线性数阵

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线性数阵是大部分数阵型记号的基础。

定义

BEAF

这里以BEAF的线性数阵为例。

一个合法的 BEAF 线性数阵表达式形如$\{b,p,a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$其中$n$为非负整数，$b,p,a_i$均为正整数。

我们进行以下约定：

1. 数阵的第一个数$b$称为底数；
2. 数阵的第二个数$p$称为指数；
3. 指数后面第一个大于1的数称为驾驶员，例如$\{3,2,1,2,4\}$中的2，$\{4,4,4,4\}$中红色的4；
4. 驾驶员左边相邻的数称为副驾驶，例如上一条中蓝色的数。

BEAF 线性数阵的展开规则如下：

1. 若没有驾驶员，则数阵的值为$b^p$；
2. 若指数为1，则数阵的值为$b$；
3. 否则，将驾驶员-1，副驾驶改为"整个数阵指数-1后的值"，将副驾驶左边的数全部替换为底数。例如，$\{4,3,1,2\}=\{4,4,\{4,2,1,2\},1\}=\{4,4,\{4,4,\{4,1,1,2\},1\},1\}=\{4,4,\{4,4,4,1\},1\}$。

改进

这里介绍一种改进的线性数阵。它将经典的线性数阵改成了容易分析增长率的一元函数，将每一项的默认值改成了0，且删除了对增长率提升没有帮助的操作。

一个合法的线性数阵表达式形如$F(x,a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，其中，$x,n,a_i$均为非负整数。

我们用"#"表示任意序列，"Z"表示由若干个0组成的序列。

该线性数阵的展开规则如下：

1. (基础规则)只有一项时，有$F(x)=x+1$；
2. (后继规则)若第二项不为0，有$F(x,a+1,\mathrm{\#})=f^x(x)$，其中$f(x)=F(x,a,\mathrm{\#})$。例如：$F(3,1,4)=F(F(F(3,0,4),0,4),0,4)$；
3. (删尾规则)若末项为0，有$F(\mathrm{\#},0)=F(\mathrm{\#})$，例如：$F(2,1,0)=F(2,1)$。
4. (借位规则)否则，第二项为0且存在不为0的项。此时有$F(x,Z,0,a+1,\mathrm{\#})=F(x,Z,x,a,\mathrm{\#})$。例如：$F(2,0,2,5)=F(2,2,1,5)$。

增长率分析

下面用快速增长层级对改进的线性数阵进行增长率分析：

$F(x)=F(x,0)=x+1=f_0(x)$

$F(x,1)=F^x(x)\sim f_0^x(x)=f_1(x)$

$F(x,2)\sim f_1^x(x)=f_2(x)$

$F(x,n)\sim f_n(x)$

$F(x,0,1)=F(x,x)\sim f_x(x)=f_{\omega }(x)$

$F(x,1,1)=F(F(\cdots ,0,1),0,1)\sim f_{\omega +1}(x)$

$F(x,n,1)\sim f_{\omega +n}(x)$

$F(x,0,2)=F(x,x,1)\sim f_{\omega +x}(x)=f_{\omega \cdot 2}(x)$

$F(x,0,n)\sim f_{\omega \cdot n}(x)$

$F(x,0,0,1)=F(x,0,x)\sim f_{\omega x}(x)=f_{{\omega }^2}(x)$

$F(x,1,0,1)\sim f_{{\omega }^2+1}(x)$

$F(x,0,1,1)=F(x,x,0,1)\sim f_{{\omega }^2+x}(x)=f_{{\omega }^2+\omega }(x)$

$F(x,0,0,2)=F(x,0,x,1)\sim f_{{\omega }^2+\omega x}(x)=f_{{\omega }^{2}2}(x)$

$F(x,0,0,0,1)=F(x,0,0,x)\sim f_{{\omega }^{2}x}(x)=f_{{\omega }^3}(x)$

$F(x,0,0,0,0,1)\sim f_{{\omega }^4}(x)$

$F(x,\underset{n}{\underbrace{0,\cdots ,0}},1)\sim f_{{\omega }^n}(x)$

一般来说，单独的线性数阵的极限增长率为${\omega }^{\omega }$，但其强度会随"后继规则"的变化而变化。

例如，若把第二条规则改为$F(x,a+1,\mathrm{\#})=F(x+1,a,\mathrm{\#})$，则上述分析应该在哈代层级下进行，故极限函数的增长率相当于$H_{{\omega }^{\omega }}(x)\sim f_{\omega }(x)$。

小知识

对于上文增长率分析中的记号，通过如下方法可以快速得到增长率：

1. 取出一个表达式$F(x,a_0,a_1,\cdots ,a_n)$；
2. 取出$a_0,a_1,\cdots ,a_n$的部分并反转，得到$a_n,\cdots ,a_1,a_0$；
3. $F(x,a_0,a_1,\cdots ,a_n)$的增长率即为${\omega }^n\times a_n+\cdots +{\omega }^1\times a_1+{\omega }^0\times a_0$。

举个例子：$F(x,0,1,1)$的增长率即为${\omega }^2\times 1+{\omega }^1\times 1+{\omega }^0\times 0$。

由于以上原因，(单行)线性数阵也被称为$\omega$进制数阵，因为${\omega }^n\times a_n+\cdots +{\omega }^1\times a_1+{\omega }^0\times a_0$类似于一个“$\omega$进制数”。

另外，表达式${\omega }^n\times a_n+\cdots +{\omega }^1\times a_1+{\omega }^0\times a_0$对于每个$a_i(i=0,1,\cdots ,n)$都是“线性”的，这也是线性数阵中“线性”一词的来源。