基数：修订间差异

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2025年6月29日 (日) 20:43的版本

基数是一类特殊的序数。

我们称呼两个集合 $A, B$ 拥有相同的基数，当且仅当，存在一个一对一函数 $f : A \to B$

一个序数 $a$ 是一个基数，当且仅当对于任意 $b < a$ ，都不存在函数 $f$ 使得 $f : b \to a$ 是一个一对一函数

基数上的序关系

基数的序被定义为如下形式

$| X | \leq | Y |$

如果存在一个单射自 $X$ 到 $Y$

我们同样可以定义严格序

$| X | < | Y |$

表示 $| X | \leq | Y |$ 且 $| X | \neq | Y |$

有限基数和无穷基数/超限基数

我们称呼一个集合 $X$ 的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数 $n \in ℕ$ 使得

$| X | = | n |$

此时我们称呼 $X$ 是有 $n$ 个元素的

我们用自然数来定义有限基数

对于任意 $n \in ℕ, | X | = | n | = n$

若一个基数不是有限的，则我们称它为无穷基数/超限基数

阿列夫数

若一个无穷序数是基数，我们便称之为阿列夫数

对于任意一个良序集 $W$ ，它的基数就是最小的一个序数 $a$ 使得 $| W | = | a |$

序数 $ω$ 是最小的一个无穷基数，注意到每一个无穷基数都是极限序数。

极限基数和后继基数

我们称一个基数 $k$ 是后继基数，当且仅当存在一个基数 $λ$ ，使得 $k$ 是最小的大于 $λ$ 的基数，此时也称 $k$ 为 $λ$ 的基数后继

我们称一个基数 $k$ 是极限基数，当且仅当，对于任意 $λ < k$ ， $λ$ 的基数后继也小于 $k$

由此我们定义阿列夫数的递增序列

$ℵ_{0} = ω$

$ℵ_{a + 1} = ω_{a + 1} = ℵ_{a}$ 的基数后继

$ℵ_{a} (a 是极限序数) = s u p {ω_{b} : b < a}$

我们称一个基数为 $ℵ_{0}$ 的集合是可数的（countable），一个基数不为 $ℵ_{0}$ 的无穷集合是不可数的（uncountable）

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-基数是一类特殊的序数
+'''基数'''是一类特殊的序数。
-我们称呼两个集合A,B拥有相同的基数，当且仅当，存在一个一对一函数f：A→B
+我们称呼两个集合<math>A,B</math>拥有相同的基数，当且仅当，存在一个一对一函数 <math>f: A \rightarrow B</math>
-一个序数a是一个基数，当且仅当对于任意b＜a，都不存在函数f使得f：b→a是一个一对一函数
+一个序数 <math>a</math> 是一个基数，当且仅当对于任意 <math>b<a</math> ，都不存在函数 <math>f</math> 使得 <math>f: b \rightarrow a</math> 是一个一对一函数
-基数上的序关系
+==== 基数上的序关系 ====
 基数的序被定义为如下形式
-|X|≤|Y|
+<math>|X| \leq |Y|</math>
-如果存在一个单射自X到Y
+如果存在一个单射自<math>X</math>到<math>Y</math>
 我们同样可以定义严格序
-|X|＜|Y|
+<math>|X| < |Y|</math>
-表示|X|≤|Y|且|X|≠|Y|
+表示 <math>|X| \leq |Y|</math> 且 <math>|X| \neq |Y|</math>
-有限基数和无穷基数/超限基数
+==== 有限基数和无穷基数/超限基数 ====
-我们称呼一个集合X的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数n∈N使得
+我们称呼一个集合<math>X</math>的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数<math>n \in \mathbb{N}</math>使得
-|X|=|n|
+<math>|X|=|n|</math>
-此时我们称呼X是有n个元素的
+此时我们称呼<math>X</math>是有<math>n</math>个元素的
 我们用自然数来定义有限基数
-对于任意n∈N，|X|=|n|=n
+对于任意 <math>n \in \mathbb{N},|X|=|n|=n</math>
-若一个基数不是有限的，则我们称它为无穷基数/超限基数
+若一个基数不是有限的，则我们称它为'''无穷基数'''/'''超限基数'''
-阿列夫数
+==== 阿列夫数 ====
-若一个无穷序数是基数，我们便称之为阿列夫数
+若一个无穷序数是基数，我们便称之为'''阿列夫数'''
-对于任意一个良序集W，它的基数就是最小的一个序数a使得|W|=|a|
+对于任意一个良序集<math>W</math>，它的基数就是最小的一个序数<math>a</math>使得<math>|W|=|a|</math>
-序数omega是最小的一个无穷基数，注意到每一个无穷基数都是极限序数。
+序数<math>\omega</math>是最小的一个无穷基数，注意到每一个无穷基数都是极限序数。
-极限基数和后继基数
+==== 极限基数和后继基数 ====
-我们称一个基数k是后继基数，当且仅当存在一个基数lamda，使得k是最小的大于lamda的基数，此时也称k为lamda的基数后继
+我们称一个基数<math>k</math>是后继基数，当且仅当存在一个基数<math>\lambda</math>，使得<math>k</math>是最小的大于<math>\lambda</math>的基数，此时也称<math>k</math>为<math>\lambda</math>的基数后继
-我们称一个基数k是极限基数，当且仅当，对于任意lamda＜k，lamda的基数后继也小于k
+我们称一个基数<math>k</math>是极限基数，当且仅当，对于任意<math>\lambda < k</math>，<math>\lambda</math>的基数后继也小于<math>k</math>
 由此我们定义阿列夫数的递增序列
-N0=omega
+<math>\aleph_{0}=\omega</math>
-N_a+1=omega_a+1=N_a的基数后继
+<math>\aleph_{a+1}=\omega_{a+1}=\aleph_{a}</math>的基数后继
-N_a(a为极限序数)=sup{omega_b:b＜a}
+<math>\aleph_{a}\text{(}a\text{是极限序数)}=sup\{\omega_{b}:b<a\}</math>
-我们称一个基数为N0的集合是可数的（countable），一个基数不为N0的无穷集合是不可数的（uncountable）
+我们称一个基数为<math>\aleph_{0}</math>的集合是'''可数的（countable）'''，一个基数不为<math>\aleph_{0}</math>的无穷集合是'''不可数的（uncountable）
+'''