0-Y：修订间差异

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2025年8月30日 (六) 21:42的最新版本

$0 - Y$ 是一种 Worm 型序数记号，它是 PrSS 与 BMS 的一种扩展。

定义

合法表达式

一个合法的 $0 - Y$ 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

$(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) (n, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in ℕ, a_{1} = 1)$

的序列。

例如： $(1, 4, 6, 4)$ 和 $(1, 1, 4, 5, 1, 4)$ 都是合法的 $0 - Y$ 表达式，而 $(1, 2, π)$ 不是。

结构

$0 - Y$ 的合法表达式可分为零表达式、后继表达式和极限表达式。

零表达式指 $n = 0$ 的表达式，即空序列；
后继表达式指 $n > 0, a_{n} = 1$ 的表达式，即末项为 1 的非空序列；
极限表达式指 $n > 0, a_{n} > 1$ 的表达式，末项不为 1 的非空序列。

对于 $0 - Y$ 的一个极限表达式 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，定义以下术语：

行标与列标

设想我们在一个无限大的矩阵下工作，从左往右是第 1,2,... 列，从下往上是第 0,1,... 行。第 $i$ 行第 $j$ 列的项记为 $x_{i, j}$ 。

初始时，我们有 $x_{0, j} = a_{j}$ ， $1 \leq j \leq n$ 。

父项与阶差项

等于 1 的项没有父项。对于大于 1 的项 $x_{i, j}$ ，它的父项与它位于同一行，且是满足以下条件的最右侧项 $x_{i, k}$ ：

$k < j$ 且 $x_{i, k} < x_{i, j}$ 。
如果 $i > 0$ ，还要求 $x_{i - 1, k}$ 是 $x_{i - 1, j}$ 的祖先项。

这里“祖先项”的定义类似于 BMS：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项......共同构成它的祖先项。

对于 $x_{i, j}$ ，如果它有父项 $x_{i, k}$ ，则它的阶差项为 $x_{i + 1, j} = x_{i, j} - x_{i, k}$ ；如果 $x_{i, j} = 1$ ，则它的阶差项 $x_{i + 1, j} = 1$ 。

由于第 $i$ 行的项的阶差项构成了第 $i + 1$ 行，称第 $i + 1$ 行的序列是第 $i$ 行的序列的阶差序列。

末列与坏根

第 $n$ 列称为末列。

对于末列的某一项 $x_{i, n}$ ，它的父项设为 $x_{i, r}$ 。如果在计算到某行（第 $p$ 行）时有 $x_{p, n} - x_{p, r} = 1$ ，则称 $a_{r}$ 为坏根，称第 $r$ 列为根列，并且不再计算第 $p + 1$ 行及之后的行。

以上给出了 $0 - Y$ 极限表达式 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 的完整寻找坏根流程。

山脉图

要描述 $0 - Y$ 的展开规则，需要用到山脉图的辅助。对于 $0 - Y$ 的一个极限表达式 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，它的山脉图的画法如下：

先按照寻找坏根的规则画出第 0 到 $p$ 行。现在你有了一个 $p \times n$ 的“矩阵”（第 0 至第 $p$ 行，第 1 至第 $n$ 列），接下来，对于第 $i$ 行， $0 \leq i \leq p - 1$ 进行如下操作：

对于每个 $x_{i, j}$ ，用竖直线段连接 $x_{i + 1, j}$ 的下端与 $x_{i, j}$ 的上端。这些竖直线段称为右腿， $x_{i, j}$ 称为它的端点。

对于每个大于 1 的 $x_{i, j}$ ，设 $x_{i, j}$ 有父项 $x_{i, k}$ ，用斜线段连接 $x_{i + 1, j}$ 的下端与 $x_{i, k}$ 的上端。这些斜线段称为左腿， $x_{i, k}$ 称为它的端点。

对第 1 到第 $p$ 行各执行一次上述操作，就得到了 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 的山脉图。

山脉图有以下性质：从一个有父项的元素出发，沿右腿向上走一步，再沿左腿向下走一步，就能到达它的父项。

注意：有些情况下，山脉图只包含一行，即第 0 行。

注：由于山脉图的某一行只和其下的项有关，你也可以在逐行往上填写阶差序列的同时画出山脉图。许多常见的 $0 - Y$ 教程都采用这个方法。

以 $0 - Y (1, 4, 6, 3, 7, 9, 7)$ 为例，其山脉图如右图所示。由于第2行末项2的阶差为1，故不再继续计算。

展开

对于 $0 - Y$ 的一个表达式 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ：

如果它是零表达式，它对应序数 0。
如果它是后继表达式，它对应 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1})$ 的后继。
如果它是极限表达式，它的基本列第 q 项如下确定：
1. 作出 $p \times n$ 的山脉图。称位于根列右侧的结构（包括阶差项和其对应的山脉图中的左右腿，不包括根列）为坏部，其余为好部。
2. 删除坏部中第 $p$ 行以下的所有项，并将 $x_{p, n}$ 减 1。
3. 接下来，保留山脉图的好部不动，将坏部平移并复制在山脉图末尾，复制 $q - 1$ 次。“坏部平移”是指左右腿及端点同时平移。
4. 特别地，如果某一条左腿的端点位于根列左侧，复制时左腿的端点不向右平移。
5. 接下来，你得到了根列右侧的一系列山脉图和第 $p$ 行的一系列项。从根列右侧开始，从上到下，每一行从左到右，按照以下方式填入正整数：对于某个位置，向上通过右腿移动到值为 $x$ 的项，然后向左下通过左腿移动到值为 $y$ 的项，则回到初始位置并填上 $x + y$ 。
6. 最后得到的第 0 行的序列，就是 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 展开的基本列第 $q - 1$ 项。

$0 - Y$ 的极限基本列是 ${(1, 2), (1, 3), (1, 4), \dots}$ ，从这个基本列中元素开始取前驱或取基本列所能得到的表达式是 0-Y 的标准式。

例 1： $0 - Y (1, 4, 6, 4) [3]$

先作出它的山脉图，从图中可以得到：根列为第 1 列，坏部为第 2、3、4 列。

然后，将坏部第 2 行以下的数删除，并将其整体平移并复制 2 次。

接着，依次向山脉图中的“空位”填入正整数，注意所填的数满足“一个数等于其右腿和左腿连接的数之差”。

最后，根据山脉图的第 0 行，我们得到了 $0 - Y (1, 4, 6, 4) [3] = 0 - Y (1, 4, 6, 3, 7, 10, 6, 11, 15, 10)$ 。

例 2： $0 - Y (1, 4, 6, 3, 7, 9, 7) [3]$

其山脉图已经在前面给出。从图中可以得到：根列为第 4 列，坏部为第 5、6、7 列。

注意：第 2 行第 6 列的“1”的左腿的另一端（位于第 1 列）在根列左侧，故在复制时，其另一端点保持不动。

复制、填充后得到的山脉图如下。

因此 $0 - Y (1, 4, 6, 3, 7, 9, 7) [3] = 0 - Y (1, 4, 6, 3, 7, 9, 6, 11, 13, 10, 16, 18, 15)$

枚举

我们使用 BMS 对 $0 - Y$ 进行简单分析（左边是 $B M S$ ，右边是 $0 - Y$ ）。

$(0) = 1$

$(0) (1) = 1, 2$

$(0) (1) (1) = 1, 2, 2$

$(0) (1) (2) = 1, 2, 3$

$(0) (1) (2) (3) = 1, 2, 3, 4$

$(0) (1, 1) = 1, 3$

$(0) (1, 1) (1, 0) = 1, 3, 2$

$(0) (1, 1) (1, 0) (2, 1) = 1, 3, 2, 4$

$(0) (1, 1) (1, 1) = 1, 3, 3$

$(0) (1, 1) (2, 0) = 1, 3, 4$

$(0) (1, 1) (2, 0) (3, 1) = 1, 3, 4, 6$

$(0) (1, 1) (2, 1) = 1, 3, 5$

$(0) (1, 1) (2, 1) (3, 1) = 1, 3, 5, 7$

$(0) (1, 1) (2, 2) = 1, 3, 6$

$(0) (1, 1) (2, 2) (3, 3) = 1, 3, 6, 10$

$(0) (1, 1, 1) = 1, 4$

$(0) (1, 1, 1) (1, 0, 0) (2, 1, 1) = 1, 4, 2, 5$

$(0) (1, 1, 1) (1, 1, 0) = 1, 4, 3$

$(0) (1, 1, 1) (1, 1, 0) (2, 2, 1) = 1, 4, 3, 7$

$(0) (1, 1, 1) (1, 1, 1) = 1, 4, 4$

$(0) (1, 1, 1) (2, 0, 0) = 1, 4, 5$

$(0) (1, 1, 1) (2, 1, 0) = 1, 4, 6$

$(0) (1, 1, 1) (2, 1, 0) (1, 1, 1) = 1, 4, 6, 4$

$(0) (1, 1, 1) (2, 1, 0) (3, 1, 0) = 1, 4, 6, 8$

$(0) (1, 1, 1) (2, 1, 0) (3, 2, 1) = 1, 4, 6, 10$

$(0) (1, 1, 1) (2, 1, 1) = 1, 4, 7$

$(0) (1, 1, 1) (2, 1, 1) (3, 1, 1) = 1, 4, 7, 10$

$(0) (1, 1, 1) (2, 2, 0) = 1, 4, 8$

$(0) (1, 1, 1) (2, 2, 1) = 1, 4, 9$

$(0) (1, 1, 1) (2, 2, 2) = 1, 4, 10$

$(0) (1, 1, 1) (2, 2, 2) (3, 3, 3) = 1, 4, 10, 20$

$(0) (1, 1, 1, 1) = 1, 5$

$(0) (1, 1, 1, 1, 1) = 1, 6$

$\dots$

两者极限相等。

与 BMS 的互译

事实上， $0 - Y$ 与 BMS 的标准式之间有十分简单的互译关系。

对于一个 $0 - Y$ 标准表达式，作出其山脉图，但不考虑末列的影响，而是无限地逐行向上作出阶差序列，直到得到的序列全为 1。

现在你有了一个 $t \times n$ 的山脉图，行标为 0 到 $t$ ，列标为 1 到 $n$ 。

定义 $b_{i, j}$ 如下：

$x_{i, j} = 1$ 时 $b_{i, j} = 0$
否则设 $x_{i, j}$ 的父项为 $x_{i, k}$ ，令 $b_{i, j} = b_{i, k} + 1$

最后得到的矩阵 $(b_{i, j})$ 删去最顶上全为 0 的行，并以水平线为轴镜像，即可得到等价的 $B M S$ 。

对于一个 $B M S$ 标准式 $(d_{i, j})$ （第 1 至第 $t$ 行，第 1 至第 $n$ 列），定义 $e_{i, j}$ 如下：

$d_{i, j} = 0$ 时 $e_{i, j} = 1$
否则设 $d_{i, j}$ 的父项为 $d_{i, k}$ ，令 $e_{i, j} = e_{i, k} + e_{i + 1, j}$ （如果 $i = t$ ，我们规定 $e_{i + 1, j} = 1$ ）

最后取出 $f_{k} = e_{1, k}$ ，即为等价的 $0 - Y$ 序列。

然而，尽管目前已有的分析均支持以上结论，目前对此尚未有严格的证明。

$B M S$ 和 $0 - Y$ 的互相转换可以使用 BMS 0-Y Converter Made By FiveYearGaoKao。

与 Y 序列的关系

$0 - Y$ 虽然名字里带有 Y，但它与 Y 序列的内核有较大差异。

历史上， $0 - Y$ 的出现晚于通常的 $Y$ 序列，而且强度也远低于 $Y$ 序列。事实上， $0 - Y$ 是仿照 $B M S$ 制作出来的。

@@ 第1行： / 第1行： @@
-'''0-Y'''是一种[[Beklemishev's Worm|Worm]]型序数记号，它是[[初等序列系统|PrSS]]的一种扩展。
+<math>\mathrm{0-Y}</math>是一种 [[Beklemishev's Worm|Worm]] 型[[序数记号]]，它是 [[初等序列系统|PrSS]] 与 [[BMS]] 的一种扩展。
 == 定义 ==
 === 合法表达式 ===
-一个合法的 0-Y 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如
+一个合法的 <math>\mathrm{0-Y}</math> 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如
 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)\quad(n,a_1,a_2,\cdots,a_n\in\N,a_1=1)</math>
@@ 第10行： / 第10行： @@
 的序列。
-例如：<math>(1,4,6,4)</math>和<math>(1,1,4,5,1,4)</math>都是合法的 0-Y 表达式，而<math>(1,2,\pi)</math>不是。
+例如：<math>(1,4,6,4)</math>和 <math>(1,1,4,5,1,4)</math> 都是合法的 <math>\mathrm{0-Y}</math> 表达式，而 <math>(1,2,\pi)</math> 不是。
 ===  结构 ===
--Y的合法表达式可分为'''零表达式'''、'''后继表达式'''和'''极限表达式'''。
+<math>\mathrm{0-Y}</math> 的合法表达式可分为'''零表达式'''、'''后继表达式'''和'''极限表达式'''。
-* '''零表达式'''指<math>n=0</math>的表达式，即空序列；
+* '''零表达式'''指 <math>n=0</math> 的表达式，即空序列；
-* '''后继表达式'''指<math>n>0,a_n=1</math>的表达式，即末项为1的非空序列；
+* '''后继表达式'''指 <math>n>0,a_n=1</math> 的表达式，即末项为 1 的非空序列；
-* '''极限表达式'''指<math>n>0,a_n>1</math>的表达式，末项不为1的非空序列。
+* '''极限表达式'''指 <math>n>0,a_n>1</math> 的表达式，末项不为 1 的非空序列。
-对于 0-Y 的一个极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，定义以下术语：
+对于 <math>\mathrm{0-Y}</math> 的一个极限表达式 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，定义以下术语：
 ==== 行标与列标 ====
-设想我们在一个无限大的矩阵下工作，从左往右是第1,2,...列，从下往上是第0,1,...行。第<math>i</math>行第<math>j</math>列的项记为<math>x_{i,j}</math>。
+设想我们在一个无限大的矩阵下工作，从左往右是第 1,2,... 列，从下往上是第 0,1,... 行。第 <math>i</math> 行第 <math>j</math> 列的项记为 <math>x_{i,j}</math>。
-初始时，我们有<math>x_{0,j}=a_j</math>，<math>1\leq{j}\leq{n}</math>。
+初始时，我们有 <math>x_{0,j}=a_j</math>，<math>1\leq{j}\leq{n}</math>。
 ==== 父项与阶差项 ====
-等于1的项没有父项。对于大于1的项<math>x_{i,j}</math>，它的父项与它位于同一行，且是满足以下条件的最右侧项<math>x_{i,k}</math>：
+等于 1 的项没有父项。对于大于 1 的项<math>x_{i,j}</math>，它的父项与它位于同一行，且是满足以下条件的最右侧项 <math>x_{i,k}</math>：
-* <math>k<j</math>且<math>x_{i,k}<x_{i,j}</math>。
+* <math>k<j</math> 且 <math>x_{i,k}<x_{i,j}</math>。
-* 如果<math>i>0</math>，还要求<math>x_{i-1,k}</math>是<math>x_{i-1,j}</math>的祖先项。
+* 如果 <math>i>0</math>，还要求 <math>x_{i-1,k}</math> 是 <math>x_{i-1,j}</math> 的祖先项。
-这里“祖先项”的定义类似于[[Bashicu矩阵|BMS]]：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项......共同构成它的祖先项。
+这里“祖先项”的定义类似于 [[BMS]]：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项......共同构成它的祖先项。
-对于<math>x_{i,j}</math>，如果它有父项<math>x_{i,k}</math>，则它的阶差项为<math>x_{i+1,j}=x_{i,j}-x_{i,k}</math>；如果<math>x_{i,j}=1</math>，则它的阶差项<math>x_{i+1,j}=1</math>。
+对于 <math>x_{i,j}</math>，如果它有父项 <math>x_{i,k}</math>，则它的阶差项为 <math>x_{i+1,j}=x_{i,j}-x_{i,k}</math>；如果 <math>x_{i,j}=1</math>，则它的阶差项 <math>x_{i+1,j}=1</math>。
-由于第<math>i</math>行的项的阶差项构成了第<math>i+1</math>行，称第<math>i+1</math>行的序列是第<math>i</math>行的序列的'''阶差序列'''。
+由于第 <math>i</math> 行的项的阶差项构成了第 <math>i+1</math> 行，称第 <math>i+1</math> 行的序列是第 <math>i</math> 行的序列的'''阶差序列'''。
 ==== 末列与坏根 ====
-第<math>n</math>列称为'''末列'''。
+第 <math>n</math> 列称为'''末列'''。
-对于末列的某一项<math>x_{i,n}</math>，它的父项设为<math>x_{i,r}</math>。如果在计算到某行(第<math>p</math>行)时有<math>x_{p,n}-x_{p,r}=1</math>，则称<math>a_r</math>为'''坏根'''，称第<math>r</math>列为'''根列'''，并且不再计算第<math>p+1</math>行及之后的行。
+对于末列的某一项 <math>x_{i,n}</math>，它的父项设为 <math>x_{i,r}</math>。如果在计算到某行（第 <math>p</math> 行）时有 <math>x_{p,n}-x_{p,r}=1</math>，则称 <math>a_r</math> 为'''坏根'''，称第 <math>r</math> 列为'''根列'''，并且不再计算第 <math>p+1</math> 行及之后的行。
-以上给出了 0-Y 极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>的完整寻找坏根流程。
+以上给出了 <math>\mathrm{0-Y}</math>极限表达式 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> 的完整寻找坏根流程。
 == 山脉图 ==
-要描述0-Y的展开规则，需要用到'''山脉图'''的辅助。对于 0-Y 的一个极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，它的山脉图的画法如下：
+要描述 <math>\mathrm{0-Y}</math> 的展开规则，需要用到'''山脉图'''的辅助。对于 <math>\mathrm{0-Y}</math> 的一个极限表达式 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，它的山脉图的画法如下：
-先按照寻找坏根的规则画出第0到<math>p</math>行。现在你有了一个<math>p\times{n}</math>的“矩阵”(第0至第<math>p</math>行，第1至第<math>n</math>列)，接下来，对于第<math>i+1</math>行，<math>0\leq{i}\leq{p-1}</math>进行如下操作：
+先按照寻找坏根的规则画出第 0 到 <math>p</math> 行。现在你有了一个 <math>p\times{n}</math> 的“矩阵”（第 0 至第 <math>p</math> 行，第 1 至第 <math>n</math> 列），接下来，对于第 <math>i</math> 行，<math>0\leq{i}\leq{p-1}</math> 进行如下操作：
-对于每个<math>x_{i,j}</math>，用竖直线段连接<math>x_{i+1,j}</math>的下端与<math>x_{i,j}</math>的上端。这些竖直线段称为'''右腿'''，<math>x_{i,j}</math>称为它的端点。
+对于每个 <math>x_{i,j}</math>，用竖直线段连接 <math>x_{i+1,j}</math> 的下端与 <math>x_{i,j}</math> 的上端。这些竖直线段称为'''右腿'''，<math>x_{i,j}</math> 称为它的端点。
-对于每个大于1的<math>x_{i,j}</math>，设<math>x_{i,j}</math>有父项<math>x_{i,k}</math>，用斜线段连接<math>x_{i+1,j}</math>的下端与<math>x_{i,k}</math>的上端。这些斜线段称为'''左腿'''，<math>x_{i,k}</math>称为它的端点。
+对于每个大于 1 的 <math>x_{i,j}</math>，设 <math>x_{i,j}</math> 有父项 <math>x_{i,k}</math>，用斜线段连接 <math>x_{i+1,j}</math> 的下端与 <math>x_{i,k}</math> 的上端。这些斜线段称为'''左腿'''，<math>x_{i,k}</math> 称为它的端点。
-对第1到第<math>p</math>行各执行一次上述操作，就得到了<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>的山脉图。
+对第 1 到第 <math>p</math> 行各执行一次上述操作，就得到了 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> 的山脉图。
-注意：有些情况下，山脉图只包含一行，即第0行。
+山脉图有以下性质：从一个有父项的元素出发，沿右腿向上走一步，再沿左腿向下走一步，就能到达它的父项。
-''(待补充附有配图的0-Y山脉图绘制例子,以及绘制0-Y山脉图的网站(有吗))''
+注意：有些情况下，山脉图只包含一行，即第 0 行。
+注：由于山脉图的某一行只和其下的项有关，你也可以在逐行往上填写阶差序列的同时画出山脉图。许多常见的 <math>\mathrm{0-Y}</math> 教程都采用这个方法。
+[[文件:0y1463797.png|缩略图]]
+以 <math>\mathrm{0-Y}(1,4,6,3,7,9,7)</math> 为例，其山脉图如右图所示。由于第2行末项2的阶差为1，故不再继续计算。
 == 展开 ==
-对于 0-Y 的一个表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>：
+对于 <math>\mathrm{0-Y}</math> 的一个表达式 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>：
+* 如果它是零表达式，它对应序数 0。
+* 如果它是后继表达式，它对应 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})</math> 的后继。
+* 如果它是极限表达式，它的基本列第 <math>q</math> 项如下确定：
+*# 作出 <math>p\times{n}</math> 的山脉图。称位于根列右侧的结构（包括阶差项和其对应的山脉图中的左右腿，不包括根列）为'''坏部'''，其余为'''好部'''。
+*# 删除坏部中第 <math>p</math> 行以下的所有项，并将 <math>x_{p,n}</math> 减 1。
+*# 接下来，保留山脉图的好部不动，将坏部平移并复制在山脉图末尾，复制 <math>q-1</math> 次。“坏部平移”是指左右腿及端点同时平移。
+*# 特别地，如果某一条左腿的端点位于根列左侧，复制时左腿的端点不向右平移。
+*# 接下来，你得到了根列右侧的一系列山脉图和第 <math>p</math> 行的一系列项。从根列右侧开始，从上到下，每一行从左到右，按照以下方式填入正整数：对于某个位置，向上通过右腿移动到值为 <math>x</math> 的项，然后向左下通过左腿移动到值为 <math>y</math> 的项，则回到初始位置并填上 <math>x+y</math>。
+*# 最后得到的第 0 行的序列，就是 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> 展开的基本列第 <math>q-1</math> 项。
+<math>\mathrm{0-Y}</math> 的极限基本列是 <math>\{(1,2),(1,3),(1,4),\cdots\}</math>，从这个基本列中元素开始取前驱或取基本列所能得到的表达式是 0-Y 的标准式。
+例 1：<math>\mathrm{0-Y}(1,4,6,4)[3]</math>
+先作出它的山脉图，从图中可以得到：根列为第 1 列，坏部为第 2、3、4 列。
+[[文件:0-Y(1,4,6,4).png|center|]]
+然后，将坏部第 2 行以下的数删除，并将其整体平移并复制 2 次。
+[[文件:0-Y(1,4,6,4)展开(1).png|center|]]
+接着，依次向山脉图中的“空位”填入正整数，注意所填的数满足“一个数等于其右腿和左腿连接的数之差”。
+[[文件:0-Y(1,4,6,4)展开(2).png|center|]]
+最后，根据山脉图的第 0 行，我们得到了 <math>\mathrm{0-Y}(1,4,6,4)[3]=\mathrm{0-Y}(1,4,6,3,7,10,6,11,15,10)</math>。
-* 如果它是零表达式，它对应序数0。
+例 2：<math>\mathrm{0-Y}(1,4,6,3,7,9,7)[3]</math>
-* 如果它是后继表达式，它对应<math>(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})</math>的后继。
-* 如果它是极限表达式，它的基本列第<math>q</math>项如下确定：
-# 作出<math>p\times{n}</math>的山脉图。称位于根列右侧的结构(包括阶差项和其对应的左右腿，不包括根列)为'''坏部'''，其余为'''好部'''。
+其山脉图已经在[[0-Y#山脉图|前面]]给出。从图中可以得到：根列为第 4 列，坏部为第 5、6、7 列。
-# 删除坏部中第<math>p</math>行以下的所有项，并将<math>x_{p,n}</math>减1。
-# 接下来，保留山脉图的好部不动，将坏部平移并复制在山脉图末尾，复制<math>q-1</math>次。“坏部平移”是指左右腿及端点同时平移。
-# 特别地，如果某一条左腿的端点位于根列左侧，复制时左腿的端点不向右平移。
-# 接下来，你得到了根列右侧的一系列山脉图和第<math>p</math>行的一系列项。从根列右侧开始，从上到下，每一行从左到右，按照以下方式填入正整数：对于某个位置，向上通过右腿移动到值为<math>x</math>的项，然后向左下通过左腿移动到值为<math>y</math>的项，则回到初始位置并填上<math>x+y</math>。
-# 最后得到的第0行的序列，就是<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>展开的基本列第<math>q-1</math>项。
--Y的极限基本列是<math>\{(1,2),(1,3),(1,4),\cdots\}</math>，从这个基本列中元素开始取前驱或取基本列所能得到的表达式是 0-Y 的标准式。
+注意：第 2 行第 6 列的“1”的左腿的另一端（位于第 1 列）在根列左侧，故在复制时，其另一端点保持不动。
-''(待补充附有配图的0-Y展开例子,比如Y(1,4,6,4)和Y(1,4,6,3,7,9,7),后者有不平移的端点)''
+复制、填充后得到的山脉图如下。
+[[文件:0-Y(1,4,6,3,7,9,7)展开.png|center|]]
+因此 <math>\mathrm{0-Y}(1,4,6,3,7,9,7)[3]=\mathrm{0-Y}(1,4,6,3,7,9,6,11,13,10,16,18,15)</math>
 == 枚举 ==
-我们使用 [[Bashicu矩阵|BMS]] 对 0-Y 进行简单分析(左边是BMS，右边是0-Y)。
+我们使用 [[BMS]] 对 <math>\mathrm{0-Y}</math> 进行简单分析（左边是 <math>\mathrm{BMS}</math>，右边是 <math>\mathrm{0-Y}</math>）。
 <math>(0)=1</math>
@@ 第151行： / 第172行： @@
 两者极限相等。
-== 与[[Bashicu矩阵|BMS]]的互译 ==
+== 与 [[BMS]] 的互译 ==
-事实上，0-Y与[[Bashicu矩阵|BMS]]有十分简单的互译关系。
+事实上，<math>\mathrm{0-Y}</math> 与 [[BMS]] 的标准式之间有十分简单的互译关系。
+对于一个 <math>\mathrm{0-Y}</math> 标准表达式，作出其山脉图，但不考虑末列的影响，而是无限地逐行向上作出阶差序列，直到得到的序列全为 1。
+现在你有了一个 <math>t\times{n}</math> 的山脉图，行标为 0 到 <math>t</math>，列标为 1 到 <math>n</math>。
+定义 <math>b_{i,j}</math> 如下：
+* <math>x_{i,j}=1</math> 时 <math>b_{i,j}=0</math>
+*否则设 <math>x_{i,j}</math> 的父项为 <math>x_{i,k}</math>，令 <math>b_{i,j}=b_{i,k}+1</math>
+最后得到的矩阵 <math>(b_{i,j})</math> 删去最顶上全为 0 的行，并以水平线为轴镜像，即可得到等价的 <math>\mathrm{BMS}</math>。
+对于一个 <math>\mathrm{BMS}</math> 标准式 <math>(d_{i,j})</math>（第 1 至第 <math>t</math> 行，第 1 至第 <math>n</math> 列），定义 <math>e_{i,j}</math> 如下：
+* <math>d_{i,j}=0</math> 时 <math>e_{i,j}=1</math>
+* 否则设 <math>d_{i,j}</math> 的父项为 <math>d_{i,k}</math>，令 <math>e_{i,j}=e_{i,k}+e_{i+1,j}</math>（如果 <math>i=t</math>，我们规定 <math>e_{i+1,j}=1</math>）
+最后取出 <math>f_k=e_{1,k}</math>，即为等价的 <math>\mathrm{0-Y}</math> 序列。
+然而，尽管目前已有的分析均支持以上结论，目前对此尚未有严格的证明。
+<math>\mathrm{BMS}</math> 和 <math>\mathrm{0-Y}</math> 的互相转换可以使用 [https://fiveyeargaokao.github.io/googology/bms-0y%E4%B8%80%E9%94%AE%E8%BD%AC%E6%8D%A2.html BMS 0-Y Converter Made By FiveYearGaoKao]。
+== 与 [[Y序列|Y 序列]] 的关系 ==
+<math>\mathrm{0-Y}</math> 虽然名字里带有 '''Y'''，但它与 [[Y序列|Y 序列]]的内核有较大差异。
-''(等待更新)''
+历史上，<math>\mathrm{0-Y}</math> 的出现晚于通常的 <math>\mathrm{Y}</math> 序列，而且强度也远低于 <math>\mathrm{Y}</math> 序列。事实上，<math>\mathrm{0-Y}</math> 是仿照 <math>\mathrm{BMS}</math> 制作出来的。
+{{默认排序:序数记号}}
 [[分类:记号]]