哈基米基数

哈基米基数是虚妄之幻在2026年提出的一个大基数概念，并随后拥有了其与ZFC的相对一致性证明。

我们依照以下定义基数k上的k共尾完备滤子：一个基数k上的滤子是k-共尾完备的，当且仅当：k是可数共尾的且该滤子是一个σ-完备滤子，或者k是不可数共尾的且对于任意a＜cf(k)，集族{Xb:b∈a}如果是滤子F的子集，那么它的交集属于F

我们称一个基数k是哈基米基数，当且仅当，k上存在一个k共尾完备非主超滤且存在初等嵌入j：L_k→L_2^k

(ZFC+存在可测基数)引理：存在哈基米基数

证明如下：我们引用以下定理：如果存在ramsey基数，那么如果k和λ是不可数基数，则(Lk,∈)是(Lλ,∈)的初等子模型

由于如果存在可测基数，那么存在一个ramsey基数。然后平凡的，可测基数上存在一个k共尾完备非主超滤，因为可测基数k与2^k都是不可数基数，显然依照该引理，k是一个哈基米基数，得证。

目前猜测其一致性上界可以被削弱到ZFC+存在一个ramsey基数，但尚未给出完整证明...

更新：

定理：若ZFC+存在一个哈基米基数是一致的，那么ZFC+存在一个可测基数是一致的。

证明：首先如果第一个哈基米基数是正则的，则显然。如第一个哈基米基数k是奇异的，那么我们可以在k上构造一个cf(k)-可加的二值测度。由于最小的拥有测度的基数λ上的任何测度都是λ-可加的，因而我们可以在k下找到一个基数λ使得λ上有λ可加的测度，从而可以得到λ是一个实值可测基数。我们在这里借用一下jech的set theory中22章的一个定理(其证明由于过程太过冗长而在这里被略去了，需要可以自行查看)如果ZFC+存在一个实值可测基数是一致的，那么ZFC+存在一个可测基数也是一致的。而前者可以由哈基米基数的存在所保证，因此哈基米基数的一致性强度被确定。

定理：ZFC+存在一个哈基米基数是一致的 等价于 ZFC+存在一个可测基数是一致的

虽然在一致性上哈基米基数没有做出太大的突破，也事实上的说明了这类滤子a-完备性的略微改变不会影响其一致性的强度，但是奇异哈基米基数的其他性质似乎还有待研究的空间

定理：如果k是哈基米基数，U是其上k-共尾完备非主超滤且k是奇异的，则cf(k)是一个可测基数

我们考虑cf(k)=δ，以及一个k的划分(A_n：n∈δ)，由非主超滤性可以得到A_n∉U是显然的，考虑函数f：k→δ，使得f(x)=a当且仅当x∈A_a

定义δ的子集族W：X∈W当且仅当f^-1(X)∈U

我们来证明W是δ上的可测滤子

∅∉W，δ∈W是显然的(∅的原像显然是∅，δ的原像显然是k)

非主(无单点集)是显然的(任何一个a∈δ，｛a｝的原像A_a∉U)

如果A，B∈W，f^-1(A∩B)=f^-1(A)∩f^-1(B)

而由U滤子性得到A∩B∈W

向上封闭性：A⊂B⊂δ，A∈W

f^-1(A)⊂f^-1(B)⊂k，f^-1(A)∈U，f^-1(B)∈U。

超滤性：对于A⊂δ，如果f^-1(A)∉U，则f^-1(δ-A)∈U，因此得证。

δ完备性：对于任意一个a∈δ长W中δ子集序列(A_n：n∈a)，其原像为U中子集序列(B_n：n∈a)。由U的δ完备性，B=∩n∈a B_n ∈U，因此f(B)∈W

由此我们可以得到，δ是一个可测基数。固然通过这种方法，我们可以更快的得到，哈基米基数与可测基数显然的一致性关系。