序数：修订间差异

2025年6月29日 (日) 16:55的版本

序数是自然数的推广。

一个序数 $α$ 被定义为所有比它“更小”的序数的集合，即 $α = {β | β < α}$ 。

$0 = \emptyset = {}$

$1 = {0}$

$2 = {0, 1}$

$3 = {0, 1, 2}$

$1048576 = {0, 1, 2, 3, . . ., 1048575}$

序数 $α$ 的后继被定义为 $α + 1 = α \cup {α}$ 。它也是所有序数运算的基础。

如 $2 + 1 = 2 \cup {2} = {0, 1} \cup {2} = {0, 1, 2} = 3$ ， $n + 1 = n \cup {n} = {0, 1, 2, 3, . . ., n}$ 。

所有自然数都是有限序数。

大于有限序数的序数称作超限序数(或无限序数)

不是 $0$ 且不是任何序数的后继的序数被称为极限序数。（ $0$ 有时也被视为极限序数）

即序数 $λ$ 是极限序数要满足“不存在某个序数 $α$ 使得 $λ = α + 1$ ”。

如果 $λ$ 是极限序数，那么 $λ = s u p {α | α < λ}$ 。(" $s u p$ "为"上确界"，一般可以省略不写)

$α + 0 = α$

$α + (β + 1) = (α + β) + 1$

$α + β = ⋃_{γ < β} (α + γ), i f β i s a l i m i t o r d i n a l$

序数加法不具有交换律，但具有结合律。即

$α + β \neq β + α, (α + β) + γ = α + (β + γ)$

例： $1 + ω = ⋃_{γ < ω} (1 + γ) = {1 + 0, 1 + 1, 1 + 2, . . .} = s u p {1, 2, 3, . . .} = ω \neq ω + 1$

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 ===== 极限序数 =====
 不是  <math>0</math>且'''不是任何序数的后继'''的序数被称为'''极限序数'''。（<math>0</math>有时也被视为极限序数）
+即序数<math>\lambda</math>是极限序数要满足“不存在某个序数<math>\alpha</math>使得<math>\lambda=\alpha +1</math>”。
+如果<math>\lambda</math>是极限序数，那么<math>\lambda=\rm sup\{\alpha|\alpha < \lambda\}</math>。("<math>\rm sup</math>"为"上确界"，一般可以省略不写)
+==== 序数的运算 ====
+===== 1.序数加法 =====
+<math>\alpha+0=\alpha</math>
+<math>\alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1</math>
+<math>\alpha+\beta=\bigcup_{\gamma <\beta}(\alpha +\gamma),{\rm if\  \beta\  is \ a \ limit\ ordinal}</math>
+序数加法不具有交换律，但具有结合律。即
+<math>\alpha+\beta\ne\beta+\alpha,(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)</math>
+例：<math>1+\omega=\bigcup_{\gamma <\omega}(1 +\gamma)=\{1+0,1+1,1+2,...\}={\rm sup}\{1,2,3,...\}=\omega\ne \omega+1</math>