-1-Y

(-1)-Y 是一种 Worm 型序数记号．

定义

合法式

一个合法的 (-1)-Y 表达式是形如

$S=(s_1,s_2,\cdots ,s_n)|n,s_1,s_2,\cdots ,s_n\in \mathbb{\mathbb{N}}$

且 $⟨\text{1}⟩s_1=1\text{if }n>0.$ 例：

$(1,3,3)$ 是一个合法的 (-1)-Y 表达式.

$(\mathrm{\Omega },1,2)$ 不是一个合法的 PrSS 表达式，因为 $\mathrm{\Omega }\notin \mathbb{\mathbb{N}}$.

$(1,9)$ 是一个合法的 (-1)-Y 表达式.

结构

合法的 (-1)-Y 表达式可以分为零表达式、后继表达式、极限表达式，其定义如下：

• 零表达式：满足 $n=0$ 的表达式，即空序列 $()$.
• 后继表达式：满足 $n>0$ 且 $s_n=1$ 的表达式，例如 $(1,2,3,1)$.
• 极限表达式：满足 $n>0$ 且 $s_n>1$ 的表达式，例如 $(1,2,3,2)$.

一个 PrSS 的极限表达式由以下四个部分组成：

1. 末项 $\mathrm{(}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{)}$.
2. 坏部 $\mathrm{(}\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{)}$.
3. 坏根 $\mathrm{(}\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{)}$.
4. 好部 $\mathrm{(}\mathrm{G}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{)}$.

末项

对于最大下标为 $n$ 的 PrSS 表达式 $S=(s_1,s_2,\cdots ,s_n)$，其末项 $L=s_n$，即

$S=(s_1,s_2,\cdots ,L).$

坏根

对于 $S=(s_1,s_2,\cdots ,s_n)|L=s_n$，令 $k=\max \{1\le k<n|s_k<s_n\}$，那么坏根定义为 $r=s_k$，即

$S=(s_1,s_2,\cdots ,r,\cdots ,L).$

通俗的说，是最靠右的小于末项的项．

因为极限表达式满足 $L=s_n>1$ 且 $s_1=1$，所以坏根总是存在的．

坏部

对于 $S=(s_1,s_2,\cdots ,s_k,\cdots ,s_n)|L=s_n,r=s_k$，坏部定义为 $B=(s_{k+1},s_{k+1},\cdots ,s_n-1)$

通俗地说，是坏根(不含)到末项(含)的部分．坏部最短为 1 项．

好部

对于 $S=(s_1,s_2,\cdots ,s_k,\cdots ,s_n)|L=s_n,r=s_k$，好部定义为 $G=(s_1,s_2,\cdots ,s_{k-1})$，即

$S=(G,r,B).$

通俗地说，好部是坏部之前的部分．好部可以为空．

展开

PrSS 的良序性已经得到证明，且其标准式的序等价于字典序，因此所有标准的 PrSS 表达式都一一对应着一个序数． 对于一个合法的 (-1)-Y 表达式 $S=(s_1,s_2,\dots ,s_{n-1},s_n)$，其展开规则如下：

• 如果 $S$ 是零表达式，则 $S$ 代表序数 $0$.
• 如果 $S$ 是后继表达式，则其前驱是 $S^{\prime }=(s_1,s_2,\dots ,s_{n-1})$.
• 如果 $S$ 是极限表达式，则根据前文定义确定好部、坏部，得到 $S=(G,r,B)$. 则其基本列的第 $m$ 项定义为 $S[m]=(G,r,\underset{m}{\underbrace{B,B,B,\cdots ,B}})$，其中 $m\in \mathbb{\mathbb{N}}$. 或者说 $S$ 的展开式为 $(G,r,\underset{\omega }{\underbrace{B,B,B,\cdots }})$.

举例：

$S=(1,3,3,3)$

末项是标绿的 $3$，坏根是从右往左数第一个比 $3$ 小的数，也就是标红色的 $1$.

接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 $(3,3,3)$．

坏根之前的好部不用管，末项 -1

$S=(1,3,3,2)$

复制坏部

$S=(1,3,3,2,3,3,2,\cdots )$

我们就成功地展开了一个 (-1)-Y 表达式．

与 PrSS 的对应

合法 PrSS 表达式一定是一个合法 (-1)-Y 表达式，但合法 (-1)-Y 表达式不一定是合法 PrSS 表达式，需要将差大于 1 的相邻项之间被省略的项补回去

拓展

(-1)-Y 记号的拓展为超限 (-1)-Y，详见 超限(-1)-Y