f(x)=1+(ω+1)=ω+1，因此ω+1是f(x)=1+x的第二个不动点。
+注意到当<math>\rm{x=\omega}</math>时，<math>\rm{f(x)=1+\omega =sup\{ 1+0,1+1,1+2,1+3,\cdots \}=\omega} </math>。因此<math>\omega</math>是<math>\rm{f(x)=1+x}</math>的不动点。
+又如<math>\rm{f(x)=\omega \times x}</math>
+当<math>\rm{x=\omega^{\omega}}</math>时，<math>\rm{f(\omega^{\omega})=\omega^{\omega}}</math>，因此<math>\omega^{\omega}</math>是<math>\rm{f(x)=\omega \times x}</math>的不动点。
-又如f(x)=ω*x
-当x=ω^ω时，f(ω^ω)=ω^ω，因此ω^ω是f(x)=ω*x的不动点。而可以验证ω^ω*2是第二个。
 == 注意 ==
-在googology中，我们一般把f(α)的不动点写作α→f(α)不动点。
-并非所有的Ord→Ord的连续递增函数都存在不动点。如f(x)=x+1,就不存在不动点。
+# 并非所有的Ord→Ord的连续递增函数都存在不动点。如f(x)=x+1,就不存在不动点。
+# 在googology中，我们一般把f(α)的不动点写作α→f(α)不动点。
+# 一个序数函数可以不只存在一个不动点。如<math>\omega^{\omega}\times m</math>是<math>\rm{f(x)=\omega \times x}</math>的第m个不动点。
 == 不动点与基本列 ==
-对于Ord→Ord的连续递增函数f(x)且满足f(x)≥x，存在这样一个定理：
+<math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math>的连续递增函数f(x)<math>f(x)</math>且满足f(x)≥x<math>\rm{f(x)\geq x}</math>，存在这样一个定理：
-如果X是其第m个不动点，则sup{X+1,f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),…}是其第m+1个不动点
-注意到这实际上提供了一种[[基本列]]选取的方法。实际上，著名的序数表示法[[Φ函数|φ函数]]的强度就高度依赖于不动点
+如果X是其第m个不动点，则<math>\rm{sup \{ X+1.f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),\cdots \}}</math>是其第m+1个不动点
+注意到这实际上提供了一种[[基本列]]选取的方法。实际上，著名的序数表示法[[φ函数]]的强度就高度依赖于不动点.
+[[分类:入门]]