基数

基数是一类特殊的序数

我们称呼两个集合A,B拥有相同的基数，当且仅当，存在一个一对一函数f：A→B

一个序数a是一个基数，当且仅当对于任意b＜a，都不存在函数f使得f：b→a是一个一对一函数

基数上的序关系

基数的序被定义为如下形式

|X|≤|Y|

如果存在一个单射自X到Y

我们同样可以定义严格序

|X|＜|Y|

表示|X|≤|Y|且|X|≠|Y|

有限基数和无穷基数/超限基数

我们称呼一个集合X的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数n∈N使得

|X|=|n|

此时我们称呼X是有n个元素的

我们用自然数来定义有限基数

对于任意n∈N，|X|=|n|=n

若一个基数不是有限的，则我们称它为无穷基数/超限基数

阿列夫数

若一个无穷序数是基数，我们便称之为阿列夫数

对于任意一个良序集W，它的基数就是最小的一个序数a使得|W|=|a|

序数omega是最小的一个无穷基数，注意到每一个无穷基数都是极限序数。

极限基数和后继基数

我们称一个基数k是后继基数，当且仅当存在一个基数lamda，使得k是最小的大于lamda的基数，此时也称k为lamda的基数后继

我们称一个基数k是极限基数，当且仅当，对于任意lamda＜k，lamda的基数后继也小于k

由此我们定义阿列夫数的递增序列

N0=omega

N_a+1=omega_a+1=N_a的基数后继

N_a(a为极限序数)=sup{omega_b:b＜a}

我们称一个基数为N0的集合是可数的（countable），一个基数不为N0的无穷集合是不可数的（uncountable）