良基宇宙等同于集论全域的证明：修订间差异

2025年8月31日 (日) 11:06的最新版本

由正则公理，我们可以得到

引理 1：任何非空类都有 $\in$ 关系上的最小元

证明：取任意 $S \in C$ 。如果 $S \cap C = \emptyset$ ，则 $S$ 是 $C$ 上最小元；如果 $S \cap C$ 不为 $\emptyset$ ，则我们让 $X = T \cap C$ ，其中 $T = 𝒯 𝒞 (S)$ （ $𝒯 𝒞 (S)$ 表示 $S$ 的传递闭包）。 $X$ 是非空集并根据正则公理，有 $x \in X$ ，使得 $x \cap X = \emptyset$ 。由此可见， $x \cap C = \emptyset$ ；否则，如果 $y \in x$ 并且 $y \in C$ ，则 $y \in T$ ，由 $T$ 是传递的，因此 $y \in x \cap T \cap C = x \cap X$ 。因此 $x$ 是 $C$ 上 $\in$ 关系最小元。

定理：对于任何集合 $x$ ，都存在一个序数 $α$ 使得 $x \in V_{α}$

证明：使用反证法，考虑全体不属于某个 $V_{α}$ 的集合组成的非空类 $C$ ，由引理1， $C$ 有 $\in$ 关系上的最小元 $x$ ，则对于任意 $β \in x$ ，存在 $α$ 使得 $β \in V_{α}$

所以对于任意 $β \in x$ ， $β \in W F$ ，所以 $x$ 是 $W F$ 的子类。因为 $x$ 是个集合（所以不存在从 $x$ 到 $O r d$ 的满射，所以存在某个序数 $γ$ 使得 $γ$ 和 $x$ 之间存在双射，所以 $x$ 是 $V_{γ}$ 的子集），所以存在某个 $V_{α}$ 使得 $x$ 是 $V_{α}$ 的子集，则 $x \in V_{α + 1}$ ，矛盾，所以 $C$ 为空，得证。

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-由正则公理，我们可以得到
+由[[ZFC公理体系#正则公理|正则公理]]，我们可以得到
-引理1：任何非空类都有∈关系上的最小元
+'''引理 1'''：任何非空类都有 <math>\in</math> 关系上的最小元
-证明：取任意S ∈ C 。如果 S ∩ C = ∅，则 S 是C上最小元;如果 S ∩ C 不为 ∅，则我们让 X = T ∩ C，其中 <math>T=\mathcal{TC}(S)</math>（<math>\mathcal{TC}(S)</math> 表示S的[[传递闭包]]）。X 是非空集 并根据正则公理，有 x ∈ X，使得 x ∩ X = ∅。由此可见，x ∩ C = ∅;否则，如果 y ∈ x 并且 y ∈ C，则 y ∈ T，由T 是传递的，因此 y ∈ x ∩ T ∩ C = x ∩ X。因此 x 是C上∈关系最小元
+证明：取任意 <math>S \in  C</math>。如果 <math>S \cap  C = \emptyset</math>，则 <math>S </math> 是 <math>C</math> 上最小元；如果 <math>S \cap  C </math> 不为 <math>\emptyset</math>，则我们让 <math>X = T \cap  C</math>，其中 <math>T=\mathcal{TC}(S)</math> （ <math>\mathcal{TC}(S)</math> 表示 <math>S</math> 的[[传递闭包]]）。 <math>X</math> 是非空集 并根据正则公理，有 <math>x \in  X</math>，使得 <math>x \cap  X = \emptyset </math>。由此可见， <math>x \cap  C = \emptyset</math>；否则，如果 <math>y \in  x</math> 并且 <math>y \in  C</math>，则 <math>y \in  T</math>，由 <math>T</math> 是[[传递集|传递的]]，因此 <math>y \in  x \cap  T \cap  C = x \cap  X</math>。因此 <math>x</math> 是 <math>C</math> 上 <math>\in</math> 关系最小元。
-定理：对于任何集合x，都存在一个序数a使得x∈V_a
+'''定理'''：对于任何集合 <math>x</math>，都存在一个[[序数]] <math>\alpha</math> 使得 <math>x\in V_{\alpha}</math>
-证明：使用反证法，考虑全体不属于某个V_a的集合组成的非空类C，由引理1，C有∈关系上的最小元x，则对于任意b∈x，存在a使得b∈V_a
+'''证明'''：使用反证法，考虑全体不属于某个 <math>V_{\alpha}</math> 的集合组成的非空类 <math>C</math>，由引理1， <math>C</math> 有 <math>\in</math> 关系上的最小元 <math>x</math>，则对于任意 <math>\beta \in x</math>，存在 <math>\alpha</math> 使得 <math>\beta \in V_{\alpha}</math>
-所以对于任意b∈x，b∈WF，所以x是WF的子类。因为x是个集合（所以不存在从x到ord的满射，所以存在某个序数y使得y和x之间存在双射，所以x是V_y的子集），所以存在某个Va使得x是Va的子集，则x∈V_a+1，矛盾，所以C为空，得证。
+所以对于任意 <math>\beta \in x</math>， <math>\beta \in \mathrm{WF}</math>，所以 <math>x</math> 是 <math>\mathrm{WF}</math> 的子类。因为 <math>x</math> 是个集合（所以不存在从 <math>x</math> 到 <math>\mathrm{Ord}</math> 的满射，所以存在某个序数 <math>\gamma</math> 使得 <math>\gamma</math> 和 <math>x</math> 之间存在双射，所以 <math>x</math> 是 <math>V_{\gamma}</math> 的子集），所以存在某个 <math>V_{\alpha}</math> 使得 <math>x</math> 是 <math>V_{\alpha}</math> 的子集，则 <math>x\in V_{\alpha+1}</math>，矛盾，所以 <math>C</math> 为空，得证。
+[[分类:集合论相关]]