超E记号：修订间差异

2025年7月14日 (一) 18:01的版本

超E记号（Hyper-E Notation，简称E#表示法）是Sbiis Saibian发明的大数记号。^[1]

定义

原始的超E记号由一个或多个正整数参数的序列 $a_{n}$ 组成，这些参数由#分隔。我们将其标记为 $E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n}$ .b称为底数。如果省略它，则默认为 10。E#的具体操作规则如下：

$E [b] x = b^{x}$
$E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n} # 1 = E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n}$
$E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n - 2} # a_{n - 1} # a_{n} = E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n - 2} # (E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n - 2} # a_{n - 1} # (a_{n} - 1))$

通俗的说:

如果序列只有一个参数x，则返回 $b^{x}$ .
否则，如果序列末项为1，可以直接去掉，不影响结果。
否则，删除原表达式的最后两个条目，随后在后面加入一个新条目x，其中x是原表达式中把末项减一得到的新表达式的值。

举例：

$E 306 # 6 = E E 306 # 5 = E E E 306 # 4 = \dots = E E E E E E 306 = E E E E E 1 0^{306} = \dots = 1 0^{1 0^{1 0^{1 0^{1 0^{1 0^{306}}}}}}$

$E 3 # 1 # 8 # 4$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8 # 3)$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8 # 2))$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8 # 1)))$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8)))$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # (E 3 # 1 # 7))))$

$= \dots$

关于它的强度，我们有如下结论：

$a ↑^{c} b = E [a] \underset{c - 1 个 1}{\underset{⏟}{1 # 1 # \dots 1 #}} b$ ^[2]

Nathan Ho和Wojowu证明了超E记号规则的停机性。^[3]

扩展定义

扩展的超E记号

扩展的超E记号允许在每个条目之间显示多个#。为了这个定义， $#^{n}$ 是 n 个连续的#的简写。例如，完整表达式将写成 $E [b] a_{1} #^{n_{1}} a_{2} #^{n_{2}} \dots #^{n_{i - 1}} a_{i}$ ,其中 $a_{i}, n_{i}$ 都是自然数。

以下为操作规则，其中&指序列的其余部分。

$E [b] x = b^{x}$
末项是1的情况下， $E [b] & #^{n_{i - 1}} a_{i} #^{n_{i}} 1 = E [b] & #^{n_{i - 1}} a_{i}$
如果 $n_{i - 1} > 1$ , $E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} #^{n_{i - 1}} a_{i} = E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} #^{n_{i - 1} - 1} a_{i - 1} #^{n_{i - 1}} a_{i} - 1$
否则， $E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} # a_{i} = E [b] & #^{n_{i - 2}} (E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} # (a_{i} - 1))$

通俗的说，序列只有一个参数、末项是1、末项之前是单独的#的情况，和原超E记号是相同的。只有末项之前是多于1个#的情况下， $a_{i - 1} #^{n_{i - 1}} a_{i} = \underset{n 个 a_{i - 1}}{\underset{⏟}{a_{i - 1} #^{n_{i - 1} - 1} a_{i - 1} #^{n_{i - 1} - 1} a_{i - 1} #^{n_{i - 1 - 1}} \dots a_{i - 1}}}$ .

举例：

$E 5 #^{2} 2 #^{3} 3$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} 2 #^{2} 2$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} 2 # 2$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} (E 5 #^{2} 2 #^{2} 2 # 1)$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} (E 5 #^{2} 2 #^{2} 2)$

=……

它的极限FGH 增长率是 $ω^{ω}$ .

级联E记号

以上讨论暗示着我们可以引入一个超越一切 $E n #^{m} n$ 的记号。实际我们选取的是如下记号： $E a #^{#} n = E a #^{n} n$ .这一做法实际上是收到了FGH中ω的启发。

一般的，我们允许级联E记号中出现形如 $#^{X_{1}} \times #^{X_{2}} \times \dots #^{X_{n - 1}} \times #^{X_{n}}$ 的超分隔符，其中的 $X_{n}$ 为正整数，或者为一个合法的超分隔符。可以类比康托范式。级联E记号的合法表达式为 $E [a] a_{1} &_{1} a_{2} &_{2} \dots a_{n} &_{n}$ ,其中 $a_{i}$ 是正整数， $&_{i}$ 是合法的超分隔符。下面我们给出级联E记号的递归定义：

令 $&_{k}$ 为第k个超分隔符，以及 $L (&_{k})$ 为第k个超分隔符最右端的 $#^{n}$ ,%为合法表达式。

$E [a] b = a^{b}$
如果 $L (&_{n - 1}) \neq #^{n}$ ,则 $E [a] b % X #^{X #^{n}} % c = E [a] b % X #^{(X #^{n - 1})^{b}} % b$
$E % a #^{n} 1 = E % a$
如果 $L (&_{n - 1}) = #^{n}$ 且 $&_{k} \neq #$ ,则 $E % a X #^{n} b = E % a X #^{n - 1} a X #^{n} (b - 1)$
$E % a # b = E % (E % a # (b - 1))$

我们有如下的展开示例：

$E 10 #^{#} 3 = E # # # 3$

$E 10 #^{#} 10 #^{#} 3 = E 10 #^{#} 10 # # # 10$

$E 10 #^{#^{#}} 16 = E 10 #^{#^{16}} 10$

等等。级联E记号的极限 $E a \underset{n 个 #}{\underset{⏟}{#^{#^{#^{\dots}}}}} n$ 的FGH增长率是 $ε_{0}$ .

参考资料

[1] 4.3.1 - A 2nd Grader's Close Encounter with the Infinite - Large Numbers

[2] Fish, Comparison of up-arrow notation with hyper-E notation 1 July 2021

[3] ttps://web.archive.org/web/20160513034718/http://snappizz.com/termination

[1]

[2]

[3]

@@ 第39行： / 第39行： @@
 == 扩展定义 ==
+=== 扩展的超E记号 ===
 '''扩展的超E记号'''允许在每个条目之间显示多个#。为了这个定义，<math>\#^n</math>是 ''n'' 个连续的#的简写。例如，完整表达式将写成<math>E[b]a_1\#^{n_1}a_2\#^{n_2}\cdots\#^{n_{i-1}}a_i</math>,其中<math>a_i,n_i</math>都是自然数。
@@ 第66行： / 第68行： @@
 它的极限[[FGH]][[增长率]]是<math>\omega^\omega</math>.
-== 继续扩展 ==
+=== 级联E记号 ===
+以上讨论暗示着我们可以引入一个超越一切<math>En\#^mn</math>的记号。实际我们选取的是如下记号：<math>Ea\#^\#n=Ea\#^nn</math>.这一做法实际上是收到了FGH中ω的启发。
+一般的，我们允许级联E记号中出现形如<math>\#^{X_1}\times\#^{X_2}\times\cdots\#^{X_{n-1}}\times\#^{X_n}</math>的超分隔符，其中的<math>X_n</math>为正整数，或者为一个合法的超分隔符。可以类比[[康托范式]]。级联E记号的合法表达式为<math>E[a]a_1\&_1a_2\&_2\cdots a_n\&_n</math>,其中<math>a_i</math>是正整数，<math>\&_i</math>是合法的超分隔符。下面我们给出级联E记号的递归定义：
+令<math>\&_k</math>为第k个超分隔符，以及<math>L(\&_k)</math>为第k个超分隔符最右端的<math>\#^n</math>,%为合法表达式。
+# <math>E[a]b=a^b</math>
+# 如果<math>L(\&_{n-1})\neq \#^n</math>,则<math>E[a]b\%X\#^{X\#^n}\%c=E[a]b\%X\#^{(X\#^{n-1})^b}\%b</math>
+# <math>E\%a\#^n1=E\%a</math>
+# 如果<math>L(\&_{n-1})= \#^n</math>且<math>\&_k \neq \#</math>,则<math>E\%aX\#^nb=E\%aX\#^{n-1}aX\#^n(b-1)</math>
+# <math>E\%a\#b=E\%(E\%a\#(b-1))</math>
+我们有如下的展开示例：
+<math>E10\#^\#3=E\#\#\#3</math>
-=== 级联E记号 ===
+<math>E10\#^\#10\#^\#3=E10\#^\#10\#\#\#10</math>
-=== 扩展级联E记号 ===
+<math>E10\#^{\#^\#}16=E10\#^{\#^{16}}10</math>
-=== 超扩展级联E记号 ===
+等等。级联E记号的极限<math>Ea\underbrace{\#^{\#^{\#^{\cdots}}}}_{n\text{个}\#}n</math>的FGH增长率是<math>\varepsilon_0</math>.
 == 参考资料 ==
 <references />
 [[分类:记号]]