BHM

Bashicu超矩阵(Bashicu Hyper Matrix,BHM)是Bashicu Hyudora发明的序数记号。它是BMS的一个运用急模式的改版。目前BHM还未被证明良序。

定义

提示：阅读BHM定义之前首先需要阅读BMS的定义。

BHM和BMS的规则除了坏根的寻找之外没有区别，如父项、祖先项、好部、坏部、阶差向量、不提升规则，因此这里不再赘述。以下介绍BHM坏根寻找的规则：

1. 第0列：默认行、列标均从1开始，并在第1列之前加上一个额外的没有值的第0列。如果BHM中一个元素没有父项，则取其父项为同行第0列的元素。
2. 子项：如果项A的父项是项B，则称A是B的子项。
3. 待定坏根：待定坏根为末列最靠下的非0项的父项的父项的子项所在列。特别的，如果末列最下非0项不在第1行，则要求待定坏根正上方的元素应当是末列最下非0项正上方的元素的祖先项。
4. 预展开：根据找到的待定坏根，确定待定好部G'，待定坏部B'，末列L，待定阶差向量${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$，随后按照BMS的规则得到$G^{\prime }\sim B^{\prime }\sim (B^{\prime }+{\mathrm{\Delta }}^{\prime })\sim (L+{\mathrm{\Delta }}^{\prime })$.(其中~是序列连接)。特别的，我们称最右侧的待定坏根（即BMS意义的坏根）对应的预展开式为基准式。
5. 小根：在字典序下，预展开式小于基准式的待定坏根称为小根。特别的，如果小根不存在，则规定第0列为小根。真正的坏根是在所有小根右侧的第一个待定坏根。确定坏根后，只需要按BMS规则找好部、坏部、阶差向量即可展开。

举例：

1. 考虑BHM表达式$(0)(1)(2)(1)(1)(2)$,首先找到末列最下非0项父项的父项的所有子项（红色标出）：$(0)(1)(2)(1)(1)(2)$.于是我们得知待定坏根是第二列、第四列、第五列。首先得到第五列的预展开式（基准列）：$(0)(1)(2)(1)(1)(1)(2)$.随后得到第四列的预展开式$(0)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(2)$.随后得到第二列的预展开式$(0)(1)(2)(1)(1)(1)(2)(1)(1)(2)$.发现小根是第四列。因此真坏根是第五列。于是得到展开式：$(0)(1)(2)(1)(1)(1)(1)\cdots$
2. 考虑BHM表达式$(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)$.首先找到末列最下非0项（第四列第一行的2）的父项的父项（红色标出）：$(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)$.随后我们找到它所有子项（绿色标出）：$(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)$。因此我们得知第二列和第三列是待定坏根。于是我们进行预展开，得到第三列的预展开式（也是基准式）为：$(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)$.得到第二列的预展开式是$(0,0)(1,1)(1,0)(1,1)(1,0)(2,0)$，它在字典序上大于基准式。因此我们发现不存在小根，因此小根是第0列。坏根是第二列。于是我们得到展开式：$(0,0)(1,1)(1,0)(1,1)(1,0)(1,1)(1,0)\cdots$
3. 考虑BHM表达式$(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(2,1)$,首先我们寻找待定坏根。注意到末列最下非0项不在第1行，因此待定坏根还要满足它正上方的元素应当是末列最下非0项正上方的元素的祖先项。于是我们找到待定坏根（红色标出）：$(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(2,1)$.因此我们得知第一列和第七列是待定坏根。于是我们进行预展开，得到第七列的预展开式，即基准式为$(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)(3,1)$.再得到第一列的预展开式是$(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(4,0)(5,0)(3,1)$.发现不存在小根，于是小根是第0列，坏根是第1列。得到展开式为$(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(4,0)(5,0)\cdots$

枚举和强度分析

主词条：BHM分析

对BHM进行强度分析的难度远高于BMS。目前我们还不知道它的极限和BMS的极限的关系。目前最新的结论是$BHM(0,0,0)(1,1,1)=BMS(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1)=\psi (M_{\omega })$。梅天狸认为BHM=BMS的可能性很大。