良基宇宙等同于集论全域的证明

由正则公理，我们可以得到

引理1：任何非空类都有∈关系上的最小元

证明：取任意S ∈ C 。如果 S ∩ C = ∅，则 S 是C上最小元;如果 S ∩ C 不为 ∅，则我们让 X = T ∩ C，其中 $T={𝒯}{𝒞}(S)$（${𝒯}{𝒞}(S)$ 表示S的传递闭包）。X 是非空集 并根据正则公理，有 x ∈ X，使得 x ∩ X = ∅。由此可见，x ∩ C = ∅;否则，如果 y ∈ x 并且 y ∈ C，则 y ∈ T，由T 是传递的，因此 y ∈ x ∩ T ∩ C = x ∩ X。因此 x 是C上∈关系最小元

定理：对于任何集合x，都存在一个序数a使得x∈V_a

证明：使用反证法，考虑全体不属于某个V_a的集合组成的非空类C，由引理1，C有∈关系上的最小元x，则对于任意b∈x，存在a使得b∈V_a

所以对于任意b∈x，b∈WF，所以x是WF的子类。因为x是个集合（所以不存在从x到ord的满射，所以存在某个序数y使得y和x之间存在双射，所以x是V_y的子集），所以存在某个Va使得x是Va的子集，则x∈V_a+1，矛盾，所以C为空，得证。