K3pd

K3pd（KPnd-3-version）记号作者为积分元素，灵感主要来源于KPnd序列。

K3pd序列形如$(1,3,a_3,a_4,a_5,......a_n)$$(a_3,a_4,a_5,......a_n\in \{x|x⩾3,x\in \mathbb{\mathbb{N}}\})$。

一个元素$a_i(i⩾3)$的父项为其左侧最靠近它的小于它的元素。3和1没有父项。

令末项$a_n(a_n>3)$的父项为$a_f$。则坏部为从$a_f$到$a_{n-1}$的所有项（包含这两项）。

令展开函数$F(x)=g_{\alpha }(x)$，使得$a_n-1=g_{\alpha }(a_f)$且$\alpha$尽可能大。这里$g_{\alpha }(x)$是慢速增长层级（SGH）。

展开规则：

序列$(1,3,\mathrm{\#},3)=(1,3,\mathrm{\#})+1$，其中#为自然数序列。

否则，序列$(1,3,a_3,a_4,a_5,...a_{f-1},a_f,...a_{n-1},a_n)$的坏部为“$a_f,...a_{n-1}$”，好部为“$1,3,a_3,a_4,a_5,...a_{f-1}$”。则该序列展开为：$(1,3,a_3,a_4,a_5,...a_{f-1},a_f,...a_{n-1},F(a_f),...F(a_{n-1}),F(F(a_f)),...F(F(a_{n-1})),F(F(F(a_f))),...F(F(F(a_{n-1}))),......)$

其极限表达式暂定为$(1,3,28)=(1,3,27,3^{3\times 27},3^{3\times 27\times 3^{3\times 27}},......)$。

现作者已发现无穷降链：$(1,3,7,7)>(1,3,7,6,14)>(1,3,7,6,13,13)>(1,3,7,6,13,12,26)>(1,3,7,6,13,12,25,25)>(1,3,7,6,13,12,25,24,50)>......$

展开案例

1.展开：$(1,3,9)$。

这里，末项9的父项为3，$9-1=8=g_{\omega \times 2+2}(3)$，于是展开为$(1,3,8,18,38,78,158,......)$（从第二项以后，每一项都是上一项乘以2再加2）。

2.展开：$(1,3,4,3)$。

这里，末项3没有父项，于是它等于$(1,3,4)+1$。千万不要条件反射，以为是$1-Y(1,3,4,3)$提升！

3.展开：$(1,3,7,7)$。

这里，末项7的父项为3，$7-1=6=g_{\omega \times 2}(3)$，于是展开为$(1,3,7,6,14,12,28,24,56,......)$（从第四项以后，$a_n=2a_{n-2}$）。