ZFC公理体系：修订间差异

2025年7月3日 (四) 15:49的版本

我们采用以下的9条公理、公理模式作为我们所使用的ZFC公理体系。

外延公理：两个集合 $A, B$ 相等，当且仅当任意x， $x \in A$ 等价于 $x \in B$
配对公理：对于任意两个集合 $A, B$ ， ${A, B}$ 是一个集合
分离公理模式：对于任意集合 $S$ ，和带 $n$ 个参数的公式 $ϕ (x, p 0, p 1, p 2, p 3, \dots), {x \in S : ϕ (x, p 0, p 1, \dots)}$ 是一个集合
并集公理：对于一个集合 $S$ ，存在一个集合 $U$ 使得任意 $x \in S$ ，任意 $y \in x, y \in U$
幂集公理：对于任意一个集合 $S$ ，存在一个集合 $U$ 使得 $A$ 是 $S$ 的子集等价于 $A \in U$
正则公理：任意一个非空集合 $S$ 上都存在 $\in$ 链最小元，或者换句话说，存在 $x \in S$ 使得 $S$ 非空且 $x$ 交 $S$ 为空
替代公理：对于任意一个集合 $S$ ，如果存在一个函数 $f : S \to U$ ，则 $U$ 是一个集合
无穷公理：存在无穷集/存在一个集合 $S$ 使得空集是 $S$ 的元素，且对于任意 $x \in S, x \cup {x} \in S$
选择公理：对于任意集合 $S$ ，存在一个选择函数使得 $f (S) \in S$

我们将去掉第9条公理的公理体系称为ZF,将去掉第9条和第6条的公理体系称为ZF-REG，将去掉第九条和第8条的公理体系称为ZF-INF，将去掉第九条和第7条的公理体系称为Z ZFC中的公理之间存在着一定的关系，例如，第7条替代公理模式可推第3条分离公理模式。

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 我们采用以下的9条公理、公理模式作为我们所使用的ZFC公理体系。
 # 外延公理：两个集合 <math>A,B</math> 相等，当且仅当任意x， <math>x \in A</math> 等价于 <math>x \in B</math>
 # 配对公理：对于任意两个集合 <math>A,B</math> ， <math>\{A,B\}</math> 是一个集合<br />
 # 分离公理模式：对于任意集合 <math>S</math> ，和带 <math>n</math> 个参数的公式 <math>\phi (x,p0,p1,p2,p3,\cdots),\{x\in S: \phi(x,p0,p1,\cdots)\}</math> 是一个集合
 # 并集公理：对于一个集合 <math>S</math> ，存在一个集合 <math>U</math> 使得任意 <math>x\in S</math> ，任意 <math>y\in x,y\in U</math>
 # 幂集公理：对于任意一个集合 <math>S</math> ，存在一个集合 <math>U</math> 使得 <math>A</math> 是 <math>S</math> 的子集等价于 <math>A\in U</math>
 # 正则公理：任意一个非空集合 <math>S</math> 上都存在 <math>\in</math> 链最小元，或者换句话说，存在 <math>x\in S</math> 使得 <math>S</math> 非空且 <math>x</math> 交 <math>S</math> 为空
 # 替代公理：对于任意一个集合 <math>S</math> ，如果存在一个函数 <math>f:S\rightarrow U</math> ，则 <math>U</math> 是一个集合
 # 无穷公理：存在无穷集/存在一个集合 <math>S</math> 使得空集是 <math>S</math> 的元素，且对于任意 <math>x\in S,x\cup\{x\}\in S</math>
 # 选择公理：对于任意集合 <math>S</math> ，存在一个选择函数使得 <math>f(S)\in S</math>
+我们将去掉第9条公理的公理体系称为ZF,将去掉第9条和第6条的公理体系称为ZF-REG，将去掉第九条和第8条的公理体系称为ZF-INF，将去掉第九条和第7条的公理体系称为Z
+ZFC中的公理之间存在着一定的关系，例如，第7条替代公理模式可推第3条分离公理模式。