序数：修订间差异

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2025年6月29日 (日) 17:07的版本

序数是自然数的推广。

定义

一个序数 $α$ 被定义为所有比它“更小”的序数的集合，即 $α = {β | β < α}$ 。

$0 = \emptyset = {}$

$1 = {0}$

$2 = {0, 1}$

$3 = {0, 1, 2}$

$1048576 = {0, 1, 2, 3, . . ., 1048575}$

序数的后继

序数 $α$ 的后继被定义为 $α + 1 = α \cup {α}$ 。它也是所有序数运算的基础。

如 $2 + 1 = 2 \cup {2} = {0, 1} \cup {2} = {0, 1, 2} = 3$ ， $n + 1 = n \cup {n} = {0, 1, 2, 3, . . ., n}$ 。

有限序数与超限序数

所有自然数都是有限序数。

大于有限序数的序数称作超限序数(或无限序数)

极限序数

不是 $0$ 且不是任何序数的后继的序数被称为极限序数。（ $0$ 有时也被视为极限序数）

即序数 $λ$ 是极限序数要满足“不存在某个序数 $α$ 使得 $λ = α + 1$ ”。

如果 $λ$ 是极限序数，那么 $λ = s u p {α | α < λ}$ 。(" $s u p$ "为"上确界"，一般可以省略不写)

$ω$ 被定义为全体自然数的集合， $ω = ℕ = {0, 1, 2, 3, . . .}$ 既是第一个超限序数，也是第一个极限序数。

序数的运算

1.序数加法

$α + 0 = α$

$α + (β + 1) = (α + β) + 1$

$α + β = ⋃_{γ < β} (α + γ)$ ，如果 $β$ 是极限序数。

序数加法不具有交换律，但具有结合律。即

$α + β \neq β + α, (α + β) + γ = α + (β + γ)$

例： $1 + ω = ⋃_{γ < ω} (1 + γ) = {1 + 0, 1 + 1, 1 + 2, . . .} = s u p {1, 2, 3, . . .} = ω \neq ω + 1$

2.序数乘法

$α \times 0 = 0$

$α \times (β + 1) = (α \times β) + α$

$α \times β = ⋃_{γ < β} (α \times γ)$ ，如果 $β$ 是极限序数。

序数乘法不具有交换律和右分配律，但具有结合律和左分配律。即

$1 . α \times β \neq β \times α, (α \times β) \times γ = α \times (β \times γ)$

$2 . (α + β) \times γ \neq (α \times γ) + (β \times γ), α \times (β + γ) = (α \times β) + (α \times γ)$

例： $\begin{aligned} (ω + 1) \times ω & = ⋃_{γ < ω} ((ω + 1) \times γ) \\ = {(ω + 1) \times 0, (ω + 1) \times 1, (ω + 1) \times 2, . . .} \\ = {0, ω + 1, ω + (1 + ω) + 1, ω + (1 + ω) + (1 + ω) + 1, . . .} \\ = s u p {0, ω + 1, ω \times 2 + 1, ω \times 3 + 1, . . .} = ω^{2} \\ \neq ω \times (ω + 1) = ω^{2} + ω \end{aligned}$

@@ 第30行： / 第30行： @@
 如果<math>\lambda</math>是极限序数，那么<math>\lambda=\rm sup\{\alpha|\alpha < \lambda\}</math>。("<math>\rm sup</math>"为"上确界"，一般可以省略不写)
+<math>\omega</math>被定义为全体自然数的集合，<math>\omega=\mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\}</math>既是第一个超限序数，也是第一个极限序数。
 ==== 序数的运算 ====
@@ 第38行： / 第41行： @@
 <math>\alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1</math>
-<math>\alpha+\beta=\bigcup_{\gamma <\beta}(\alpha +\gamma),{\rm if\  \beta\  is \ a \ limit\ ordinal}</math>
+<math>\alpha+\beta=\bigcup_{\gamma <\beta}(\alpha +\gamma)</math>，如果<math>\beta</math>是极限序数。
 序数加法不具有交换律，但具有结合律。即
@@ 第45行： / 第48行： @@
 例：<math>1+\omega=\bigcup_{\gamma <\omega}(1 +\gamma)=\{1+0,1+1,1+2,...\}={\rm sup}\{1,2,3,...\}=\omega\ne \omega+1</math>
+===== 2.序数乘法 =====
+<math>\alpha\times0=0</math>
+<math>\alpha\times(\beta+1)=(\alpha\times\beta)+\alpha</math>
+<math>\alpha\times\beta=\bigcup_{\gamma <\beta}(\alpha \times\gamma)</math>，如果<math>\beta</math>是极限序数。
+序数乘法不具有交换律和右分配律，但具有结合律和左分配律。即
+<math>1.\alpha\times\beta\ne\beta\times\alpha,(\alpha\times\beta)\times\gamma=\alpha\times(\beta\times\gamma)</math>
+<math>2.(\alpha+\beta)\times\gamma\ne (\alpha\times\gamma)+(\beta\times\gamma), \alpha\times(\beta+\gamma)=(\alpha\times\beta)+(\alpha\times\gamma)</math>
+例：<math>\begin{align} (\omega+1)\times\omega&=\bigcup_{\gamma <\omega}((\omega+1) \times\gamma)\\&=\{(\omega+1)\times0,(\omega+1)\times1,(\omega+1)\times2,...\}\\&=\{0,\omega+1,\omega+(1+\omega)+1,\omega+(1+\omega)+(1+\omega)+1,...\}\\&={\rm sup}\{ 0,\omega+1,\omega\times2+1,\omega\times3+1,...\}=\omega^2 \\&\ne\omega\times(\omega+1)=\omega^2+\omega \end{align}</math>