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$𝐋_{a} ≺ 𝐋_{a + 1} ⟹ a$ 是 $Π_{0}^{1}$ -反射。

理论

首先，通过在具有可数多个变量项符号和集合隶属关系符号 $\in$ 的一阶集合论语言中加入一个一元函数符号 $U$ 来定义语言 L。将 ZF_L 定义为属于 ZF 集合论公理的 L 公式集合。在这里，ZF_L 中理解和替换的公理模式由所有 L-公式（即可以包含 $U$ 的公式）参数化。通过使用显式 Gödel 对应关系将可数多个常数项符号、可数多个函数符号、可数多个关系符号和一个新的一元函数符号 \Theta 添加到 L 的显式形式化中，定义一阶逻辑的形式语言 L。然后，我们用 ZFC_L 表示属于 ZFC 集合论公理的 L-公式集合，在这里，ZFC_L 中理解和替换的公理模式由所有 L-公式参数化，即公式可以包括 $U$ 的形式化，附加常数项符号，附加函数符号，附加关系符号和 $Θ$ 。我们将 $ε_{0}$ 和 L-公式下面的序数显式编码为 ZF_L 中的自然数，并将 Henkin 公理“如果存在满足 $P$ 的 x，则 $Θ (n)$ 满足 $P$ ”的形式化，对于每个变量项符号 x，每个带有代码 n 的 L-公式 $P$ 通过重复后继运算形式化为 ZFC_L，

用 ZFCH_L 表示由 Henkin 公理模式增强的理论 ZFC_L。新的函数符号 $Θ$ 起着“Henkin 常数族”的作用。请不要混淆基本理论 ZF_L 和形式化理论 ZFCH_L。用 $U 1$ 表示 L-公式“对于任何序数 $α$ ， $U (α) ⊨ {ZFCH}_{L}$ ”。在 $U 1$ 增强的 ZFC_L 下， $U (α)$ 形成了 ZFC_L 的模型，从而形成了任何序数 $α$ 的 L-结构。我们用 $U^{U (α)}$ 表示 $U (α)$ 中 $U$ 的解释。我们用 $U 2$ 表示 L-公式“对于任何序数 $α$ 和任何 $β \in α$ ， $U^{U (α)} = U (β)$ ”，用 $U 3$ 表示 L-公式“对于任何序数 $α$ ，存在一个序数 $β$ 使得 $| U (α) | = V_{β}$ ，对于任何 $x \in V_{β}$ 和任何 $y \in V_{β}$ ， $x \in^{U (α)} y$ 等价于 $x \in y$ ”，其中 $V_{β}$ 表示 von Neumann 层次。将 T 定义为 L-公式的集合 ${ZF}_{L} \cup {U 1, U 2, U 3}$ 。

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 <math>\mathbf{L}_a \prec \mathbf{L}_{a+1} \Longrightarrow a</math> 是 <math>\Pi^1_0</math>-反射。
+'''理论'''
+首先，通过在具有可数多个变量项符号和集合隶属关系符号 <math>\in</math> 的一阶集合论语言中加入一个一元函数符号 <math>U</math> 来定义语言 L。将 ZF<sub>L</sub> 定义为属于 ZF 集合论公理的 L 公式集合。在这里，ZF<sub>L</sub> 中理解和替换的公理模式由所有 L-公式（即可以包含 <math>U</math> 的公式）参数化。 通过使用显式 Gödel 对应关系将可数多个常数项符号、可数多个函数符号、可数多个关系符号和一个新的一元函数符号 \Theta 添加到 L 的显式形式化中，定义一阶逻辑的形式语言 L。然后，我们用 ZFC<sub>L</sub> 表示属于 ZFC 集合论公理的 L-公式集合，在这里，ZFC<sub>L</sub> 中理解和替换的公理模式由所有 L-公式参数化，即公式可以包括 <math>U</math> 的形式化，附加常数项符号，附加函数符号，附加关系符号和 <math>\Theta</math>。 我们将 <math>\varepsilon_0</math> 和 L-公式下面的序数显式编码为 ZF<sub>L</sub> 中的自然数，并将 Henkin 公理“如果存在满足 <math>P</math> 的 x，则 <math>\Theta(n)</math> 满足 <math>P</math>”的形式化，对于每个变量项符号 x，每个带有代码 n 的 L-公式 <math>P</math> 通过重复后继运算形式化为 ZFC<sub>L</sub>，
+用 ZFCH<sub>L</sub> 表示由 Henkin 公理模式增强的理论 ZFC<sub>L</sub>。新的函数符号 <math>\Theta</math> 起着“Henkin 常数族”的作用。请不要混淆基本理论 ZF<sub>L</sub> 和形式化理论 ZFCH<sub>L</sub>。用 <math>U1</math> 表示 L-公式“对于任何序数 <math>\alpha</math>，<math>U(\alpha) \vDash \text{ZFCH}_{\text{L}}</math>”。在 <math>U1</math> 增强的 ZFC<sub>L</sub> 下，<math>U(\alpha)</math> 形成了 ZFC<sub>L</sub> 的模型，从而形成了任何序数 <math>\alpha</math> 的 L-结构。我们用 <math>U^{U(\alpha)}</math> 表示 <math>U(\alpha)</math> 中 <math>U</math> 的解释。我们用 <math>U2</math> 表示 L-公式“对于任何序数 <math>\alpha</math> 和任何 <math>\beta \in \alpha</math>，<math>U^{U(\alpha)} = U(\beta)</math>”，用 <math>U3</math> 表示 L-公式“对于任何序数 <math>\alpha</math>，存在一个序数 <math>\beta</math> 使得 <math>\vert U(\alpha)\vert = \text{V}_\beta</math>，对于任何 <math>x \in \text{V}_\beta</math> 和任何 <math>y \in \text{V}_\beta</math>，<math>x \in^{U(\alpha)} y</math> 等价于 <math>x \in y</math>”，其中 <math>\text{V}_\beta</math> 表示 von Neumann 层次。将 T 定义为 L-公式的集合 <math>\text{ZF}_{\text{L}} \cup \{U1, U2, U3\}</math>。