斯坦豪斯-莫泽表示法

Steinhaus-Moser Notation（斯坦豪斯-莫泽表示法），又称多边形记号，是由 Hugo Steinhaus 创造，并且据信由 Leo Moser 扩展的大数表示法。

定义

Steinhaus 在他的书 Mathematical Snapshots 中将符号定义为：

• Triangle(n) = nⁿ
• Square(n) = n在n个三角形里
• Circle(n) = n在n个正方形里

更形式化地，

• $\text{Triangle}(n)=n^n$
• $\text{Square}(n)={\text{Triangle}}^n(n)$
• $\text{Circle}(n)={\text{Square}}^n(n)$

在写出时，Triangle(n) 可写作n被一个三角形所包围，函数 Square(n) 和 Circle(n) 也是如此。

相关扩展

Leo Moser 的多边形扩展

据信 Leo Moser 去除了圆（Circle）表示法，用五边形（pentagon）、六边形（hexagon）、七边形（heptagon）、八边形（octagon）等扩展了这种符号，其中 n 在一个 x 边形内等于 n 在 n 个 x-1 边形内，但是我们不知道 Moser 是否以及在何处进行了这种扩展。

更形式化地，$k\text{-gon}(n)=(k-1){\text{-gon}}^n(n)$。

粗略地，$k\text{-gon}(n)=n{\uparrow }^{k-2}n$。

Hudelson 的记号

Matt Hudelson定义了一个类似的版本：

• n| = Line(n) = nⁿ
• n< = Wedge(n) = n后面跟着n条线
• Triangle(n) = n后面跟着n个<
• Square(n) = n在n个三角形里
• etc.

更形式化地，

• $\text{Line}(n)=n^n$
• $\text{Wedge}(n)={\text{Line}}^n(n)$
• $\text{Triangle}(n)={\text{Wedge}}^n(n)$

以此类推。

这个版本只是为了看起来好看一些，看起来是增加了“一边形”（Line）和“二边形”（Wedge）。

粗略地，$k\text{-gon}(n)=n{\uparrow }^{k}n$。

Susan 的记号

把“n 在 m 边形里”写作 n[m] 是 Susan 改进的写法。如 4[5] 是 4 在一个五边形里；6[3][3] 是 6 在两个三角形里。

Aarex的扩展

Aarex定义超Moser记号如下,其中#是任意长的数列或空数列：

$M(n,m\mathrm{\#})=\underset{n\text{个}m}{\underbrace{M(M(M(\cdots ,m-1\mathrm{\#}),m-1\mathrm{\#}),m-1\mathrm{\#})}}$

$M(n,1)=n^n$

$M(\mathrm{\#}0)=M(\mathrm{\#})$

$M(n,0,0,\cdots ,0,m)=M(\underset{n+1\text{个}n}{\underbrace{n,n,\cdots ,n}},m-1)$

它的极限的FGH增长率为${\omega }^{\omega }$.

强度估计

Leonardıs 等证明了：

$n\uparrow \uparrow (n+1)⩽n[4]⩽n\uparrow n\uparrow (n+1)\uparrow \uparrow (n-1)⩽n\uparrow \uparrow (n+2)$

以及

$n\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)⩽n[5]⩽n\uparrow \uparrow (n+1)\uparrow \uparrow \uparrow n<(n+1)\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)$

Steinhaus-Moser 表示法可以看做一种 FGH 的改版，只是让 $f_0(x)=x^x$。$f_m(n)$ 约等于 n 在 m+3 边形内。

n 在 n 边形内（即记号的对角化）的 FGH 增长率是$\omega$。