良基宇宙等同于集论全域的证明

由正则公理，我们可以得到

引理1：任何非空类都有 $\in$ 关系上的最小元

证明：取任意 $S\in C$。如果 $S\cap C=\mathrm{\varnothing }$，则 $S$ 是 $C$ 上最小元；如果 $S\cap C$ 不为 $\mathrm{\varnothing }$，则我们让 $X=T\cap C$，其中 $T={𝒯}{𝒞}(S)$ （ ${𝒯}{𝒞}(S)$ 表示 $S$ 的传递闭包）。 $X$ 是非空集 并根据正则公理，有 $x\in X$，使得 $x\cap X=\mathrm{\varnothing }$。由此可见， $x\cap C=\mathrm{\varnothing }$；否则，如果 $y\in x$ 并且 $y\in C$，则 $y\in T$，由 $T$ 是传递的，因此 $y\in x\cap T\cap C=x\cap X$。因此 $x$ 是 $C$ 上 $\in$ 关系最小元。

定理：对于任何集合 $x$，都存在一个序数 $\alpha$ 使得 $x\in V_{\alpha }$

证明：使用反证法，考虑全体不属于某个 $V_{\alpha }$ 的集合组成的非空类 $C$，由引理1， $C$ 有 $\in$ 关系上的最小元 $x$，则对于任意 $\beta \in x$，存在 $\alpha$ 使得 $\beta \in V_{\alpha }$

所以对于任意 $\beta \in x$， $\beta \in \mathrm{W}\mathrm{F}$，所以 $x$ 是 $\mathrm{W}\mathrm{F}$ 的子类。因为 $x$ 是个集合（所以不存在从 $x$ 到 $\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}$ 的满射，所以存在某个序数 $\gamma$ 使得 $\gamma$ 和 $x$ 之间存在双射，所以 $x$ 是 $V_{\gamma }$ 的子集），所以存在某个 $V_{\alpha }$ 使得 $x$ 是 $V_{\alpha }$ 的子集，则 $x\in V_{\alpha +1}$，矛盾，所以 $C$ 为空，得证。