证明论序数

证明论序数（或称证明论强度序数，Proof-Theoretic Ordinal）是衡量形式理论强度的核心工具，通过将理论映射到序数上，刻画其能证明的良序关系的复杂度。该概念源于希尔伯特的证明论计划，旨在通过有限方法证明数学基础理论的一致性，后由阿克曼（Wilhelm Ackermann）和根岑（Gerhard Gentzen）发展为序数分析技术。

定义和性质

对形式理论 $T$，其证明论序数 $|T{|}_{\text{ord}}$​（$|T|$ 或 $\text{PTO}(T)$）定义为能用超限归纳证明的原始递归良序的序型最大值。

证明论序数满足：

1. 对任意递归序数 $\beta <|T|$，理论 $T$ 能证明“所有序数小于 $\beta$ 的原始递归良序关系都是良序的”；对 $\alpha =|T|$，理论 $T$ 无法证明“所有序数小于 $\alpha$ 的原始递归良序关系都是良序的”。
2. 存在一种递归记号系统，自然表示所有小于 $|T|$ 的序数；理论 $T$ 能通过超限归纳（序数是良序集的序型，满足超限归纳原理：$\mathrm{\forall }\alpha (\mathrm{\forall }\beta <\alpha (P(\beta )\Rightarrow P(\alpha ))\Rightarrow \mathrm{\forall }\alpha P(\alpha ))$，其中 $P$ 是任意性质）到 $|T|$，证明自身的一致性（即 $T⊬\perp$）；理论 $T$ 能证明所有初等递归函数在小于 $|T|$ 的序数上总停止；对任意递归序数 $\beta <|T|$，至少不满足上述条件中的一条。
3. 证明论序数必为递归序数（recursive ordinal），即存在递归关系定义其良序。

证明论序数表

证明论序数（OCF及其他记号）	证明论序数（BMS及其他记号）	算术论体系	集合论体系	其他体系
$\omega$	(0)(1)	$Q$	$\mathrm{K}{\mathrm{P}}^{\mathrm{-}}$
${\omega }^2$	(0)(1)(1)	$\mathrm{R}\mathrm{F}\mathrm{A}$ $\mathrm{I}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{0}}$
${\omega }^3$	(0)(1)(1)(1)	$\mathrm{R}\mathrm{C}{A}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}$ $\mathrm{W}\mathrm{K}{L}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}$ $\mathrm{I}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}$
${\omega }^n$	(0)(1)^n	$\mathrm{I}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{0}}+{{ℰ}}_n\text{ is total}$
${\omega }^{\omega }$	(0)(1)(2)	$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$ $\mathrm{W}\mathrm{K}{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}$ $\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{A}$ $\mathrm{R}\mathrm{C}{A}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}$	$\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{C}$ $\mathrm{K}{\mathrm{P}}^{\mathrm{-}}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{+}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{D}$
${\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}$	(0)(1)(2)(3)(4)	$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}{\mathrm{)}}^{\mathrm{-}}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{D}$
$\omega \uparrow \uparrow (n+2)$	(0)(1)(2)...(n+2)	$\mathrm{I}{\mathrm{\Sigma }}_{n+1}$
${\epsilon }_0$	(0)(1,1)	$\mathrm{P}\mathrm{A}$ $\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$ ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$ ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{A}{\mathrm{C}}_{\mathrm{0}}$	$\mathrm{K}{\mathrm{P}}^{\mathrm{-}\mathrm{\infty }}$	$\mathrm{E}{\mathrm{M}}_{\mathrm{0}}$
${\epsilon }_1$	(0)(1,1)(1,1)	$\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{H}\mathrm{T}$
${\epsilon }_{\omega }$	(0)(1,1)(2)	$\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{i}\mathrm{R}\mathrm{T}$ $\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}+\mathrm{\forall }Y\mathrm{\forall }n\mathrm{\exists }X(\mathrm{T}\mathrm{J}(n,X,Y))$
${\epsilon }_{{\epsilon }_0}$	(0)(1,1)(2)(3,1)	$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{A}$ ${\mathrm{F}\mathrm{P}}_n-\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{A}{\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{0}}$ ${\mathrm{F}\mathrm{P}}_n-\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }$
${\zeta }_0$	(0)(1,1)(2,1)	$\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}+\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }Y(\mathrm{T}\mathrm{J}(\omega ,X,Y))$ $\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{(}\mathrm{B}\mathrm{R}\mathrm{)}$ ${\mathrm{p}}_{\mathrm{1}}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{)}$
$\phi (2,{\epsilon }_0)$	(0)(1,1)(2,1)(2)(3,1)	$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{A}+\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }Y(\mathrm{T}\mathrm{J}(\omega ,X,Y))$ $\mathrm{R}\mathrm{F}\mathrm{N}$
$\phi (\omega ,0)$	(0)(1,1)(2,1)(3)	${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{R}$ $\mathrm{R}\mathrm{C}{A}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\mathrm{-}}$ ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{D}{\mathrm{C}}_{\mathrm{0}}$		$\mathrm{I}{D}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\#}}$ $\mathrm{E}{\mathrm{M}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{J}\mathrm{R}$ $\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}$ $\mathrm{A}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{D}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{)}$ $\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}\mathrm{(}\mathrm{P}\mathrm{)},\mathrm{P}\mathrm{\cup }\mathrm{N}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{D}$ $\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}\mathrm{(}\mathrm{P}\mathrm{)},\mathrm{P}\mathrm{\wedge }\mathrm{N}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{D}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{)}$
$\phi (\nu +1,0)$		$\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}+\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }Y(\mathrm{T}\mathrm{J}({\omega }^{\nu },X,Y))$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}^{{\epsilon }_0})$	(0)(1,1)(2,1)(3)(4,1)	${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}$ ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{A}\mathrm{C}$ ${\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{)}}_{<{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{0}}}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })})$	(0)(1,1)(2,1)(3)(4,1)(5,1)(6)		$\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{S}\mathrm{\omega }$
${\mathrm{\Gamma }}_0$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)	$\mathrm{A}\mathrm{T}{\mathrm{R}}_{\mathrm{0}}$ ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{R}$ $\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{R}\mathrm{T}$ $\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{R}\mathrm{T}$ $\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{.}$ $\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{.}$ $\mathrm{F}{\mathrm{P}}_{\mathrm{0}}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{i}}^{\mathrm{-}}$ $\mathrm{C}\mathrm{Z}{\mathrm{F}}^{\mathrm{-}}\mathrm{+}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{A}\mathrm{C}$	${\widehat{\mathrm{I}\mathrm{D}}}_{<\omega }$ ${\widehat{\mathrm{I}\mathrm{D}}}^{*}$ ${\mathrm{M}\mathrm{L}}_{<\omega }$ $\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{U}$ $\mathrm{U}\mathrm{(}\mathrm{P}\mathrm{A}\mathrm{)}$
$\phi (1,0,{\omega }^{\omega })$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2)(3)		$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{l}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{(}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}\mathrm{-}{\mathrm{I}}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{)}$
$\phi (1,0,{\epsilon }_0)$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2)(3,1)	$\mathrm{A}\mathrm{T}\mathrm{R}$		${\widehat{\mathrm{I}\mathrm{D}}}_{\omega }$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }+1})$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)	$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}+\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }M(X\in M\wedge M{\models }_{\omega }\mathrm{A}\mathrm{T}{\mathrm{R}}_{\mathrm{0}})$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }+\omega })$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3)	$\mathrm{A}\mathrm{T}{\mathrm{R}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{D}\mathrm{C}$		${\widehat{\mathrm{I}\mathrm{D}}}_{<{\omega }^{\omega }}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }+{\epsilon }_0})$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3)(4,1)	$\mathrm{A}\mathrm{T}\mathrm{R}\mathrm{+}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{D}\mathrm{C}$		${\widehat{\mathrm{I}\mathrm{D}}}_{<{\epsilon }_0}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }+{\mathrm{\Gamma }}_0})$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3)(4,1)(5,1)(6,1)			${\widehat{\mathrm{I}\mathrm{D}}}_{<{\mathrm{\Gamma }}_0}$ $\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{S}$
$\phi (2,0,0)$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)	$\mathrm{F}\mathrm{T}{\mathrm{R}}_{\mathrm{0}}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{h}}^{\mathrm{-}}$	$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{(}\widehat{\mathrm{I}\mathrm{D}}\mathrm{)}$
$\phi (2,0,{\epsilon }_0)$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2)(3,1)	$\mathrm{F}\mathrm{T}\mathrm{R}$
$\phi (2,{\epsilon }_0,0)$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3)(4,1)		$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{h}}^{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{-}{\mathrm{I}}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{)}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }\omega })$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(3)		$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{M}}^{\mathrm{-}}$
$\phi ({\epsilon }_0,0,0)$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(3)(4,1)	${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{T}\mathrm{D}\mathrm{C}$
$\phi (1,0,0,0)$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)	${\mathrm{p}}_{\mathrm{1}}\mathrm{(}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{T}\mathrm{D}{\mathrm{C}}_{\mathrm{0}}\mathrm{)}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{\omega }})$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4)	$\mathrm{R}\mathrm{C}{A}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\mathrm{-}}$ ${\mathrm{p}}_{\mathrm{3}}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{)}$		$\mathrm{F}\mathrm{I}\mathrm{T}$ $\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{D}$
$\vartheta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }})$	(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)	${\mathrm{p}}_{\mathrm{1}}\mathrm{(}{\mathrm{p}}_{\mathrm{3}}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{)}\mathrm{)}$
${\theta }_{(n+2)({\mathrm{\Omega }}^{\omega })}0$		$\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}+{\mathrm{\Pi }}_{n+2}^1-\mathrm{B}\mathrm{I}$ ${\mathrm{\Pi }}_{n+1}^1-\mathrm{R}\mathrm{F}\mathrm{N}$ $({\mathrm{\Pi }}_{n+2}^1-\mathrm{B}\mathrm{I}{)}_0$ $({\mathrm{\Pi }}_{n+2}^1-\mathrm{B}\mathrm{I}{)}_0^{-}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}{\omega }^{-}+{\mathrm{\Pi }}_{n+2}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$
${\theta }_{(n+2)({\mathrm{\Omega }}^{\omega })}0$		$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{A}+{\mathrm{\Pi }}_{n+2}^1-\mathrm{B}\mathrm{I}$ $({\mathrm{\Pi }}_{n+2}^1-\mathrm{B}\mathrm{I}{)}^{-}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}{\omega }^{-}+\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{D}+{\mathrm{\Pi }}_{n+2}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$
$\psi ({\psi }_1(0))$	(0)(1,1)(2,2)	$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$ $\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\mathrm{-}}$ ${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{F}\mathrm{X}{\mathrm{P}}_{\mathrm{0}}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}$ $\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\mathrm{-}\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ $\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{+}\mathrm{(}\mathrm{B}{\mathrm{I}}^{\mathrm{*}}\mathrm{)}$ $\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{+}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{T}{R}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}\mathrm{)}$ $\mathrm{C}\mathrm{Z}\mathrm{F}$ $\mathrm{K}\mathrm{P}{\omega }_2\upharpoonright +{\mathrm{\Delta }}_1-\mathrm{C}\mathrm{A}+s{\mathrm{\Pi }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}$	$\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{1}}$ $\mathrm{I}{D}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}$ $\mathrm{M}{\mathrm{L}}_{\mathrm{1}}\mathrm{V}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_2)$	(0)(1,1)(2,2)(3,2)	$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}+\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }M(X\in M\wedge M{\models }_{\omega }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I})$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_2^{{\mathrm{\Omega }}_2})$	(0)(1,1)(2,2)(3,2)(4,2)	$\mathrm{A}\mathrm{T}{R}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\bullet }}$ $\mathrm{F}{P}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\bullet }}$ ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{D}{C}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\bullet }}\mathrm{+}\mathrm{(}\mathrm{S}\mathrm{U}{\mathrm{B}}^{\mathrm{\bullet }}\mathrm{)}$ ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{A}{C}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\bullet }}\mathrm{+}\mathrm{(}\mathrm{S}\mathrm{U}{\mathrm{B}}^{\mathrm{\bullet }}\mathrm{)}$		${\widehat{\mathrm{I}\mathrm{D}}}_{<\omega }^{\bullet }$${𝒰}(\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{1}})$
$\psi ({\psi }_2(0))$	(0)(1,1)(2,2)(3,3)		$\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{+}\mathrm{\exists }{\omega }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{C}\mathrm{K}}$	$\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{2}}$ $\mathrm{I}{D}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega })$	(0)(1,1,1)	${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$ ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$ $\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{\wedge }{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{.}$ $\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{R}\mathrm{T}$	${\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}}^r$ ${\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{i}}^r$ $\mathrm{K}\mathrm{P}{\beta }^r$	${\mathrm{I}\mathrm{D}}_{<\omega }$ $({\mathrm{I}\mathrm{D}}_{<\omega }^2{)}_0$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega }\cdot {\omega }^{\omega })$	(0)(1,1,1)(2)(3)	${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{D}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega }\cdot {\epsilon }_0)$	(0)(1,1,1)(2)(3,1)	${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}$	$\mathrm{W}\mathrm{-}\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}$	$\mathrm{W}\mathrm{-}\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{\omega }}$ $\mathrm{I}{D}_{<\mathrm{\omega }}^{\mathrm{2}}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega }\cdot \mathrm{\Omega })$	(0)(1,1,1)(2,1)	${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{R}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega }^{\omega })$	(0)(1,1,1)(2,1)(3)	${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{B}\mathrm{I}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega }^{{\omega }^{\omega }})$	(0)(1,1,1)(2,1)(3)(4)	${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{B}\mathrm{I}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{D}$
$\psi ({\psi }_{\omega }(0))$	(0)(1,1,1)(2,1)(3,2)	${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}$	$\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{\omega }}$ $\mathrm{B}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{2}}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{{\omega }^{\omega }})$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3)	${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{R}$ $\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{<{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{\omega }}}\mathrm{)}$	${\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}}_{{\omega }^{\omega }}^r$	$\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{<{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{\omega }}}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{{\epsilon }_0})$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3)(4,1)	${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}$ ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{A}\mathrm{C}$ $\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{<{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{0}}}\mathrm{)}$	${\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}}_{{\epsilon }_0}^r$ $\mathrm{W}\mathrm{-}\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{i}$ $\mathrm{W}\mathrm{-}\mathrm{K}\mathrm{P}\beta$	$\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{<{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{0}}}$ $\mathrm{I}{D}_{<{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}$ $\mathrm{B}\mathrm{I}{D}_{<{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\nu \cdot \omega })$		$\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{A}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{+}}{\mathrm{)}}_{\mathrm{0}}$	${\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}}_{\nu +}^r$	$\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{<\mathrm{\nu }\mathrm{\cdot }\mathrm{\omega }}$ $\mathrm{(}\mathrm{P}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{)}}_{\mathrm{0}}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\gamma }\cdot \omega )$		$\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{\gamma }\mathrm{-}}{\mathrm{)}}_{\mathrm{0}}$	${\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}}_{\gamma }^r$	$\mathrm{(}\mathrm{N}\mathrm{U}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{)}}_{\mathrm{0}}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\nu \cdot \omega }\cdot {\epsilon }_0))$		${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{A}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{+}}$	$\mathrm{W}\mathrm{-}\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{l}}_{\mathrm{\nu }\mathrm{+}}$	$\mathrm{W}\mathrm{-}\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{\nu }\mathrm{\cdot }\mathrm{\omega }}$ $\mathrm{P}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{2}}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\gamma }\cdot {\epsilon }_0)$		$\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{\gamma }}\mathrm{)}$ ${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{\gamma }\mathrm{-}}$	$\mathrm{W}\mathrm{-}\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{l}}_{\mathrm{\gamma }}$	$\mathrm{W}\mathrm{-}\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{\gamma }}$ $\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{2}}$ $\mathrm{N}\mathrm{U}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{2}}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\nu \cdot \omega }\cdot \mathrm{\Omega }))$		${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{A}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{+}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{R}$		$\mathrm{P}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{R}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\gamma }\cdot \mathrm{\Omega })$		${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{\gamma }\mathrm{-}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{R}$		$\mathrm{N}\mathrm{U}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{R}$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{{\omega }^{\gamma }})$		$\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\gamma }}{\mathrm{)}}_{\mathrm{0}}$ $\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{<\mathrm{\omega }\mathrm{\gamma }}\mathrm{)}$ $\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{<\mathrm{\omega }\mathrm{\gamma }}\mathrm{)}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$		$\mathrm{(}\mathrm{I}{D}_{{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{\gamma }}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{)}}_{\mathrm{0}}$ $\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{<{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{\gamma }}}$ $\mathrm{B}\mathrm{I}{D}_{<{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{\gamma }}}^{\mathrm{2}}$ $\mathrm{(}\mathrm{I}{D}_{<\mathrm{\nu }}^{\mathrm{2}}\mathrm{)}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$
$\psi ({\psi }_{\nu }(0))$		$\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{\nu }}{\mathrm{)}}_{\mathrm{0}}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{l}}_{\mathrm{\nu }}$	$\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{\nu }}$ $\mathrm{(}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{)}}_{\mathrm{0}}$
$\psi ({\psi }_{\nu }({\epsilon }_0))$		${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{\nu }}$		$\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{2}}$
$\psi ({\psi }_{\nu }(\mathrm{\Omega }))$		${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{\nu }}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{R}$		$\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{R}$
$\psi ({\psi }_{\nu }({\psi }_{\nu }(0)))$				$\mathrm{B}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{2}}$
$\psi ({\psi }_{\nu +1}(0))$		${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{\nu }}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{l}}_{\mathrm{\nu }\mathrm{+}\mathrm{1}}$	$\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{\nu }\mathrm{+}\mathrm{1}}$ $\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$
$\psi ({\psi }_{\nu \cdot \omega }(0))$		${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{A}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{+}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{l}}_{\mathrm{\nu }\mathrm{+}}$	$\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{\nu }\mathrm{\cdot }\mathrm{\omega }}$ $\mathrm{P}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$ $\mathrm{P}\mathrm{B}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{2}}$
$\psi ({\psi }_{\gamma }(0))$		$\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{\gamma }}{\mathrm{)}}_{\mathrm{0}}$ $\mathrm{(}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{\gamma }}\mathrm{)}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$ ${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{\gamma }\mathrm{-}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{l}}_{\mathrm{\gamma }}$	$\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{\gamma }}$ $\mathrm{(}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{)}}_{\mathrm{0}}$ ${\mathrm{I}\mathrm{D}}_{\gamma }^i({𝒪}){\mathrm{B}\mathrm{I}\mathrm{D}}_{\nu }^2$ $\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$ $\mathrm{N}\mathrm{U}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$
$\psi ({\psi }_{\mathrm{\Omega }}(0))$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)		$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{l}}^{\mathrm{*}}$ ${\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}}_{\mathrm{\Omega }}^r$	$\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{\prec }\mathrm{*}}$ $\mathrm{B}\mathrm{I}{\mathrm{D}}^{\mathrm{2}\mathrm{*}}$ $\mathrm{I}{\mathrm{D}}^{\mathrm{2}\mathrm{*}}\mathrm{+}\mathrm{B}{\mathrm{I}}^{\mathrm{2}}$
${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_1}({\psi }_I(0))$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2)	${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{T}{\mathrm{R}}_{\mathrm{0}}$ ${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{T}{\mathrm{R}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$ ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{)}$ ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{R}\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{)}$ $\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{.}$ $\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{R}\mathrm{T}$	${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}}^r$ ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}}^r+{\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{i}}^r$ $\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{i}}^{\mathrm{\omega }}\mathrm{+}\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{N}\mathrm{D}\mathrm{R}\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{\Sigma }\mathrm{)}$ $\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{i}}^{\mathrm{\omega }}\mathrm{+}\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{N}\mathrm{D}\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{\Sigma }\mathrm{)}$	${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{D}}_0^{pos}$ ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{D}}_0^{mon}$
${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_1}({\psi }_I(0)\cdot {\epsilon }_0)$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2)(3,1)	${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{T}\mathrm{R}$	$\mathrm{W}\mathrm{-}\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}$	${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{D}}^{pos}$ ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{D}}^{mon}$ $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{l}}^{\mathrm{\omega }}$
${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_1}({\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{{\psi }_I(0)+1}}(0))$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2,1)(3,2)	${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{T}\mathrm{R}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$	$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}$	${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{D}}_2^{pos}$ ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{D}}_2^{mon}$ $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{B}\mathrm{I}\mathrm{D}$
${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_1}({\psi }_I(I^{\omega }))$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(3)	${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{T}{\mathrm{R}}_{\mathrm{0}}$ ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{T}\mathrm{R}\mathrm{D}{\mathrm{C}}_{\mathrm{0}}$ ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{B}\mathrm{I}$		${\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{i}}^r+(\mathrm{\Sigma }-\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{N}\mathrm{D})$ ${\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{i}}^r+(\mathrm{\Sigma }-\mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{C})$
${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_1}({\psi }_I(I^{{\epsilon }_0}))$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(3)(4,1)	${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{T}\mathrm{R}$ ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{T}\mathrm{R}\mathrm{D}\mathrm{C}$ ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{B}\mathrm{I}$		$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{i}}^{\mathrm{\omega }}\mathrm{+}\mathrm{(}\mathrm{\Sigma }\mathrm{-}\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{N}\mathrm{D}\mathrm{)}$ $\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{i}}^{\mathrm{\omega }}\mathrm{+}\mathrm{(}\mathrm{\Sigma }\mathrm{-}\mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{)}$
${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_1}({\epsilon }_{I+1})$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(4,2)	${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$ ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{i}$ $\mathrm{K}\mathrm{P}\beta$ $\mathrm{C}\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{+}\mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{A}$	${\mathrm{T}}_{\mathrm{0}}$
${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_1}({\mathrm{\Omega }}_{I+\omega })$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(4,2,1)		$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{i}}^{\mathrm{+}}$	$\mathrm{M}{\mathrm{L}}_{\mathrm{1}}\mathrm{W}$ $\mathrm{K}{\mathrm{P}}_{\mathrm{1}}\mathrm{W}$ $\mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{I}$
${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_1}({\epsilon }_{M+1})$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1)(4,2)	${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}\mathrm{+}\mathrm{(}\mathrm{M}\mathrm{)}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{M}$ $\mathrm{C}\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{M}$
${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_1}({\mathrm{\Omega }}_{M+\omega })$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1)(4,2,1)		$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{M}}^{\mathrm{+}}$	$\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{M}$ $\mathrm{A}\mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{a}$
${\mathrm{\Psi }}_{{\mathrm{\Omega }}_1}^0({\epsilon }_{K+1})$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1)(5,2)	$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}+{\mathrm{\Pi }}_4^1-\beta \text{-model-Reflection}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}+{\mathrm{\Pi }}_3^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-Reflection}$
${\mathrm{\Psi }}_{\mathbb{𝕏}}^{{\epsilon }_{{\xi }_n+1}}$	(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)(5,1)(6,2)	$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}+{\mathrm{\Pi }}_{n+5}^1-\beta \text{-model-Reflection}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}+{\mathrm{\Pi }}_{n+4}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-Reflection}$
${\mathrm{\Psi }}_{\mathbb{𝕏}}^{{\epsilon }_{\mathrm{\Xi }+1}}$	(0)(1,1,1)(2,2)	$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}-\beta \text{-model-Reflection}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}+{\mathrm{\Pi }}_{\omega }^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-Reflection}$
${\mathrm{\Psi }}_{\mathbb{ℍ}}^{{\epsilon }_{\mathrm{{\rm Y}}+1}}$	(0)(1,1,1)(2,2)(3,2)(4,1)(2)		$\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{i}+\mathrm{\forall }\alpha \mathrm{\exists }\kappa (L_{\kappa }{\prec }_1{L}_{\kappa +\alpha })$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\mathbb{𝕊}+\omega })$		${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\mathrm{-}}$	${\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}}^r+\mathrm{\exists }M(\text{Trans}(M)\wedge M{\prec }_{1}V)$
${\mathrm{\Psi }}_{\mathbb{𝕂}}^{{\epsilon }_{I+1}}$		${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\mathrm{-}}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{i}+\mathrm{\exists }M(\text{Trans}(M)\wedge M{\prec }_{1}V)$
${{ℐ}}_{\omega }\cap {\omega }_1^{\mathrm{C}\mathrm{K}}$	(0)(1,1,1,1)?	${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$ ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$
${{ℐ}}_{\omega +1}\cap {\omega }_1^{\mathrm{C}\mathrm{K}}$	(0)(1,1,1,1)(2,1,1)(3,2,2)?	${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{+}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\mathrm{-}\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ $\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{i}+\mathrm{\forall }\alpha \mathrm{\exists }\beta (\beta >\alpha )(\beta \text{ stable})$
${{ℐ}}_{{\epsilon }_0}\cap {\omega }_1^{\mathrm{C}\mathrm{K}}$		${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}$ ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{A}\mathrm{C}$
$\text{maybe }{\psi }_{\mathrm{\Omega }}({\epsilon }_{\mathbb{𝕀}+1})$		${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$ ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$ ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}+{\mathrm{\Delta }}_2^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-Separation}$
${\psi }_{\mathrm{\Omega }}({\epsilon }_{\mathbb{𝕀}+1})$			$\mathrm{K}\mathrm{P}+{\mathrm{\Pi }}_1^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-Collection}$
		${\mathrm{\Pi }}_{n+3}^1\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}+{\mathrm{\Sigma }}_{n+2}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-Separation}$
		${\mathrm{\Pi }}_{n+3}^1\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}+{\mathrm{\Sigma }}_{n+3}^1\mathrm{-}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$	$\mathrm{K}{\mathrm{P}}^{\mathrm{-}}+{\mathrm{\Sigma }}_{n+2}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-Separation}+{\mathrm{\Sigma }}_{n+2}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-Collection}$
	>=Y(1,3)	${\mathrm{Z}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}$ ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$ ${\mathrm{Z}}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{A}\mathrm{C}$	$\mathrm{K}\mathrm{P}+{\mathrm{\Sigma }}_{\omega }^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-Separation}$ $\mathrm{K}{\mathrm{P}}^{\mathrm{-}}+{\mathrm{\Sigma }}_{\omega }^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-Separation}+{\mathrm{\Sigma }}_{\omega }^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-Collection}$ $\mathrm{Z}\mathrm{F}{\mathrm{C}}^{\mathrm{-}}\mathrm{=}\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}\mathrm{-}\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}$
		${\mathrm{Z}}_{n+3}={\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\infty }}^{n+2}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}$ ${\mathrm{\Delta }}_1^{n+3}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$	$\mathrm{Z}\mathrm{F}{\mathrm{C}}^{\mathrm{-}}\mathrm{+}\mathrm{V}\mathrm{=}\mathrm{L}\mathrm{+}\mathrm{\exists }{\omega }_{n+1}$
		${\mathrm{Z}}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{=}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}$	$\mathrm{Z}$ $\mathrm{Z}\mathrm{C}$ $\mathrm{I}\mathrm{Z}$
	$$		$\mathrm{I}\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{=}\mathrm{C}\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{+}\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\mathrm{-}\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{=}\mathrm{C}\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{+}\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{M}\mathrm{=}\mathrm{I}\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{+}\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{M}$ $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}$ $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}\mathrm{+}\mathrm{V}\mathrm{=}\mathrm{L}$ $\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{T}$ $\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{T}$ $\mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{=}\mathrm{G}\mathrm{B}\mathrm{C}$ $\mathrm{G}\mathrm{B}$

ZFC 相关证明论序数：

• ${\mathrm{S}}_0=(\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t})+(\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l})+(\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r})+(\mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})+(\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f})(\text{Rudimentary set theory})$
• ${\mathrm{S}}_1={\mathrm{S}}_0+(\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t})$
• ${\mathrm{M}}_0={\mathrm{S}}_1+({\mathrm{\Delta }}_0^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})$
• ${\mathrm{M}}_1={\mathrm{M}}_0+(\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y})+(\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t})$
• ${\mathrm{K}\mathrm{P}}^{-}={\mathrm{S}}_0+(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y})+({\mathrm{\Delta }}_0^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})+({\mathrm{\Delta }}_0^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})$
• ${\mathrm{K}\mathrm{P}}^{-\mathrm{\infty }}={\mathrm{S}}_0+(\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})+({\mathrm{\Delta }}_0^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})+({\mathrm{\Delta }}_0^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})$
• $\mathrm{K}\mathrm{P}={\mathrm{K}\mathrm{P}}^{-\mathrm{\infty }}+(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y})={\mathrm{K}\mathrm{P}}^{-}+(\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})$
• $\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}=\mathrm{K}\mathrm{P}+(\text{universe limit of admissible sets})$
• $\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{i}=\mathrm{K}\mathrm{P}+(\text{recursively inaccessible universe})$
• $\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{h}=\mathrm{K}\mathrm{P}+(\text{recursively hyperinaccessible universe})$
• $\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{M}=\mathrm{K}\mathrm{P}+(\text{recursively Mahlo universe})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{B}\mathrm{Q}\mathrm{C}={\mathrm{M}}_0+(\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y})+(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y})+(\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e})$
  $\mathrm{N}\mathrm{F}\mathrm{U}+(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y})+(\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e})$
• $\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{C}={\mathrm{M}}_1+(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y})+(\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e})=\mathrm{Z}\mathrm{B}\mathrm{Q}\mathrm{C}+(\text{Transitive Containment})$
• $\mathrm{M}\mathrm{O}\mathrm{S}\mathrm{T}=\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{C}+({\mathrm{\Delta }}_0^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})=\mathrm{Z}\mathrm{B}\mathrm{Q}\mathrm{C}+\mathrm{K}\mathrm{P}+({\mathrm{\Sigma }}_1^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})$
• $\mathrm{Z}={\mathrm{S}}_1+(\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y})+(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y})+({\mathrm{\Sigma }}_{\omega }^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{C}=\mathrm{Z}+(\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e})=\mathrm{Z}\mathrm{B}\mathrm{Q}\mathrm{C}+({\sigma }_{\omega }^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})$
• $\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{C}+\mathrm{\forall }m({\beth }_{{\beth }_m}\text{ exists})$
  $\mathrm{N}\mathrm{F}\mathrm{U}+(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y})+(\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e})$
• $\mathrm{Z}+({\mathrm{\Pi }}_2^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t})$
  ${\mathrm{N}\mathrm{F}\mathrm{U}}^{*}=\mathrm{N}\mathrm{F}\mathrm{U}+(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g})+(\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{y}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})$
• $\mathrm{Z}+({\mathrm{\Pi }}_m^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}=\mathrm{Z}+({\mathrm{\Pi }}_{\omega }^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}-\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t})$
  $\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{T}$
  $\mathrm{G}\mathrm{B}$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}=\mathrm{Z}\mathrm{F}+(\text{Choice})$
  $\mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{G}=\mathrm{G}\mathrm{B}\mathrm{C}=\mathrm{G}\mathrm{B}+(\text{Global Choice})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a worldly cardinal})$
• $\mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{G}+(\text{there is a stationary proper class of worldly cardinals})$
• $\mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{G}+(\text{Class Forcing Theorem})$
  $\mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{G}+(\text{Clopen Class Game Determinacy})$
• $\mathrm{M}\mathrm{K}=\mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{G}+({\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}}-\mathrm{C}\mathrm{A})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is an inaccessible cardinal})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+({\mathrm{\Pi }}_1^1\text{Perfect Set Property})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+({\mathrm{\Sigma }}_3^1\text{Lebesgue measurability})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there are }\omega \text{inaccessible cardinals})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\mathrm{\forall }\alpha (\omega \le \alpha \le {\mathrm{\aleph }}_{\omega }\Rightarrow |{\mathrm{V}}_{\alpha }\cap L|=|\alpha |))$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a proper class of inaccessible cardinals})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{Grothendieck Universe Axiom})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a }{\mathrm{\Sigma }}_n^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-reflecting cardinal})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a }{\sigma }_{\omega }^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}\text{-reflecting cardinal})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{Ord is Mahlo})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is an uplifting cardinal})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{Resurrection Axioms})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a Mahlo cardinal})$
• $\mathrm{S}\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{H}=\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a }n\text{-Mahlo cardinal}{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$
  $\mathrm{N}\mathrm{F}\mathrm{U}\mathrm{A}=\mathrm{N}\mathrm{F}\mathrm{U}+(\text{Infinity})+(\text{Cantorian Sets})$
• ${\mathrm{S}\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{H}}^{+}=\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\forall }n(\text{there is a }n\text{-Mahlo cardinal})$
• $\mathrm{M}\mathrm{K}+(\text{Ord is weakly compact})$
  ${\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{K}}_{\mathrm{\infty }}^{+}={\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{K}}^{+}+(\text{Infinity})$
  $\mathrm{N}\mathrm{F}\mathrm{U}\mathrm{B}=\mathrm{N}\mathrm{F}\mathrm{U}+(\text{Infinity})+(\text{Cantorian Sets})+(\text{Small Ordinals})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a weakly compact cardinal})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+({\omega }_2\text{has the tree property})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a totally indescribable cardinal})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a subtle cardinal})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is an ineffable cardinal})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\forall }\alpha (\alpha <{\omega }_1\Rightarrow \text{there is a }\alpha \text{-Erdős cardinal})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(0^{\mathrm{♯}}\text{exists})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(L\models {\mathrm{\aleph }}_{\omega }\text{is regular})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\forall }\alpha (\alpha \ge \omega ⟹|V_{\alpha }\cap L|=|\alpha |)$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{parameter-free }{\mathrm{\Sigma }}_1^1\text{-determinacy})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\forall }x(x\in \mathbb{ℝ}⟹x^{\mathrm{♯}}\text{exists})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+({\mathrm{\Sigma }}_1^1\text{-determinacy})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\forall }x(x^{\mathrm{♯}}\text{exists})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+({\mathrm{\Sigma }}_2^1\text{universal Baireness})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is an }{\omega }_1\text{-Erdős cardinal})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{Chang's Conjecture})$
• $\mathrm{S}\mathrm{R}\mathrm{P}=\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is cardinal with the }n\text{-stationary Ramsey property}{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$
• ${\mathrm{S}\mathrm{R}\mathrm{P}}^{+}=\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\forall }n(\text{there is a cardinal with the }n\text{-stationary Ramsey property})$
• $\mathrm{M}\mathrm{K}+(\text{Ord is measurable})$
  $\mathrm{N}\mathrm{F}\mathrm{U}\mathrm{M}=\mathrm{N}\mathrm{F}\mathrm{U}+(\text{Infinity})+(\text{Large Ordinals})+(\text{Small Ordinals})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{M}=\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a measurable cardinal})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+({\mathrm{N}\mathrm{S}}_{{\omega }_1}\text{is precipitous})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}+({\omega }_1\text{is measurable})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a measurable cardinal }\kappa \text{such that }o(\kappa )=2)$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+({\mathrm{N}\mathrm{S}}_{{\omega }_2}\text{is precipitous})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a measurable cardinal }\kappa \text{such that }o(\kappa )={\kappa }^{++})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\neg }\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{H}$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(2^{{\mathrm{\aleph }}_{\omega }}={\mathrm{\aleph }}_{\omega +2})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{Ord is Woodin})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\neg }\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{H}$
  ${\mathrm{Z}}_2+({\mathrm{\Delta }}_2^1\text{-determinacy})(\text{conjectural})$
• $\mathrm{M}\mathrm{K}+(\text{Ord is Woodin})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\neg }\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{H}$
  ${\mathrm{Z}}_3+(\text{lightface }{\mathrm{\Delta }}_2^1\text{-determinacy})$
• $\mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{G}+(\text{Ord is Woodin})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\neg }\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{H}$
  ${\mathrm{Z}}_3+({\mathrm{\Delta }}_2^1\text{-determinacy})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there is a Woodin cardinal})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+({\mathrm{\Delta }}_2^1\text{-determinacy})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\mathrm{O}\mathrm{D}\models \mathrm{A}\mathrm{D})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+({\mathrm{N}\mathrm{S}}_{{\omega }_1}\text{is }{\omega }_2\text{-saturated})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there are }n\text{Woodin cardinals}{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$
  ${\mathrm{Z}}_2+(\mathrm{P}\mathrm{D})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\text{there are }\omega \text{ Woodin cardinals})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}+(\mathrm{A}\mathrm{D})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(L(\mathbb{ℝ})\models \mathrm{A}\mathrm{D})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(\mathrm{O}\mathrm{D}(\mathbb{ℝ})\models \mathrm{A}\mathrm{D})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}+\mathrm{D}\mathrm{C}+({\omega }_1\text{ is }{𝒫}({\omega }_1)\text{-strongly compact})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+({\mathrm{N}\mathrm{S}}_{{\omega }_1}\text{ is }{\omega }_1\text{-dense})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}+\mathrm{D}\mathrm{C}+({\omega }_1\text{ is }{𝒫}(\mathbb{ℝ})\text{-strongly compact})$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}+\mathrm{D}\mathrm{C}+({\mathrm{A}\mathrm{D}}_{\mathbb{ℝ}})$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\text{(there is a superstrong cardinal)}$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\text{(there is a subcompact cardinal)}$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+(V=L[\overrightarrow{E}])+\mathrm{\exists }\kappa (\mathrm{\neg }{◻}_{\kappa })$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\text{(there is a strongly compact cardinal)}$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\text{(Proper Forcing Axiom)}$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\text{(there is a supercompact cardinal)}$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\text{(Martin's Maximum)}$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\forall }n\text{(there is a proper class of }{C}^{(n)}\text{-extendible cardinals)}$
  $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\text{(Vopěnka's Principle)}$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\text{(there is a high-jump cardinal)}$
• $\mathrm{H}\mathrm{U}\mathrm{G}\mathrm{E}=\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\text{( there is a }n{\text{-huge cardinal )}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\text{(Wholeness Axiom }{\mathrm{W}\mathrm{A}}_n)$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{I}3=\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\exists }\lambda (E_0(\lambda ))$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{I}2=\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\exists }\lambda (E_1(\lambda ))$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{I}1=\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\exists }\lambda (E_{\omega }(\lambda ))$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{I}0$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}+\mathrm{D}\mathrm{C}+\mathrm{\exists }\lambda \mathrm{\exists }j:V_{\lambda +2}{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_{\omega }^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}}{V}_{\lambda +2}$
• ${\mathrm{Z}\mathrm{F}}_j+\mathrm{D}\mathrm{C}+\text{(there is a Reinhardt cardinal )}$
• $\mathrm{Z}\mathrm{F}+\mathrm{D}\mathrm{C}+\text{(there is a Berkeley cardinal)}$