斯坦豪斯-莫泽表示法：修订间差异

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2025年7月13日 (日) 17:26的版本

Steinhaus-Moser Notation（斯坦豪斯-莫泽表示法），又称多边形记号，是由 Hugo Steinhaus 创造，并且据信由 Leo Moser 扩展的大数表示法。

定义

Steinhaus 在他的书 Mathematical Snapshots 中将符号定义为：^[1]

Triangle(n) = nⁿ
Square(n) = n inside n triangles
Circle(n) = n inside n squares

更形式化地，

$Triangle (n) = n^{n}$
$Square (n) = {Triangle}^{n} (n)$
$Circle (n) = {Square}^{n} (n)$

在写出时，Triangle(n) 可写作 n in(inside) a triangle，函数 Square(n) 和 Circle(n) 也是如此；中文写作 n 在（一个）三角形/四边形/圆形内。嵌套函数时相应的自然语言会发生改变。

Susan 的记号

把“n 在 m 边形里”写作 n[m] 是 Susan 改进的写法。如 4[5] 是 4 在一个五边形里；6[3][3] 是 6 在两个三角形里。

强度估计

Leonardıs 等证明了^[3]：

$n ↑ ↑ (n + 1) ⩽ n [4] ⩽ n ↑ n ↑ (n + 1) ↑ ↑ (n - 1) ⩽ n ↑ ↑ (n + 2)$

以及

$n ↑ ↑ ↑ (n + 1) ⩽ n [5] ⩽ n ↑ ↑ (n + 1) ↑ ↑ ↑ n < (n + 1) ↑ ↑ ↑ (n + 1)$

Steinhaus-Moser 表示法可以看做一种 FGH 的改版，只是让 $f_{0} (x) = x^{x}$ 。 $f_{m} (n)$ 约等于 n 在 m+3 边形内。

n 在 n 边形内（即记号的对角化）的 FGH 增长率是 $ω$ 。

↑ Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.
↑ http://www.sci.wsu.edu/math/faculty/hudelson/moser.html
↑ Leonardıs, A., D'atrı, G. & Caldarola, F. (2022). Beyond Knuth's notation for unimaginable numbers within computational number theory. International Electronic Journal of Algebra, 31 (31), 55-73 . https://doi.org/10.24330/ieja.1058413.

[1] Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.

[2] ttp://www.sci.wsu.edu/math/faculty/hudelson/moser.html

[3] Leonardıs, A., D'atrı, G. & Caldarola, F. (2022). Beyond Knuth's notation for unimaginable numbers within computational number theory. International Electronic Journal of Algebra, 31 (31), 55-73 . https://doi.org/10.24330/ieja.1058413.

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@@ 第1行： / 第1行： @@
-斯坦豪斯-莫泽表示法(Steinhaus-Moser Notation)，又称多边形记号，是由斯坦豪斯•雨果(Hugo Steinhaus)创造，并且由利奥•莫泽(Leo Moser)扩展的大数表示法
+Steinhaus-Moser Notation（斯坦豪斯-莫泽表示法），又称多边形记号，是由 Hugo Steinhaus 创造，并且据信由 Leo Moser 扩展的大数表示法。
-== 定义 ==
+=== 定义 ===
-Steinhaus 在他的书 ''Mathematical Snapshots'' 中将符号定义为<ref>Hugo Steinhaus. [https://googology.fandom.com/wiki/Mathematical_Snapshots Mathematical Snapshots] Courier Corporation, 1999. [https://googology.fandom.com/wiki/Special:BookSources/9780486409146 ISBN 9780486409146] p.28</ref>
+Steinhaus 在他的书 ''Mathematical Snapshots'' 中将符号定义为：<ref>Steinhaus, H. ''[http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0486409147/ref=nosim/ericstreasuretro Mathematical Snapshots, 3rd ed.]'' New York: Dover, 1999.</ref>
-* 三角形(n) =<math>n^n</math>
+* Triangle(n) = n<sup>n</sup>
-* 方形(n)=<math>\underbrace{\text{三角形}(\text{三角形}(\text{三角形}(\cdots(\text{三角形}(n))\cdots)))}_{n~\text{层}}</math>
+* Square(n) = n inside n triangles
-* 圆(n)=<math>\underbrace{\text{方形}(\text{方形}(\text{方形}(\cdots(\text{方形}(n))\cdots)))}_{n~\text{层}}</math>
+* Circle(n) = n inside n squares
+更形式化地，
-三角形(n)写作把 n 放在一个三角形里，方形和圆也是如此。
+* <math>\text{Triangle}(n)=n^n</math>
+* <math>\text{Square}(n)=\text{Triangle}^n(n)</math>
+* <math>\text{Circle}(n)=\text{Square}^n(n)</math>
-据信，Leo Moser 用五边形、六边形、七边形、八边形等扩展了这种符号，其中 ''x'' 边形内的 ''n'' 等于 n个x-1边形内的n，但是我们不知道 Moser 是否以及在何处进行了这种扩展。当然，这个版本不再使用圆圈，取而代之的是五边形。Matt Hudelson定义了一个类似的版本<ref>http://www.sci.wsu.edu/math/faculty/hudelson/moser.html</ref>，如下所示：
+在写出时，Triangle(n) 可写作 n in(inside) a triangle，函数 Square(n) 和 Circle(n) 也是如此；中文写作 n 在（一个）三角形/四边形/圆形内。嵌套函数时相应的自然语言会发生改变。
-* ''n''| = ''n<sup>n</sup>''<math>n|=n^n</math>
+=== 相关扩展 ===
-* <math>n<=n\underbrace{|||\cdots|}_{n~times}</math>
-* 三角形(n)=<math>n\underbrace{<<<\cdots<}_{n~times}</math>
-* 后面和Leo Moser的记号相同
-这个版本只是为了看起来好看一些。
+==== Leo Moser 的多边形扩展 ====
+据信 Leo Moser 去除了圆（Circle）表示法，用五边形（pentagon）、六边形（hexagon）、七边形（heptagon）、八边形（octagon）等扩展了这种符号，其中 n 在一个 x 边形内等于 n 在 n 个 x-1 边形内，但是我们不知道 Moser 是否以及在何处进行了这种扩展。
-如果把“n在m边形里”写作n[m]，则是Susan改进的写法。如4[5]是4在一个五边形里；6[3][3]是6在两个三角形里。
+更形式化地，<math>k\text{-gon}(n)=(k-1)\text{-gon}^n(n)</math>。
-== 强度估计 ==
+粗略地，<math>k\text{-gon}(n)=n\uparrow^{k-2}n</math>。
-Leonardıs 等人（2022 年）证明了<ref>Leonardıs， A.， D'atrı， G. & Caldarola， F. （2022）.超越 Knuth 对计算数论中难以想象的数字的符号。国际代数电子杂志， 31 （31）， 55-73 .https://doi.org/10.24330/ieja.1058413 </ref>：
-<math>n\uparrow\uparrow(n+1)\leq n[4]\leq n\uparrow n\uparrow (n+1)\uparrow\uparrow(n-1)\leq n\uparrow\uparrow (n+2)</math>
+==== Hudelson 的记号 ====
+Matt Hudelson定义了一个类似的版本<ref>http://www.sci.wsu.edu/math/faculty/hudelson/moser.html</ref>：
+* n| = Line(n) = n<sup>n</sup>
+* n< = Wedge(n) = n followed by n lines
+* Triangle(n) = n followed by n wedges
+* Square(n) = n inside n triangles
+* etc.
+更形式化地，
+* <math>\text{Line}(n)=n^n</math>
+* <math>\text{Wedge}(n)=\text{Line}^n(n)</math>
+* <math>\text{Triangle}(n)=\text{Wedge}^n(n)</math>
+以此类推。
+这个版本只是为了看起来好看一些，看起来是增加了“一边形”（Line）和“二边形”（Wedge）。
+粗略地，<math>k\text{-gon}(n)=n\uparrow^{k}n</math>。
+=== Susan 的记号 ===
+把“n 在 m 边形里”写作 n[m] 是 Susan 改进的写法。如 4[5] 是 4 在一个五边形里；6[3][3] 是 6 在两个三角形里。
+=== 强度估计 ===
+Leonardıs 等证明了<ref>Leonardıs, A., D'atrı, G. & Caldarola, F. (2022). Beyond Knuth's notation for unimaginable numbers within computational number theory. International Electronic Journal of Algebra, 31 (31), 55-73 . https://doi.org/10.24330/ieja.1058413. </ref>：
+<math>n\uparrow\uparrow(n+1)\leqslant n[4]\leqslant n\uparrow n\uparrow (n+1)\uparrow\uparrow(n-1)\leqslant n\uparrow\uparrow (n+2)</math>
 以及
-<math>n\uparrow\uparrow\uparrow(n+1)\leq n[5]\leq n\uparrow\uparrow(n+1)\uparrow\uparrow\uparrow n<(n+1)\uparrow\uparrow\uparrow(n+1)</math>
+<math>n\uparrow\uparrow\uparrow(n+1)\leqslant n[5]\leqslant n\uparrow\uparrow(n+1)\uparrow\uparrow\uparrow n<(n+1)\uparrow\uparrow\uparrow(n+1)</math>
-Steinhaus-Moser 表示法可以看做一种 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 的改版，只是让<math>f_0(x)=x^x</math>.<math>f_m(n)</math>等于''m + 3'' 边形内的 ''n''。
+Steinhaus-Moser 表示法可以看做一种 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 的改版，只是让 <math>f_0(x)=x^x</math>。<math>f_m(n)</math> 约等于 n 在 m+3 边形内。
-n在n边形中的FGH [[增长率]]是<math>\omega</math>.
+n 在 n 边形内（即记号的对角化）的 FGH [[增长率]]是<math>\omega</math>。
 [[分类:记号]]