增长率

增长率是描述函数增长速度的工具。它的定义依赖于序数和增长层级。

对于同一个给定函数，不同的增长层级会给出不同的增长率。FGH 是最常用的增长层级。因此，一般提及增长率默认指 FGH 增长率。

FGH 增长率

定义

如果 $f(x)$ 增长速度慢于 $f_{\alpha }(x)$ 的有限次复合，且任取 $\beta <\alpha$ 都有 $f(x)$ 快于 $f_{\beta }(x)$ 的任意多次复合，则 $f(x)$ 的 FGH 增长率是 $\alpha$。

举例

对于函数 $f(x)=x\times 7$，它慢于 $f_1(x)$ 的三次复合（即 $f_1(f_1(f_1(x)))=8x$），但快于 $f_0(x)$ 的任意多次复合，因此它的 FGH 增长率是 1。

对于函数 $f(x)=x^2$，它慢于 $f_2(x)$ 的一次复合（即 $f_2(x)=x\times 2^x$），但快于 $f_1(x)$ 的任意多次复合，因此它的 FGH 增长率是 2。